奥赛辅导第四讲功和能

第4讲 功和能一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆ ⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P P t P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量 机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W 外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。

初中物理功与能解析物理学中有两个基本概念，即功和能量。

功被定义为力在物体上所做的功率与位移的乘积，常用符号是W。

能量则是物体或系统在运动中所拥有的做功能力，常用符号是E。

理解和应用功与能的概念对于初中物理学习非常重要。

在本文中，我将对功与能的概念进行解析，并说明其在日常生活中的应用。

一、功的概念和计算公式功定义了力对于位移的作用。

当力F作用于一个物体，使其在线性方向上发生位移s时，力所做的功可以用公式W = F × s来计算。

功的单位是焦耳（J）或牛顿·米（Nm）。

例如，一个力为5牛顿的物体，沿着直线方向移动2米，则所做的功为W = 5 × 2 = 10J。

二、能的概念和种类能量是物体或系统所拥有的做工能力。

在物理学中，能分为多种形式，包括机械能、热能、电能、化学能等。

1. 机械能机械能是物体或系统在运动中所拥有的能量。

它包括动能和势能两种形式。

- 动能：动能是指物体由于其运动而具有的能量。

动能的大小与物体的质量和速度相关，可以用公式K.E. = 1/2mv²来计算，其中m为物体质量，v为物体速度。

动能的单位也是焦耳（J）。

- 势能：势能是指物体由于其位置而具有的能量。

常见的势能包括重力势能和弹性势能。

重力势能可以用公式P.E. = mgh来计算，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为物体相对于参考点的高度。

弹性势能可以用公式P.E. = 1/2kx²来计算，其中k为弹簧常量，x为弹簧伸长或压缩的长度。

2. 热能热能是物体或系统内分子运动的能量。

热能的传递是由高温处向低温处通过热传导、热对流或热辐射的方式进行的。

热能的单位也是焦耳（J）。

3. 电能电能是由电荷所携带的能量。

电能主要在电路中以电流的形式进行传输。

电能的单位是焦耳（J）。

4. 化学能化学能是指物质在化学反应过程中所释放或吸收的能量。

当化学键形成或断裂时，会释放或吸收能量。

三、功与能的转化和守恒定律功和能之间存在着转化关系和守恒定律。

高中物理竞赛功和能知识点讲解一、知识点击1．功、功率和动能定理⑴功 功是力对空间的积累效应．如果一个恒力F 作用在一个物体上，物体发生的位移是s ，那么力F 在这段位移上做的功为 W=Fscos θ在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功．但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功．⑵功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功．平均功率：W P t = 瞬时功率：cos lim lim cos W Fs P F t tθυθ===∆∆⑶动能定理①质点动能定理： 222101122Kt K K W F s m m E E E υυ==-=-=∆外外 ②质点系动能定理：若质点系由n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功．2201122i it i i i i W W m m υυ+=-∑∑∑∑外内即0Kt K K W W E E E +=-=∆系外系内2． 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功△W ，使系统的势能发生了一个微小的变化ΔE ，然后即可由ΔW=△E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理． 3．功能原理与机械能守恒⑴功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和． 因为保守力的功等于初末势能之差，即 0P Pt P W E E E =-=-∆保K P W W E +=∆∆外非保内（E +E ）=⑵机械能守恒：当质点系满足：0W W +=外非保内，则ΔE =0即E K + E P = E K0 + E P0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变．说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系．在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒．对某一惯性系W 外=0，而对另一惯性系W外≠0，机械能守恒与参考系的选择有关。

奥赛辅导资料--功和能1．（15分）2009年中国女子冰壶队首次获得了世界锦标赛冠军，这引起了人们对冰壶运动的关注。

冰壶由花岗岩凿磨制成，底面积约为0. 018 m 2，质量约为20kg 。

比赛时，冰壶由运动员推出后在一个非常平整的冰道上滑行，如图甲所示。

冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如图乙所示的过程：运动员将静止于O 点的冰壶（视为质点）沿直线以恒力推到距O 点m 的A 点放手，此后冰壶沿滑行，最后静止于C 点。

已知冰面与冰壶间的动摩擦因数，，取当地的重力加速度。

试求：（1）冰壶在A 点速度的大小。

（2）运动员以恒力推冰壶的过程中力做功的平均功率。

（3）若运动员在冰壶行进前方的冰道上用冰刷“刷冰”，使冰转化成薄薄的一层水，从距A 点远的B 点开始，将段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8，原来只能滑到C点的冰壶能静止于点，求点与点之间的距离为多少？2．（18分）质量均匀分布，长为l 的矩形毛巾挂在水平细杆上，处于静止状态，其底边AA ＇平行于杆，杆两侧的毛巾长度比为1:3，见图a ，AA ＇与地面的距离为h （h>l ），毛巾质量为m ，不计空气阻力，取重力加速度为g .（1）若将杆两侧的毛巾长度比改变为1:1如图b ，求重力对毛巾做的功.（2）若毛巾从题24图a 状态由静止开始下滑， 且下滑过程中AA ＇始终保持水平，毛巾从O O 'F 4=d O A '0125.0=μm 16==L AC 210m/s =g F m 2=x O B 'μO 'C O 'r离开杆到刚接触地面所需时间为t，求毛巾离开横杆时的速度大小以及摩擦力做的功.3．（20分）如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面。

t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零，加速度aB=1.0m/s2的匀加速直线运动。

已知A的质量mA 和B的质量mg均为2.0kg,A、B之间的动摩擦因数1μ=0.05，B与水平面之间的动摩擦因数2μ=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s2。

物理竞赛辅导内容（功和能）知识要点分析：功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。

利用能量的观点处理物理学 的问题有三大优点：一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。

一、功1、 功：力对空间的积累效应。

W=FScos θ2、 力：保守力与非保守力1） 保守力：力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。

例：重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。

理解： A 物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；B 若能与势能联系起来，也为保守力；2） 非保守力：做功与路径有关的力，例：摩擦力等。

3、 位移：力的作用点的位置变化成为力的位移。

一般情况：物体的位移等于力的作用点的位移——质点； 某些情况：物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；例1：半径为R 的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F 拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F 做得功为 （ R F π4⋅ ）例2：已知力F ＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S ＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。

，求在此过程中，拉力做的功。

4、 功的相对性：1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。

一般情况下，往往以地面为参考系。

例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θcos 2LS =，求各力所作的功及斜面对物体作的功。

（θ＝30）2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；A ：在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—f d 相对）而相对位移与参考系的选取无关。

第四讲 能量和动量知识要点：功和功率。

动能和动能定理。

重力势能。

引力势能。

质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。

弹簧的弹性势能。

功能原理。

机械能守恒定律。

碰撞。

冲量。

动量。

动量定理。

动量守恒定律。

反冲运动及火箭。

一、功和功率1、功功的定义式：物体(可看作质点)在恒力的作用下产生了位移，则力F 对物体所做的功为：W=FScos θ功有正负之分，正功和负功的物理意义必须从与做功相联系的能量转化角度去理解。

注意：当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移是不相等的，这时公式中的S 理解为力的作用点的位移。

特别是在绳子牵引之类的问题，要注意作用点的位移。

功的定义式中力应为恒力。

如F 为变力，则可以采用如下方法处理：(1)微元法，即把变力做功转化为恒力做功，如讨论向心力对物体不做功时就用这个方法；(2)图像法，即作出力F 与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。

一般用在作出的图线是直线的情况下；(3)等效法，即用机械能的增量或者pt 等效代换变力的。

有两种类型的做功值得注意：一是恒力(保守力)做功的特点：只与运动的初末位置有关，与具体过程无关；如重力、匀强电场中的电场力等；一是耗散力：与具体路径有关，如摩擦力。

当摩擦力大小一定时，摩擦力的功为fs 。

如果物体的运动轨迹ab 是一条曲线，力也是一个变力，则必须将ab 分成很多无限小的小段，然后求每小段的功之和。

这种求和一般要用到积分的知识，但在某些情况下也有比较简单的结果，例如，质量为m 的物体在重力的作用下从a 点运动到b 点，如图所示，取任意一个小段△s ，它在重力方向上的投影为△h ，重力在这一小段位移上做的功为mg △h,将所有小段的功加起来，即W(a →b)=h mg b a ∆∑=mg h b a ∆∑=mgh(a →b) 可见，重力做功仅仅取决于质点初位置和终止位置，而与其运动路线无关。

★注意：功的定义式中S 怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S 是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。

一、教学目标:
1. 了解和掌握功和能的概念，并能够正确区分它们之间的关系。

2. 理解功和能在物理学中的重要性，能够运用对功和能的理解解决物理问题。

3. 增强学生的物理思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点:
1. 功的概念及计算方法。

2. 能的概念及计算方法。

3. 功和能之间的关系。

三、教学难点:
1. 动能和势能的转化关系。

2. 能量守恒定律的应用。

四、教学过程:
1. 导入：通过一个引人入胜的实例引出功和能的概念，让学生主动参与讨论。

2. 授课：讲解功和能的概念及计算方法，引导学生理解功和能之间的关系。

3. 实验：设计一个简单的实验，让学生通过实验观察和测量来理解功和能的转化关系。

4. 讨论：组织学生讨论实验结果，并引导他们总结功和能之间的关系。

5. 练习：布置一定数量的练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结：对本堂课的内容进行总结，强调功与能在物理学中的重要性。

7. 超纲拓展：介绍一些与本课相关的拓展知识，引导学生深入了解功与能的应用。

五、课后作业:
1. 完成课堂上布置的练习题。

2. 思考功与能的关系，并写一篇300字左右的小结。

3. 阅读相关文献或书籍，深入了解功与能在物理学中的应用。

六、板书设计:
功=力×位移
能：物体具有的做功能力
动能：物体运动具有的能量势能：物体位置上具有的能量。

能 量一、功和功率1.功:(1)恒力的功W =Fs cos α.(2)变力的功：①用F -s 图象的面积求：如弹簧弹力的做功，W =21kx 2,根据功能原理，弹簧的弹性势能E P =21kx 2。

（当力随位移线性变化时，可用平均值）说出下面各图象的意义：v -t 图象;F -t 图象;P -t 图象;I -t 图象;U -q 图象.②用功能原理求.例1：如把长为L 的均匀细杆竖起，至少要做多少功（W =21mgL ）. 例2：如图所示，原来弹簧处于原长，在水平外力作用使m 2缓慢向右移动s ，求拉力的功。

（W =μ2m 2gs +μ1m 1g (s +x )+21kx 2,其中kg m x 22μ=）. ③其它方法（如微元法）。

1. 跳水运动员从高于水面H =10m 的跳台自由落下,假设运动员的质量m =60Kg,其体形可等效为一长度L =1.0m 、直径d =0.30m 的圆柱体,略去空气阻力.运动员入水后,水的等效阻力F 作用于圆柱体的下端面,F 的量值随入水深度Y 变化的函数曲线如图所示,该曲线可近似看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY 和OF 重合.椭圆与Y 轴相交于Y =h 处,与F 轴相交于5mg /2处,为了确保运动员的安全,试计算水池中水的深度h 至少等于多少?(水的密度ρ=1.0×103Kg/m 3)（答案4.9m ）解:运动员的初末速度都为零,则W G +W f +W F =0,重力做功W G =mg (H +h )浮力做功W F =).()2(2)2(22L h g d L L g d L ---πρπρ 阻力做的功相当于曲线与坐标围成的面积425hmg E f ⨯⨯-=π得:9.44881222=-++=m Ld m d L mH h πρππρm. 2. 足够深的容器内竖直插入两端开口的薄壁管子，容器截面积是管子的5倍，管子的截面积S =100cm 2，管子足够长。

⾼中物理奥林匹克竞赛专题⼒矩与功§4－4 ⼒矩作功刚体绕定轴转动的动能定理引⾔：从⼒矩对空间的累积作⽤出发，引⼊⼒矩的功的概念，并得到刚体的转动动能和转动动能定理。

⼀、⼒矩作功1．引⼊：质点在外⼒的作⽤下发⽣位移——⼒对质点作功刚体在⼒矩的作⽤下发⽣转动——⼒矩对刚体作功2．⼒矩所作的元功：刚体在外⼒F 的作⽤下，绕转轴转过的⾓位移为d θ，⼒F 的作⽤点位移的⼤⼩为ds=r d θ。

根据功的定义式，可知⼒F 在这段位移内所作的功为θ?πθsin d 2cos d d d Fr Fr s F W =??-==由于⼒F ?转轴的⼒矩为?sin Fr M ＝，所以即⼒矩所作的功等于⼒矩与⾓位移的乘积。

3．恒⼒矩所作的功当刚体转动θ时，⼒矩所作的功为如果⼒矩的⼤⼩和⽅向不变，则当刚体转动θ时，⼒矩所作的功为即恒⼒矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于⼒矩的⼤⼩与转过的⾓度θ的乘积。

4．变⼒矩所作的功说明：⼒矩作功的实质仍然是⼒作功。

只是对于刚体转动的情况，这个功不是⽤⼒的位移来表⽰，⽽是⽤⼒矩的⾓位移来表⽰。

⼆、⼒矩的功率引⼊：⼒对质点作功的快慢可以⽤功率来表⽰，同样，⼒矩对刚体作功的快慢可以⽤⼒矩的功率来表⽰。

定义：单位时间内⼒矩对刚体所作的功对于刚体在恒⼒矩的作⽤下，⼒矩的功率为即⼒矩的功率等于⼒矩与⾓速度的乘积。

当功率⼀定时，转速越⼤，⼒矩越⼩；转速越⼩，⼒矩越⼤。

三、刚体的转动动能问题：质量为m ，速度为v 的质点的动能为mv 2/2，那么绕定轴转动的刚体的动能为多少呢？设刚体以⾓速度ω作定轴转动，取⼀质元Δm i ，距转轴r i ，则此质元的速度为v i =m i ω，动能为整个刚体的动能就是各个质元的动能之和⽤转动惯量表⽰，则有即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与⾓速度的平⽅的乘积的⼀半。

四、刚体绕定轴转动的动能定理问题：⼒对质点作功使质点的动能发⽣变化，那么⼒矩对定轴转动的刚体作功会产⽣什么效果？设在合外⼒矩M 的作⽤下，刚体绕定轴转过的⾓位移为d θ，合外⼒矩对刚体所作的元功为d W =M d θ由转动定律得ωωωθθωd J tJ t J W d d d d d d d ＝＝= 若在t 时间内，由于合外⼒矩对刚体作功，使得刚体的⾓速度从ω0变成ω，那么合外⼒矩对刚体所作的功为即转动动能定理：合外⼒矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。

【高中物理】功能关系：功和能的关系详细总结功能关系：功和能的关系：功是能量转化的量度。

有两层含义：(1)做功的过程就是能量转化的过程,(2)做功的多少决定了能转化的数量,即:功是能量转化的量度强调：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它与一个时刻相对应。

两者的单位是相同的(都是j)，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

做功的过程就是物体能量的转化过程。

完成了多少工作，改变了多少能量。

功是能量转换的量度。

（1）动能定理加上外力对物体所做的总功等于物体动能的增量。

也就是说，（2）与势能有关的力所做的功导致了与势能有关的势能的变化。

重力做功，重力势能减小；当重力做负功时，重力势能增加。

重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值。

即WG=ep1-ep2=-δEP弹簧做正功，弹性势能降低；当弹性力做负功时，弹性势能增加。

弹性力对物体所做的功等于物体弹性势能增量的负值。

也就是说，w弹性力=ep1-ep2=-δEP分子力分子力对分子所做的功=分子势能增量的负电场力，电场力做正功，电势减小；当电场力做负功时，势能增加。

注：电荷正负方向上的电场力和电荷移动方向所做的功=电荷电势增量的负值（3）机械能变化的原因：除重力（弹簧力）外的其他力对物体所做的功=当物体上除重力（或弹簧力）以外的力所做的功为零时，物体机械能的增量，即WF=e2-e1=δe，即机械能守恒（4）机械能守恒定律。

在只有重力和弹簧力做功的物体系统中，动能和势能可以相互转换，但机械能的总量保持不变。

即Ek2+EP2=EK1+EP1，或δek=-δEP（5）静摩擦所做功的特征（1）静摩擦可以做正功、负功或无功；（2）在静摩擦做功的过程中，只有机械能相互传递，而机械能与其他形式的能量之间没有转换。

静摩擦只起传递机械能的作用；（3）在相互摩擦系统中，一对静摩擦力对系统所做的功之和总是等于零。

（6）滑动摩擦力所做的功的特点是“摩擦产生的热量”（1）滑动摩擦力可以做正功、负功或无功=滑动摩擦力与物体之间相对距离的乘积，即在相互摩擦系统中一对滑动摩擦力（2）所做的功，一对滑动摩擦力对系统所做的功之和总是负功，其大小为：W=-FS relative=Q。