函数与导数期末复习题

高三期末复习函数方程不等式(2)编写人：刘洪志题型一、导数的几何意义⑴已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．⑵曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________．⑶已知函数()cos f x k x =的图像经过点,13P π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数图像上过点P 的切线斜率为 ．题型二、利用导数研究函数⑴已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，其中1a >，试讨论函数()f x 的单调性⑵设函数()()2x k f x x k e =-，⑴求()f x 的极大值；⑵若对任意的()0,x ∈+∞，都有()1f x e≤求实数k 的取值范围题型三、解不等式 ⑴不等式1121x x -≤+的解集是 ⑵已知关于x 的不等式101ax x ->+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，则a = ⑶已知函数()2f x x x =-，若()()212f m f --<，则实数m 的取值范围是 ⑷函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意的(),2x R f x '∈>，则()24f x x >+的解集是 题型四、基本不等式的应用⑴已知()0,0,ln 0a b a b >>+=，则11a b+的最小值为 . ⑵设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 . ⑶已知,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 .⑷不等式()228a b b a b λ+≥+对任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 . 题型五、应用题⑴有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A ，B ，AB 间距离为3km ，椭圆焦点为C ，D ，CD 间距离为2km ，在C ，D 处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P ，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为1k ），与距离的平方成反比（比例系数都为2k ），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍。

高中数学函数与导数练习题及参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)的值为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-3x+4C. 6x^2-6x-4D. 6x^2-3x-42. 已知函数f(x)=e^(2x)-x，下列说法正确的是：A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为RC. 对任意x∈R，f(x)≥0D. f(x)在R上递增3. 函数f(x)=log(2x+1)的定义域为：A. x>1/2B. x≥1/2C. x>1D. x≥-1/24. 函数f(x)=(x-2)^2-1的图像对称于：A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x=25. 函数f(x)=x^3+3x^2-x+2的最小值为：A. -∞B. -4C. 1D. 66. 函数f(x)=log_a(x^2-4)的定义域为：A. x>2B. x<-2C. x>2或x<-2D. x>07. 设函数f(x)=(x+1)e^x，则f'(x)=：A. (x+2)e^xB. xe^xC. (x+1)e^x+e^xD. (x+1)e^x+18. 函数y=2^(x^2)的图像在y轴的左侧为：A. 上拋曲线B. 下落曲线C. 开口向上的曲线D. 开口向下的曲线9. 函数f(x)=√(x-1)的定义域为：A. x>1B. x≥1C. x>0D. x≥010. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f''(x)的值为：A. 6x-6B. 6x-2C. 6x-3D. 6x-4二、计算题（每小题5分，共40分）1. 计算函数f(x)=e^(2x)-3x在x=1处的导数f'(1)的值。

解答：f'(x)=2e^(2x)-3f'(1)=2e^2-32. 已知函数y=log_a(x^2-4)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。

高中数学函数与导数复习题集附答案1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种具有对应关系的数学工具，它使得一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

一般来说，函数由输入和输出组成，输入称为自变量，输出称为因变量。

1.2 函数的性质函数有以下几个基本性质：- 定义域：函数的自变量能取的值的范围。

例如，对于函数f(x) =√x，定义域是非负实数集。

- 值域：函数的因变量能取的值的范围。

继续以f(x) = √x为例，值域是非负实数集。

- 单调性：函数的增减关系。

可分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四种情况。

- 奇偶性：函数图像相对于y轴的对称性。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

- 周期性：函数图像的重复性。

周期函数满足f(x+T) = f(x)，其中T为正数。

2. 常见函数类型及性质2.1 一次函数（线性函数）一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

- 斜率 k 决定了函数图像的斜率和单调性。

- 截距 b 决定了函数图像与y轴的交点位置。

2.2 二次函数（抛物线函数）二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。

- 抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定。

- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 对称轴方程为x = -b/2a。

2.3 幂函数幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数。

- 当a > 1时，函数图像在定义域上是递增的。

- 当0 < a < 1时，函数图像在定义域上是递减的。

- 当a < 0时，函数图像具有奇对称性。

2.4 指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。

- 指数函数的图像都通过点(0, 1)。

- 当a > 1时，函数图像在整个定义域上递增。

导数与函数综合试题答案一、选择题1. 题目：若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则下列选项中正确的是：A. f(0) < f(1)B. f(1) < f(0)C. f(0) = f(1)D. f(x)在[0,1]上可能存在极小值点答案：A2. 题目：设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求g(x)的单调递减区间。

答案：[0,2]3. 题目：函数h(x) = e^x的导数为：答案：e^x4. 题目：若函数k(x) = x^2 + 3x + 2在点x=1处的切线方程为：答案：y = 5x - 25. 题目：设函数p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求p(x)的极值点。

答案：x = 1, x = 2, x = 3二、填空题1. 题目：函数q(x) = |x^2 - 4x|在x=2处的导数为______。

答案：42. 题目：若函数r(x) = sin(x) + cos(x)，则r'(x) = ______。

答案：cos(x) - sin(x)3. 题目：函数s(x) = ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)4. 题目：设函数t(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求t(x)的拐点坐标。

答案：(1, 2)5. 题目：函数u(x) = x^3的单调递增区间为______。

答案：(-∞, +∞)三、解答题1. 题目：设函数v(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求v(x)的最大值和最小值。

答案：首先求导得到v'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4，令v'(x) = 0，解得x = 0, 1, 2。

通过分析二阶导数v''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2 + 1 > 0，可知v(x)在x = 0和x = 2处取得极小值，在x = 1处取得极大值。

导函数复习题及答案1. 定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则称f(x)在x=a处的导数为导函数，记作f'(a)。

请给出导数的定义式。

2. 基本导数公式：列出几个常见的导数公式。

3. 导数的几何意义：解释导数在几何上的直观含义。

4. 导数的运算法则：给出求导的四则运算法则。

5. 高阶导数：解释什么是高阶导数，并给出一个例子。

6. 复合函数的导数：使用链式法则求复合函数的导数。

7. 隐函数的导数：给出隐函数求导的一般步骤。

8. 应用题：给定一个函数f(x)=x^3-2x^2+x+5，求其在x=2处的导数。

9. 应用题：若某物体的速度函数v(t)=t^2-3t+2，求其在t=1时的加速度。

10. 应用题：给定一个函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求其导数f'(x)。

答案1. 定义：若极限\( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)存在，则称f(x)在x=a处可导，该极限值即为f(x)在x=a处的导数，记作\( f'(a) \)。

2. 基本导数公式：- \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \)（幂函数）- \( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)（指数函数）- \( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)（自然对数函数）- \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \)- \( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \)3. 导数的几何意义：导数在几何上表示函数在某点的切线斜率。

4. 导数的运算法则：- \( \frac{d}{dx}(kf(x)) = k\frac{d}{dx}f(x) \)（常数倍） - \( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm\frac{d}{dx}g(x) \)（和差）- \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)\frac{d}{dx}g(x) +g(x)\frac{d}{dx}f(x) \)（乘积）- \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) =\frac{\frac{d}{dx}f(x)g(x) - f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2} \)（商）5. 高阶导数：例如，若f'(x)存在，则f''(x)表示f'(x)的导数，称为二阶导数。

高中函数和导数试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 3C. 2x + 1D. 3x + 22. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数是：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)3. 已知函数g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1，其在x = 1处的导数值是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 若f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 6x - 7，求f'(x) = __________。

5. 若f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x + 5，求f'(2) = __________。

三、解答题6. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求h'(x)，并求h'(1)的值。

7. 已知函数k(x) = √x，求k'(x)，并讨论k(x)的单调性。

四、综合题8. 已知函数F(x) = ln(x) + x^2，求F'(x)，并讨论F(x)在x > 0时的增减性。

答案解析：一、选择题1. 正确答案：A. 2x + 3解析：f'(x) = 2x + 3，根据导数的幂规则和线性规则计算得出。

2. 正确答案：A. cos(x) - sin(x)解析：f'(x) = cos(x) - sin(x)，根据三角函数的导数规则计算得出。

3. 正确答案：B. 0解析：g'(x) = 6x^2 - 10x + 7，代入x = 1得g'(1) = 0。

二、填空题4. 答案：12x^2 - 10x + 6解析：根据导数的幂规则和线性规则计算。

5. 答案：44解析：f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x + 4，代入x = 2计算得出。

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。

下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。

）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。

当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。

当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。

当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。

因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。

函数与导数一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（ ）A ．8-B ．4-C ．5-D ．114．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（ ）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．2 C ．e -D ．e9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围. 24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+.（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0xxe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e 内有两个零点，求a 的取值范围.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)【答案】A 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数， 因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，所以由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)log (31)3f f m =-=--=， 解得43m =-. 故选：C .3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（ ）A ．8-B ．4-C ．5-D ．11【答案】C【解析】：因为0x >时，()22x f x x =+，所以12(1)213f =+=；又因为()f x 是奇函数，所以()()()22448f f -=-=-+=-， 即()()51238f f +-=-=-， 故选：C.4．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 【答案】D【解析】对A ，函数22xxy -=-在()0,∞+单调递增，故A 不符合；对B ，函数tan y x x =为偶函数，故B 不符合；对C ，函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立，所以在()0,∞+单调递增，故C 不符合； 对D ，函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减，故D 符合； 故选：D5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()sin()ln sin ln ()f x x x x x x x f x -=----=-=，()f x ∴为偶函数，排除A ，C 选项；当(0,1)x ∈时，sin 0,ln 0x x x ><，()0f x ∴>，排除D 选项，故选B ．故选B6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（ ）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<【答案】C【解析】因为对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，所以对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，21x x -与21()()f x f x -均为异号， 所以()f x 在[1,)+∞上单调递减，又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)(4)f f -=，所以()()()2(4)31f f f f -=<<. 故选：C.7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间， 所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．2 C ．e - D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为(),ln t t t ，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+，所以，直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+，解得t e =， 因此，直线l 的斜率为()2f e '=. 故选：B.9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数【答案】D【解析】因为()sin f x x x =-的定义域为R ，()sin()()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数为奇函数，故A 正确；因为()cos 10f x x '=-≤，所以()sin f x x x =-在R 上为减函数，故B 正确；因为(0)sin 000f =-=，且()sin f x x x =-在R 上为减函数，所以函数()f x 的唯一零点是0，故C 正确；因为()sin f x x x =-,不存在0T ≠,使得()sin()()f x T x T x T f x +=+--=，故D 错误. 故选：D11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞【答案】C【解析】：因为ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，当0x ≥时，()()ln 1f x x =+在定义域上单调递增，且()00f =，当0x <时()00f =，要使(4)(23)f x f x -<-，则423230x x x -<-⎧⎨->⎩解得32x >，即3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭故选：C12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()f x 满足()()x e f x f x x '-=，()(1)x f x f x e x '-∴=，则()1x f x e x'⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可设()ln xf x x c e=+，c 为常数，故()()ln x f x x c e =+，()11f c e e ∴=⋅=-， 1c ∴=-，故()()ln 1xf x x e =-，1()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 1g x x x =+- ，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则22111()x g x x x x -'=-=， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，故()g x 单调递减；()1,∈+∞x 时，()0g x '>，故()g x 单调递增，()g x ∴在1x =时取得最小值(1)0g =，()0g x ∴≥恒成立，1()ln 10x f x e x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，又()1f e =-，所以不等式13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭即13(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，根据单调性得11312m ≤-≤，解得2152m ≤≤. 故选：D.13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】设()t f x =，则方程为210t at --=，解得t =，且10t =>，20t =<，当0x ≤时，()1x f x xe+=，则()()11x f x x e+'=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 可知()f x 在1x =-处取得极小值()11f -=-；当0x >时，()33=-f x x x ，则()()()233311f x x x x '=-=-+，当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知()f x 在1x =处取得极大值()12f =， 如图作出函数()f x 的图象，要使关于x 的方程()()210fx a f x -⋅-=有5个不同的实根，有1221t t <⎧⎨>-⎩，解得302a <<.故选：B.14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(,0)-∞上递增，又ln 1(ln 1)ax x ax x --=--++，则(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为： 2(ln 1)2(1)f ax x f --≥，即(ln 1)(1)f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以：ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[1,3]x ∈同时恒成立. 设ln ()xg x x =，21ln ()x g x x -'=，则()g x 在[1,e)上递增，在(,3]e 上递减，max1()()g x g e e ∴==. 设ln 2()x h x x+=，21ln ()0x h x x --'=< ，()h x 在[1,3] 上递减，min2ln 3()(3)3h x h +== . 综上得：a 的取值范围是12ln 3[,]3e +.15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】B【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1. 故选：B.二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 【答案】3 【解析】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.【答案】3【解析】画出()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如下，因为()(0)f x m m =<有且只有两个不等实根， 即函数()y f x =与y m =有两个不同交点，由图像可得，112m -<<-， 所以1x ，2x ，关于直线32x =对称， 则123232x x +=⨯=. 故答案为：3.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x 的大致图象如图所示，由已知关于x 的方程()f x a =或()12f x a =+恰有5个不相等的实数根，则01,11,2a a <<⎧⎪⎨+≥⎪⎩解得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．【答案】(),0-∞【解析】由220x x ->， 可得2x >或0x <， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．【答案】(,1)(0,1)-∞-【解析】 令3()()f x g x x =，0x >， 因为当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则当0x >时，4()3()()0xf x f x g x x'-'=<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减， 又因为()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-，则33()()()()()f x f x g x g x x x--===-， 故()g x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递增， 因为()10f -=，故()()110g g -==，由()0f x >可得3()0x g x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，所以001x x >⎧⎨<<⎩或01x x <⎧⎨<-⎩. 解可得，1x <-或01x <<. 故答案为：()(),10,1-∞-⋃.21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x xa --+>-=--， 令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[e 1,)-+∞.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况讨论，可求解函数的单调性；（2）由已知得e 1ln x a x x x=--有实数解，构造函数，利用函数的单调性及函数的性质求得a 的范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e '=-xf x a当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，令()xf x e a '=-，得ln x a =，则()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）由()()f x g x =，得e ln 1xax x x =--，因为0x >，所以e 1ln x a x x x=--.令e 1()ln x h x x x x=--，0x >，则()22e 1(1)e e 1()x x x x x x h x x x----+'==. 令()0h x '=，得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数.所以min ()(1)e 1h x h ==-.又因为e 1e 1()ln ln x x h x x x x x x -=--=-，因为0x >，e 1x>，所以e 10x x->，所以当0x →时，()h x →+∞. 所以函数()h x 的值域为[e 1,)-+∞，因此实数a 的取值范围为[e 1,)-+∞.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.【答案】（1）1a f e -=-极小值，()f x 无极大值；（2）0ln3m <≤.【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得()ln 1f x x a '=-+，令()10a f x x e -'=⇒=，再列表，从而求得函数的极值；（2）利用导数研究函数的最值，对m 分两种情况讨论，即01m <≤和1m ，即可得答案； 【详解】（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10a f x x e-'=⇒=，x ，()f x '，()f x 的变化如下：列表分析可知，()11a a f f ee --==-极小值，()f x 无极大值. （2）对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=.因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增. （1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()21mm e m ϕ=--（01m <≤），则有()2mm e ϕ'=-.由此可得；当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<；当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>， 即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()13e ϕ=-，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-.依据题意可知()()101031ln 322m me f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【答案】（1）答案见解析；（2）1a ≥；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分0a ≤，0a >两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）利用导数求()f x 的最大值小于零即可，或()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >，然后构造函数ln 1()x g x x+=，利用导数求其最大值即可； （3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k+=∈时，有11lnk k k +<，然后利用累加法可得111ln(1)123n n +<+++…+，当*,1kx k N k =∈+时，有11ln 1k k k +>+，再利用累加法可得1111ln(1)2341n n +>+++…+，从而可证得结论【详解】（1）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增；．当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<， 所以()f x 在区间1(0,)a上递增，在1(,)a+∞上递减.（2）方法1：构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，由（1）()f x 在(0,)+∞上递增，又(1)10f a =->，不符合题意，舍；．当0a >时，由（1）知()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减；所以max 11()()ln()0f x f a a==≤，解得：1a ≥. 综上：1a ≥ 方法2：分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >设ln 1()x g x x+=，0x >，2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，1x =，则 当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减；所以max ()(1)1g x g ==，所以：1a ≥（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k +=∈时，11ln 1k k k k ++<-，即11ln k k k +<； 所以，2ln11<，31ln 22<，41ln 33<，……，11ln n n n +<； 上述不等式相加可得：2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+， 即：2341111ln112323n n n +⋅⋅<+++…+， 即：111ln(1)123n n+<+++…+，*n N ∈； ．当*,1k x k N k =∈+时，ln 111k k k k <-++，即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，即11ln 1k k k +>+ 所以，21ln12>，31ln 23>，41ln 34>，……，11ln 1n n n +>+；上述不等式相加可得：23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+， 即：23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+， 即：1111ln(1)2341n n +>+++…+，*n N ∈； 综上：当*n N ∈时，111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n.25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1y =； （2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【解析】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点. （2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号：当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+. （Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见详解【解析】(1) ()f x 在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+，而2()(2)(1)xf x x e a x'=-+-∴(1)1f e a e '=-+=-，即1a =而(1)21f e =--，故切点为(1,21)e -- ∴121e b e -+=--，即2b e =-- 故有：1a =，2b e =--(2)由(1)知：()(3)2ln x f x x e x x =-+-且定义域(0,)x ∈+∞∴(2)2(1)(2)()x x x x e x xe x f x x x--+--'==，若()(2)(1)xg x x xe =-- 令()1x h x xe =-，即()(1)x h x x e '=+在(0,)x ∈+∞有()0h x '>恒成立∴()h x 单调增，又(0)10h =-<，(1)10h e =->：即()h x 的零点1x 在(0,1)内 ∴1(0,)x 上()0h x <，1(,)x +∞上()0h x > 故在()g x 中1(0,1)x ∈，(0,)x ∈+∞上有当10x x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 当12x x <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x 单调减 当2x >时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 ∴()f x 存在唯一的极大值点0x =1(0,1)x ∈又有01()()(1)21f x f x f e =>=--而001xx e =，000000003()32ln 13x x f x x e e x x x x =-+-=--且0(0,1)x ∈ ∴0()5f x <-(利用均值不等式，但等号不成立，因为0x 无法取1)综上，得证：021()5e f x --<<-27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）依题意()()()()()1111xx f x ex x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞.（2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立， 即()()222e 14422xa a a x x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭， 即()()222e 442x a x x x x --+=-≥，即2e xx a -≥恒成立，即max 2e x x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令()()22e x x h x x -=>，则()()123e exx x x h x ---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减， 所以()()3max 13e h x h ==，所以31e a ≥. 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0x xe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）(]0e ，. 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()211112x x g x x x x-+-=+-='， 令()0g x '>即()()2110x x +-<，解得112x -<<， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. （2）依题意得()222()ln ln x x x xe a x a g x xe a x a x ax ax xe a x ax --=--+-=--设()()ln 0xh x xe a x ax x =--∈∞，，+，则()()()()+111xx a x a h x x e x e x x ⎛⎫=+-=+- ⎝'⎪⎭， 0a >，∴设()0h x '=的根为0x ，即有00xae x =，可得00x lna lnx =-， 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()()00000000min 0ln ln xah x h x x e a x ax x a x a ax x ==--=+--⋅ln 0a a a =-≥解得a e ≤，∴实数a 的取值范围是(]0e ，. 29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减；(2)342,1a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)[,]a e e ∈-⋃.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--= 令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调减区间(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2) ()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=--==, 当0a =时，2()0f x x =≥恒成立；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增， 所以222min()()ln()02422a a a af x f a =-=+--≥，解得3420-≤<e a ；综上，a 的取值范围34[2,1]e -. (3)法一：显然，1x =不是()g x 的零点，所以1x ≠由()0g x =，得22ln x a x =，令2()ln x h x x=，2(2ln 1)()(ln )x x h x x '-=，令()0h x '=得12x e =， 当121[,1)(1,]x e e∈时，()0f x '<；当12(,]e x e ∈时，()0f x '>，所以()h x 在1[,1)e和12(1,]e 单调递减，12(,]e e 单调递增，又1[,1)x e ∈时，()0h x <，22ln x a x=不成立，所以只需12222()2()a h e e a h e e⎧⎪>=⎨⎪≤=⎩，故a 的取值范围[,]e e -⋃．法二：22222()ln ,()x a g x x a x g x x-'=-=，当0a =时，不合题意，舍去；当0a >时，()g x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)01()0()0e e g g e g e ⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln 0211ln 0ln 0a e a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得]a e ∈； 当0a <时，()g x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)(01()0()0e e g g e g e ⎧⎪⎪⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln(0211ln 0ln 0a a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得[,a e ∈-； 综上，a的取值范围[,]e e -⋃.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减． （2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=，又由()()()()()32322223213313111131x x x x x xx x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞．。