32三角函数的图像与性质

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

三角函数公式、图像大全(总20页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形对数函数的图形三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)半角公式sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a acos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2aa+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a-asina+bcosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] asin(a)-bcos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=ba ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Asin(ωt+θ)+ Bsin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h--------------------------------------------------------------------------------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1?(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC?(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ21。

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-2π,2π］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x（x∈(-2π,2π)）cot(arccotx)=x(x∈R)arccot(cotx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=2π(X∈R)三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2-Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。

三角函数的图象和性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:(1) 函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; (2) 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; (3) 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; (4) 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）; 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）. 三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求下列函数的最值： (1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin 2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π).[题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2. (3)y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2; 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π], ∴当x-3π=0 即x=3π时 y max =2; 当x-3π=3π 即x=32π时 y min =1. [例2] 求下列函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3-- ; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x . [题解] (1)∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π] (k ∈Z). (2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 , ∴x ∈R , 1cos ≤y ≤1.[例3] 已知函数f(x)=2asin 2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin （A —B ） = sinAcosB-cosAsinB cos （A+B) = cosAcosB —sinAsinB cos （A —B ） = cosAcosB+sinAsinBtan （A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B ） =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A —1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA ）3 cos3A = 4（cosA ）3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a ）·tan(3π—a)半角公式sin(2A)=2cos 1A -cos(2A）=2cos 1A +tan （2A ）=A A cos 1cos 1+-cot （2A ）=A A cos 1cos 1-+tan （2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina —sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = —2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = —21[cos(a+b ）—cos(a-b)］ cosacosb = 21[cos （a+b)+cos （a-b)］sinacosb = 21［sin （a+b ）+sin （a-b ）］cosasinb = 21［sin(a+b ）—sin(a-b ）］诱导公式sin （—a ） = —sina cos （—a ） = cosasin （2π-a ） = cosacos （2π-a ） = sinasin(2π+a ） = cosa cos （2π+a) = -sinasin （π—a ） = sina cos(π-a ） = —cosa sin （π+a) = -sina cos(π+a） = —cosatgA=tanA =a acos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa - 其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin （a+c ） ［其中tanc=ab ] a •sin （a ）-b •cos （a) = )b (a 22+×cos （a-c) ［其中tan （c ）=ba ] 1+sin(a ） =（sin2a +cos 2a ）2 1—sin(a ） = （sin 2a —cos 2a)2其他非重点三角函数csc （a) =asin 1sec （a ） =acos 1 双曲函数sinh （a ）=2e -e -aa cosh(a ）=2e e -aa tg h （a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α)= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= —sinαcos(-α）= cosαtan （-α）= —tanαcot （—α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(π—α)= sinαcos （π-α）= —cosαtan （π-α）= —tanαcot(π-α）= -cotα公式五利用公式—和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π—α）= —tanαcot （2π—α）= -cotα公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan(2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π—α）= cosα cos(2π-α）= sinα tan （2π—α）= cotα cot （2π—α）= tanα sin （23π+α)= -cosα cos(23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotαcot （23π+α）= -tanα sin(23π—α）= -cosα cos （23π—α)= -sinα tan （23π-α）= cotα cot(23π-α）= tanα (以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ)+B •sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2—b2=(a+b ）（a —b ） a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2） a3-b3=（a —b ）(a2+ab+b2） 三角不等式｜a+b|≤|a｜+|b||a —b ｜≤|a｜+｜b ｜｜a|≤b〈=>-b≤a≤b|a —b|≥|a｜-|b ｜—｜a|≤a≤|a｜一元二次方程的解-b+√(b2—4ac)/2a —b —b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b2—4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac〉0 注:方程有一个实根b2—4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin（A—B）=sinAcosB-sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB cos（A—B）=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB) tan（A—B）=（tanA—tanB）/(1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=（ctgActgB+1)/（ctgB—ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/(1—tan2A） ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin（A/2)=√((1—cosA)/2) sin（A/2)=—√（（1—cosA)/2）cos(A/2)=√(（1+cosA)/2) cos(A/2）=-√(（1+cosA）/2）tan(A/2)=√（（1—cosA)/((1+cosA)） tan（A/2）=-√（（1—cosA)/((1+cosA）) ctg（A/2)=√（(1+cosA）/（（1-cosA）） ctg（A/2)=-√((1+cosA）/（(1—cosA)）和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin（A—B) 2cosAsinB=sin（A+B）—sin(A—B)2cosAcosB=cos(A+B)—sin(A—B) -2sinAsinB=cos（A+B)-cos（A-B）sinA+sinB=2sin(（A+B)/2)cos（（A—B)/2 cosA+cosB=2cos(（A+B）/2)sin （(A—B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A—B）/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB -ctgA+ctgBsin（A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n—1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n(n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)（2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41＊2+2＊3+3*4+4＊5+5＊6+6＊7+…+n（n+1）=n（n+1）(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理［(a+b)/(a—b）］={［Tan(a+b)/2]/［Tan（a-b）/2]｝圆的标准方程(x-a）2+(y-b)2=r2 注：(a，b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c＊h斜棱柱侧面积S=c’＊h正棱锥侧面积S=1/2c＊h’正棱台侧面积S=1/2(c+c'）h’圆台侧面积S=1/2(c+c’)l=pi（R+r)l球的表面积S=4pi＊r2圆柱侧面积S=c＊h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2＊c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 〉0扇形面积公式s=1/2＊l＊r锥体体积公式V=1/3＊S＊H圆锥体体积公式V=1/3＊pi＊r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中，S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h—---———-—--———-—-------——--———--——--——-—-—-—-————————-----——---———-—-—-——--—-—---——--—--—---三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos（A+B)=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差：相加：cosAcosB=[cos（A+B）+cos（A-B）］/2相减:sinAsinB=—［cos（A+B)—cos（A—B）]/2sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosAsin（A—B)=sinAcosB—sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差：相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A—B）]/2相减：sinBcosA=[sin（A+B)-sin（A—B）］/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3。

三角函数的图象与性质教学目标1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、态度，并会用“五点法”画出函数y=sin(ωx+φ)的图象。

3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．重点难点重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．教学过程三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻．【要点复习】一.y=sinx的图象和性质：1．图象：列表后描点，用平滑曲线相连得到y=sinx，x∈［0，2π］的图象y=sinx，x∈R时的完整的图象．由此可见，画出y=sinx 的图象关键是首先要画出y=sinx 在［0，2π］内的图象．而y=sinx 在［0，2π］的图象有这样五个点很重要：(0,0),(2π,1),(π，0)，（32π，-1），（2π，0）；其中(0,0), (π，0)，（2π，0）是轴上的点，(2π,1), （32π，-1）分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定y=sinx 图象的基本点．因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画y=sinx 图象时，就可直接使用五点法了．2．性质：（1）定义域：x ∈R ．（2）值域：y ∈［-1，1］, ∴y=sinx 是有界函数。

（3）周期性：正弦函数y=sinx 是周期函数．2π是它的最小正周期，2k π（k ∈Z ，k ＝0）都是它的周期．（4）单调性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中重要的概念，对描述周期性变化具有广泛应用。

本文将探讨三角函数的图像及其性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是一种周期性的函数，用于描述角度和长度的关系。

正弦函数的图像呈现出一条连续的波浪线，具有以下性质：1. 定义域和值域：正弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)，图像关于y轴对称。

3. 周期性：正弦函数的周期为2π，即f(x + 2π) = f(x)。

4. 对称性：正弦函数关于直线x = π的中心对称。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种周期性的函数，常用于描述角度和长度的关系。

余弦函数的图像呈现出一条连续的波浪线，具有以下性质：1. 定义域和值域：余弦函数的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。

3. 周期性：余弦函数的周期为2π，即f(x + 2π) = f(x)。

4. 对称性：余弦函数关于直线x = π/2的中心对称。

三、正切函数的图像与性质正切函数是一种周期性的函数，用于描述角度和斜率的关系。

正切函数的图像呈现出一条连续的曲线，具有以下性质：1. 定义域和值域：正切函数的定义域为实数集，值域为整个实数集。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。

3. 周期性：正切函数的周期为π，即f(x + π) = f(x)。

4. 渐近线：正切函数有两条水平渐近线，分别为y = π/2和y = -π/2。

总结：正弦函数、余弦函数和正切函数是三角函数中最常见的函数，它们的图像及性质对理解角度和长度、角度和斜率的关系有着重要的意义。

熟练掌握它们的图像和性质，能够帮助我们更好地解决与周期性变化相关的问题。

通过本文的探讨，我们了解到了正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点以及几个基本性质，包括定义域和值域、奇偶性、周期性和对称性等。

锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina=3sina-4sin&sup3;acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-sin&sup2;a)cosa=4cos&sup3;a-3cosasin3a=3sina-4sin&sup3;a=4sina(3/4-sin&sup2;a)=4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a]=4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos&sup3;a-3cosa=4cosa(cos&sup2;a-3/4)=4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;]=4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号：sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的图像和性质：.反三角函数：arcsinx arccosx。

三角函数的图象和性质1. (必修4P 25练习第2题改编)函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.答案：π解析：由周期公式得T ＝2πω＝2π2＝π.2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________________________________________________________________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析：∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10中的x ，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为_______________________________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3 解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝⎛⎭⎫150，0和⎝⎛⎭⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3.4. (2010·全国Ⅱ理)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右至少平移________个长度单位．答案：π4解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象至少向右平移π4个长度单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________． 答案： [1,2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质(略)3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？ 4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πw 叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 若函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如下图所示，则ω和φ的值分别是________．答案：12，π6解析：解法1：由五点法及图象知：⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋φ＝0①2π3ω＋φ＝π2②)，解①②组成的方程组得⎩⎨⎧ω＝12φ＝π6.解法2：由图可知T 4＝23π－⎝⎛⎭⎫－π3＝π.∴T ＝4π，∴ω＝2πT ＝12.∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫23π，1代入可求得φ＝π6.变式训练如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b. (1) 这一天的最大用电量为________，最小用电量为________． (2) 这段曲线的函数解析式为________． 答案：(1) 50 30 (2) y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6解析：(1) 观察图象可知，最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2) 观察图象可知，8～14时的图象是y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40(x ∈[8,14])．题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 错误!y ＝2sin 错误! 错误!y ＝2sin 错误!. 备选变式(教师专享)要得到函数y ＝－2sinx 的图象，只需将函数y ＝2cos2x ＋π4的图象上所有点经过怎样变换得到？解：把函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的两倍，得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再向左平移π4个单位，得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图象，即y ＝－2sinx. 题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cosx ，cos2x)，b ＝(sinx ，－3)，f(x)＝a·b . (1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．解：(1) f(x)＝a ·b ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，周期T ＝π，振幅A ＝2.列表从略，图象如下：(2) f(x)可以由y ＝sinx 的图象上各点右移π3个单位后，再将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短到原来的12而得到．备选变式(教师专享)已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象； (3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sinφ＝32，－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2) f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：图象如图：(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3>22， ∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π4∴2kπ＋π12<2x<2kπ＋7π12，∴kπ＋π24<x<kπ＋7π24，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x<kπ＋7π24，k ∈Z . 题型4 三角函数值域问题例4 求函数y ＝cos 2x ＋2sinx ⎝⎛⎭⎫|x|≤π4的值域． 解：y ＝1－sin 2x ＋2sinx ＝－(sinx －1)2＋2.因为|x|≤π4，所以－22≤sinx ≤22.当sinx ＝－22时，y min ＝12－2； 当sinx ＝22时，y max ＝12＋ 2.所以函数y ＝cos 2x ＋2sinx ⎝⎛⎭⎫|x|≤π4的值域是⎣⎡⎦⎤12－2，12＋2.备选变式(教师专享)(2010·江西文)求函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域． 解：令t ＝sinx ，则－1≤t ≤1， 函数化为y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54， ∴当t ＝－12时，y min ＝－54；当t ＝1时，y max ＝1.∴－54≤y ≤1.1. 有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象，若在区间[0，t](t>0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________． 答案：5解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥54T ＝5.2. (2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.答案：62解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4，ω＝2,2×7π12＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3，f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2kπ＋π3＝62. 3. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A>0，ω>0，0<φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M 2π3，－2.则f(x)的解析式为__________．答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：由最低点为M 2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图象上，得 2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2kπ－π2，k ∈Z ，∴φ＝2kπ－11π6. 又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.4. 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝________. 答案：6解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2，其周期T ＝ππ4＝4，∴A(2,0)．tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1及0<x<4，得x ＝3，∴B(3,1)，∴OA →＝(2,0)，OB →＝(3,1)，AB →＝(1,1)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.1. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为⎝⎛⎭⎫π6，2，⎝⎛⎭⎫2π3，－2，则这个函数的解析式为________．答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：∵A ＝2，相邻最值点相距半个周期，即T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，即ω＝2，则函数解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)，点⎝⎛⎭⎫π6，2在函数图象上，∴2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ， 即π3＋φ＝2kπ＋π2，得φ＝2kπ＋π6，k ∈Z ， ∴ 函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 2. 定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f(x)＝sinx. (1) 求当x ∈[－π，0]时，f(x)的解析式； (2) 画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图； (3) 求当f(x)≥12时，x 的取值范围．解：(1) ∵ f(x)是偶函数，∴ f(－x)＝f(x)． 而当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f(x)＝sinx. ∴ 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx. 又当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵ f(x)的周期为π，∴ f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx. ∴ 当x ∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx. (2) 如图所示．(3) 由于f(x)的最小正周期为π，因此可先在[－π，0]上研究f(x)≥12，即－sinx ≥12，∴sinx ≤－12，∴ －5π6≤x ≤－π6.由周期性知，当x ∈⎣⎡⎦⎤kπ－56π，kπ－π6，k ∈Z 时，f(x)≥12. 3. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间． 解：(1) ∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ 2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，76π. ∴ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]，∴f(x)∈[b,3a ＋b]． 又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2) 由(1)知a ＝2，b ＝－5，∴ f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴ 4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12， ∴2kπ＋π6＜2x ＋π6＜2kπ＋5π6，k ∈Z .由2kπ＋π6＜2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得g(x)的单调增区间为⎝⎛⎦⎤kπ，kπ＋π6(k ∈Z )． 由2kπ＋π2≤2x ＋π6＜2kπ＋5π6，得g(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫kπ＋π6，kπ＋π3(k ∈Z )． 4. 设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx)，f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f(ωx)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围； (3) 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x||f(x)－m|＜2}，若，求实数m 的取值范围．解：(1) f(x)＝sin 2π＋2x4·4sinx ＋(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＝4sinx·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin 2x ＝2sinx ＋1，所以所求解析式为f(x)＝2sinx ＋1. (2) ∵f(ωx)＝2sinωx ＋1，ω＞0， 由2kπ－π2≤ωx ≤2kπ＋π2，得f(ωx)的增区间是⎣⎡⎦⎤2kπω－π2ω，2kπω＋π2ω，k ∈Z . ∵f(ωx)在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. (3) 由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m ＜2， 即f(x)－2＜m ＜f(x)＋2. ∵，∴当π6≤x ≤23π时，不等式f(x)－2＜m ＜f(x)＋2恒成立． ∴f(x)max －2＜m ＜f(x)min ＋2， ∵f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝3，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2， ∴m ∈(1,4)．。

三角函数的图象和性质一、知识梳理1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.2.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(2π+x)(x ∈R )，由此可知，余弦函数y=cosx 的图象与正弦函数y=sin(2π+x)(x ∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象.3.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质（一）利用五点法作函数y =A sin(ωx +φ)的图象用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象时，关键是五个点的选取.一般可设X=ωx+φ，由X 取0,2π,π, 23π,2π来求相应x 的值及对应的y 的值，再描点作图.也可采用下列方法简化作图：函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω＞0)的图象在一个周期内的五点横向间距必相等，为4T .于是五点横坐标依次为x 1=ϕω-,x 2=x 1+4T ,x 3=x 2+4T…这样不仅可以快速求出五点坐标,也可以在x 1的位置后,用圆规截取其他四点,从而快速准确作出图象.（二）利用图象变换法则作出函数y=A sin(ωx +φ)的图象1.相位变换 y=sinx 图象个单位平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ<>→y=sin(x+φ)图象.2.周期变换 y=sinx 图象)(1)1()10(纵坐标不变倍到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<→y=sinωx 图象.3.振幅变换 y=sinx 图象(1)(01)()A A A ><<纵坐标伸长或缩短到原来的倍横坐标不变→y=Asinx 图象.4.当函数y=Asin(ωx+φ)〔A ＞0,ω＞0,x ∈(0,+∞)〕表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T=ωπ2叫做周期. y=Asin(ωx+φ)可以这样得到：y=sinx 图象−−−→−相位变换y=sin(x+φ)图象−−−→−周期变换y=sin(ωx+φ)图象−−−→−振幅变换 y=Asin(ωx+φ)图象.考点一 求三角函数的周期例题1 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π)；⑶y ＝tan(2x －3π)；⑷y=|sin x |思路分析：⑴⑵⑶小题运用周期函数的定义即可.⑷小题可运用图像法 ②求含有绝对值符号的三角函数的周期常用图像法课堂训练题求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 考点二 三角函数的奇偶性例题4（2006江苏高考卷，1）已知α∈R ，函数f(x)=sinx-|a|,x ∈R 为奇函数，则a 的值为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.±1 思路分析：解法1：由题意可知f(x)=-f(-x),得a=0.解法2：函数的定义域为R ,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,解得a=0. 解法3：由f(x)是奇函数,图象法,画出函数f(x)=sinx-|a|,x ∈R 的图象.点拨：对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x) ⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称.课堂训练题（2009北京高考卷，文2）函数y=1+cosx 的图象（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=2π对称 课堂训练题判断下列函数的奇偶性：⑴x ；⑵⑶y=解：⑴显然，函数的定义域为R.∵f (－2()2x x -==－f(x),∴函数为奇函数. ⑵∵sinx －1≥0，∴sinx=1，x=22k ππ+(k ∈Z ).函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数。