江苏省宿迁实验高中2015届高三上学期第四次质检数学试卷 Word版含解析

某某省某某市合阳县黑池中学2015届高三上学期第四次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知函数y=lgx的定义域为M，集合N={x|x2﹣4＞0}，则集合M∩（∁R N）=( ) A．（0，2）B．（0，2] C．[0，2] D．[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由函数y=lgx的定义域为M，知M={x|x＞0}，由N={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，先求出C R N，再求M∩（C R N）．解答：解：∵函数y=lgx的定义域为M，∴M={x|x＞0}，∵N={x|x2﹣4＞0}={x|x＞2，或x＜﹣2}，∴C R N={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩（C R N）={x|0＜x≤2}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A．y=x3+x B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=考点：奇偶性与单调性的综合．分析：由函数单调性与奇偶性的定义逐一分析选项．解答：解：A．定义域为x∈R且f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）故为奇函数又随着x的增大y值也在增大，所以为增函数．B．由对数的真数大于0可知，函数的定义域为x∈（0，+∞），定义域不关于原点对称，所以不是奇函数．C．由指数函数的图象可知：y=x3是增函数，但却不是奇函数．D．易知该函数为减函数．故选A点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性的定义，在这里要注意在判断函数的奇偶性时首先要先判断函数的定义域是否关于原点对称．3．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答：解：（1）中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．（2）中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．（3）中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．（4）中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．4．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：两条直线垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．解答：解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y ﹣3=0的斜率是，∴满足k1•k2=﹣1，∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．点评：本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是( )A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0C．x﹣y+1=0或x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线经过原点时，直线方程为．当直线不经过原点时，设直线方程为x﹣y=a，即可得出．解答：解：当直线经过原点时，直线方程为，即3x﹣2y=0．当直线不经过原点时，设直线方程为x﹣y=a，把点P（2， 3）代入可得2﹣3=a，∴a=﹣1．∴直线的方程为x﹣y+1=0．综上可得：直线的方程为x﹣y+1=0或3x﹣2y=0．故选：D．点评：本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．7．函数的零点的个数是( )A．3个B．2个C．1个D．0个考点：函数的零点．专题：数形结合．分析：由于函数f（x）在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数，利用数形结合法解决．解答：解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）令，可知分别画出函数y=lnx与∴函数在（0，1）之间有一个零点，在x＞1有一个零点故选B．点评：本题考查函数的零点，考查数形结合思想的运用，应注意函数f（x）在定义域内不是连续的，所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 ( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．解答：解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．9．若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：利用对称知识，求出直线的斜率，对称轴经过圆的圆心即可求出b．解答：解：因为直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，所以k=．并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=﹣4．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力．10．设实数x，y满足不等式组，则的取值X围是( ) A．[0，] B．[，] C．[0，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，几何意义是点（x，y）与点A（﹣3，0）的连线的斜率，从而由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，几何意义是点（x，y）与点A（﹣3，0）的连线的斜率，且直线j的斜率为=；直线k的斜率为；故的取值X围是[，]；故选B．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．与直线x﹣y﹣2=0平行，且经过直线x﹣2=0与直线x+y﹣1=0的交点的直线方程是x﹣y﹣3=0．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：解方程组求得交点坐标，设与直线x﹣y﹣2=0平行的直线一般式方程为x﹣y+C=0，把交点代入可得C的值，从而求得所求的直线方程．解答：解：由．求得，∴直线x﹣2=0与直线x+y﹣1=0的交点为（2，﹣1），设与直线x﹣y﹣2=0平行的直线一般式方程为x﹣y+C=0，把点（2，﹣1）代入可得λ=﹣3，故所求的直线方程为x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0点评：本题主要考求两直线交点的坐标，用待定系数法求直线方程，属于基础题．12．曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定积分公式中x的取值X围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解答：解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：．点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．13．在正方体AC1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC1的棱长为1，则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面DBA1的法向量=（x，y，z），，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线BC1与平面A1BD夹角为θ，又=（﹣1，0，1），则sinθ=|cos＜＞|=||=，∴cosθ==．∴直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为．点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14．观察下列等式，照此规律，第6个等式应为6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由图知，第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n﹣1的平方．再将n=5代入即可得结果．解答：解：由图知，第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n ﹣1的平方．所以第6个等式是：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．故答案为：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=121．点评：本题考查归纳推理，解题的关键是归纳出规律：第n个等式左边是2n﹣1个连续整数的和，第一个数是n，右边是2n﹣1的平方．15．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．三、解答题：（共6道题，合计75分.请在答题卡上相应位置写出解题过程.）16．已知函数（Ⅰ）若x∈[0，π]，求f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）=0，求的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：f（x）解析式提取4变形后，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（Ⅰ）根据x的X围求出这个角的X围，利用正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）根据f（x）=0求出tanx的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．解答：解：f（x）=4（sinx﹣cosx）=4sin（x﹣），（Ⅰ）∵x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin（x﹣）≤1，即﹣2≤4sin（x﹣）≤4，则f（x）的最大值为4，最小值为﹣2；（Ⅱ）∵f（x）=2sinx﹣2cosx=0，即tanx=，∴原式====2﹣．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的化简求值，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）将{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和G n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据题意，利用等差数列的通项公式与求和公式将a4与s10列方程组即可求得其首项与公差，从而可求得a n；（Ⅱ）根据题意，新数列为{b n}的通项为b n=3•2n+2，利用分组求和的方法即可求得G n．解答：解：（Ⅰ）由∴，…由a n=5+（n﹣1）•3∴a n=3n+2…（Ⅱ）设新数列为{b n}，由已知，b n=3•2n+2…∴G n=3（21+22+23+…+2n）+2n=6（2n﹣1）+2n．∴G n=3•2n+1+2n﹣6，（n∈N*）…点评：本题考查数列的通项与求和，重点考查等差数列的通项公式与求和公式及分组求和法的应用，是基础题．18．一个圆切直线l1：x﹣6y﹣10=0于点P（4，﹣1），且圆心在直线l2：5x﹣3y=0上．（Ⅰ）求该圆的方程；（Ⅱ）求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，y），求出过P点的半径所在的直线，进而可得圆心与半径，即可求该圆的方程；（Ⅱ）经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线．解答：解：（Ⅰ）设圆心坐标为（x，y），则设过P点的半径所在的直线为：6x+y+c=0，代入P（4，﹣1），可得c=﹣23由，解得，∴r2=（4﹣3）2+（﹣1﹣5）2=37∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2=37；（Ⅱ）经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线，此时弦心距为=，∴经过原点的直线被圆截得的最短弦的长为2=2．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想、计算能力，确定圆心与半径是关键．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABC，则：（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．（Ⅰ）由余弦定理得BD=，从而BD⊥AD，由线面垂直得BD⊥PD，由此能证明PA⊥BD．分析：（Ⅱ）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD．（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面PBC的法向量为=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，），∴cos＜＞==，∵二面角A﹣PB﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值X围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．解答：解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数X围问题，转化为不等式恒成立问题求解．21．设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若•+•=8，求k的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得•+•，利用•+•=8，即可求得k的值．解答：解：（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为．∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由直线与椭圆消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴•+•=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=±．点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．。

绝密★启用前2015届高三下学期期初开学联考数 学 试 卷2015-03-07一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{}{}1,0,1,02A B x x =-=<<，则A B = ▲ ．2． 已知(1)2i z i +⋅=-，那么复数z = ▲ .3． 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．4． 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于▲ ．5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．（第5题）结束 开始 P ← 0n ← 1 P ←P ＋1n (n ＋1)n ← n ＋1 输出n YN （ 第6题 ）P ＜0.70注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别 在棱P A ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ．9.在ABC ∆中，3,4,5AB AC BC ===，O 点是内心，且12AO AB BC =λ+λu u u r u u u r u u u r，则=+21λλ ▲ ．10.已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．11.如图，点F A ,分别是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的上顶点和右焦点，直线AF 与椭圆交于另一点B ，过中心O 作直线AF 的平行线交椭圆于D C ,两点，若5,2CD AB =则椭圆的离心率为 ▲ .12.已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是 ▲ .13.已知函数32log , 03()1108, 333x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d ，满足()()()f a f b f c f d ===，其中c b a >>>，则abcd 取值范围是 ▲ ．14.设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、AB CP DEF 第8题图ABF CDOxy 第11题图CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．16.（本小题满分14分）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =． （1）求证：1A C ∥平面1AB D ；（2）试在棱1CC 上找一点M ，使1MB AB ⊥．17.（本小题满分14分）如图，2015年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知S 的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．（第15题）ABDCMNPαDC 1B 1A 1CBAMO N18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；（ⅱ）若P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．19. (本题满分16分)设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立.20．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．高三数学参考答案一、填空题 1．{1}2．1i --3．534．322+ 5．406．4 7．23π 8．26 9．56 10． 24 11. 21 12．12+13．（21,24） 14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由a cos A ＝b cos B 及正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A ＝B 或A ＋B ＝π2． ………………… 2分又因为C ＝π3，得A ＋B ＝2π3，与A ＋B ＝π2矛盾，所以A ＝B ，因此A ＝π3． …………………4分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM ＝PC ·sin ∠PCM ＝2sin α；在Rt △PNC 中，PN ＝PC ·sin ∠PCN ＝ PC ·sin(π－∠PCB )＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin (α＋π3)，α∈(0，2π3).……………… 6分所以，PM ＋PN ＝2sin α＋2sin (α＋π3)＝3sin α＋3cos α＝23sin(α＋π6).……………… 10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM ＋PN 取得最大值23．…………… 14分16．（1）证明：连接1A B ，交1AB 于点O , 连接OD .60°αPNM CDBA（第15题）∵O 、D 分别是1A B 、BC 的中点， ∴1A C ∥OD ． ………3分 ∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， ∴1A C ∥平面1AB D ． ………6分 （2）M 为1CC 的中点． ………7分 证明如下：∵在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，∴四边形11BCC B 是正方形．∵M 为1CC 的中点，D 是BC 的中点，∴1B BD BCM ∆≅∆， ………9分 ∴1BB D CBM ∠=∠，1BDB CMB ∠=∠． 又∵112BB D BDB π∠+∠=，12CBM BDB π∠+∠=，∴1BM B D ⊥． ………11分∵ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵平面ABC ⊥平面11BB C C , 平面ABC 平面11BB C C BC =，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面11BB C C ． ∵BM ⊂平面11BB C C ，∴AD ⊥BM ． ………13分 ∵1ADB D D =，∴BM ⊥平面1AB D ． ∵1AB ⊂平面1AB D ，∴1MB AB ⊥． ………14分O MDC 1B 1A 1CBA18.（本小题满分16分）解（1）由题设可知a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得 54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＝2(2m －1－m 2)5， x 2＝2(2m ＋1－m 2)5， 从而有，x 1＋x 2＝8m5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2＝452·5－m 2， 点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1．………………… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m ＝±102时，S △OAB 取得最大值1．………………… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1． 将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2．………………… 10分所以，P A 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．所以，k 的值为±12. …………………16分19.解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意； （2）∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数， ∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b ≥-2x 2 -2x = 21)21(22++-x 恒成立,由此得b ≥21;若f / (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2+2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ， ∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立. 故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3.. ∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k< ∴33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。

江苏省宿迁中学2015届高三上学期摸底考试化学试卷试卷满分（120分）考试时间（100分钟）可能用到的相对原子质量: H ：1 C：12 N ：14 O ：16 Ne：20 Na ：23第I卷（选择题共40分）单项选择题:本题包括10 小题, 每小题2 分, 共计20 分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．化学与人类生活、社会可持续发展密切相关，下列措施有利于节能减排、保护环境的是①加快化石燃料的开采与使用；②研发易降解的生物农药；③应用高效洁净的能源转换技术；④田间焚烧秸秆；⑤推广使用节能环保材料；⑥2M+N=2P+2Q ，2P+M= Q （M、N为原料，Q为期望产品），其中符合“化学反应的绿色化”的要求的是A. ①③④⑤B. ②③⑤⑥C. ①②③④D. ②④⑤⑥2．下列有关化学用语表示正确的是A．苯甲醛：B．Mg2+的结构示意图：C C．CO 2的电子式：D．核内有8个中子的碳原子：863．常温下，在下列给定条件的各溶液中，一定能大量共存的离子组是A．使酚酞变红色的溶液：Na＋、Ba2+、I－、Cl－B．使甲基橙变红色的溶液：Fe2＋、K＋、NO3－、SO42－C．含有0.1 mol·L－1 Fe3＋的溶液：Na＋、K＋、SCN－、NO－3D．由水电离产生的c(H+)=10－12mol·L－1的溶液：NH4+、SO42－、HCO3－、Cl－4．下列分子中指定的碳原子（用＊标记）不属于手性碳原子的是（）A．苹果酸B．丙氨酸C．葡萄糖D．甘油醛5．下列有关实验装置进行的相应实验，能达到实验目的的是图1 图2 图3 图4 A．用图1装置制取并收集干燥纯净的NH3B．用图2所示装置可除去NO2中的NOC．用图3所示装置可分离CH3COOC2H5和饱和碳酸钠溶液D．用图4装置制备Fe(OH)2并能较长时间观察其颜色6．设N A为阿伏伽德罗常数的值。

下列叙述正确的是A．78gNa2O2固体中含有的阴离子数为N AB．标准状况下，2.24L氖气所含原子数为0.2N AC．1L 0.1 mol/L醋酸溶液中含有的氢离子数为0.1N AD．标准状况下，2.24L己烷含有分子的数目为0.1N A7．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是A．工业电解饱和食盐水：2Cl－+ H2O = Cl2↑+ H2↑+ OH－B．碳酸钠的水解：CO32－+ 2H2O H2CO3 + 2OH－C．硫酸铝溶液中滴加过量浓氨水：Al3＋＋4 NH3·H2O===AlO－2＋4NH4＋＋2H2O D．用过氧化氢从酸化海带灰浸出液中提取碘：2I－+ H2O2 +2H+ = I2 +2H2O 8．下列物质的转化在给定条件下能实现的是①NaAlO2(aq)AlCl3Al ② NH3NO HNO3③NaCl(饱和)NaHCO3Na2CO3④FeS2SO3H2SO4A．②③B．①④C．②④D．③④9．短周期元素X、Y、Z、W、Q在元素周期表中的相对位置如图6所示。

江苏省宿迁实验高中2015届高三上学期第四次质检数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．2．在复平面内，复数对应的点位于第二象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则与几何意义即可得出．解答：解：在复平面内，复数==对应的点位于第二象限．故答案为：二．点评：本题考查了复数的运算法则与几何意义，属于基础题．3．算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于360．考点：循环结构．专题：图表型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故答案为：360．点评：本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．4．如图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：利用茎叶图，先求出所剩数据的平均数，再求出方差．解答：解：该选手去掉一个最高分96，去掉一个最低分79，所剩数据的平均分是=（84+84+84+86+87+91+93）=87，∴方差为s2==；故答案为：．点评：本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与方差的问题，是基础题．5．从1，2，3，4，5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：任取三数共有种结果，其中和为奇数包括：三数均为奇数；一奇数两偶数，共种结果，由古典概型计算概率公式可得答案．解答：解：从1，2，3，4，5中随机取出三个不同的数，共有=10种结果，其中和为奇数的结果有=4种，故所取三数和为奇数的概率为=，故答案为：．点评：本题考查古典概型计算概率的公式，正确计算公式中分子、分母是解决问题的关键．6．已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=﹣6．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A 时，纵截距最大，z最大．解答：解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，∴k=﹣6．故答案为﹣6点评：本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则数列{a n}的公差是2．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解．解答：解：∵，∴，∴6a1+6d﹣6a1﹣3d=6，∴d=2．故答案为：2．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前n项和公式的灵活运用．8．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积．解答：解：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V=×π×12×2=．故答案为：点评：本题考查圆锥的体积公式，考查学生空间想象能力，是基础题．9．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为4．考点：直线和圆的方程的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出c os∠PO1Q，三角形PO1Q中，用余弦定理求出|PQ|．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=，∴cos∠PO1Q=2cos2α﹣1=﹣，∴|PQ|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|PQ|=4．故答案为：4．点评：本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．10．已知函数f（x）=+xln x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程，解答：解：函数的导数为f′（x）=1+lnx﹣，∴f'（1）=1﹣2=﹣1，f（1）=2，即切点坐标为（﹣1，2），∴切线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0故答案为：x+y﹣3=0点评：本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算．比较基础．11．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•=﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先根据两个向量的数量积的定义，求出的值，利用，•=（+）•（﹣）=﹣•﹣进行运算求值．解答：解：由题意得•=2×1×cos60°=1，，•=（+）•（﹣）=﹣•﹣=1﹣﹣2=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用．12．椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，直线y=﹣x与椭圆C交于A、B两点，且AF⊥BF，则椭圆C的离心率为﹣1．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由可解得点A、B坐标，进而得到向量的坐标，由AF⊥BF，得，把b2=a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围．解答：解：由，得（3a2+b2）x2=a2b2，解得x=，分别代入y=﹣x 得y=，所以A（），B（﹣），则，，由AF⊥BF，得，即，即（*），把b2=a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4=4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4=0，解得，所以e=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．13．已知奇函数f（x）=5x+sinx+c，x∈（﹣1，1），如果f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0，则实数x的取值范围为（1，）．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由于函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，求出c=0，再由导数判断f（x）在定义域内为单调递增函数，所以f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0⇔f（1﹣x）＞﹣f（1﹣x2），由奇函数和单调递增，进行求解即可．解答：解：奇函数f（x）=5x+sinx+c，x∈（﹣1，1），则f（0）=0，即有c=0，则f（x）=5x+sinx，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0⇔f（1﹣x）＜﹣f（1﹣x2）=f（x2﹣1），又f′（x）=5+cosx＞0，∴f（x）为增函数，∴﹣1＜1﹣x＜x2﹣1＜1，解得：x＜2且x＞1或x＜﹣2且﹣＜x＜，解得，1＜x＜．故答案为：（1，）．点评：此题考查了利用函数的单调性及奇偶性解不等式，还考查了运算能力及集合的交集．14．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．附加题部分：一、选做题，本题包括21、22、23、24四题，每题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．选4-1：几何证明选讲21．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接BC设AB，CD相交于点E，判断出AB是圆的直径．设AE=x，则EB=6﹣x，在直角三角形ACB中，由射影定理得CE2=AE•EB，得出关于x的方程并解出即可．解答：解：连接BC设AB，CD相交于点E，设AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，∴AB是圆的直径，∠ACB=90°…则EB=6﹣x，．由射影定理得CE2=AE•EB，即有x（6﹣x）=5，解得x=1（舍）或x=5…∴AC2=AE•AB=5×6=30，即．…点评：本题考查与圆有关的比例线段，要善于寻找有关线段的数量关系，结合相关性质、定理求解．二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知，其中a，b，x∈R．若满足，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线对称．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数恒成立问题；数量积的坐标表达式．专题：计算题．分析：（I）由已知中，，我们可以求出函数的解析式，及导函数的解析式（含参数a，b），结合已知中，，导函数f'（x）的图象关于直线对称，构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出a，b的值．（II）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，即f（x）=﹣log2k有解，求出函数f（x）在区间上的值域B，再根据﹣log2k∈B，构造关于k的对数方程，解方程即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）=由得，①∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的图象关于直线对称，∴，∴，即②由①、②得，（Ⅱ）由（Ⅰ）得=∵，，∴，f（x）∈．又∵f（x）+log2k=0有解，即f（x）=﹣log2k有解，∴﹣3≤log2k≤0，解得，即．点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函数恒成立问题，数量积的坐标表达形式（1）的关键是根据已知条件，构造关于a，b的方程组，（2）的关键是求出函数f（x）在区间上的值域B．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，从而证得CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．17．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．（1）求x的取值范围；（运算中取1.4）（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可．解答：解：（1）由题意可知，，解得，，又由﹣x2≥10，解可得﹣14≤x≤14，即9≤x≤14．（2）记“环岛”的整体造价为y元．则由题意得，=．令，则=﹣4x．由f′（x）=0得，x=10或x=15．∴当x=10时，y取最小值．答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低．点评：本题主要考查不等关系列不等式，以及导数在函数最值问题中的应用．属于中档题．18．（16分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设圆心的坐标，利用对称的特征：①点与对称点连线的中点在对称轴上；②点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于﹣1，求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，从而写出⊙C方程．（Ⅱ）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．（Ⅲ）设出直线PA和直线PB的方程，将它们分别与⊙C的方程联立方程组，并化为关于x的一元二次方程，由x=1一定是该方程的解，可求得A，B的横坐标（用k表示的），化简直线AB的斜率，将此斜率与直线OP的斜率作对比，得出结论．解答：解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣2，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得同理，，所以=k OP ，所以，直线AB和OP一定平行点评：本题考查圆的标准方程的求法，两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用．19．（16分）已知数列{a n}满足a1=2，前n项和为S n，．（Ⅰ）若数列{b n}满足b n=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{b n}前n项和T n；（Ⅱ）若数列{c n}满足c n=a2n，试判断c n是否为等比数列，并说明理由；（Ⅲ）当时，问是否存在n∈N*，使得（S2n+1﹣10）c2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）由已知中b n=a2n+a2n+1（n≥1），结合．可得数列是一个等差数列，求出其通项公式后，进一步可得数列{b n}前n项和T n；（Ⅱ）当p=时，我们易得数列{c n}是一个等比数列，但是当时，数列{c n}不为等比数列，根据等比数列的定义，代入易验证结论．（III）根据（I）、（II）的结论，我们可以根据（S2n+1﹣10）c2n=1，构造一个关于n的方程，利用导数法，我们可以求出方程的根，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）据题意得b n=a2n+a2n+1=a2n﹣a2n﹣2×2n=﹣4n，所以{b n}成等差数列，故T n=﹣2n2﹣2n（Ⅱ）当时，数列{c n}成等比数列；当时，数列{c n}不为等比数列理由如下：因为c n+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（﹣a2n﹣4n）+2n=﹣pc n﹣4pn+2n，所以，故当时，数列c n是首项为1，公比为等比数列；当时，数列{c n}不成等比数列（Ⅲ）当时，，因为S2n+1=a1+b1+b2+…+b n=﹣2n2﹣2n+2（n≥1）∵（S2n+1﹣10）c2n=1，∴4n2+4n+16=4n，设f（x）=4x﹣4x2﹣4x﹣16（x≥2），则g（x）=f'（x）=4x ln4﹣8x﹣4，∴g'（x）=（ln4）24x﹣8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，∴f（x）在，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4－2：矩阵与变换22．已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3=0在M作用下的直线方程．考点：特征值、特征向量的应用．专题：计算题．分析：根据矩阵M=的一个特征值是3可求出a的值，然后设直线x﹣2y﹣3=0上任意一点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．解答：解：因为矩阵M=的一个特征值是3设f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0则（3﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，解得a=2∴M=设直线x﹣2y﹣3=0上任意一点（x，y）在M作用下对应的点为（x′，y′），则有=，整理得即代入x﹣2y﹣3=0，整理得4x′﹣5y′﹣9=0故所求直线方程为4x﹣5y﹣9=0点评：本题主要考查了特征值、特征向量的应用以及矩阵的变换，是一个基础题，本题解题的关键是得到两个点的坐标之间的关系，注意数字的运算．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数）．若以O为极点、x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：求得圆C的直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2=1，把x=ρcosθ y=ρsinθ代入化简可得曲线C的极坐标方程．解答：解：求得圆C的直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．把x=ρcosθ y=ρsinθ代入化简可得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣1）2=1，即ρ=2sinθ．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．考点：绝对值不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|≥1即可求得正实数a的取值范围．解答：解：∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，∴原不等式的解集为R等价于|a﹣1|≥1，解得a≥2或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2，∴正实数a的取值范围为[2，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式，|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|是转化的关键，考查运算能力，属于中档题．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD 所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量=（1，﹣1，1），=（），利用向量的夹角公式，即可求得结论．解答：解：正四棱锥P﹣ABCD中，，∴OA=OB=OP=1建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）∵M是PA的中点，∴M（），=（1，0，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，﹣1，1）∵=（）∴cos＜＞==∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为．点评：本题考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．26．某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；（2）求X的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．由此能求出摇奖一次获得一等奖的概率．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．分别求出P（X=1000），P（X=500），P（X=200），P（X=50），由此能求出X的分布列EX．解答：解：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．∴P（A）===．故摇奖一次获得一等奖的概率为．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．P（X=1000）=，P（X=500）==，P（X=200）==，P（X=50）===，∴X的分布列如下：X 1000 500 200 50PEX==．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是历年2015届高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．。

2014-2015学年江苏省宿迁市泗洪中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．3．（5分）已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题；其中正确的是．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=．6．（5分）在曲线y=x3﹣3x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．7．（5分）将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．9．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x ∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2015）﹣f（2014）=．11．（5分）已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．12．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为．13．（5分）函数f（x）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是．14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx（1）若a=1，b=1，求f（x）的单调减区间（2）若f（x）在x=1处有极值，求ab的最大值．17．（14分）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．18．（16分）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19．（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤2x成立．20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．三、附加选做题：选修4-2：矩阵与变换（共1小题，满分0分）21．选修4﹣2：矩阵与变换若二阶矩阵M满足．（Ⅰ）求二阶矩阵M；（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．选附加做题：选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）22．在极坐标系中，曲线E：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=（ρ∈R）的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；（2）求BC的长．四、附加解答题（共2小题，满分0分）23．某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率．24．已知点A（﹣1，0），F（1，0），动点P满足•=2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省宿迁市泗洪中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}2．（5分）写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x ﹣3≠0”．【解答】解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．3．（5分）已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题；其中正确的是②③．【解答】解：∵＞1结合正弦函数的性质，易得命题p：∃x∈R，使sin x=为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立∴q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以p∧q是假命题，p∧非q是假命题，非p∨q是真命题、故答案为：②③5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=1．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）==0，解得a=1．经过验证满足条件．故答案为：1．6．（5分）在曲线y=x3﹣3x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为y=﹣3x+1．【解答】解：∵y=x3﹣3x+1，∴y′=3x2﹣3≥﹣3，∴当x=0是，切线的斜率最小值且为﹣3，当x=0时，y=1，∴切点为（0，1），∴切线的方程为y﹣1=﹣3（x﹣0），即y=﹣3x+1．故答案为y=﹣3x+1．7．（5分）将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．【解答】解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上也单调递增．∵，∴，当A为锐角时，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（），0＜cosA＜，＜A＜当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，∴A为直角不成立．当A为钝角时，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（﹣），cosA＜﹣，＜A＜π综上，A的取值范围为故答案为9．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为y=sin（x+）．【解答】解：∵函数图象的一个最高点为（2，），∴A=，x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），∴=6﹣2=4，即函数的周期T=16，∵T==16，∴ω=，此时函数y=f（x）=sin（x+φ），∵f（2）=sin（×2+ψ）=，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即ψ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，∴这个函数的解析式为y=sin（x+）．故答案为：y=sin（x+）10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2015）﹣f（2014）=．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）的周期是4，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（2015）=f（﹣1）=，∵f（2014）=f（504×4﹣2）=f（﹣2），又f（﹣2）=﹣f（2）=f（2），则f（﹣2）=0．∴f（2015）﹣f（2014）=﹣0=，故答案为：．11．（5分）已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．12．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=513．（5分）函数f（x）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是﹣．【解答】解：∵f（x）=﹣2ax+2a+1，∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）．①a=0时，f（x）=1，不符合题意；②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数；③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）•f（1）＜0，即（）（）＜0，解之得﹣．故答案为：﹣14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．【解答】解：由f（m）=g（m），即a（b+sinm）=b+cosmasinm﹣cosm=b﹣ab•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]∵﹣1≤sin（m﹣θ）≤1∴﹣≤b，（1﹣a）≤∵a，b均为大于1的自然数∴1﹣a＜0，b（1﹣a）＜0，∴b（1﹣a）≥﹣，b（a﹣1）≤b≤=．∵a≥4时，b＜2∴a＜4当a=2时b≤，b=2当a=3时b≤无解综上：a=2，b=2a+b=4．故答案为：4．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．【解答】解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx（1）若a=1，b=1，求f（x）的单调减区间（2）若f（x）在x=1处有极值，求ab的最大值．【解答】解：（1）若a=1，b=1，则函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx=x3﹣x2﹣x 所以f′（x）=3x2﹣2x﹣1，令f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0，解得故此时函数的单调递减区间为：（，1）．（2）若f（x）在x=1处有极值，则f′（1）=0，又f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，所以3﹣2a﹣b=0，即2a+b=3当ab都为正数时，由基本不等式可知ab=（2a）b（）2=当且仅当2a=b即a=，b=时取到等号；而当ab中有负数时也满足ab故ab的最大值为：17．（14分）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．【解答】（1）证明：∵二次函数f（x）=ax2+x∴任取x1，x2∈R，则=a（）2+﹣（+）=﹣∵a＞0，，∴∴∴∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）解：由﹣1≤f（x）=ax2+x≤1，则有ax2≥﹣x﹣1且ax2≤﹣x+1．（i）若x=0时，则a∈R恒成立，（ii）若x∈（0，1]时，有a≥﹣﹣且a≤﹣+∴a≥﹣﹣=﹣（+）2+且a≤﹣+=（﹣）2﹣，∵0＜x≤1，∴≥1．∴当=1时，﹣（+）2+的最大值为﹣（1+）2+=﹣2，（﹣）2﹣的最小值为（1﹣）2﹣=0∴﹣2≤a≤0；又由a≠0，则a的范围是﹣2≤a＜0；综（i）（ii）知，﹣2≤a＜018．（16分）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f （x）=8+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？【解答】解：（1）依据题意，有p（x）=f （x）•g（x）=（1≤x≤30，x∈N*）=…（4分）（2）1°当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立），因此，p（x）min=p（11）=1152（千元）．…（8分）2°当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）=．求导可得p′（x）＜0，所以p（x）=在（22，30]上单调递减，于是p（x）min=p（30）=1116（千元）．又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元．…（12分）该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．…（14分）19．（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤2x成立．【解答】解：（1）∵当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立，令x=1，则2≤f（1）≤2，∴f（1）=2，（2）∵①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立，∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴，又∵f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，由（1）中f（1）=2，∴a=，∴f（x）=（x+1）2，（3）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．∴当x∈[1，m]时，（x+t+1）2≤2x成立．即x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0成立，令g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则，即，解得：，∴≤=9，即实数m的最大值为9．20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x ﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．三、附加选做题：选修4-2：矩阵与变换（共1小题，满分0分）21．选修4﹣2：矩阵与变换若二阶矩阵M满足．（Ⅰ）求二阶矩阵M；（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．【解答】解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=﹣2，故．…2分由已知得．…3分（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，解得，…5分又3x2+8xy+6y2=1，故有3（﹣x'+2y'）2+8（﹣x'+2y'）（x'﹣y'）+6（x'﹣y'）2=1，化简得x'2+2y'2=1．故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…7分选附加做题：选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）22．在极坐标系中，曲线E：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=（ρ∈R）的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；（2）求BC的长．【解答】解：（1）∵曲线E：ρsin2θ=2cosθ，∴ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．∵点A（5，α），α为锐角且tanα=，∴，cos．∴x=5cosα=4，y=5sinα=3．∴A（4，3），由θ=（ρ∈R）的直线l，可得：tanθ=1．∴直线l的方程为：y﹣3=x﹣4，化为y=x﹣1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2）．联立，化为x2﹣4x+1=0．∴x1+x2=4，x1x2=1．∴|BC|===．四、附加解答题（共2小题，满分0分）23．某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率．【解答】解．（本小题满分13分）（Ⅰ）X的取值为1，2，3，4．…（2分）P（X=1）=0.6，P（X=2）=（1﹣0.6）×0.7=0.28，P（X=3）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×0.8=0.096，P（X=4）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）=0.024．…（6分）∴X的分布列为：…（8分）所以，EX=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．…（10分）（Ⅱ）李明在一年内领到驾照的概率为：P=1﹣（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）×（1﹣0.9）=0.9976．…（13分）24．已知点A（﹣1，0），F（1，0），动点P满足•=2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），则∵点A（﹣1，0），F（1，0），动点P满足，∴（x+1，y）•（2，0）=2，∴2（x+1）=2，∴y2=4x；（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）．过点M的切线方程设为x﹣x1=m（y﹣y1），代入y2=4x，得=0，由△=，得，所以过点M的切线方程为y1y=2（x+x1），同理过点N的切线方程为y2y=2（x+x2）．所以直线MN的方程为y0y=2（x0+x），又MN∥l，所以，得y0=1，而y0=2（x0+1），故点Q 的坐标为（，1）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈第21页（共23页）【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．第22页（共23页）（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数名称 定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=第23页（共23页）。

2015届高三模拟考试试卷(宿迁)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，若a ＋3ii＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．(第3题)4. 若集合A ＝{}－1，0，1，B ＝{}y|y ＝cos （πx ），x ∈A ，则A ∩B ＝________． 5. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k ∈________．6. 在△ABC 中，已知cosA ＝45，tan(A －B)＝－12，则tanC 的值是________．7. 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≤3，x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2－2x 的最小值是________．8. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为________．9. 已知三棱锥P － ABC 的所有棱长都相等，现沿PA 、PB 、PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P － ABC 的体积为________．10. 已知O 为△ABC 的外心，若5OA →＋12OB →－13OC →＝0，则∠C 等于________．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是________．12. 若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1.若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．14. 已知曲线C ：f(x)＝x ＋ax (a>0)，直线l ：y ＝x ，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B.再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点M 、N ，O 是坐标原点．若△ABP 的面积为12，则△OMN 的面积为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF ∥CE.求证： (1) 平面BCEF ⊥平面ACE; (2) 直线DF ∥平面ACE.16. (本小题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，AB →·AC →＝32S.(1) 求cosA 的值；(2) 若a 、b 、c 成等差数列，求sinC 的值．17. (本小题满分14分)已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，OC ＝12r ，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB ︵上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．甲乙如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，A 1、A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q.(1) 求直线OP 的方程；(2) 求PQ QA 1的值；(3) 设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点B 、C ，分别交圆A 2于点M 、N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1、S 2，求S 1·S 2的最大值．已知数列{a n}满足：a1＝a＋2(a≥0)，a n＋1＝a n＋a2，n∈N*.(1) 若a＝0，求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝||a n＋1－a n，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n<a1.已知函数f(x)＝lnx－ax2－x，a∈R.(1) 若函数y＝f(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；(2) 设函数y＝f(x)的图象被点P(2，f(2))分成的两部分为c1、c2(点P除外)，该函数图象在点P处的切线为l，且c1、c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值.2013届高三模拟考试试卷(十)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知圆A 、圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE.求证：DE·DC ＝2AD·DB.B. (选修42：矩阵与变换) 已知a 、b ∈R ，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换把直线l ：2x －y ＝3变换为自身，求M －1.C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线2ρcos θ＋ρsin θ＋a ＝0(a>0)被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为2，求a 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知x 、y 、z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正三棱柱ABC －A1B1C1中，已知AA1＝6，AB＝2，M、N分别是棱BB1、CC1上的点，且BM＝4，CN＝2.(1) 求异面直线AM与A1C1所成角的余弦值；(2) 求二面角M －AN －A1的正弦值．23. 已知函数f(x)＝C0n x2n－1－C1n x2n－2＋C2n x2n－3－…＋C r n(－1)r x2n－1－r＋…＋C n n(－1)n x n－1，n ∈N(1) 当n≥2时，求函数f(x)的极大值和极小值；(2) 是否存在等差数列{a n}，使得a1C0n＋a2C1n＋…＋a n＋1C n n＝nf(2)对一切n∈N都成立？并说明理由.2013届高三模拟考试试卷(十)(宿迁)数学参考答案及评分标准1. －32. 0.0323. 584. {－1，1}5. (－1，5)6. 112 7. 1 8. 55 9. 9 10. 3π411. 38 12. 23＋12 13. ⎣⎡⎭⎫54，3 14. 4 15. 证明：(1) 因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC圆O 所在的平面，所以CE ⊥BC.(2分)因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC ⊥BC.(3分) 因为AC ∩CE ＝C ，AC 、CE 平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE.(5分) 因为BC平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE.(7分)(2) 由(1)AC ⊥BC ，又CD 为圆O 的直径， 所以BD ⊥BC.因为AC 、BC 、BD 在同一平面内，所以AC ∥BD.(9分) 因为BD平面ACE ，AC平面ACE ，所以BD ∥平面ACE.(11分)因为BF ∥CE ，同理可证BF ∥平面ACE. 因为BD ∩BF ＝B ，BD 、BF 平面BDF ，所以平面BDF ∥平面ACE. 因为DF平面BDF ，所以DF ∥平面ACE.(14分)16. 解：(1) 由AB →·AC →＝32S ，得bccosA ＝32×12bcsinA ，即sinA ＝43cosA.(2分)代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，化简整理，得cos 2A ＝925.(4分)由sinA ＝43cosA ，知cosA>0，所以cosA ＝35.(6分)(2) 由2b ＝a ＋c 及正弦定理，得2sinB ＝sinA ＋sinC ，即2sin(A ＋C)＝sinA ＋sinC ，(8分)所以2sinAcosC ＋2cosAsinC ＝sinA ＋sinC.① 由cosA ＝35及sinA ＝43cosA ，得sinA ＝45，(10分)代入①，整理得cosC ＝4－sinC8.代入sin 2C ＋cos 2C ＝1，整理得65sin 2C －8sinC －48＝0，(12分) 解得sinC ＝1213或sinC ＝－45.因为C ∈(0，π)，所以sinC ＝1213.(14分)17. 解：如图甲，设∠DBC ＝α， 则BD ＝3r 2cos α，DC ＝3r2sin α，(2分)所以S △BDC ＝916r 2sin2α≤916r 2，(4分) 当且仅当α＝π4时取等号，(6分)此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为916r 2.(7分)甲乙如图乙，设∠EOD ＝θ，则OE ＝rcos θ，DE ＝rsin θ， 所以S △BDE ＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.(10分)设f(θ)＝12r 2(1＋cos θ)sin θ，则f ′(θ)＝12r 2(1＋cos θ)(2cos θ－1)，当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，f ′(θ)≤0，所以θ＝π3时，即点E 与点C 重合时，△BDE 的面积最大值为338r 2.(13分)因为338r 2>916r 2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为338r 2.(14分)18. 解：(1) 连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a. 又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°.所以∠POA 2＝60°，所以直线OP 的方程为y ＝3x.(3分) (2) 由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，A 1P 的方程为y ＝33(x ＋a)， 联立解得x P ＝a2.(5分)因为e ＝32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14a 2，故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1.由⎩⎨⎧y ＝33（x ＋a ），x 2a 2＋4y2a 2＝1，解得x Q＝－a7，(7分)所以PQ QA 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫－a 7－a 7－（－a ）＝34.(8分)(3) 不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋4y 2a 2＝1，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋4k 2，ak 1＋4k 2， 所以OB ＝a1＋k 21＋4k2.(10分)用－1k 代替上面的k ，得OC ＝a1＋k 24＋k 2. 同理可得，OM ＝2a 1＋k2，ON ＝2ak 1＋k2.(13分)所以S 1·S 2＝14·OB ·OC ·OM ·ON ＝a 4·k（1＋4k 2）（4＋k 2）.(14分)因为k（1＋4k 2）（4＋k 2）＝14⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋17≤15，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 45.(16分)19. 解：(1) 若a ＝0时，a 1＝2，a n ＋1＝a n2，所以2a 2n ＋1＝a n ，且a n >0. 两边取对数，得lg2＋2lga n ＋1＝lga n ，(2分) 化为lga n ＋1＋lg2＝12(lga n ＋lg2)，因为lga 1＋lg2＝2lg2，所以数列{lga n ＋lg2}是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．(4分)所以lga n ＋lg2＝2⎝⎛⎭⎫12n －1lg2，所以a n ＝222－n －1.(6分)(2) 由a n ＋1＝a n ＋a2，得2a 2n ＋1＝a n ＋a ，① 当n ≥2时，2a 2n ＝a n －1＋a ，②①－②，得2(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝a n －a n －1，(8分) 由已知a n >0，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．(10分) 因为a 2＝a ＋1，且a>0，所以a 21－a 22＝(a ＋2)2－(a ＋1)＝a 2＋3a ＋3>0恒成立，所以a 2－a 1<0，所以a n ＋1－a n <0.(12分) 因为b n ＝||a n ＋1－a n ，所以b n ＝－(a n ＋1－a n )， 所以S n ＝－[(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )]＝－(a n ＋1－a 1)＝a 1－a n ＋1<a 1.(16分)20. 解：(1) f ′(x)＝1x －2ax －1＝－2ax 2＋x －1x(x>0)，(2分)只需要2ax 2＋x －1≤0，即2a ≤1x 2－1x ＝⎝⎛⎭⎫1x －122－14， 所以a ≤－18.(4分)(2) 因为f ′(x)＝1x－2ax －1，所以切线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－4a －12(x －2)＋ln2－4a －2. 令g(x)＝lnx －ax 2－x －⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－4a －12（x －2）＋ln2－4a －2，则g(2)＝0. g ′(x)＝1x －2ax ＋4a －12＝－2ax 2－⎝⎛⎭⎫4a －12x －1x .(6分)若a ＝0，则g′(x)＝2－x2x， 当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)<0， 所以g(x)≥g(2)＝0，c 1、c 2在直线l 同侧，不合题意；(8分) 若a ≠0，g ′(x)＝－2a （x －2）⎝⎛⎭⎫x ＋14a x ，若a ＝－18，g ′(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2－12x≥0，g(x)是单调增函数，当x ∈(2，＋∞)时，g(x)>g(2)＝0；当x ∈(0，2)时，g(x)<g(2)＝0，符合题意；(10分) 若a<－18，当x ∈⎝⎛⎭⎫－14a ，2时，g ′(x)<0，g(x)>g(2)＝0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)>g(2)＝0，不合题意；(12分) 若－18<a<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2，－14a 时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)＝0， 当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)＝0，不合题意；(14分)若a>0，当x ∈(0，2)时，g ′(x)>0，g(x)<g(2)＝0，当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x)<0，g(x)<g(2)＝0，不合题意．1故只有a＝－8符合题意．(16分)2013届高三模拟考试试卷(十)(宿迁) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：由已知，AC ⊥BC ，因为∠ACD ＋∠BCD ＝90°， AC ＝AE ，BC ＝BD ，所以∠ACD ＝∠E ，∠BCD ＝∠BDC.因为∠ADE ＝∠BDC ，所以∠E ＋∠ADE ＝90°， 所以AE ⊥AB.(5分)延长DB 交圆B 于点F ，连结FC ，则DF ＝2DB ，∠DCF ＝90°， 所以∠ACD ＝∠F ，所以∠E ＝∠F ，所以Rt △ADE ∽Rt △CDF ， 所以AD CD ＝DEDF ，所以DE·DC ＝AD·DF.因为DF ＝2DB ，所以DE ·DC ＝2AD·DB.(10分)B ．解：对于直线l 上任意一点()x ，y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(x′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 因为2x′－y′＝3，所以2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3，(4分)所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11－43，(7分) 所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－14－1.(10分) C. 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x ＋y ＋a ＝0，(3分)圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.(6分) 因为截得的弦长为2，所以圆心(0，2)到直线的距离为4－1＝3，即||2＋a 5＝3.因为a>0，所以a ＝15－2.(10分)D. 解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z)2≤14(x 2＋y 2＋z 2)，(5分) 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(10分)22. 解：(1) 以AC 的中点为原点O ，分别以OA 、OB 所在直线为x 、z 轴，建立空间直角坐标系O － xyz(如图). 则O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，0，3)，N(－1，2，0)，M(0，4，3)，A 1(1，6，0)，C 1(－1，6，0)．所以AM →＝(－1，4，3)，A 1C 1→＝(－2，0，0)． 所以cos 〈AM →，A 1C 1→〉＝AM →·A 1C 1→||AM →||A 1C 1→＝2220＝510，所以异面直线AM 与A 1C 1所成角的余弦值为510.(5分) (2) 平面ANA 1的一个法向量为m ＝(0，0，1)．设平面AMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，因为AM →＝(－1，4，3)，AN →＝(－2，2，0), 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AM →，n ⊥AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4y ＋3z ＝0，－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，1，－3)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－35＝－155，所以二面角M － AN － A 1的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1)f(x)＝x n －1[C 0n x n －C 1n x n －1＋C 2n x n －2－…＋C r n (－1)r x n －r ＋…＋(－1)n C n n ] ＝x n －1(x －1)n ，f ′(x)＝(n －1)x n －2(x －1)n ＋x n －1·n(x －1)n －1＝x n －2(x －1)n －1[(n －1)(x －1)＋nx]，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝n －12n －1，x 3＝1. 因为n ≥2，所以x 1<x 2<x 3.(2分)当n 为偶数时，f(x)的增减性如下表： x (－∞，0)0 错误! n －12n －1 错误! 1 (1，＋∞)f′(x)＋＋0 －＋f(x)无极值极大值极小值所以当x ＝n －12n －1时，y 极大＝（n －1）n －1·（－n ）n（2n －1）2n －1；当x ＝1时，y 极小＝0.(4分)当n 为奇数时，f(x)的增减性如下表：x (－∞，0)0 (0，n －12n －1) n －12n －1 错误! 1 (1，＋∞)f′(x) ＋0 －0 ＋0 ＋f(x)极大值极小值无极值所以当x ＝0时，y 极大＝0；当x ＝n －12n －1时，y 极小＝（n －1）n －1·（－n ）n（2n －1）2n －1.(6分)(2) 假设存在等差数列{a n }使a 1C 0n ＋a 2C 1n ＋a 3C 2n ＋…＋a n ＋1C nn ＝n·2n －1成立， 由组合数的性质C m n ＝C n －m n ，把等式变为a n ＋1C 0n ＋a n C 1n ＋a n －1C 2n ＋…＋a 1C nn ＝n·2n －1，两式相加，因为{a n }是等差数列，所以a 1＋a n ＋1＝a 2＋a n ＝a 3＋a n －1＝…＝a n ＋1＋a 1，故(a 1＋a n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn )＝n·2n ， 所以a 1＋a n ＋1＝n.(8分)再分别令n ＝1，n ＝2，得a 1＋a 2＝1且a 1＋a 3＝2，进一步可得满足题设的等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N )．(10分)。

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年度第一学期12月月考高三年级数学试卷（考试时间：150分 试卷满分160分）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相．．．．应位置上．．．．.．1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = ▲ .2、若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = ▲ .3、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ▲ .4、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ .6. 正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______▲_______． 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是▲ .8. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 ▲ .13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ．14、已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1nn na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

高三年级第一次模拟考试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1-14题)、解答题(第15题一第20题).本卷满分160分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须 用0.5毫米黑色墨水的签字笔，注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合 {}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数 学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______． 4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的体积为 ______.7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时 2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_______.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心 率为______.11．将函数 2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移 4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）己知向量 (1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+， R θ∈．(1)若 a b ⊥，求 tan θ的值：(2)若 //a b ，且 (0,)2πθ∈，求 θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥ BC ，CD ⊥ PB ，求证：CP ⊥ PA ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆ OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 2km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列;(2)设 22n n a a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列， 且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数 21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈(1)若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 1212x x +≥高三年级第一次模拟考试 数学II(附加题部分)注意事项1.本试卷共2页，均为解答题(第21题~第23题，共4题).本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

宿迁市2006—2007学年度高三第四次调研测试数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1．本试卷共4页，包括选择题(第1题～第10题，共10题)、填空题(第11题～第16题共6题)、解答题(第17题～第21题，共5题)三部份。

本次考试时间为120分钟,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色笔迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答非选择题必需用书写黑色笔迹的0．5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一概无效。

作答选择题必需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚。

一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分．共50分,在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R ，集合A={3-x ＜x ＜0}，B={xx ＜-1}，则下列阴影部份所表示的集合为A {x x ≤-3} B {3-x ＜x ＜-1} C {3-x ＜x ＜0} D {x-1≤x ＜0}2．若命题甲：p 且q 是真命题；命题乙：p 或q 是假命题，则命题甲是命题乙的A 充分没必要要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 不充分也非必要条件 3．以线段AB ：x+y-2=0（0≤x ≤2）为直径的圆的方程为 A ()()21122=+++y x B ()()21122=-+-y xC ()()81122=+++y x D ()()81122=-+-y x4．已知直线b a ,和平面γβα,,，给出下列四个命题⑴ 若,,βα⊥⊥b a 则α∥β ⑵ 若λβγα⊥⊥,则α∥β⑶ 若α∥ββα⊂⊂b a , 则a ∥b ⑷ 若α∥β b a =⋂=⋂γββα,则a ∥b A ⑴ B ⑴ ⑶ C ⑶ ⑷ D ⑴⑷5．为了解某地域高三学生的身体发育情况，抽查了该地域100名高三男生的体重（kg ）取得如下频率散布直方图，据图可得这100名学生体重在[56．5，64．5]的学生的人数为C 40D 506．掷一个筛子的实验事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次实验中，事件A+B 发生的概率为 A31 B 21 C 32 D 657．已知向量()(),1,sin ,2,cos αα=-=→→b a →a ∥→b 则tan （4πα-）=A 3B -3 C31D 31- 8．已知公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，知足573311,,b a b a b a === 则有 A 319a b = B 1311a b = C 6313a b = D 1163a b =9．若点p （x ，y ）到点A （0，4），B （-2，0）的距离相等，则y x 42+的最小值为 A 2 B 4 C 28 D 2410．已知函数()()1,2f a x a x x f ---=＜0，则()0f 的取值范围A ()⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-41,02,B ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,C ()0,∞-D ()⎥⎦⎤⎝⎛∞-41,00,二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分,不需要写出解答进程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上．11．在4和67之间插入一个n 项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 的值为 ▲12．若正四棱锥的棱长都相等，则其侧面与低面所成角的余弦值为 ▲ 13．设函数()x a x f =（a ＞0且a ≠1），()812=-f ，则不等式x a log ＜0的解为 ▲ 14．设函数()()421x x f -=，则其导函数f ′()x 展开式中2x 的系数是 ▲ 15．若实数x ，y 知足条件()(){()6,-+-y x y x y x ≥0，且1≤x ≤5}，则xy 的最大值是▲16．现有3种不同品牌的电脑各两台（同一品牌的两台电脑看做相同的），要将它们平均分派到三个不同的办公室，则不同的分派方式有 ▲ 种（数字作答）三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x x f ωωωω22sin cos sin 32cos -+=，其中ω＞0，且()x f 的图象相邻两对称轴的距离不小于2π（1） 求ω的取值范围（2） 设c b a ,,别离是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，3=a ，且当ω最大时()1=A f ，求△ABC 周长的最大值18．（本小题满分14分）已知双曲线M 与椭圆1132522=+y x 有相同的核心，且右准线与抛物线x y 322-=的准线重合（1） 求双曲线M 的标准方程（2） 是不是存在实数k ，使得y=kx+3与双曲线M 相交于A 、B 两点，且12=•→→OB OA （O 为坐标原点），并说明理由19．（本小题满分14分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=4，81=AA ， E 、F 别离是AD 和1CC ，O 、1O 别离是上下底面的中心（1） 求证：AF ⊥平面11D FB （2） 求点O 到平面11D FB 的距离（3） 求异面直线BE 与1O F 所成角的余弦值20．（本小题满分14分）某汽运集团公司生厂一种品牌汽车，上年度本钱价为10万元/辆，出厂价13万元/辆，年销售量为5万辆。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .【答案】{-1,0,1,2} 【解析】 试题分析：{}{}{}1,0,21,1=1,10,2AB =---， 考点：集合并集 2.已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 【答案】1 【解析】 试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3.写出命题:“若=3x ，则223=0x x --”的否命题: ▲ ． 【答案】“若3x ≠则2230x x --≠” 【解析】试题分析：“若P ，则Q ”的否命题为“若⌝P ，则⌝Q ”，所以“若=3x ，则223=0x x --”的否命题为“若3x ≠则2230x x --≠” 考点：否命题4.一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ . 0891012【答案】2 【解析】试题分析：5场比赛中得分的平均值为10，所以方差为222221[21012] 2.5++++= 考点：方差5.如图所示的流程图，输出的n = ▲ .【答案】4考点：循环结构流程图6.已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .【答案】y = 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2232,1a a +==，因此双曲线的渐近线方程为y = 考点：双曲线的渐近线7.若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(0,1),(2,2)A B C ,所以直线2z x y =+过点(2,2)C 时取最大值6.考点：线性规划求最值8.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 【答案】6π 【解析】试题分析：由题意得22,2r h ==，所以圆柱的表面积为22+26.r rh πππ= 考点：圆柱的表面积9.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ . 【答案】40 【解析】试题分析：5355840.S a ==⨯= 考点：等差数列性质10.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ． 【答案】6π 【解析】试题分析：x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位得sin 2()y x ϕ=-，所以sin 2()32πϕ-=，因此2()233k ππϕπ-=+或22()2()33k k Z ππϕπ-=+∈，，即6k πϕπ=-或k ϕπ=-()k Z ∈，所以ϕ的最小值为6π考点：三角函数求角11.若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a = ▲ .【答案】-2 【解析】试题分析：由题意得直线过圆心，即02, 2.a a =+=- 考点：直线与圆位置关系12.已知函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()4f x <的解集为 ▲【答案】-4∞（，） 【解析】试题分析：由函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，得()(),f x f x -=-而22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧-<⎪-=⎨+≥⎪⎩因此3,1a b =-=-，223,0(),3,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩当0x ≥时，234x x -<，解得04x ≤<；当0x <时，234x x --<，解得0x <；所以不等式()4f x <的解集为-4∞（，）考点：奇函数性质，解不等式13.在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA 的值= ▲ . 【答案】332【解析】试题分析：1sin 1542bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得2222cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233cos 22a cb BC BA ac B +-=== 考点：余弦定理，向量数量积14.设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .【答案】53[,]22-考点：利用导数求函数值域二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+，（1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值. （2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值. 【答案】（1）2()6x k k z ππ=+∈时()f x 取最大值2（2）43【解析】试题分析：（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，再根据三角函数性质求其最值：当2()32x k k z πππ+=+∈即2()6x k k z ππ=+∈时()f x 有最大值2（2）由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭确定1a =-，从而得到1sin cos 5x x -=，再根据同角三角函数关系求出34cos sin 55x x ==，，即得4tan 3x =试题解析：（1）()sin 2sin()3f x x x x π=+=+………………………………（2分）当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈2()6x k k z ππ⇒=+∈时()f x 有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) 014f a π⎛⎫=⇒=-⎪⎝⎭………………………………………………………………(8分） 1sin cos 5x x -=21(in cos )25s x x ∴-=12sin cos 25x x ∴= 2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0,)x π∈3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴4tan 3x =…………………………………………………（14分）考点：配角公式，同角三角函数关系16.（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC , AB BC ⊥，D 为PB 中点，E 为PC 的中点，（1）求证：BC 平面ADE ； （2）求证:平面AED ⊥平面PAB .【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，这由中位线性质可得到：//DE BC ，再结合线面平行判定定理条件即可论证，（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理，即需证线面垂直：因为AB BC ⊥，又由PA ⊥平面ABC 可得PA BC ⊥，因此BC PAB ⊥平面，最后结合面面垂直判定定理即可论证.试题解析：（1）证明： ////PE EC DE BC PD DB DE ADE BC ADE BC ADE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面………………………(7分）（2）PA ABC PA BC BC ABC BC ABPA AB A BC PA ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎪⎪⎭平面平面平面PAB 平面PABAB 平面PAB………………………(12分）//DE BC DE ∴⊥平面PAB ,又DE ADE ⊂平面ADE ∴⊥平面平面PAB (14分)考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）． （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支 出） 【答案】（1）3（2）5 【解析】试题分析：（1）先分别列运输累计收入为25x ，总支出为1[6(1)2]502x x x +-⋅+，再列不等式，解一元二次不等式即可（2）先列利润：25x 1[6(1)2]502x x x -+-⋅+(25)x +-，平均利润为125[6(1)2]50(25)2x x x x x x-+-⋅++-，再利用基本不等式求最值即可 试题解析：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，由-x2+20x-50＞0，可得10-5＜x ＜10+5∵2＜10-5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19-（x+）≤19-10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：函数实际应用，基本不等式求最值 18.（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.【答案】（1）22143x y +=（2）112y x =+【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，一般利用待定系数法，列两个独立条件即可：12c e a ==，221314a b +=，解得12,c a b ===，2）从点的坐标揭示等量关系：设00(,)B x y =(0,)D m =,则由2BD DA =得002,33x y m =-=-，又点B 在椭圆上，所以24(33)143m -+=，解得1m =(0,1),(2,0)D B ∴-因而直线AB 方程为112y x =+.试题解析：（1）122c e a c a ==∴=…………………………………………………（2分） 22223b a c c ∴=-=设椭圆方程为：2222143x y c c+=，22131144c c c ∴+=∴=设椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………(7分）（2）设00(,)B x y =(0,)D m =,则00(,)BD x m y =--，3(1,)2DA m =-002,32x m y m ∴-=-=-，即002,33x y m =-=-代入椭圆方程得1m =(0,1)D ∴…(14分） 1:12AB l y x ∴=+………………………………………………………………………(16分） 考点：直线与椭圆位置关系19.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n S ； （2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++> 【答案】（1）当=1a 时n S n =，当1a ≠时，22(1)1n n a a S a -=-（2）12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪=⎨⎪=⎩（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）先确定{}n a 通项公式，从而得{}n b 通项公式，再根据通项公式特点，进行分类讨论：当=1a 时1n b =，则n s n =；当1a ≠时，{}n b 为公比不为1的等比数列，其和为22(1)1n n a a s a -=-（2）由3n n b =得13nn n a a +=，因此113(2,)n n a n n N a +-=≥∈，即{}n a 隔项成等比数列12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩（3）由12,n n a a n +=+得11111)1(2)n n n n n n a a a a a n a +-+--=∴-=≥（，从而利用裂项相消法得1231111na a a a ++++=112111+3n n n n a a a aa a a +++--=+-再由基本不等式122n n a a n ++>=+得证，本题也可利用数学归纳法证明 试题解析：（1）1121,n n n n n n a a b a a a ---=∴==…………………… (2分）当=1a 时1n b =，则n s n =………………………………………… (3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a-=-………………………………………… (5分） （2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈………………………………………………………………(7分） 当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时， *121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴= 12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩………………………………………………………………(11分）（3）12,n n a a n +=+①，121,3a a =∴=11n n a a n -∴=+(2)n ≥②①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111na a a ∴+++314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++-=112n n a a a a ++--1231111n a a a a ∴++++=112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 11222n n n n a a a a n +++>=+1231111na a a a ∴++++＞3．…….(16分) 考点：等比数列求和，裂项相消法证不等式 20.已知函数(),()ln xf x eg x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ;（2）设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】 试题分析：（1）构造函数()1,xF x e x =--转化为证明其最小值等于零，利用导数求函数最小值即可（2）先列出0x 所满足的等量关系，这从公切线出发即可：0001ln 01x x x +-=-再证函数()()1ln 11x G x x x x +=->-有且仅有一解，这可利用导数研究其单调性，并结合零点存在定理证明（3）先将命题等价转化为：当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解. 令()1x H x e ax x =---，即证()min 0H x <，利用二次求导可证 试题解析：（1）令()1,xF x e x =--x R ∈， ()'10x F x e =-=得0x =,∴当0x >时()()'0,;F x F x >当0x <时()()'0,;F x F x <()()min 00F x F ∴==，由最小值定义得()()min 0F x F x ≥=即1x e x ≥+…………………………………（4分）（2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与x y e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111x x y e x e x =+- ②……(6分) ③ 由①②得 ④0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>- ()110011ln 1x x e x x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()G x ∴在()1,+∞上.又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈ ()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证……………………………………………………（10分） 由（1）知()110f x x-->即证当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解.令()1xH x e ax x =---，即证()min 0H x <………………………………………（12分） 由()'10xH x e a =--=得()ln 10x a =+>. 当()0ln 1x a <<+时，()()'0,H x H x <，当()ln 1x a >+时，()()'0,H x H x >. ()()()min ln 1H x H a ∴=+()()1ln 1ln 11a a a a =+-+-+-.令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，()V x ∴()()10V x V ∴<=.综上得证…………………………………………………………………………………(16分) 考点：构造函数证不等式，利用导数求函数单调性，利用导数求函数性质。

江苏省宿迁市2015届高三数学上学期第一次摸底考试试题（扫描版）苏教版宿迁市2014—2015学年度高三年级第一次考试数学参考答案与评分标准 数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．{}0,3 2．1 3．6 4．7 5．36． 29 7．2214y x -= 8． 79- 9．2 10．311．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．()2,6- 14．(],2-∞-二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．（1）由余弦定理得，2222cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分因为3B π∠=，2a =，b = 所以21242c c =+-，即2280c c --= …………………………5分 解之得4c =，2c =-（舍去）．所以4c =. ……………………………7分 （2）因为πA B C ++=，tan A =tan B =所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分tan tan 1tan tan A BA B +=-- ……………………………11分5==．所以tan C =．16．（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ 又因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥ 又因为AC PO O =I 所以BD APC ⊥平面，又因为PC APC ⊂平面所以BD PC ⊥（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分 因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC I 平面PAD l =．所以//BC l ． ………………………………………………14分17．(1)由题意知，»1AC x x =⨯=， …………………………………2分 2cos CD x =， …………………………………5分因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………………7分(第16题图)(2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………9分 令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………11分 列表x(0，6π) 6π (6π，2π) ()f x '＋ 0 － f (x )递增极大值递减所以函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分即()66f ππ=答：观光路线总长的最大值为6π+ ……………………………14分18．（1）因为()()2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，所以()()()e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分 令()0F x '>，因为0a >，得1x >-或()1x a <-+， ……………………5分 所以()F x 的单调增区间为(),1a -∞--和()1,-+∞； ……………………6分 （2）因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，不妨设12x x >，根据()e x f x =在[]0,2上单调递增，所以有1212()()()()f x f x g x g x ->-对12x x >恒成立，……………………8分 所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨->-⎩对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2都是单调递增函数，………………11分 当()()0f x g x ''+≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a ++≥在[]0,2恒成立，得()e 2x a x -+≥在[]0,2恒成立，因为()e 2x x -+在[]0,2上单调减函数，所以()e 2x x -+在[]0,2上取得最大值1-， 解得1a -≥． ………………………………13分 当()()0f xg x ''-≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a -+≥在[]0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2上恒成立， 因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2上取得最小值22ln2-，所以22ln2a -≤， ……………………………15分 所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分19．（1）由圆R 的方程知，圆R的半径的半径r =因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y +=，①………………………………………1分又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，②……………………………………2分联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ ……………………………………………………3分所以所求圆R的方程为((228x y ±+±=． ………………………4分（2）因为直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，=化简得22210010(8)280x k x y k y --+-=………………6分 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=，……………………………………………7分 所以12,k k 是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，212208228y b b c k k a a a x --+-⋅===-…………………………8分 因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-， 所以21220141282x k k x -==--，即12210k k +=． ………………………………10分 （3）22OP OQ +是定值，定值为36，……………………………………………11分理由如下：法一：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立122,1,2412y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212122112124,1224.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩………………………………………12分 所以2221112124(1)12k x y k ++=+，同理，得2222222224(1)12k x y k ++=+，…………13分 由1212k k =-，所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221224(1)24(1)1212k k k k ++=+++ 22112211124(1())24(1)211212()2k k k k +-+=+++- 2121367212k k +=+ 36= ………………………………………………………15分(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y , 因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， ……………12分 因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ……………………………………………13分 所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2236OP OQ +=． ……………………………………………………15分 (ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分 若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分 若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=L ， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—1：几何证明选讲)因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=o ，因为2BE =，4BC =，由余弦定理得EC =分 又因为2BE EC ED =⋅，所以ED ，…………………8分所以CD EC ED =-==． ………………10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ……4分 （第21—A 题图）又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦② …6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)1x y +-=， …………4分 因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．（选修4－5：不等式选讲）因为11,ax ax a a -+--≥ ……………………………5分 所以原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以20.a a 或≥≤所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞+∞U ． ………………………10分 22．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（1）因为AB =AC =1，1AA =3，13λ=， 所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．(1,0,1)AE =u u u r ，1(0,1,1)A F =-u u u u r． …………2分因为1AE A F ==u u u r u u u u r11AE A F ⋅=-u u u r u u u u r ，所以111,1cos 2AE A F AE A F AE A F⋅==-u u u u ru u r u u r u u u r u u u u r ．所以向量AE u u u r 和1A F u u u u r 所成的角为120o ， 所以异面直线AE 与1A F 所成角为60o ． ……………4分 （2）因为(1,0,3)E λ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),AE λ=u u u r u u u r设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0AE ⋅=u u u r n ，且0AF ⋅=u u u rn ． 即30x z λ+=，且20y z +=．令1z =，则3,x y λ=-所以(3,2,1)λ=--n 是平面AEF 的一个法向量． 又1(0,0,3)AA =u u u r ，则111,cos AA AA AA ===u u u ru u r g u u u r n n n 又因为直线1AA 与平面AEF=12λ=．………………10分23．（1）因为11111122111n nn na aa an n++++<<+-+，24a=当1n=时，由21211111222a a a a⎛⎫+<+<+⎪⎝⎭，即有1112212244a a+<+<+，解得12837a<<．因为1a为正整数，故11a=．………………………………2分当2n=时，由33111126244a a⎛⎫+<+<+⎪⎝⎭，解得3810a<<，所以39a=．…………………………………………………4分（2）由11a=，24a=，39a=，猜想：2na n=………………………………5分下面用数学归纳法证明．1º当1n=，2，3时，由（1）知2na n=均成立．……………………………6分2º假设()3n k k=≥成立，则2ka k=，由条件得()22111111212k kk ka k a k++⎛⎫+<++<+⎪⎝⎭，所以()()23121111kk k kk kak k k++-+<<-+-，………………………………………8分所以()()2212111111kkk a kk k k+++-<<++-+-…………………………9分因为3k≥，21011kk k+<<-+，1011k<<-，又1ka*+∈N，所以()211ka k+=+．即1n k=+时，2na n=也成立．由1º，2º知，对任意n*∈N，2na n=．……………………………………10分。

宿豫区实验高中2015届高三年级第四次质量抽测数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B ={}1,1- ________.2.在复平面内，复数i1－i对应的点位于第二________象限．3.如果执行右图的流程图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于360________．第4题图第8题图第3题图4.右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为807________．5.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为25________． 6.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k＝—6________.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是2________．8.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，则该圆锥的体积为22π3________．9. 过原点O 作圆x 2+y 2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的 长为4________．10.已知函数f (x )＝2x ＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为x+y-3=0________． 11.在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝32-________. 12.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 1________．13.已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为1251,,933⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦________．14.已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是4________．二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（14分）已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .②(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解， ∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.16. （14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD . 证明 (1)因为平面P AD∩平面ABCD ＝AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD . 所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD . 又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . 又E ，F 分别是CD 和CP 的中点， 所以EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD 所以平面BEF ⊥平面PCD .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a 元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？17．解：（1）由题意得，29,100260,1100222210,5x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨⎪--⨯≥⨯⎪⎩…………4分 解得9,20,2015,x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩即915x ≤≤. …………7分（2）记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得222422214121()(10())533115a y a x ax x x x ππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-432414[(12)1210]11253a x x x π=-+-+⨯， …………10分 令43214()12253f x x x x =-+-，则32241()4244(6)2525f x x x x x x x '=-+-=--+， 由()0f x '=，解得10x =或15x =， …………12分答：当10x =m 时，可使“环岛”的整体造价最低. …………14分18．（16分）已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．19．（16分）(2014·盐城调研)已知数列{a n }满足a 1＝2，前n 项和为S n ，a n ＋1＝⎩⎨⎧pa n ＋n －1，n 为奇数，－a n－2n ，n 为偶数. (1)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1(n ≥1)，试求数列{b n }前n 项和T n ； (2)若数列{c n }满足c n ＝a 2n ，试判断{c n }是否为等比数列，并说明理由；(3)当p ＝12时，问是否存在n ∈N *，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1？若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得b n ＝a 2n ＋a 2n ＋1＝－4n ， ∴{b n }成等差数列，故T n ＝－2n 2－2n .(2)当p ＝12时，数列{c n }成等比数列；当p ≠12时，数列{c n }不为等比数列． 理由如下：∵c n ＋1＝a 2n ＋2＝pa 2n ＋1＋2n ＝p (－a 2n －4n )＋2n ＝－pc n －4pn ＋2n ，∴c n ＋1c n ＝－p ＋2n (1－2p )c n ，故当p ＝12时，数列{c n }是首项为1，公比为－12等比数列； 当p ≠12时，数列{c n }不成等比数列． (3)当p ＝12时，由(2)知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，∴c 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1.又S 2n ＋1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋a 2n ＋1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝－2n 2－2n ＋2.则由(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1，得4n 2＋4n ＋16＝4n ， 记f (x )＝4x －4x 2－4x －16(x ≥2)， 则g (x )＝f ′(x )＝4x ln 4－8x －4， ∴g ′(x )＝(ln 4)24x －8>0(x ≥2)， ∴g (x )在[2，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (2)＝f ′(2)>0，即f ′(x )>0，且f (1)≠0， ∴仅存在唯一的n ＝3，使得(S 2n ＋1－10)c 2n ＝1成立．20.已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （2）若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．20.解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． 2分 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14．…………6分 （2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”． ………7分由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ……………8分01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-． …………10分2当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． ……………12分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． ……15分 综上，得21124ea ≥-． ………………………16分 数学Ⅱ 附加题部分注意事项：本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，若6,AB CD ==，求线段AC 的长度．B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎢⎣⎡12⎥⎦⎤a 1的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的新直线方程． 因为矩阵M ＝⎢⎣⎡12⎥⎦⎤a 1的一个特征值是3， 设af ----=λλλ112)(01))(2(=---=a λλ，则01)3)(23(=---a ，解得2=a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112M ，…………………………5分 设直线032=--y x 上任一点()y x ,在M 作用下对应点为()y x '',，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 2112，整理得⎩⎨⎧'=+'=+y y x x y x 22，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='-'=x y y y x x 31323132，代人032=--y x ，整理得0954=-'-'y x ,故所求直线方程为：0954=--y x ．………………………………………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1sin cos ααy x （α是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩消去θ，得22(1)1x y +-=， 曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆． ………………………………………5分 所以在极坐标系下，曲线C 是以π(1)2，为圆心，半径等于1的圆．所以曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． ………………………………………10分D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥的解集为R ，求正实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，在正四棱锥P ABCD -中，已知2==AB PA ，点M 为PA 中点，求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值．APCB第22题图DM O23．(本小题满分10分)某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等．．．．．第均以最高奖项兑现．．．．．．．．．，且不重复兑奖．．．．．．．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望．（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．。

2015-2016学年陕西省渭南市蒲城县尧山补习学校高三（上）第四次质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}是等差数列，a1+a7=﹣2，a3=2，则{a n}的公差d=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣42．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若+与垂直，则||=（）A．1 B．C． D．43．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．94．设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A． B． C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．19．已知函数y=f（x）的图象如图，则f′（x A）与f′（x B）的大小关系是（）A．f′（x A）＞f′（x B）B．f′（x A）＜f′（x B）C．f′（x A）=f′（x B）D．不能确定10．已知，且与共线，则sin2x﹣2cos2x=（）A．B．C．D．﹣11．下列区间中，函数f（x）=|ln（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1] B．[﹣1，] C．[0，）D．[1，2）12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知数列{a n}的前项和为，则数列的通项公式是a n= ．14．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．15．（文科）设向量=（cos23°，cos67°），=（cos68°，cos22°），=+t（t∈R），则||的最小值是．16．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知和的夹角为，||=5，||=4，求：（1）|+|；（2）求向量+在方向上的投影．18．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．19．在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC=2sin（B+C）cosB．（1）判断△ABC的形状；（2）设向量，若，求∠A．20．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．21．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．2015-2016学年陕西省渭南市蒲城县尧山补习学校高三（上）第四次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{a n}是等差数列，a1+a7=﹣2，a3=2，则{a n}的公差d=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质结合已知求得a4，再由等差数列的通项公式求得公差．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a7=﹣2，得2a4=﹣2，即a4=﹣1，又a3=2，∴．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．2．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若+与垂直，则||=（）A．1 B．C． D．4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先求出+的坐标，然后按照向量的数量积的坐标运算表示+与垂直，得到关于n的方程解之，然后求||的模．【解答】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n），+与垂直∴+=（1，3n），∴（+）•=3n2﹣1=0，解得n=，∴||==；故选：C．【点评】本题考查了向量的加减运算以及数量积的坐标运算．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．4．设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．【专题】简易逻辑．【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．故选：C【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题．在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用．6．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A． B． C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sinB==．所以sinC=sin2B=2×=，cosC==．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．8．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】以为基底，把用表示，代入•=1，结合数量积运算可求得答案．【解答】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．【点评】求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，属中档题．9．已知函数y=f（x）的图象如图，则f′（x A）与f′（x B）的大小关系是（）A．f′（x A）＞f′（x B）B．f′（x A）＜f′（x B）C．f′（x A）=f′（x B）D．不能确定【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．【解答】解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，∴根据导数的几何意义可知f′（x A）＜f′（x B），故选：B．【点评】本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键，比较基础．10．已知，且与共线，则sin2x﹣2cos2x=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；平行向量与共线向量．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得tanx的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵已知，且与共线，∴3cosx﹣4sinx=0，即 tanx=，∴sin2x﹣2cos2x===﹣，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题．11．下列区间中，函数f（x）=|ln（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1] B．[﹣1，] C．[0，）D．[1，2）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求函数f（x）的定义域，然后按照x＜1，1≤x＜2两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调区间．【解答】解：由2﹣x＞0得，x＜2，∴f（x）的定义域为（﹣∞，2），当x＜1时，ln（2﹣x）＞0，f（x）=|ln（2﹣x）|=ln（2﹣x），∵y=lnt递增，t=2﹣x递减，∴f（x）单调递减；当1≤x＜2时，ln（2﹣x）≤0，f（x）=|ln（2﹣x）|=﹣ln（2﹣x），∵y=﹣t递减，t=ln（2﹣x）递减，∴f（x）递增，即f（x）在[1，2）上单调递增，故选D．【点评】本题考查复合函数单调性的判断，正确理解其判断规则“同增异减”是关键，注意单调区间须在定义域内求解．12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知数列{a n}的前项和为，则数列的通项公式是a n=．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴当n=1时，a1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣3n+1﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+1]=2n﹣4．则数列的通项公式是a n=．故答案为：．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（文科）设向量=（cos23°，cos67°），=（cos68°，cos22°），=+t（t∈R），则||的最小值是．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方求出||2=t2+t+1，利用二次函数最值的求法求出最小值．【解答】解： =+t=（cos23°+tcos68°，cos67°+tcos22°）=（cos23°+tsin22°，sin23°+λcos22°），||2=（cos23°+tsin22°）2+（sin23°+tcos22°）2=t2+t+1=（t+）2+，∴当λ=时，|u|有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方；考查三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法．16．曲线在点M（，0）处的切线的斜率为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故答案为：．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知和的夹角为，||=5，||=4，求：（1）|+|；（2）求向量+在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据条件可先求出，而，进行数量积的运算便可求出；（2）根据一个向量在另一个向量方向上投影的定义便可得出所求投影为，然后进行数量积的运算便可得出答案．【解答】解：（1）， =；（2）向量在方向上的投影为：==．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，根据求向量长度的方法，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义．18．已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为，k∈Z，，k∈Z【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．19．在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC=2sin（B+C）cosB．（1）判断△ABC的形状；（2）设向量，若，求∠A．【考点】余弦定理；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）△ABC中，利用A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），sin（B+C）=sinA，结合题意可得A=B，从而可判断△ABC的形状；（2）由，利用向量的坐标运算可求得cosC=﹣，从而可求得∠A．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sin（A+B）=sinC，sin（B+C）=sinA，∴sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B．∴△ABC为等腰三角形．（2）由，得（a+c）（c﹣a）=b（b+a）⇒a2+b2﹣c2﹣ab=0，∴cosC=﹣，∵0＜C＜π，∴C=，又△ABC为等腰三角形．∴∠A=．【点评】本题考查余弦定理，考查两角和与差的正弦函数，考查向量的平行，利用共线向量的坐标运算求得cosC=﹣是难点，属于中档题．20．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．【点评】本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．21．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n项和公式．（2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法﹣﹣裂项法，注意解题过程中项数不要出错．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键．是每年要考的一道高考题目．22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．。

江苏大联考2015届高三第四次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知集合A={x|x2≤2x},B={y|y>1},则A∩B等于▲.2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为,则正数a的值为▲.3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为▲.4.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到AB⊥CD的是▲.5.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是▲.6.已知α是第二象限角,且sin α=,则tan(α+)=▲.7.已知椭圆+=1(m>n>0)的离心率为,且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则椭圆的短轴长为▲.8.设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l的距离为,则△AOB的面积S的最小值为▲.9.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-b2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c= ▲.10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于▲.11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=cos(x)+lox,则函数f(x)的零点个数为▲.12.半径为1的球内最大圆柱的体积为▲.13.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,渐近线分别为l1、l2,点P在第一象限内且在l1上,若PA⊥l2,PB∥l2,则该双曲线的离心率为▲.14.正四面体ABCD的棱长为1,其中线段AB∥平面α,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为轴旋转时,线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且AC⊥BC,P为上的动点.(1)证明:PA1⊥平面PBB1;(2)设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1,V2,且AC=BC,求V1∶V2.16.(本小题满分14分)已知点C的坐标为(0,1),A,B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点,且·=0.(1)求证:∥;(2)若=λ(λ∈R),且·=0,试求点M的轨迹方程.17.(本小题满分14分)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=AD,AD=A1B1,∠BAD=45°.(1)证明:BD⊥AA1;(2)证明:AA1∥平面BC1D.18.(本小题满分16分)已知数列{a n}中,a1=5,a2=2,且2(a n+a n+2)=5a n+1.(1)求证数列{a n+1-2a n}和{a n+1-a n}都是等比数列;(2)求数列{2n-3a n}的前n项和S n.19.(本小题满分16分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是2∶.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,求实数a的取值范围.2015届高三第四次联考·数学试卷参考答案1.{x|1<x≤2}因为A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∩B={x|0≤x≤2}∩{y|y>1}={x|1<x≤2}.2.2 双曲线x2-ay2=1的方程可化为x2-=1,得c2=1+,所以e2=1+=()2,解得a=2.3. 设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则l=2,2πr=πl,得r=1,所以h===,所以圆锥的体积为V=πr2h=.4.①②对于①,通过平移AB到右边的平面,可知AB⊥CD,所以①中AB⊥CD;对于②,通过作右边平面的另一条对角线,可得CD垂直AB所在的平面,所以②中AB⊥CD;对于③,可知AB与CD所成的角60°;对于④,通过平移CD到下底面,可知AB与CD不垂直.所以能够得到AB⊥CD的是①和②.5.x+y-1=0 因为圆的直径为10,所以弦AB为圆的直径,因为圆心为C(1,0),且直线AB 过点P(2,-1),由直线方程的两点式得=,即x+y-1=0.6. ∵α是第二象限角,sin α=,∴tan α=-,∴tan(α+)==.7.8 由已知得==,所以4n=3m,因为抛物线y2=16x的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为(c,0),所以c=4,得m-n=42=16,解得m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为2=2=8.8.3 由坐标原点O到直线l的距离为,可得=,化简可得m2+n2=,令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,故△AOB的面积S=·||||=≥=3,且当仅当|m|=|n|=时,取等号.9.3 由sin Acos B=2cos Asin B得·=2··,所以a2+c2-b2=2(b2+c2-a2),即a2-b2=,又a2-b2=c,解得c=3.10. 设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|=|AF|,∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2),∴k==.11.7 当x>0时,函数f(x)=cos(x)+lox=cos(x)-log2x的零点个数,即函数y=cos(x)与函数y=log2x的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为3×2+1=7.12.π设圆柱的底面半径为r,高为h,则有()2+r2=12,所以圆柱的体积为V=πr2h=π(1-)h=π(-+h),而V'=π(-h2+1),易知当h=时,V取最大值π(-+h)=π[-()3+]=π.13.2 依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l1:y=x,l2:y=-x,设P(x,y).由PB∥l2得=-,因为点P在直线y=x上,于是解得P点坐标为P(,),因为PA⊥l2,所以·(-)=-1,即·(-)=-1,所以b2=3a2,因为a2+b2=c2,所以有c2=4a2,即c=2a,得e=2.14.[,] 如图,取AC中点为G,连接EG、FG,∵E,F分别是线段AD和BC的中点,∴GF∥AB,GE∥CD,在正四面体中,AB⊥CD,∴GE⊥GF,∴EF==,当四面体绕AB旋转时,∵GF∥平面α,GE与GF的垂直性保持不变,当CD与平面α垂直时,GE在平面上的射影长最短为0,此时EF在平面α上的射影E1F1的长取得最小值;当CD与平面α平行时,GE在平面上的射影长最长为,E1F1取得最大值;∴射影E1F1长的取值范围是[,].15.证明:(1)在半圆柱中,BB1⊥平面PA1B1,所以BB1⊥PA1.因为A1B1是底面圆的直径,所以PA1⊥PB1,因为PB1∩BB1=B1,PB1⊂平面PBB1,BB1⊂平面PBB1,所以PA1⊥平面PBB1.6分(2)因为AC⊥BC,AC=BC,所以△ABC是等腰直角三角形,且AB2=BC2+AC2=2AC2.所以半圆柱的体积V1=(AB)2π·AA1=AC2·AA1.多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面,以C为顶点的四棱锥,其高为点C到底面ABB1A1的距离,设这个高为h,在Rt△ABC中,易得AB·h=AC·BC,所以h=,所以V2=·AA1·AB·=·AA1·AC·BC=AA1·AC2.所以=.14分16.解:(1)设A(x1,),B(x2,),x1≠0,x2≠0,x1≠x2,因为·=0,所以x1x2+=0,又x1≠0,x2≠0,所以x1x2=-1.因为 =(-x1,1-),=(-x2,1-),且(-x1)(1-)-(-x2)(1-)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以∥.7分(2)由题意知,点M是直角三角形AOB斜边上的垂足,又定点C在直线AB上,∠OMB=90°,所以点M在以OC为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x2+(y-)2=(y≠0).14分17.证明:(1)因为AB=AD,∠BAD=45°,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos 45°=AD2,所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD,因为DD1⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以DD1⊥BD,又AD∩DD1=D,所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1,所以BD⊥AA1.7分(2)连结AC、A1C1,设AC∩BD=E,连结EC1,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AE=AC,由棱台的定义及AB=AD=2A1B1知,A1C1∥AE,且A1C1=AE,所以四边形A1C1EA是平行四边形,因此AA1∥EC1,又因为EC1⊂平面BC1D,AA1⊄平面BC1D,所以AA1∥平面BC1D.14分18.解:(1)由2(a n+a n+2)=5a n+1得a n+2=a n+1-a n,所以a n+2-2a n+1=a n+1-a n-2a n+1=a n+1-a n=(a n+1-2a n).又因为a2-2a1=2-2×5=-8,所以数列{a n+1-2a n}是首项为-8,公比为的等比数列.同理a n+2-a n+1=a n+1-a n-a n+1=2a n+1-a n=2(a n+1-a n),又a2-a1=2-=-,所以数列{a n+1-a n}是首项为-,公比为2的等比数列.8分(2)由(1)知a n+1-2a n=-8×()n-1=-2-n+4,a n+1-a n=-×2n-1=-2n-2,将以上两式相减得到a n=(n∈N+),所以2n-3a n=2n-3×=(n∈N+),所以S n=-(4-1+40+41+42+…+4n-2)=.16分19.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意.解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.6分(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.因为=(x-m,y),所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2.因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=4m时,||2取得最小值,而x∈[-4,4],故有4m≥4,解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4].16分20.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e1+a,当x∈(0,e1+a)时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(e1+a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.所以当x=e1+a时,f(x)取得极小值,即极小值为f(x)==-e-1-a,无极大值.6分(2)①当e1+a<e,即a<0时,由(1)知,f(x)在(0,e1+a)上是减函数,在(e1+a,e)上是增函数,当x=e1+a时,f(x)取得最小值,即f(x)最小值=-e-1-a,又当x=e a时,f(x)=0,当x∈(0,e a)时,f(x)>0,当x∈(e a,e)时,f(x)∈(-e-1-a,0),所以f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e]上有公共点,等价于-e-1-a≤-1,解得a≤-1,又a<0,所以a≤-1.②当e1+a≥e,即a≥0时,f(x)在(0,e]上是减函数,f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=,所以,原问题等价于≤-1,得a≤1-e<0,又a≥0,所以不存在这样的实数a.综上知实数a的取值范围是a≤-1.16分。