第38卷第2期2005年4月武汉大学学报(工学版)Enginee ring Jour nal of W uhan U niver sity Vo l .38N o .2A pr .2005收稿日期:2004-05-11作者简介:张玉峰(1966-),男,甘肃礼县人,博士,副教授,主要从事CAD /CA E 、造型技术研究.文章编号:1671-8844(2005)02-054-06有限元网格自动生成的典型方法与研究前瞻张玉峰,朱以文(武汉大学土木建筑工程学院,湖北武汉 430072)摘要:回顾了有限元网格自动生成的典型方法,分析了这些方法的优缺点,结合当前的研究现状,指出了今后一段时期内,有限元网格自动生成研究的重点和方向.关键词:有限元;网格;自动生成;特征造型;非流形几何造型中图分类号:T B 115 文献标识码:AReview for typical methods of finite element mesh automaticgeneration and research topics in futureZH ANG Yu -feng ,ZH U Yi -wen(Scho ol o f Civil and A r chitec tur al Eng ineering ,W uhan U niver sity ,Wuhan 430072,China )A bstract :This paper first review s the ty pical methods of finite element mesh autom atic generation ,and discusses the advantages and the disadvantages of them .Finally ,acco rding to the current status o f the investig ation ,some research topics are presented .Key words :finite element ;mesh ;auto matic generation ;feature based modeling ;non -m anifold geometricmodeling 有限元法作为一种高效的工程计算与分析方法,已广泛地应用于机械、电子、水利、土木建筑、热传导及电磁学等工程领域.用有限元法进行工程问题分析时,其基本过程大体分为三个阶段:有限元模型的建立和数据输入(即生成有限元模型),用分析软件进行工程计算,分析结果的后处理及评判.有限元分析的主要困难是分析模型的建立,传统的有限元分析模型的建立需要花费大量的时间和精力.根据经验,有限元分析各阶段所用的时间为[1]:40%～45%用于模型的建立和数据输入(即前处理),50%～55%用于分析结果判读和评定(即后处理),而分析计算只占5%左右;而文献[2]指出有限元建模工作量占FEA 工作量的一半以上,甚至达到80%.因此,有限元分析的前后处理长期以来一直成为FEA 的一大瓶颈,严重地阻碍着FEA 技术的应用和发展.有限元网格的自动生成是有限元建模的关键,因此,有限元网格自动生成技术一直是有限元法研究的热门课题之一.目前二维分析域的网格生成算法已经比较成熟,有不少方法已被许多FEA 系统所采用,但三维网格的全自动生成算法还远未成熟,是人们近年来普遍关注的重点研究方向[3-5].本文仅对众多网格生成方法中典型方法的算法思想进行回顾和总结,并结合当前的研究现状提出未来的研究主题.1 有限元网格的要求有限元网格生成是有限元分析的关键环节,生成的网格应满足以下要求[1]:(1)单元之间不能相互重叠;(2)单元要与原物体的占有空间相容,即单元既不能落在原区域之外,也不能在原区域边界内出现空洞; 第2期张玉峰等:有限元网格自动生成的典型方法与研究前瞻(3)单元应尽可能精确逼近原物体;(4)单元的形状合理.每个单元尽量趋近于正多边形或正多面体,不能出现面积很小的二维尖角元或体积很小的三维薄元;(5)网格的密度分布合理,分析值变化梯度大的区域需要细化网格;(6)相临单元的边界相容,即不能从一个单元的边或面的内部产生另一单元的顶点.2 网格生成典型方法回顾网格生成算法的研究已有30多年的历史,国内外研究者先后提出了许许多多网格生成算法.总体来说,若按网格生成方法所产生的单元类型可以分为生成结构化(Construction)网格的方法和生成非结构化(Non-Co nstructio n)网格的方法.若按生成单元的维数不同分为二维平面网格生成法、三维曲面网格生成法和三维实体网格生成法,其中,二维平面网格生成法又可以分为三角形网格生成法和四边形网格生成法,三维实体网格生成法又可以分为四面体网格生成法、五面体网格生成法和六面体网格生成法.若按网格生成的自动化程度可分为手工网格生成法、半自动化网格生成法及全自动化网格生成法.有限元网格生成法难以准确分类,而且目前的网格生成法分类中,对某一具体的网格生成法叫法不一致,如有人将结点连元法叫做填充法,将拓扑分解法叫做结构分解法.本节只对普遍公认的几种典型的有限元网格生成方法作一简要综述和分类.典型的有限元网格生成方法有:结点连元法、Delaunay三角划分法、网格模板法、映射法、拓扑分解法、几何分解法、基于栅格法、前沿位移法、旋转平移法、混合方法等等.2.1 结点连元法结点连元法总的过程是先生成结点,再将结点连接成单元.即在二维、三维形体的边界上和有效区域内按照需要的网格密度变化规律尽量均匀地布点,然后,根据一定的准则将这些点连接成三角形网格(三维中是四面体网格),在二维网格的划分中,最早提出的结点生成法是随机布点法[6].随机布点法先将分析域根据问题的特点划分为若干个子域,每个子域具有一个网格密度控制参数,在各子域以网格密度控制参数为步长分割区域的内外边界先得到边界结点,再对各子域的最小外接长方形以该子域的网格密度参数为步长划分正方形网格,每个正方形方格内随机产生一个内部结点.随机布点法不能保证布点均匀,同时为了确定可用结点,要进行点距检查和多次试探,算法效率低.为此,S haw R D和Pitchen R G提出了更为简单的长方形网格直接布点法[7].用这种方法布点能在子域内生成等边三角形单元.除了这种长方形网格直接布点法外,Lo S H提出了另外一种更简单和直接的等距水平扫描线直接布点法[8].然而,不管是长方形网格直接布点还是等距水平扫描线法直接布点,总会留下一部分不能用固定模式填充的空白地带,为弥补这一缺点,直接布点常用的另一种方法是硬币填充法[9].二维分析域的结点生成后,按一定规则和方法将结点连接成三角形单元,相临三角形单元合并后可以形成四边形单元.形成三角形单元时,Caven-dish J C提出了由外到里,逐层推进的内部结点优选法,该方法先在边界正方向上任选两个相临结点为顶点形成三角形一边,然后在区域边界内的内部结点中采用优选法选择最优的结点作为三角形的另一顶点,从而保证网格的总体形状最优.结点优选法计算量很大,效率不高.Lo S H在利用等距水平扫描线法生成内部结点的基础上采用了一种比较简单的算法生成三角形单元,即网格生成前沿法,与顶点优选法相比它的优点是不再需要检查新生成的三角形是否与已生成的单元相交,而且使生成过程更加稳定.总之,结点连元法形成网格的过程是先布点,后将结点连线生成单元.随机布点法不能保证布点均匀,且点距检查计算耗时效率低,直接布点法中,长方形网格直接布点法和等距水平线扫描法虽然方法简单、算法快速、布点比较均匀,但单一死板,不能避免产生最后剩余的空白地带,硬币填充法布点均匀,能较好地避免产生最后剩余的空白地带.总的来讲,结点连元法的优点是:对于复杂形体适应能力强,与其他方法相比能容易实现网格生成的自动化,所以也有人将该方法直接叫做自动化网格划分方法,此外该方法生成的单元形状良好;缺点是计算量大,效率低.2.2 Delaunay三角划分法这种方法实质上也是结点连元法.Delaunay 三角划分在散乱数据场的可视化、逆向工程、地理信息系统(如地貌的不规则网格建模)、VRM L产55武汉大学学报(工学版)2005品建模等领域都有十分广泛的应用,尤其在有限元网格自动生成方面广为流行.在平面域的Delau-nay三角划分中,理论上已经严格证明,只要给定的结点分布中不存在四点及四点以上共圆时,有最优解,即所有三角形单元中最小内角之和可达到最大值.在Delaunay三角划分后,形成许许多多彼此相连的Voro noi多边形,每个只有一个结点,每一个Voro noi多边形的边实际上就是其内结点与相临Vo ronoi多边形内结点连线的中垂线,所有Voronoi多边形的集合叫做Dirichlet图,连接相临Voronoi多边形内的结点便形成三角形网格.实现Delaunay三角剖分的方法很多,常用的一种算法是逐个插入结点的递归算法.该算法要求生成的Delaunay三角形的外接圆内不允许存在其他结点,若有其他结点,则应局部修改原来的剖分.基本过程为:先构造一个大外接圆,将所有结点都包含进去,然后找出已有三角形中哪些三角形的外接圆内包含新加入的结点,删除这些三角形内离新结点距离最近的一条边,将新结点与周围的老结点连线形成新的三角剖分.除了逐个插入结点的递归算法,在二维Delaunay三角形划分中,Joe采用的方法是先将复杂域分解为凸多边形域[10],再对每个凸域用缩小多边形生成内部结点并形成凸域的Delaunay划分.Sapidis等人用增加边界点的方法来保证边界一定包含在Delaunay三角划分中[11].在三维划分中,若用逐点插入递归算法,将二维情况推广到三维,则采用四面体的外接球内不包含其他点的准则来生成四面体网格.不过应注意一些特殊情况的处理,第一种特殊情况是,新加入的结点恰好落在外接球表面,处理办法是少量摄动新结点位置,再让程序继续运算;第二种特殊情况是四面体的四个顶点接近共面,尽管四个表面的三角形形状良好,但四面体的体积近于0,称其为薄元,必须要消除薄元,方法为:若与薄元四面体相临的两个四面体有公共顶点,则删除该薄元,在薄元所接近的平面内,置换对角线,形成两个新的相临四面体单元;若与薄元相临的四面体的任何两个无公共顶点,采用增加薄元厚度的方法处理[1].若将二维的硬币填充算法扩展到三维形体的情况,就是球填充法[9],同样从边界开始逐层向里铺点,该算法具有灵活的填充能力,可以有效防止薄元的产生,计算效率高.2.3 网格模板法这是目前商品化网格生成器都提供的一种基本功能.该方法要求,首先用交互方式将待分区域划分为若干个形状简单的子区域.每个子域分别用定型的网格模板作出规整的网格剖分,再用补充措施使得相邻子域在结合面上共享公共结点,并且保证网格相容.2.4 映射法映射法出现于20世纪70年代,是最早采用的网格生成方法.从70年代开始应用于商品化系统中,比如FEMG EN.目前映射法在现有的商品化系统中仍占统治地位,它是根据形体边界的参数方程,利用适当的映射函数,将待分区域映射到参数空间中形成规则参数域,对规则参数域进行网格剖分,将参数域的网格(二维是正方形,三维是立方体)反向映射回欧氏空间,从而生成实际的网格.映射法可分为三大类:保角映射法、基于偏微分方程法、代数插值法.三维网格划分的许多方法都是先将形体的表面离散化,所以曲面映射是三维映射的基础.在空间参数曲面网格的生成中,根据曲面边界的性质有单线性映射、双线性映射、三线性映射.映射法的优点是:计算效率高,网格分布均匀,排列整齐,便于直接生成四边形、六面体等高精度单元.但是映射法对于形状较为复杂的形体适应性差,需要将复杂形体事先分解成若干形状简单的子域.子域分解繁琐费时,人工交互多,难以实现全自动化.2.5 拓扑分解法也有人称其为结构分解法,最早由英国剑桥大学的Wordenweber[12]提出,用于二维平面问题,现已推广至三维空间.拓扑分解法,顾名思义就是从形体的拓扑因素着手进行分割,而不过问元素的具体形状.这种方法在保证拓扑结构连续性的基础上每次切下一个三角形单元.当整个形体已被粗分解后,再用对半分割、中心分割、对角线置换等手段进一步作细化分解.拓扑分解法的原理简单,易于处理.但它只从拓扑关系入手,不考虑几何因素,因此难以获得良好形状的单元剖分,也难以应用于含有曲面的三维形体.2.6 几何分解法几何分解法是同时产生结点和元素的方法.该56 第2期张玉峰等:有限元网格自动生成的典型方法与研究前瞻方法较多地考虑了待分域的几何特征.Bykat A最早提出了一种递归对半分割法[13,14],他将每个凸多边形域递归分割成两个子域,并在分割线上按网格密度要求插入一组新的结点,分割的最终结果为三角形网格.为保证递归分割算法的正确性和三角剖分网格的质量,要采取以下措施:第一是先根据网格密度要求生成边界结点,并将边界结点按一定方向顺序连接形成多边形域;第二是若区域非凸,则由程序将其分割成凸多边形;第三是对凸多边形正确选择对半分割边的首末端点.使得凸多边形区域每次都能分割成大致相等的两个子域.文献[15]提供了另一种对半分割算法,据此开发的商用软件T riquamesh被纳入I-DEAS的S upe rtab系统,它可以剖分三维形体.几何分解法由于从几何因素着手划分单元,每次都能得到良好形状的局部结果.因此,该方法单元形状好,但是对复杂区域和不规则形体要分割成简单的子域,人工干预多,效率低.此外,逐层循环分割法只能做到每次取出的单元有优良形状,但不能保证最终剩余的部分是合理的,即空白地带难以解决好.2.7 基于栅格法该算法也叫空间分解法,最早由Thacker, Go nzalez和Putland[16]提出,它是将放置于物体之上,即可在栅格的规则点处布置结点,也可在栅格单元中随机布置结点,容易得到均匀网格,不过在边界处需要对结点位置作适当调整,以满足边界的几何定义.基于栅格的各种算法虽然区别很大,但所产生的网格却是基本类似的,因为内部单元完全一样,只是边界单元有所不同.Ki Kucki N[17]利用矩形栅格产生了以四边形为主体单元,同时含有一些三角形单元的混合型网格.Baehmann等人及Shpitalni[18]分别在提高算法对复杂形体处理的可靠性和减少单元数目方面进行了改进,同时又用八叉树编码法将其推广到三维的情形.特别值得一提的是,他们提出的“修正的八叉树”法容易生成高质量的单元,虽然它的边界单元需要进一步处理以免质量太差,但该法产生的网格具有阶梯结构和空间可访问性,可以实现与实体造形系统的集成,而且易于精整网格质量.缺点是复杂形体的边界单元的质量不易控制.2.8 前沿位移法这种方法的基本思想是将形体的边界向域内移动一段距离,在两个边界之间形成网格单元.在二维划分中Saeed[19]等人讨论了造型中的凸域的位移及其应用于网格的划分,但网格质量较差. Jo hnsto n[20]等人用位移法实现了复杂域的三角划分,其方法是将所有的边界都向域内移动,但该法包含性检查和消除畸形单元比较费时.Taiber t[21]等人用基于环位移法生成四边形网格,该法的基本思想是将一个连续环分解为小环,直到形成四边形.在实现时先对边界位移,再用切分线将内部切分,使得两部分尽可能为矩形,该法的边界离散采用等差数列法.它的不足是不适合狭长形体,多连通域变为单连通域需要加入切割线,形成连续环也要用户指定,难以实现全自动化.在三维网格划分中,Peraire[22]等人的算法是层次性的,先生成边界上的结点,再用二维前沿法生成曲面单元,然后用前沿法生成三维网格,网格密度得到一定的传播.前沿法对非凸域有时会有出现凹陷单元的问题.2.9 扫描法扫描法是将离散化的二维形体进行旋转、扫描、拉伸等操作得到三维网格的一种方法,扫描过程中,扫面断面还可以进行扭曲与变形,形成特殊形状的实体网格.这种方法难度较低,容易实现,在当今大多数商用CAD软件和有限元前置处理软件中均有这种功能.但是这种方法只适于形状简单的三维物体,且主要靠人机交互来实现,自动化程度低.2.10 混合方法上述方法大多对特定形状的分析域有其各自的优势.现实的分析域形状一般都很复杂.具体剖分网格时,可针对具体分析域各部分的几何特性,利用几何变换和拓扑变换,根据情况对各部分分别运用上述算法进行网格生成,再将各个子网格缝合起来而得到最终的网格.这样可以充分利用各算法的优点,得到质量优良的网格,也是今后发展的趋势.现有的全自动网格生成方法在效率、稳定性、通用性等方面与实用要求都有较大差距,在三维情况下尤为突出.二维全自动网格划分已日益成熟,在商品化软件中正逐步取代作为半自动化的映射法的主导地位.但四边形单元的全自动生成比三角57武汉大学学报(工学版)2005单元的全自动生成更加困难.目前的算法中仅有少数可生成四边形单元.三维全自动网格划分要在商用软件中占主导地位,还要待以时日.关键在于开发可靠、高效的划分方法,这有待进一步的研究和发展.3 有限元网格自动生成的研究前沿理想化的有限元网格生成方法应具有以下功能特点:(1)自动化程度高.最好实现全自动化,无需任何人工干预.(2)单元形状和整体网格形状最优.如单元最好是等边三角形、正方形、正四面体、立方体等等,三角形网格中所有单元最小内角之和达到最大值.不存在细长尖角、薄体元等畸变单元.(3)网格密度易于控制,网格疏密过渡均匀.(4)算法效率高,速度快.(5)通用性强,可以划分任意形状的单元网格,对任何形状分析域都有很强的适应性.(6)程序可靠、稳定.(7)能实现自适应网格剖分.(8)有利于和CAD造型软件、优化分析软件等的集成.但要达到上述功能很困难,所以,有限元建模技术将是一个漫长的发展过程.其中,有限元网格生成的全自动化、提高计算精度是有限元分析研究的两大主题.目前,有限元模型自动生成的前沿及发展趋势如下:(1)能够直接将CAD造型系统提供的具有完备几何信息和非几何信息的特征模型自动转换成有限元模型.目前的有限元建模技术不能满足这一要求.由于CAD设计模型和有限元分析模型在表达模型的侧重点上有很大的不同,二者之间存在联系的沟壑.从设计模型进行有限元模型的抽象,需要模型的细节编辑和减维操作.细节编辑即将形体中对特定分析问题来说无需关注、不太重要的细节(如小孔、圆角等)简化或去除,这将大大提高网格生成的速率和质量;减维操作就是对设计模型中的部分或全部区域降低维数,从而减小有限元分析的复杂度及规模.目前的造型系统尚不具备这种功能.特征造型技术的发展为二者的无缝集成提供了实现的基础.(2)非流形几何造型技术在有限元自动建模中的应用研究.在基于特征的有限元自动建模中,属性定义和减维操作后自然会产生具有悬边、悬面、孤点的混合维模型.因而,基于特征的非流形几何造型技术的研究对实现有限元模型的自动生成具有十分重要的意义.目前的研究尚不深入.(3)网格生成的全自动化.现有的全自动网格生成方法在效率、稳定性、通用性等方面离要求都有不少差距,特别是三维网格的生成更是如此.二维网格的全自动生成已日趋成熟,三维网格的全自动生成是未来研究的重点.此外,基于特征的非流形混合维网格的全自动生成将是长期研究的重大课题.(4)网格精整优化技术.要提高有限元的计算精度,在现有技术基础上需要进一步进行网格精整措施的研究.目前,各种方法自动生成的网格单元受其边界条件的制约较大,尽管可以通过单元光滑法和单元修正技术进行调整,但在复杂区域和复杂边界时这是有限的,因此,如何进一步提高生成单元的精度仍是有限元前处理中的重要课题之一.(5)网格密度控制技术.网格密度控制是网格自动生成的一个难点,要解决如下问题:如何合理定义网格密度;如何自适应地控制网格;如何控制生成的网格接近正则单元,并且使其平滑过渡.(6)网格剖分自适应技术.在对工程结构进行力学分析时,人们事先并不知道应力集中程度及其位置,只能凭借以往的经验,在自己认为应力梯度大的地方将网格划分得密一些.而有限元网格自适应技术通过有限元计算结果的后误差分析,重新划分有限元网格,使得在控制误差允许范围内,以最少的自由度获得最优的计算结果,避免应力梯度大的地方网格密度过小,或应力梯度小的地方网格过密.有限元网格自动调整技术依然是未来研究的重要方向.但计算结果的误差估算是实现自适应技术的一个难点,各个领域中分析的问题不同,误差估算也不一样.(7)有限元自动建模中的人工智能和专家系统.合理而高效地建立有限元模型需要依靠计算力学专家和工程技术人员长期积累的知识和经验,若引入专家的经验,建立知识库,采用专家系统实58 第2期张玉峰等:有限元网格自动生成的典型方法与研究前瞻行知识推理机制和人工智能将大大提高有限元自动建模的效率和提高模型的正确性.(8)三维网格的可视化及正确性的检测.目前,三维网格缺乏有效的可视化技术.现有的可视化手段都不能较好地显示三维网格的正确性,因而三维网格正确性检测显得十分重要,但目前尚无有效方法.(9)造型系统、有限元网格自动生成、自适应分析技术的集成.4 结束语有限元网格的全自动生成是有限元建模中的关键,也将是长期研究的热点课题.相信随着FEA技术的发展,采用特征造型技术、人工智能和专家系统等多种技术的交叉综合应用,必将取得较大的发展.参考文献:[1] 唐荣锡.CA D/CA M技术[M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.[2] Benny Raphael,K rishanmoo rthy C S.A uto mating fi-nite element development using object oriented tech-niques[J]puta tion,1993,10:267-278. 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![一种修形圆柱齿轮的有限元网格自动生成方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s1/m/d75cce8f27d3240c8547ef11.png)
