第一讲 微分方程的基本概念教学目的：了解微分方程的有关概念难 点：微分方程解的分类与判定重 点：常微分方程、通解与特解、初始条件与初值问题我们先通过具体的例子来说明微分方程的有关概念．例1 设曲线y = f (x )在其上任一点(x ，y )的切线斜率为3x 2，且曲线过点(0，-1)，求曲线的方程．解 由导数的几何意义知在点(x ，y )处，有23x dx dy =． (1) 此外，曲线满足条件 .10-==x y (2) (1)式两边积分，得.332c x dx x y +==⎰ (3)其中c 为任意常数．(3)式表示了无穷多个函 数图(6–1)，为得到满足条件(2)的具体曲线，以条件(2)代入(3)，得c = -1．故所求曲线的方程为.13-=x y (4)例2 质量为m 的物体在离地面高为0s 米处，以初速0v 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程s 与时间t 的函数关系．解 因为物体运动的加速度是路程s 对时间t 的二阶导数，由于物体运动只受重力的影响，所以由牛顿第二定律知所求函数)(t s s =应满足g dts d -=22． (5) 这里g 为重力加速度，取垂直向上的方向为正方向．此外，)(t s 还应满足条件：00(0),(0).s s s v =⎧⎨'=⎩ (6)(5)式两端对t 积分，得1C gt dtds +-=．(7) 再对t 积分，得21221C t C gt s ++-=． (8) 把条件(6)代入(7)和(8)，得0201,s C v C ==，于是有00221s t v gt s ++-=． (9) 关系式(1)与(5)都含有未知函数的导数，它们都称为微分方程．一般地有 定义1 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．本章只介绍常微分方程，在不致混淆的情况下，也称常微分方程为微分方程或简称为方程．可以看出，方程(1)是一阶微分方程，方程(5)是二阶微分方程．而x y y x y 2sin 4='-''+'''． (10)+'''y x 256)(x y ='． (11)都是三阶微分方程．n 阶常微分方程的一般形式为0),,,;()(=⋅⋅⋅'n y y y x F ． (12)其中x 为自变量，y 为未知函数; ),,,;()(n y y y x F ⋅⋅⋅'是)(,,,n y y y x ⋅⋅⋅'的已知函数，且)(n y 的系数不为0．如果方程(12)的左端函数F 为)(,,,,n y y y y ⋅⋅⋅'''的线性函数，则称方程(12)为n 阶线性微分方程．否则称(12)为非线性的．n 阶线性微分方程的一般形式为 )()()()()1(1)(0x f y x a y x a y x a n n n =+⋅⋅⋅++-． (13) 其中)(),(,),(),(10x f x a x a x a n ⋅⋅⋅均为x 的已知函数，且0)(0≠x a ．例如方程(1)为一阶线性方程，方程(5)是二阶线性方程，而方程(11) 是三阶非线性方程．定义2 如果将已知函数)(x y ϕ=代入方程(12)后，能使其成为恒等式，则称函数)(x y ϕ=是方程(12)的解．如果由关系式0),(=Φy x 确定的隐函数)(x y ϕ=是方程(12)的解，则称0),(=Φy x 为方程(14)的隐式解．为今后叙述简便起见，将对微分方程的解和隐式解都不再加以区别，统称为方程的解．定义3 若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．例如，函数(3)、(8)分别是方程(1)、(5)的通解，函数(4)、(9)分别是方程(1)、(5)的特解，它们都由通解得到．通常，为确定n 阶方程(12)的某个特解，需给出该特解应满足的附加条件，称之为定解条件．一般地，n 阶微分方程应有n 个定解条件，才能从通解中确定某个具体的特解．n 阶微分方程(14)常见的定解条件是如下形式的条件：10)1(1000)(,,)(,)(--=='=n n y x y y x y y x y ．其中1100,,,,-n y y y x 为1+n 个给定的常数，通常称这样的定解条件为初始条件．例如，方程(1)满足初始条件(2)的特解是函数(4)，而方程(5)满足初始条件(6)的特解是函数(9)．求微分方程满足某定解条件的解的问题，称为微分方程的定解问题; 求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为初值问题．例3 验证： 函数at C at C x sin cos 21+=是微分方程x a dtx d 222+= 0． (14) 的通解．解 求出函数at C at C x sin cos 21+=的导数：,cos sin 21at a C at a C dtdx +-= .sin cos 222122at a C at a C dtx d --= 将以上两式代入方程(14)的左端，得(14)．因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的解，又此函数中含有两个任意常数，而方程(14)为二阶微分方程，因此，函数at C at C x sin cos 21+=是方程(14)的通解．例4 验证： 由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程y x y y x -='-2)2(． (15) 的解，并求出满足初始条件11==x y 的特解．解 在方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得022='+'--y y y x y x ．即y x y y x -='-2)2(．所以由方程C y xy x =+-22所确定的隐函数是微分方程(15)的解． 以初始条件11==x y 代入方程C y xy x =+-22，得1=C ．于是，所求特解为122=+-y xy x ．小结：微分方程的概念：阶、解、通解、特解、初始条件与初值问题．第二讲 一阶微分方程教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法难 点：一阶线性非齐次微分方程的通解重 点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．一阶微分方程的一般形式0),,(='y y x F ，或),(y x f y ='．本节将介绍某些特殊类型的一阶微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=(1)的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．要解这类方程，先把原方程化为(1)式的形式，称为分离变量，再对(1)式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如果需要求其特解，可由初始条件00y y x x ==代入通解中定出任意常数C 的值，即可得到相应的特解．例1 求解微分方程xy dxdy 2=． 解 原微分方程可以分离变量，分离变量后得xdx dy y21=． 两边积分 ⎰⎰=xdx dy y21． 12ln C x y +=． 2112x c C x e e e y ⋅==+．21x C e e y ⋅±=．因为1C e ±仍是任意常数，把它记作C ，便得原方程的通解为2x Ce y =． 以后为了运算方便起见，把y ln 写成y ln ，以上解答过程简写为：.ln ln 2C x y += 2x Ce y =．只要记住最后得到的任意常数C 可正可负即可．例2 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y满足初始条件2)1(=y 的特解．解 分离变量，得dx x x dy y y )1(1122+=+． 即dx x x x dy y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111． 两边积分，得 C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即 )ln(1)(1ln(222Cx y x =++）． 因此，通解为222)1)(1(Cx y x =++．这里C 为任意常数．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．于是，所求特解为22210)1)(1(x y x =++．例3 实验得出，在给定时刻t ，镭的衰变速率(质量减少的即时速度)与镭的现存量M = M (t )成正比．又当t = 0时，M = M 0，求镭的存量与时间t 的函数关系．解 依题意，有.0),()(>-=k t kM dt t dM (2) 并满足初始条件.00M M t ==方程(2)是可分离变量的，分离变量后得kdt MdM -=． 两边积分，得C kt M ln ln +-=．即kt Ce M -=． 将初始条件00M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律可表示为.0kt e M M -=一般地，利用微分方程解决实际问题的步骤为：① 利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；② 利用数学方法求出方程的通解；③ 利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．2．齐次方程可化为形如 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy ． (3) 的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy可化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=x y x y x y xy x y xy dx dy 212222． 它是一阶齐次微分方程．一般地，形如0),(),(=+dx y x N dy y x M 的方程，若),(y x M 与),(y x N 均为x ，y 的m 次齐次函数，则它是可化为形如(3)的齐次方程．齐次方程(3)中的变量x 与y 一般是不能分离的，如果作变量替换xy u =． (4) 就可以把方程(3)化为可分离变量的方程，这是因为ux y =，dxdu x u dx dy +=．将其代入方程(3)，便得)(u f dxdu x u =+． 这是变量可分离的方程，分离变量，并两边积分，得dx x du u u f ⎰⎰=-1)(1． (5) 求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解． 例4 解微分方程 .tan 2xy x y y =-' 解 原方程可写成 .tan2x y x y y +=' 这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入(5)得 .tan 2⎰⎰=x dx u du积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=.sin 2cx u = 将xy u =代入上式，便得原方程的通解为 .sin 2cx xy = 在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例5 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）． 满足初始条件10==x y 的特解．解 原方程可化为y x y x xy x y dy dx ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=23123222．令yx u =，即uy x =，则dy du y u dy dx +=，代入上式，得 uu dy du y 2512-=． 分离变量，并两边积分，得dy y du u u ⎰⎰=-15122．注左=⎰---2251)51(51u u d (凑微分)即 C y u ln 51ln )51ln(512-=--． 将yx u =代入，得到原方程的通解为 C y x y =-3255 将初始条件10==x y 代入通解中，得到1=C ．于是，所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dx dy ． 解 令u y x =-，则u x y -=，dx du dx dy -=1，于是 111+=-u dx du ．udx du 1-=． 分离变量，并两边积分，得 C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+． (6) 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程(6)是齐次的; 当)(x Q 不恒为零时，称方程(6)是非齐次的．设方程(6)是线性非齐次微分方程，把)(x Q 换成零而写出0)(=+y x P dx dy ． (7) 称为对应于方程(6)的线性齐次微分方程．方程(7)是可分离变量的，分离变量后，得dx x P ydy )(-=． 两边积分，得 C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程(7)的通解为⎰=-dx x P Ce y )(． (8)下面求方程(6)的通解．由于方程(7)是(6)的特殊情况，那么方程(6)的通解中必包含着方程(7)的通解．它们的解之间必有某种内在联系，下面我们分析一下方程(6)的解的形式．把方程(6)改写为dx y x Q x P y dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()(． 两边积分，得1ln )()(ln C dx yx Q dx x P y ++-=⎰⎰． 即⎰⋅⎰=-dx x P dx y x Q e eC y ))(1（． 因为积分dx yx Q ⎰)(中的被积函数含有未知函数y ，因此还不能说得到了方程(6)的解．但是，由于y 是x 的函数，则积分dx yx Q ⎰)(的结果是x 的函数．故可设 )()(1x C eC dx y x Q =⎰．从而有⎰=-dx x P e x C y )()(． (9) 再求未知函数)(x C ．因为(9)式是方程(6)的解，所以(9)式应满足方程(6)，将y 及它的导数⎰-⎰'='--dx x P dx x P e x P x C e x C y )()()()()(． 代入方程(6)，得)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x P x C e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---．即)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-．⎰='dx x P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(.把上式代入(9)式，便得方程(6)的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(． (10) 这种将线性齐次方程(7)的通解(8)中的任意常数换成待定函数)(x C ，然后求得线性非齐次方程(6)的通解的方法，叫做常数变易法．将(10)式写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的线性齐次方程(7)的通解，第二项是线性非齐次方程(6)的一个特解(即在通解(10)中令0=C ，便得此特解)．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例7 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解法1 常数变易法对应齐次方程为.0cot =-'x y y分离变量，得.cot 1xdx dy y =两边积分，得.sin sin ln cot x C Ce Ce y x xdx ⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y =则.cos )(sin )(x x C x x C y +'='代入原非齐次方程，得x x C 2)(='．两边积分，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=解法2 公式法.sin 2)(,cot )(x x x Q x x P =-=故).(sin )2(sin )sin 1sin 2(sin )sin 2()sin 2(2sin ln sin ln cot cot C x x C xdx x C dx xx x x C dx e x x e C dx xe x e y x x xdx xdx +⋅=+⋅=+⋅⋅=+⋅=+⎰⎰=⎰⎰⎰⎰-- 例8 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y 的特解． 解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dy dx 262-=． 即23y x y dy dx -=-． (11) 若将x 视为y 的函数，则对于)(y x 及其导数dydx 而言，方程(11)是一个线性方程，由通解公式(10)得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y e x dy y dy y 332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为 2232y y x +=． 例9 求解微分方程.)(ln 2y x a xy dx dy =+ 解 原方程不是线性方程，但通过适当的变换，可将它化为线性方程．将原方程改写为.ln 112x a y xdx dy y =+-- 即 .ln 111x a y xdx dy =+--- 令1-=y z ，则上式变为.ln 1x a z xdx dz -=- 这是z 关于x 的一阶线性方程．由通解公式(10)，得通解].)(ln 2[2x a C x z -= 所以，原方程通解为.1])(ln 2[2=-x a C xy 一般地，形如 n y x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) (12) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程(12)两边同除以n y 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+--． 再令n y z -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdz n =+-． 即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+． 这是函数z 关于x 的一阶线性方程，从而可用常数变易法或公式法得出z ，再用n y -1代换z ，即得伯努利方程(12)的解．小结：1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(x yy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-x x u u u d )(d ϕ． 注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-． 4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u yn =-1可转化为一阶线性方程．第三讲 可降阶的高阶微分方程教学目的：掌握三种可以降阶的微分方程求解方法重 点：第二类可以降阶的微分方程难 点：第三类可以降阶的微分方程从这节起我们讨论二阶和高于二阶的微分方程，这类方程称为高阶微分方程．有些高阶微分方程可以通过代换化成较低阶的方程来求解．以二阶微分方程而论，如果我们能设法作代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能用第二节所讲的方法来求解．下面介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法．1．)()(x f y n = 型的微分方程微分方程)()(x f y n = (6-18)的右端仅含有自变量x ，对于这种方程，两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f y n ++=⎰⎰-． 依此继续下去，连续积分n 次，便得方程(6-18)的含有n 个任意常数的通解．例 1 求微分方程x y x cos e 2-='''的通解．解 对所给方程连续积分三次，得12sin e 21C x y x +-=''， 212cos e 41C x C x y x +++='， 3221221sin e 81C x C x C x y x ++++=， 这就是所求的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程微分方程()y x f y '='', (6-19)中不显含未知函数y ．如果设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程(6-19)变成 ),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程 ()1,d d C x xy ψ=． 对它积分即得(6-19)的通解 ()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 2 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xp p x ． 它是一阶线性微分方程，化为标准形式221112xp x x p +=++'， 其通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x x C p x x x x x x d e 11e d 1221d 1222 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎰x x x C x d 111112212 211xC x ++=． 将y p '=代入上式，并再积分一次得所求方程的通解()212arctan 1ln 21C x C x y +++=． 例 3 求方程()y x x y '=+''212满足初始条件1|0==x y ，3|0='=x y 的特解． 解 此方程不显含y ，令y p '=，则p y '=''，代入方程得()xp x p 212=+'．分离变量后两边积分得()211x C p +=， 由3|0='=x y 得31=C ，从而()213d d x x y +=． 两边积分得233C x x y ++=，由1|0==x y 得12=C ．故所求特解为133++=x x y ．3．()y y f y '='',型的微分方程微分方程()y y f y '='',中不显含自变量x ，对于这类方程，令y p '=，两边对x 求导得yp p x y y p x p y d d d d d d d d =⋅==''． 则方程(6-20)变成),(d d p y f yp p =． 这是一个关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='．分离变量并积分，即可得方程(6-20)的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例4 求微分方程()02='-''y y y 的通解． 解 方程中不显含自变量x ，设p y ='，则y p py d d =''，代入原方程得 0d d 2=-p y p yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy p p d d =． 两端积分并化简，得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．如果0=p ，那么C y =，显然它也满足原方程，但C y =已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为x C C y 1e 2=．小结：1．)()(x f y n =型，连续积分n 次，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型（不显含未知函数y ）．令p y ='，方程变成),(p x f p ='．3．()y y f y '='',型（不显含自变量x ）.，令y p '=，方程变成),(d d p y f yp p =．第四讲 二阶常系数线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数线性方程的求解方法重 点：二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难 点：二阶常系数非齐次线性方程的特解二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+''．这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1．二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y(1)的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立0111=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 2211y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得()()()221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(22221111=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得.0)(2=++rx e q pr r由于0e ≠rx ，所以有.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解x r y 1e 1=．为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则)(e 12x u y x r =， )(e 121u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将22,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．将上式约去x r 1e 并合并同类项，得0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得0=''u ．不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解x r x y 1e 2=，且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为x r x r x C C y 11e e 21+=，即)(e 211x C C y x r +=．(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2．于是得到微分方程(1)的两个特解x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．于是得到两个新的实函数x y y y x βαcos e )(21211=+=， x y y iy x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1 特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 2 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解．解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ．特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x +=．求导得x x C x C C y 22212e )(e 2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e 2x y x -=．例 3 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 00d )(d )(21)(． 试求函数)(x f .解 由上述方程知(0)1f =．方程两边对x 求导得⎰-='xt t f x f 0d )(2)(． 由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得)()(x f x f -=''．这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-= 于是，所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+由此得.cos sin )(21x C x C x f +-='由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．例 4 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 其特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-= 于是得方程的通解).3sin 3cos (e e 43221x C x C C C y x x +++=-2．二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．定理2 设()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''(3)的一个特解，而Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为方程(3)的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．求齐次线性微分方程的通解Y 的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何求非齐次方程(3)的一个特解就行．限于篇幅, 这里只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I.,e )()(x m x P x f λ=其中λ是常数，)(x P m 是x 的m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++++=--1110)( ；II ．[]()e ()cos ()sin x t n f x P x x P x x λ=ω+ω，其中λ和ω是常数，)(x P t 、)(x P n 分别是x 的t 次和n 次多项式，其中有一个可为零．对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程(3)的一个特解，其基本思想是：先根据)(x f 的特点，确定特解y *的类型，然后把y *代入到原方程中，确定y *中的待定系数．I.x m x P x f λe )()(=型因为方程(3)右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x λe 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测()e x y Q x *λ=(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程(3)的一个解，把y *、()y *'及()y *''代入方程(3)，求出)(x Q 的系数，使()e x y Q x *λ=满足方程(3)即可．为此将()e x y Q x *λ=，[]()e ()()x y Q x Q x *λ''=λ+，2()e ()2()()x y Q x Q x Q x *λ'''''⎡⎤=λ+λ+⎣⎦代入方程(3)并消去x λe ，得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． (4))1( 如果λ不是方程(3)的特征方程02=++q pr r 的根，由于)(x P m 是一个m 次多项式，要使方程(4)的两端恒等，可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m ，即设)(x Q m 为,)(1110m m m m m b x b x b x b x Q ++++=--其中m b b b ,,,10 为待定系数，将)(x Q m 代入(4)，比较等式两端x 同次幂的系数，可得含有m b b b ,,,10 的1+m 个方程的联立方程组，解出),1,0(m i b i =得到所求特解m )2( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的单根，即02=++q p λλ，但,02≠+p λ 要使(4)式的两端恒等，)('x Q 必须是m 次多项式，此时可令),()(x xQ x Q m =并且可用同样的方法确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．)3( 如果λ是特征方程02=++q pr r 的重根，即02=++q p λλ且,02=+p λ要使式(4)的两端恒等，)(x Q ''必须是m 次多项式，此时可令),()(2x Q x x Q m =并且利用同样的方法可以确定)(x Q m 的系数),1,0(m i b i =．综上所述，我们有以下结论：如果x m x P x f λe )()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)具有形如()e k x m y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 5 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m先求对应齐次方程065=+'-''y y y的通解，其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如的特解．由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得恒等式.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解方程组得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.e e 23221x C C y x x ++=例 6 求方程x x y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如x m x P λe )(，其中,2=λ.2)(x x P m =所求解的方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为).(e 212x C C Y x +=由于2=r 是二重特征根，所以设所求方程有形如22()e x y x Ax B *=+的特解．将它代入所求方程可得622.Ax B x +=比较等式两端x 的同次幂的系数，得0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为321e .3x y x *= 最后得所求方程的通解为).31(e 3212x x C C y x ++=II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型可以推证，如果]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)的特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 7 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解． 解 所求解的方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ，特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，故所求方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解，求得()e [()cos ()sin ]x y A B x B A x *'=++-，()e [2cos 2sin ]x y B x A x *''=-．代入所求方程并化简得恒等式.sin 7cos sin )3(cos )3(x x x A B x A B -=+--比较上式两端x cos 和x sin 的系数，可得⎩⎨⎧-=--=+-.73,13B A B A 因此,1,2==B A 故e (2cos sin ).x y x x *=+所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=小结：1．特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+= 两个相等实根21r r = xr x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )sin cos (e 21x C x C y x ββα+=2．x m x P x f λe )()(=型，特解形式()e k x m y x Q x *λ=，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．3．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型，特解形式e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．4．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ；②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+．。
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