中考数学压轴题费马点,费马点最值问题的解法模型

12讲通关中考数学几何模型中考数学几何模型1：截长补短模型 (1)中考数学几何模型2：共顶点模型 (9)中考数学几何模型3：对角互补模型 (16)中考数学几何模型4：中点模型 (25)中考数学几何模型5：角含半角模型 (35)中考数学几何模型6：弦图模型 (44)中考数学几何模型7：轴对称最值模型 (53)中考数学几何模型8：费马点最值模型 (64)中考数学几何模型9：隐圆模型 (72)中考数学几何模型10：胡不归最值模型 (84)中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型 (97)中考数学几何模型12：主从联动模型 (106)中考数学几何模型1：截长补短模型名师点睛拨开云雾开门见山有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．变式练习>>>1.已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC.例题2.已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．2.已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．例题3.如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．3.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．例题4.在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．例题6.如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．达标检测领悟提升强化落实1.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．2.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．4.如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF＝CD+CF．5.如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF＝AF．6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD＝AC．7.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作BE ⊥DP 交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交DP 于点F ，连接BF ．（1）若AE ＝2，求EF 的长；（2）求证：PF ＝EP +EB ．中考数学几何模型2：共顶点模型名师点睛拨开云雾开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来费马(Pierre de Fermat ，1601 —1665) 是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17 世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1 7 世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17 世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358 年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ ABC 内求一点P，使PA+PB+PC 之值为最小，人们称这个点为“费马点”．二、探索费马点1 ．当三角形有一个内角大于或等于120 的时候，则费马点就是这个内角的顶点．下面来验证这个结论：如图1 ，对三角形内任意一点P，延长BA 至点C′，使得AC′=AC，作∠ C′AP′=∠CAP ，并且使得AP′= AP ．即把△ APC 以A 为中心做旋转变换．则△ APC ≌△ AP′C′，∵∠ BAC ≥120 °，∴∠ PAP ′≤ 6 0°．∴在等腰三角形PAP ′中，AP ≥P ∴PA+PB+PC ≥PP ′+PB+ P ′C′>BC ′= AB+AC ．所以A 是费马点．2．如果三个内角都在120 °以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120 °的点．如图2，以 B 点为中心，将△ APB 旋转60 °到△ A′B P′．因为旋转60°，且PB=P ′ B ，所以△ P′PB 为正三角形．因此，PA+PB+PC=P ′A′+P′P+PC ．由此可知当A′，P′，P，C 四点共线时，PA+PB+PC=P ′A′+P′P+PC 为最小．当A′，P′，P 共线时，∵∠ BP ′ P=60 °，∴∠ A′P B= ∠APB=120 °．同理，若P′，P，C 共线时，则∵∠ BPP ′=60°，∴∠ BPC=120 °．所以点P 为满足∠ APB= ∠BPC= ∠CPA=120 °的点．费马点相关问题等腰直角三角形 , 已知在直角平分线上的一点 P,PA+PB+PC最小值为√6+√2，求直角边的长度？解答：如图将三角形PAC 逆时针旋转60 度得三角形DEC ，则角PCD=60 度，三角形PCD 是正三角形，PC=PD 且DE=PA ，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB ，根据两点之间线段最短，当点E、D 、P、B 在一条直线上时，DE+PD+P B 最小，这时角BPC=120 度，角APC=EDC=120 。

中考数学几何模型8：费马点最值模型TH名师点睛 拨开云雾 开门见山费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A 、G 、P 三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆， 易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥ （两点之间线段最短），从而3t ≥.过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、， 易知MN AN AM ==.因为在BMP ∆和PNC ∆中， PB MP BM <+①， PC PN NC <+②。

初中数学最值问题有六种模型，包括将军饮马模型、一箭穿心模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型和瓜豆原理模型。

1. 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。

可以理解为两点之间线段最短。

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。

2. 一箭穿心模型：在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。

将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l 于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。

3. 费马点模型：在三角形ABC中，若D、E分别是AB、AC 上的点，则DE的延长线与BC的延长线交于费马点处，此时三角形周长最小。

4. 阿氏圆模型：以给定点A为圆心，给定距离r为半径画圆，与已知直线l相交于两点B、C，连接两点B、C并延长交于D。

则D点的轨迹是以A为圆心，r为半径的圆。

这个圆被称为阿氏圆。

5. 胡不归模型：在直角三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，AD为BC边上的高。

若点P在BC边上，问是否存在点P使得DP垂直于BC边？如果存在，求出点P的位置；
如果不存在，请说明理由。

6. 瓜豆原理模型：在一条直线上有若干个点，每个点都有一个到直线的距离，问如何选择若干个点使得这些点到直线的距离之和最小？瓜豆原理告诉我们，选择任意两个相邻的点并连接它们与直线的交点，然后选择第三个点与前两个点的距离之和最小即可。

以上是初中数学最值问题的六种模型，希望对解决这类问题有所帮助。

中考数学几何模型8：费马点最值模型TH名师点睛 拨开云雾 开门见山费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A 、G 、P 三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆， 易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥ （两点之间线段最短），从而3t ≥.过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、， 易知MN AN AM ==.因为在BMP ∆和PNC ∆中， PB MP BM <+①， PC PN NC <+②。

【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ） 【费马点作法】如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，P A 十PB 十PC 的值最小.因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°， 所以∠BPC =120°.因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°， 所以∠APB =180°-60°=120°，则∠CP A =360°-120°-120°=120°， 故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.CBAPPDFECBAA'P'ABCP费马点结论:1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形，利用勾股定理 模型巧记求到三角形三个顶点距离和的最小值，只需要以三角形的一条边为边作等边三角形，那么原三角形的第三个顶点和等边三角形的第三个顶点的距离就是最小值 例1、P 是边长是2的等边△ABC 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APC 绕A 逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP' 易知△APP'是等边三角形∴PC=P'C∴∠CAC'=60°∴P A+PB+PC=PB+PP'+PC’当且仅当BPP'C '共线时取得最小值∵AB =2;∴AD =1；BD =3∴.C'D =3∴BC =23 点评：①用旋转把三条共点线段转化成折线段 ②利用两点之间线段最短③构造直角三角形，利用勾股定理例2、P 是边长是1的正方形ABCD 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APB 绕B 逆时针旋转，得到△BP'A'，连接PP' ∴△BPP '是等边三角形 ∴BP=BP ' ∴∠PBP '=60°∴P A+PB+PC=P'A'+PP'+PC ，当且仅当CPP'A'共线时取得最小值∵AB =AB '=1;A'P'PCBA∴A'M =12；BM =32；∴CM =232；CA '=622例3、P 是△ABC 内的一点，BC=6,AC=5,∠ACB =30°， 求P A+PB+PC 的最小值 【分析】把△APC 绕C 顺时针旋转60°，得到△CP'A',连接PP' ∴△CPP '是等边三角形 ∴CP=PP'∴∠PCP '=60°∴P A+PB+PC=P 'A'+PB+PP '当且仅当BPP ’A ’共线时取得最小值 ∵CA=CA '=5；CB=6，∠ACB =30° ∴∠A 'CB =60° ∴A 'B =61什么是加权费马点问题？标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。

2019年中考数学压轴题分析——最短路径问题4：费马点费马点问题在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli's point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。

在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。

托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。

该问题是费马(1601-1665)作为“求一点，使它至一三角形三顶点的距离和最小'这一著名的极值问题而向意大利物理学家托里拆利(1608-1647)提出，并为托里拆利所解决的，当三角形内角均小于120°时点K即为所求，故称K为托里拆利点，也称费马点。

以后，德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题。

本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。

平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。

很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。

除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。

话不多说，直接上题。

【题1】（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．解答之前，大家可以先看之前的文章：旋转构造几何最值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。

上辅助线先。

怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如△MOG绕点M逆时针旋转60度得△MO′G′，连接OO′。

易得四点共线时距离和最小。

点G′是定点，所以NG′的长度为定值。

∠NMG′为135°，所以容易求得NG′为2√29。

初中几何最值研究模型（13讲）——“费马点”几何最值是全国中考最热的模型考点，种类多，变换形式多样。

也是历年中考压轴题目都涉及了线段最值的模型。

姜姜老师利用空余时间进行汇总整编，力求最全最实用的模型知识。

“费马问题”的由来皮耶·德·费玛皮埃尔·德·费玛，法国律师和业余数学家。

他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。

被誉为“业余数学家之王”。

费马，是当今常见译法，80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况，但“费玛”则少见。

1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利（Evangelista T orricelli,1608–1647)的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答.托里拆利老铁，在么？费玛老铁，在呢，啥事？给定不在一条直线上的三个点 A,B,C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置。

你知道怎么证明吗？这还不简单，我去证明一下。

托里拆利老铁，我可是已经证明出来了。

那你还让我证明个啥劲儿？这不是为了向你请教我这个对不对嘛。

哪里不太对，但又说不上来。

这是费马通信的一贯作风。

人们称这个点为“费马点”。

温馨提示“知识“无价，老师作为“知识“的传播者，有责任和义务让更多同学提升自己，也是我的初衷。

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学习和教育是相辅相成的，学习文化知识只是人生历程的一部分而已，个人教育更是贯穿人的一生。

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2021中考数学双线段最值之三线段最值类型一：费马点模型费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题例题.如图1所示，在△ABC内部寻找一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短，即求P A+BP+PC最小值？如图1【解析】如图2将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP’C’，则可以构造出等边△APP’如图2从而将AP=PP’,CP=CP’,所以P A+BP+PC的值转化为BP+PP’+P’C’的值当且仅当点P,P’,C’,B四点共线时，线段BC’的长即为所求的最小值。

1．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________【解析】如图，将△MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到△MPQ ，显然△MOP 为等边三角形，∴，OM ＋OG ＝OP ＋PQ ， ∴点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ， ∴当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小， 此时，∠NMQ ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA ⊥NM 交NM 的延长线于A ，则∠MAQ =90°， ∴∠AMQ ＝180°-∠NMQ =45°，∵MQ ＝MG ＝，∴AQ ＝AM ＝MQ •cOs 45°=4，∴NQ ==2．如图，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =∠ABE =60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∵ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∵EBF ，当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．2B ．3C ．3D ．3【解析】如图，∵将∵ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∵EBF ， ∵BE =AB =BC ，BF =BG ，EF =AG ， ∵∵BFG 是等边三角形．∵BF =BG =FG ，． ∵AG +BG +CG =FE +GF +CG ． 根据“两点之间线段最短”，∵当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG +BG +CG 的值最小，即等于EC 的长， 过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∵∠EBF =180°-120°=60°，∵BC =4，∵BF =2，EF ，在Rt ∵EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∵EC ∵∠CBE =120°，∵∠BEF =30°， ∵∠EBF =∠ABG =30°，∵EF =BF =FG ，∵EF =13CE ，选D ．3．如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．【解析】将∵BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到∵BNE ，∵BM =BN ，∠MBN =∠CBE =60°， ∵MN =BM∵MC =NE ∵AM +MB +CM =AM +MN +NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ． ∵AB =BC =BE =6，∠ABH =∠EBH =60°， ∵BH ⊥AE ，AH =EH ，∠BAH =30°，∵BH =12AB =3，AH =∵AE =2AH =4．如图，∵ABC 中，∠BAC ＝30°且AB ＝AC ，P 是底边上的高AH 上一点．若AP +BP +CP的最小值为，则BC ＝_____．【解析】如图将∵ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到∵AMG ．连接PG ，CM ．∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∵∠BAP =∠CAP ， ∵P A =P A ，∵∵BAP ∵∵CAP （SAS ），∵PC =PB ， ∵MG =PB ，AG =AP ，∠GAP =60°， ∵∵GAP 是等边三角形，∵P A =PG ， ∵P A +PB +PC =CP +PG +GM ，∵当M ，G ，P ，C 共线时，P A +PB +PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP +BP +CP 的最小值为，∵CM ， ∵∠BAM =60°，∠BAC =30°， ∵∠MAC =90°，∵AM =AC =2，作BN ⊥AC 于N ．则BN =12AB =1，AN ，CN =2，∵BC5．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长. 【解析】⑴∵△ABE 是等边三角形，∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°.∵∠MBN ＝60°，∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN .即∠BMA ＝∠NBE . 又∵MB ＝NB ，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小 ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，理由如下：连接MN .由⑴知，△AMB ≌△ENB ，∴AM ＝EN . ∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，∴△BMN 是等边三角形.∴BM ＝MN .∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长 ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝23x ，EF ＝2x .在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（2x ）2＋（23x ＋x ）2＝()213+ 解得，x ＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为26．在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB = （1）如图1，将∵ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到∵DCF ，连接EF ； ∵把图形补充完整（无需写画法）； ∵求2EF 的取值范围； (2)如图2，求BE +AE +DE 的最小值．【解析】（1）∵如图∵DCF 即为所求；∵∵四边形ABCD 是正方形，∵BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∵AC AB ＝4，∵∵ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到∵DCF ， ∵∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ， ∵∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°， 设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ， ∵y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）． 即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∵x ＝2时，y 有最小值，最小值为8， 当x ＝4时，y 最大值＝16，∵8≤EF 2≤16．（2）如图，将∵ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到∵AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，∵AEG 是等边三角形， ∵AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∵AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt ∵AFH 中，∠F AH ＝30°，AB ＝=AF ，∵FH ＝12AF ，AH ，在Rt ∵DFH 中，DF =2，∵BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．类型二：对称模型利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。

几何模型：费马点最值模型费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边X角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值=BP AP CP BP PQ QE BE++++≥典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC 的值最小.证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ；∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A 、G 、P 三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G 、P 、D 三点一线。

∴ AG 、GP 、PD 三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值X 围.解：将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60°得到''BP C ∆，易知'BPP ∆为等边三角形.从而''''PA PB PC PA PP P C AC ++=++≥（两点之间线段最短），从而3t ≥.过P 作BC 的平行线分别交AB AC 、于点M N 、，易知MN AN AM ==.因为在BMP ∆和PNC ∆中，PB MP BM <+①，PC PN NC <+②。

对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是下面简单说明如何找点P使它到ABC所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都因此，当ABC是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1.( 株洲)已知P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值．2.（ 北京）如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线23y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)图2图1B3.（ 延庆）小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。

中考数压轴题之费马点模型详解这期这道题并不是中考真题，我也没找到是哪里的模考题，但是不影响这道题的重要性，这种类型的题目，同学们如果做过总结，会发现很简单，如果不做总结，考试时间都给你想你也想不出来，下面我们就来看看这道题吧第一问，求∠A+∠C的度数，这个很简单，就是270°。

第二问让我们连接BD，探究一下三条边之间的关系这关系看不出来，我们可以拿尺子量一下，发现不是加和关系，那么考虑勾股定理关系，发现就是它。

这里要注意一下，有的题目会让我们猜测关系，但是关系往往不是那么容易看出来的，所以我们有必要借助一些工具，比如刻度尺，量角器这些来进行辅助猜测。

既然判断出是勾股定理关系，那么我们该怎么证明呢？首先想到是要把它们放到一个三角形当中去，可是这个三角形在哪里呢？这边就需要同学们积累一下了，遇到这种边相等，且存在勾股定理关系的，我们要想到旋转。

我们将红色的三角形绕点B顺时针旋转60°到蓝色的三角形的位置，因为BA=BC，所以旋转过来刚好能重合，我去居然这么巧！其实就是因为相等才想到旋转的，这种技巧需要大家记忆，否则你考试很难考自己想出来的。

之后我们就发现，AD=CD’,BD=BD’，可是好像还是没有把这三条边放到一个三角形当中去，不急，我们还要连接DD’，这样△BDD’就是等边三角形，怎么突然它就是等边三角形了？因为我旋转了60°，而且BD=BD’，所以它自然是等边三角形。

那么后面就简单了，BD与DD’是相等的，所以三条边都转化到了△CDD’当中，那么问题就转化为证明∠DCD’=90°了。

根据第一问，我们知道∠A+∠C=270°，而∠A经过旋转应该等于∠BCD’。

所以用周角360°减去270°，就得到∠DCD’=90°，此题得解。

第三问有一点E在四边形内部运动，然后满足一个勾股关系，让我们求出E的路径长度。

我相信大部分同学读到这道题内心已经放弃了，这都是什么玩意儿内部运动？路径长度？怎么动我都不知道，还求路径，还要找直角三角形，太难了！！确实，这道题很难，但是难者不会，会者不难。

费马点的问题定义：数学上称，到三角形 3 个极点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确立的：1. 假如三角形有一个内角大于或等于 120°，这个内角的极点就是费马点；2. 假如 3 个内角均小于 120°，那么在三角形内部对 3 边张角均为 120°的点，是三角形的费马点。

3. 费马点与 3 个极点连成的线段是交流 3 点的最短路线，简单理解，这个路线是独一的。

我们称这一结果为最短路线原理。

性质：费马点有以下主要性质：1．费马点到三角形三个极点距离之和最小。

2．费马点连结三极点所成的三夹角皆为 120°。

3．费马点为三角形中能量最低点。

4．三力均衡时三力夹角皆为 120°，因此费马点是三力均衡的点。

例 1：：△ ABH 是等边三角形。

求证： GA+GB+GH 最小证明：∵△ABH 是等边三角形。

G 是其重心。

∴∠AGH= ∠AGB= ∠BGH=120 °。

以 HB 为边向右上方作等边三角形△ DBH.以 HG 为边向右上方作等边三角形△ GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120 ° , ∠HGP=60° .∴ A、G、P 三点一线。

再连 PD 两点。

∵△ABH 、△GHP 和△BDH 都是等边三角形 ,∠GHB=30 ° .∴∠PHD=30 ° ,.在△HGB 和△HPD 中∵ HG=HP∠GHB= ∠PHD；HB=HD ；∴△HGB ≌△HPD；〔SAS〕∴∠HPD= ∠HGB=120 °；∵∠HPG=60° .∴ G、P、D 三点一线。

∴ AG=GP=PD, 且同在一条直线上。

∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G 点是等边三角形内到三个极点的距离之和最小的哪一点，费马点。

也就是重心。

例 2：：△ ABC 是等腰三角形， G 是三角形内一点。

∠ AGC= ∠AGB= ∠BGC=120 °。

2020年中考压轴题模型——最值系列之费马点（含加权费马
点）
2020年中考压轴题模型——最值系列之费马点
（感谢有一点数学，刘岳老师分享）
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．
据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。

看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．
果然，数学搞得好的都是装x的一把好手．
言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．
问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
阿哈哈哈，此处一个也用不上！
其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！
算了算了，不墨迹了，直接报答案了：
若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．。

专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．△△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形．△BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM的值最小．此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。