新课衔接站03 5.3 平行线的性质(试题)-2020-2021学年七年级数学寒假学习精编讲义

5.3平行线的性质同步练习一．选择题1．如图，AB⊥AE于点A，AB∥CD，∠CAE＝42°，则∠ACD＝（）A．112°B．122°C．132°D．142°2．如图，若AD∥BC，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠1＝∠2D．∠2＝∠33．下列各图形中均有直线m∥n，则能使结论∠A＝∠1﹣∠2成立的是（）A．B．C．D．4．如图AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BAF的度数为（）A．48°B．16°C．14°D．32°6．已知，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝64°，则∠2的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．35°7．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（）A．35°B．45°C．50°D．55°8．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90°B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°C．∠γ+∠β﹣∠α＝180°D．∠α+∠β+∠γ＝180°9．如图，若直线l1∥l2，则下列各式成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠5C．∠2+∠5＝180°D．∠1+∠3＝180°10．将一块直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A、C分别落在直线a、b上，若a∥b，∠1＝62°，则∠2的度数为（）A．28°B．30°C．38°D．62°二．填空题11．如图，AB∥CD，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为度．12．如图，已知AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝70°，则∠ADC的度数是．13．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为度．14．如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为．15．如图，AB∥CD∥EF，且CF平分∠AFE，若∠C＝20°，则∠A的度数是．三．解答题16．如图，AB∥CD，EF⊥AB于O，∠FGD＝140°，求∠EFG的度数．17．如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．在下列解答中，填空：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（）．∴∠ABC＝∠BCD（）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（）（）．∴∠PBC＝（）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（），∠2＝∠BCD﹣（），∴∠1＝∠2（等量代换）．18．已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．参考答案一．选择题1．解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝132°．故选：C．2．解：∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，故选：A．3．解：A、∵m∥n，∴∠2＝∠1+∠A，∴∠A＝∠2﹣∠1，不符合题意；B、∵m∥n，∴∠1＝∠2+∠A，∴∠A＝∠1﹣∠2，符合题意；C、∵m∥n，∴∠1+∠2+∠A＝360°，∴∠A＝360°﹣∠2﹣∠1，不符合题意；D、∵m∥n，∴∠A＝∠1+∠2，不符合题意；故选：B．4．解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝60°，∵∠FED＝∠C+∠F，∴∠F＝∠FED﹣∠C＝60°﹣40°＝20°，故选：B．5．解：∵DE∥AF，∴∠CED＝∠EAF＝46°，∵∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝60°﹣46°＝14°，故选：C．6．解：∵∠1+∠B＝64°，∴∠3＝∠1+∠B＝64°，∵a∥b，∴∠3+∠ACD+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠3＝180°﹣90°﹣64°＝26°，故选：B．7．解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF．∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF．∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠C＝90°．∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，∴∠C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．8．解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故选：B．9．解：∵直线l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，故选：D．10．解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝62°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣62°＝28°，故选：A．二．填空题11．解：∵AB∥CD，∴∠CMF＝∠1＝57°，∵MF平分∠CME，∴∠CME＝2∠CMF＝114°．又∵∠CME+∠EMD＝180°，∴∠EMD＝180°﹣∠CME＝180°﹣114°＝66°．故答案为：66．12．解：∵AB∥CD，∴∠1+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝×110°＝55°．∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝55°．故答案为：55°．13．解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝62°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，∴∠FGE＝31°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．则∠PGF的度数为59或121度．故答案为：59或121．14．解：∵∠CEF＝∠CHD，∴DH∥GE，∴∠ADH＝∠G，∵∠EFC＝∠ADH，∵∠BFG＝∠EFC，∴∠G＝∠BFG，∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，∴∠EFC＝38°，∴∠ABC＝76°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝76°，故答案为：76°．15．解：∵CD∥EF，∠C＝20°，∴∠CFE＝∠C＝20°．又∵CF平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝40°．∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝40°．故答案为：40°．三．解答题16．解：过点F作FM∥AB，如图所示.∵AB∥CD，FM∥AB，∴FM∥CD，∴∠MFG＝180°﹣∠FGD＝180°﹣140°＝40°．∵EF⊥AB，∴∠BOF＝90°，又∵FM∥AB，∴∠OFM＝180°﹣∠BOF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EFG＝∠OFM+∠MFG＝90°+40°＝130°．17．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．18．证明：∵∠BAP与∠APD互补，∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知）由等式的性质得：∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，即∠EAP＝∠FP A，∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）．。

5.3.1平行线的性质一、单选题1．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D 、分别落在'C D '、的位置上，'ED 的延长线与BC 的交点为,G 若50EFG ∠=︒，那么1∠=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】D 【分析】由矩形的对边平行得到AD ∥BC ，利用平行性质可以得到∠DEF ＝∠EFG ＝50°，由折叠的性质得到∠GEF ＝∠DEF ，可得出∠GED 的度数，根据平角的定义即可求出∠1的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFG ＝50°，由折叠得到∠GEF ＝∠DEF ＝50°，∴∠GED ＝∠GEF ＋∠DEF ＝100°，则∠1＝180°−∠GED ＝80°．故选：D ．【点评】此题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形和折叠的性质是解本题的关键．2．如图，直线a //b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】C【分析】根据平行线的性质可得∠1＋∠2＋90°＝180°，由∠1＝60°可求解∠2的度数．【解答】解：∵a ∥b ，∴∠1+∠2+∠BAC ＝180°，∵∠ABC ＝90°，∠1＝60°，∴∠2＝30°，故选：C ．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．3．下列说法正确的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线互相平行【答案】D【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论进行逐一判断即可．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故A 错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故B 错误；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C 错误；平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论．4．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF AB ⊥，CD AB ⊥，G 是AC 边上一点（不与A 、C 重合），小明说：“如果还知道CDG BFE ∠=∠，则能得到AGD ACB ∠=∠”；小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由AGD ACB ∠=∠，可得到CDG BFE ∠=∠”；小刚说：“∠AGD 一定大于∠ACD”小颖说：“如果联结GF ，则GF 一定平行于AB ”；他们四人中，有几个人的说法是正确的？（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由EF AB ⊥，CD AB ⊥，知CD EF ，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案； 【解答】已知EF AB ⊥，CD AB ⊥，∴CD EF ，（1）若BCD BFE ∠=∠，∵BCD BFE ∠=∠，∴BCD CDG ∠=∠，∴DG BC ，∴AGD ACB ∠=∠；（2）若AGD ACB ∠=∠，∴DG BC ，∴BCD CDG ∠=∠，BCD BFE ∠=∠，∴CDG BFE ∠=∠；（3）∵DG 你一定平行于BC ，∴∠AGD 不一定大于∠ACD ；（4）如果连接GF ，则GF 不一定平行于AB ；综上所述，正确的说法有2个；故答案选B ．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．5．如图，直线12l //l ，以直线1l 上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线1l 、2l 于点B 、C ，连接AC 、BC.若ABC 67∠=，则1(∠= )A ．23B ．46C ．67D ．78【答案】B【解答】根据题意得：AB AC =，67ACB ABC ∴∠=∠=，直线12//l l ，267ABC ∴∠=∠=，12180ACB ∠+∠+∠=，11802180676746ACB ∴∠=-∠-∠=--=．故选B.二、填空题6．如图，//,,3527'EE MN CA CB EAC ⊥∠=︒，则MBC ∠=____________________．【答案】5433'【分析】过C 点做EF 的平行线，利用平行线的性质，即可证明．【解答】过C 点做EF 的平行线,GH//,EF MN////,EF GH MN ∴3527'EAC ACH ∴∠=∠=，又,CA CB ⊥90,ACB ∴∠=︒5433',HCB ACB ACH ∴∠=∠-∠=︒又//,GH MN5433'HCB CBM ∴∠=∠=.故答案为：5433'．【点评】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线． 7．如图，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点E ，△ABE 的面积等于2，△BEC 的面积等于5，那么△BCD 的面积是________．【答案】7【分析】由于AD//BC ，则点B 、点C 到直线AD 的距离相等，利用三角形面积公式得到S △ABD =S △ACD ，两三角形的面积都减去三角形AED 的面积，则S △ABE =S △ECD =2，然后利用S △DBC =S △ECD +S △BCE 进行计算即可．【解答】解：∵//AD BC ，∴ABD ACD S S ∆∆=，∴2ABE ECD S S ∆∆==，∴257DBC ECD BCE S S S ∆∆∆=+=+=．故答案为：7．【点评】本题考查了两平行线之间的距离：两平行线之间的距离等于一条直线上任意一点到另条直线的距离．也考查了三角形的面积．8．直线//a b ，点A 、B 位于直线a 上，点C 、D 位于直线b 上，如果ABC ∆和CBD ∆的 面积之比是9:16，那么:AB CD ____．【答案】9：16【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD 和△ABC 的面积比等于CD ：AB ，从而进行计算．【解答】解：∵a ∥b ，∴△ABC 与△CBD 等高∴△ABC 的面积：△CBD 的面积=AB ：CD ，∵△ABC 和△CBD 的面积之比是9：16，∴AB ：CD=9：16，故答案为：9：16．【点评】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．9．如图，在58⨯正方形网格中，若每个小正方形的边长为1，则直线AB 、CD 之间的距离为______．【答案】3【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，根据正方形网格即可得到答案．【解答】解：由于每个小正方形的边长为1，所以直线AB 、CD 之间的距离为3，故答案为：3．【点评】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．10．如图所示，点D ，E 分别在BA ，BC 上，ADF a ∠=︒，ABC β∠=︒，ABC γ∠=︒，//DF EG ，则a ，β，γ之间满足的关系式是______．【答案】a βγ+=【分析】过B 作BH ∥DF ，由 DF//EG ，可知BH ∥EG ，由平行线∠ABH=∠ADF=α，∠CBH=∠CEG=β，由∠ABC=∠ABH+∠CBH 即可的结论．【解答】过B 作BH ∥DF ，∵DF//EG ，∴BH ∥EG ，∵DF//EG ，∴∠ABH=∠ADF=α∵BH ∥EG ，∠CBH=∠CEG=βABC ABH CBH ADF CEG γαβ=∠=∠+∠=∠+∠=+．a βγ∴+=．故答案为：a βγ+=【点评】本题考查三个角之间的关系问题，掌握利用平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键．三、解答题11．完成下面推理过程．如图：已知12∠=∠，A D ∠=∠．求证：B C ∠=∠．证明：12∠=∠（已知）13∠=∠（________）2∴∠=∠（________）（等量代换）//AE FD ∴（同位角相等，两直线平行）A ∴∠=∠（________）（________）A D ∴∠=∠（已知）D BFD ∴∠=∠（等量代换）∴（________）//CD （________）B C ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）【答案】对顶角相等；3；BFD ；两直线平行，同位角相等；AB ；内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定和性质分析判断即可；【解答】证明：12∠=∠（已知）13∠=∠（对顶角相等）2∴∠=∠（3）（等量代换）//AE FD ∴（同位角相等，两直线平行）A ∴∠=∠（BFD ）（两直线平行，同位角相等）A D ∴∠=∠（已知）D BFD ∴∠=∠（等量代换）∴（ AB ）//CD （内错角相等，两直线平行）B C ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）故答案是：对顶角相等；3；BFD ；两直线平行，同位角相等；AB ；内错角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．12．如图，已知12180∠+∠=︒，DEF A ∠=∠．（1）试判断ACB ∠与DEB ∠的大小关系；（2）对（1）的结论进行证明．【答案】（1）ACB DEB ∠=∠；（2）见解析【分析】（1）根据补角的性质，三角形内角和定理及平行线的性质判断ACB ∠＝DEB ∠；（2）根据补角的性质，三角形内角和定理及平行线的性质进行推理．【解答】解：（1）ACB ∠与DEB ∠的大小关系是：ACB DEB ∠=∠．（2）证明∵12180∠+∠=︒，2180BDC ∠+∠=︒，∴1BDC ∠=∠，∴BD ∥EF ，∴DEF BDE ∠=∠，∵DEF A ∠=∠，∴BDE A ∠=∠，∴DE ∥AC ，∴ACB DEB ∠=∠．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，补角的性质，灵活运用平行线的判定和性质是解本题的关键． 13．在三角形ABC 中，CD AB ⊥于点D ，F 是BC 上一点，FH AB ⊥于点H ，点E 在AC 上，EDC BFH ∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ；（2）如图2，延长ED 、FH 交于点G ，若90ACB ∠=︒，请直接写出图中与B 互余的角，不需要证明．【答案】（1）见解析；（2）BFG ∠、BCD ∠、A ∠、G ∠、CDE ∠【分析】（1）证FG ∥CD ，由平行线的性质得∠BFG ＝∠BCD ，得∠BCD ＝∠EDC ，再根据内错角相等，证出DE ∥BC ；（2）由互余的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵FG ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠FGB ＝∠CDB ＝90°，∴FG ∥CD ，∴∠BFG ＝∠BCD ，又∵∠EDC ＝∠BFG ，∴∠BCD ＝∠EDC ，∴DE ∥BC ；（2）解：图中与∠B 互余的角为∠BFG 、∠BCD 、∠A 、∠G 、∠CDE ，理由如下：∵FH ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BFG ＝∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠BFG 、∠BCD 与∠B 互余，∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠A ＝90°，∴∠A 与∠B 互余，∵FG ∥CD ，DE ∥BC ，∴∠G ＝∠BFG ，∠CDE ＝∠G ，∴∠G 、∠CDE 与∠B 互余．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．14．如图，在轮船 A 上测得轮船 B 在轮船 A 的南偏东 50 方向，岛 C 在轮船 A 的南偏东 80 方向；在轮船 B 上测得岛 C 在轮船 B 的北偏西 30 方向，从岛 C 看轮船 A ，B 的视角 ∠ACB 是多少度？【答案】∠ACB=130°．【分析】如图所示：过点C 作CD ∥AE ．然后利用平行线的性质可求得∠ACD=100°，∠DCB=∠CBF=30°从而可求得答案．【解答】解：过点 C 作 //CD AE ，如图所示：//CD AE ，//BF AE ，∴ //CD BF ． //CD AE ，∴ 180EAC ACD ∠∠+=．∴ 18080100ACD ∠=-= //CD BF ，∴ 30DCB CBF ∠∠==．∴ 10030130ACB ACD DCB ∠∠∠=+=+=．【点评】本题主要考查的是方向角的定义和平行线的性质和平行公理的推理，掌握平行线的性质是解题的关键．15．补全证明过程：（括号内填写理由）一条直线分别与直线BE 、直线CE 、直线BF 、直线CF 相交于A 、G 、H 、D ，如果∠1＝∠2，∠A ＝∠D ，求证：∠B ＝∠C ．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3，（ ）∴∠2＝∠3，（ ）∴CE∥BF，（）∴∠C＝∠4，（）又∵∠A＝∠D，（）∴AB∥，（）∴∠B＝∠4，（）∴∠B＝∠C．（等量代换）【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2＝∠3（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠B＝∠C（等量代换）．故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．。

人教版数学七年级下册5.3 平行线的性质基础训练一、选择题1.如图，直线a∥b,∠1=60°，则∠2=( B )A.30°B.60°C.45°D.120°2.下列命题是真命题的有( B )①有一条公共边的角叫做邻补角；②若两个角是直角，则这两个角相等;③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.A.0个B.1个C.2个D.3个3. 如图,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中相等的角共有( D )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对4.下列命题：①若|a|＞|b|，那么a2＞b2；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等．其中真命题的个数是(C)A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°,则∠2=( C )A.20°B.30°C.40°D.50°6.下列说法不正确的是( C )A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明B.定理是命题,而且是真命题C.“对顶角相等”是命题，但不是定理D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可7. 如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( B )A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°8. 如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝44°，那么∠2的度数为( A )A．46° B．44° C．36° D．22°9.如图，已知c⊥a,c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于( B )A.60°B.50°C.40°D.30°10.如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=(A )A.60°B.65°C.50°D.45°11.对于命题“若a2＞b2,则a＞b”，下面四组关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是( C )A.a=3,b=2B.a=-3,b=2C.a=3,b=-1D.a=-1,b=312.如图，点A在直线BG上,AD∥BC，AE平分∠GAD，若∠CBA=80°,则( C )A.60°B.50°C.40°D.30°二、填空题13.如图AC∥DF,AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上，若∠2=50°，则∠1的度数为 .【答案】50°14.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式: .【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等15. 如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．【答案】180°16.如图，点D,E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °.【答案】1017.用一组a，b，c的值说明命题“若 a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=,b=,c=. __【答案】23 -1(答案不唯一）18.如图，若∠∠，，则∠与∠的关系是________．【答案】相等三、解答题19.如图，已知直线AB∥DF,∠D+∠B=180°.(1)试说明DE∥BC；(2)若∠AMD=75°，求∠AGC的度数.解析：(1)∵AB∥DF,∴∠D+∠BHD= 180°,∵∠D+∠B=∠DHB,∴DE∥BC.(2)由（1)知 DE∥BC,∴∠AGB=∠AMD=75°,∴AGC=180°-∠AGB =180°-75°= 105°.20.如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.解析：(1)如果①②，那么③;如果①③，那么②;如果②③，那么①.(2)“如果①②,那么③”是真命题.证明如下：AB CD,B CDF.BC C=CDF,CE BF,E= F.,.AB CD,:. B CDF.E F,CE BF, C CDF,AB CD.∴∠=∠∠=∠∴∠∠∴∴∠∠∠=∠∠=∠∴∴∠=∠∴∥又，∥“如果①③那么②”是真命题证明如下：∥∥∥E=F CE BF C=CDF.B= C B=CDF AB CD∠∠∴∴∠∠∠∠∴∠∠∴“如果②③，那么①”是真命题.证明如下：， ∥，又，，∥21.如图，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，∠1＝65°，求∠2的度数．解：∵直线AB ∥CD ，∠1＝65°，∴∠ABC ＝∠1＝65°.∵BC 平分∠ABD ，∴∠ABD ＝2∠ABC ＝130°.∵直线AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠BDC ＝180°.∴∠2＝∠BDC ＝180°－∠ABD ＝180°－130°＝50°.22.如图，在四边形ABCD,若AB ∥CD,点P 为BC 上一点，设∠CDP=∠α,∠DPC=∠3，当点P 在BC 上运动时，∠α，∠β的和与∠B之间有何关系？请证明你的结论.解析：B.P PQ CD AD Q,DPQ=(.AB CD(PQ AB(B=CPQ CPQ DPQ ,a B(αβαββ∠+∠=∠∠∠∠∠∠=∠+∠∠+∠=∠证明如下：过点作∥交于点则两直线平行，内错角相等）因为∥已知)，所以∥平行公理的推论)，所以(两直线平行，同位角相等）.又所以等量代换).。

5.3 平行线的性质【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；【知识总结】一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.【注】（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．【注】（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．三、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．【注】（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.【注】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．四、平行线的性质与判定的区别与联系1、平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。

5.3.1平行线的性质作业一、选择题1. 如图所示，AB∥CD，则与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2.如图所示，CD∥AB,OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D=600,则∠BOF为（）A．350B．300C．250D．2003.如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）即可。

A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD4.如图，过△ABC的边BC上一点D作DF∥AC，若∠A=400，∠B=600，则∠FDB的度数为（）A．400B．600C．100D．12005.如图，直线a∥b，则∠A的度数是（）A．280B．310C．390D．4206.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=300，∠2=500，∠3=（）A．100B．200C．300D．5007.一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东600方向，那么从灯塔看船位于灯塔的____方向（）A．南偏西600B．西偏南600C．南偏西300D．北偏西300如图，已知a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线a上。

若∠1=400，则∠2的度数为（）A．1300B．1400C．1450D．15008.如图，AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个9.如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F等于（）A．1800B．3600C．5400D．720010.下列说法：①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是（）A．①B．②和③C．④D．①和④二、填空题11. 如图所示，如果DE∥AB,那么∠A+____=1800，或∠B+____=1800，根据是______________;如果∠CED=∠FDE,那么___ ∥____.根据是________12. 如果所示，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯前、后的两条路平行，若第一次拐角是1500，则第二次拐角为_________13. 如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE=700，∠ECD=1500，则∠BEC=_______14. 如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=350，∠P=900，则∠3=_____度15. 将一副学生用三角板按如图所示的位置放置，若AE∥BC，则∠DAF的度数是_____。

5.3 平行线的性质答案（检测时间50分钟 满分100分）班级_________________ 姓名_____________ 得分_____一、选择题（每小题3分，共21分）1、如图1所示，AB ∥CD ，则与∠1相等的角(∠1除外)共有( C )A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个解：由对顶角相等可得∠AGF=∠1；∵AB ∥CD ，∴∠1=∠GHD ；由对顶角相等可得∠GHD=∠CHF ，∴∠1=∠CHF2、如图2所示，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，那么∠BDC 等于( C ) A 、78° B 、90° C 、88° D 、92° 解：∵CD 是∠ACB 的平分线， ∠ACB=40°， ∴∠DCB=20°。

∵DE ∥BC ， ∴∠EDC=∠DCB=20°， ∠EDB+∠B=180°。

∵∠B=72°， ∴∠EDB =108°， ∴∠BDC=∠EDB －∠EDC =108°－20°=88°3、下列说法：①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；•③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行．其中是平行线的性质的是( A ) A 、① B 、②和③ C 、④ D 、①和④ 4、若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相( B ) A 、垂直 B 、平行 C 、重合 D 、相交 解：如图，已知AB//CD ，GI 、HJ 分别平分∠EGB 、∠EHD ，求证：GI//HJ证明：∵AB//CD ，∴∠EGB=∠EHD ，∵GI 、HJ 分别平分∠EGB 、∠EHD ，∴∠EGI=21∠EGB ，∠EGJ=21∠EGD ， ∴∠EGI=∠EHJ ，∴GI//HJ5、如图3所示，CD ∥AB ，OE 平分∠AOD ，OF ⊥OE ，∠D=50°，则∠BOF 为( C ) A 、35° B 、30° C 、25° D 、20° 解：如图，已知AB//CD ，GI 、HJ 分别平分 ∠EGB 、∠EHD ，求证：GI//HJ 证明：∵CD // AB ， ∴∠D=∠DOB ， ∵∠D=50°， ∴∠DOB=50°， ∴∠AOD=130°，∵OE 平分∠AOD ， ∴∠EOD=65°，∵OF ⊥OE ， ∴∠EOF=90°， ∴∠DOF=25°，C1 FA B DE GH 图1AD BCE图2 O F E D CBA图3A B CDE FG HI J∴∠FOB=25°，6、如图4所示，AB ∥CD ，则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( C )A 、180°B 、360°C 、540°D 、720°解：作EG//AB ，FH//AB∴∠A+∠AEG=180°①EG//FH∴∠GEF+∠EFH=180°② ∵AB ∥CD ∴FH//CD ∴∠FHC+∠C=180°③ 由①+②+③得 ∠A+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠FHC+∠C =∠A+∠E+∠F+∠C=540°7、如图5所示，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( B )•A 、6个B 、5个C 、4个D 、3个 二、填空题（每小题3分，共9分）1、如图6所示，如果DE ∥AB ，那么∠A+AED ∠=180°，或∠B+BDE ∠=180°，根据是两直线平行，同旁内角互补；如果∠CED=∠FDE ，那么DE ∥AB ，根据是两直线平行，内错角相等．2、如图7所示，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯前、•后的两条路平行，若第一次拐角是150°，则第二次拐角为︒150．3、如图8所示，AB ∥CD ，∠D=80°，∠CAD:∠BAC=3:2，则∠CAD=︒60，∠ACD=︒40． 解：∵AB ∥CD ， ∴︒=∠+∠180BAD D ∵︒=∠80D ∴︒=∠100BAD ∵2:3:=∠∠BAC CAD ∴︒=∠60CAD ︒=∠40BAC ∵AB ∥CD ，∴︒=∠=∠40BAC ACD三、训练平台（每小题8分，共32分） 1、如图9所示，AD ∥BC ，∠1=78°，∠2=40°，求∠ADC 的度数． 解：∵AD ∥BC ， ∴2∠=∠ADB∵︒=∠781，︒=∠402∴1∠+∠=∠ADB ADC12∠+∠=︒=178GFED C BA1 图5 FECBA 图6FE DC BA 图4G H 图7DCBA图8D C B A 1 2 图92、如图10所示，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠A 的2倍与∠C 的3倍互补，求∠A 和∠D 的度数．•解：∵AB ∥CD ， ∴︒=∠+∠180D A ∵AD ∥BC ， ∴︒=∠+∠180D C ∴C A ∠=∠ ∵∠A 的2倍与∠C 的3倍互补， ∴︒=∠+∠18032C A 即︒=∠+∠18032A A ∴︒=∠36A∴︒=∠144D3、如图11所示，已知AB ∥CD ，∠ABE=130°，∠CDE=152°，求∠BED 的度数． 解：作EF//AB∴︒=∠+∠180BEF ABE ①∵AB ∥CD ∴EF ∥CD∴︒=∠+∠180CDE FED ②由①+②得CDE FED BEF ABE ∠+∠+∠+∠︒=∠+∠+∠=360CDE BED ABE ∵︒=∠130ABE ，︒=∠152CDE ∴︒=∠78BED4、如图12所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数． 解：∵︒=∠721，︒=∠722∴b a // ∴︒=∠+∠18043 ∵︒=∠603， ∴︒=∠1204四、提高训练（每小题9分，共18分）1、如图13所示，已知直线MN 的同侧有三个点A 、B 、C ，且AB ∥MN ，BC ∥MN ，试说明A 、B 、C 三点在同一直线上．解：如图所示，过B 点任作直线PQ 交MN 于Q ，∵AB ∥MN ，∴∠PBA=∠MQP ，又∵BC ∥MN ，∴∠PBC=∠PQN ，又∵∠PQM+∠PQN=180°， ∴∠ABC=180°，∴A 、B 、C 三点在同一直线上.2、如图14所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若∠EFG=50°，求∠DEG 的度数． 解：∵ABCD 是长方形，∴AD//BC ， ∴EFG DEF ∠=∠， ∵︒=∠50EFG ，∴︒=∠50DEF ，∵四边形EMNF 是四边形EDCF沿EF 折叠而成∴MEF DEF ∠=∠，∴︒=∠100DEGD CB A 图10 E DC BA 图11F b a 3 4 12 图12 N图13N MG F E D CB A 图14五、探索发现（共12分）如图15所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠A 、∠C 的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．解：对图（1），作PF//AB ，则︒=∠+∠180APF A ① ∵AB//CD ∴PF//CD∴︒=∠+∠180C FPC ② 由①+②得C FPC APF A ∠+∠+∠+∠︒=∠+∠+∠=360C P A 即C A P ∠-∠-︒=∠360对图（2），作PF//AB ， 则APF A ∠=∠ ① ∵AB//CD ∴PF//CD∴C FPC ∠=∠ ② 由①+②得P FPC APF C A ∠=∠+∠=∠+∠ 即C A P ∠+∠=∠对图（3），作PF//AB ， 则︒=∠+∠180PFA A ①∵AB//CD ∴PF//CD∴︒=∠+∠180C FPC ② 由①－②得)(C FPC PFA A ∠+∠-∠+∠ C FPC PFA A ∠-∠-∠+∠= ︒=∠-∠+∠=0C P A 即A C P ∠-∠=∠对图（4），作PF//CD ， 则︒=∠+∠180FPC C ① ∵AB//CD ∴PF//AB∴︒=∠+∠180A FPA ② 由①－②得)(A FPA FPC C ∠+∠-∠+∠A FPA FPC C ∠-∠-∠+∠= ︒=∠-∠+∠=0A P C 即C A P ∠-∠=∠六、中考题与竞赛题（每小题4分，共8分） 1、如图16所示，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG•平分∠BEF ，若∠1=72°，则∠2=︒54．2、如图17所示，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE=︒180．图15PDC BA （1）F PDCB A （2）F P DCBA （3）F PD CBA （4）FGF EDCBA1 2 图16F E DCBA12 图17。

5.3.1平行线的性质 同步练习一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行D ．在同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行2．如图，已知直线//AD BC ，BE 平分ABC ∠交直线DA 于点E ，若58DAB ∠=︒，则E ∠等于（ ）A ．25°B ．29°C ．30°D ．45° 3．如图，//,1120,240AE BD ︒︒∠=∠=，则C ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒ 4．如图，//AB CD ，120BAE ∠=︒，40DCE ∠=︒，则AEC ∠=（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒ 5．如图，下列说法错误的是（ ）A ．若12∠=∠，则//a cB ．若35180∠+∠=︒，则//a cC ．若32∠=∠，则//b cD ．若//,//a b b c ，则//a c 6．如图，已知直线//a b ，145∠=︒，265∠=︒，则3∠等于（ ）A ．110°B ．100°C ．130°D ．120° 7．如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若150∠=︒，则5∠=（）．A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒ 8．如图，可以判断//AD BC 的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．180DAB ABC ∠+∠=︒D ．180ABC BCD ∠+∠=︒9．如图，////AB CD EF ，//BC DE ，70B ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．110°D ．120° 10．如图，//AB CD ，EC 分别交,AB CD 于点,F C ，链接DF ，点G 是线段CD 上的点，连接FG ，若13∠=∠，24∠∠=，则结论① C D ∠=∠，①FG CD ⊥，①EC FD ⊥，正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题 11．如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为____．12．已知：如图，12354∠=∠=∠=︒，则①4的度数是___________．13．如图，CD 平分ACB ∠，//DE AC ，若170︒∠=，则2=∠________．14．如图，//AB CD ，点M 为CD 上一点，MF 平分①CME ．若①1＝57°，则①EMD 的大小为_____度．15．如图，已知//a b ，14=70∠+∠︒，23=20∠-∠︒，则1∠=____________三、解答题16．已知：如图，直线//AB CD ，CA 平分BCD ∠，150∠=︒．求：2∠的度数．17．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，试说明12∠=∠．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：//AB CD180BAD D ∴∠+∠=︒（__________）．B D ∠=∠，BAD ∴∠+_______180=︒（等量代换）． ∴__________（同旁内角互补，两直线平行）12∠∠∴=（_________）18．如图，在ABC 中，点D 、F 在BC 边上，点E 在AB 边上，点G 在AC 边上，EF 与GD 的延长线交于点H ，CDG B ∠=∠，1180FEA ∠+∠=︒．求证：EH AD；（1）//∠=∠．（2）BAD H参考答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．C6．A 7．C 8．C 9．C 10．B11．110︒12．126°．13．35°14．6615．45︒16．①2=65°．17．两直线平行，同旁内角互补；①B；//AD BC；两直线平行，内错角相等．18．略。

2020-2021学年七年级下册数学人教版同步课时作业5.3平行线的性质一、单选题1.下列命题是真命题的是( )A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行C.相等的两个角是对顶角D.两个锐角的和一定是钝角2.如图，直线//AB CD ，则下列结论正确的是( )A.12∠=∠B.34∠=∠C.13180∠+∠=︒D.34180∠+∠=︒3.下列语句：①同一平面上，三条直线只有两个交点，则三条直线中必有两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中( )A.①②是真命题B.②③是真命题C.①③是真命题D.以上结论皆错 4.已知//a b ，一块含30︒角的直角三角板如图所示放置，245∠=︒，则1∠等于( )A.100︒B.135︒C.155︒D.165︒5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，下列选项中，正确的是( )A.60αα∠=︒∠，的补角120ββα∠=︒∠>∠，B.90αα∠=︒∠，的补角90ββα∠=︒∠>∠，C.100αα∠=︒∠，的补角80ββα∠=︒∠>∠，D.互为邻补角的两个角6.如图,直线//AB CD ,70,40A C ∠=︒∠=︒ ,则E ∠等于( )A.30︒B.40︒C.60︒D.70︒7.如图，P 是ABC ∠内一点，点Q 在BC 上，过点P 画直线//a BC ，过点Q 画直线//b AB ，若115ABC ∠=︒，则直线a 与b 相交所成的锐角的度数为( )A.25°B.45°C.65°D.85°8.如图，//BD AC ，BE 平分ABD ∠，交AC 于点E 若50A ∠=︒，则1∠的度数为( )A.65︒B.60︒C.55︒D.50︒9.如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O 点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA CD ，都是水平线，若60ABO DCO α∠=∠=︒，,则BOC ∠的度数为( )A.180α︒-B.120α︒-C.60α︒+D.60α︒-二、填空题10.命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”的题设是_______结论是__________11.如图，//7827AB CD B E ∠=︒∠=︒，，，则D ∠的度数为_____.12.如图，直线12//l l ，且分别与直线l 交于C D ，两点，把一块含30︒角的三角板按如图所示的位置摆放，若158∠=︒，则2∠的度数为___________.三、解答题13.如图5-6-10，AD BC ，120DAC ︒∠=，20ACF ︒∠=，140EFC ︒∠=。

2020学年春季学期七年级数学下册5.3平行线的性质同步测试卷解析版一、选择题1. 下列命题正确的是 ( )A．两直线与第三条直线相交，同位角相等B．两直线与第三条直线相交，内错角相等C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同旁内角相等答案：C 本题考查了平行线的性质根据平行线的性质依次判断即可。

A、缺少两直线平行的前提，故本选项错误；B、缺少两直线平行的前提，故本选项错误；C、两直线平行，内错角相等，正确；D、两直线平行，同旁内角应该互补，故本选项错误；故选C.2.如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=23°，则∠2的度数是（）A．23° B．22° C．37° D．67°答案：C解析：∵直尺的两边互相平行，∠1=23°，∴∠3=∠1=23°，∴∠2=60°-∠3=60°-23°=37°．故选 C．考点：平行线的性质．3.如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ABE＝70°，则∠ECD的度数为（）A．20° B．70° C．100° D．110°答案：D．解析根据邻补角的性质可得∠ABC的度数，再根据两直线平行内错角相等可得答案：∵∠ABE=70°，∴∠ABC=180°-70°=110°.∵AB∥CD，∴∠ECD=∠ABC=110°.故选 D．考点：1.邻补角的性质；2.平行线的性质．4.如图，AB=AC， AD∥BC，∠BAC=100°，则∠CAD的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．50°答案： C．解析：根据等腰三角形性质，三角形内角和定理求出∠C，根据平行线的性质得出∠CAD=∠C，即可求出答案:∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°.∵AD∥BC，∴∠CAD=∠C=40°.故选 C．考点：1.平行线的性质；2.等腰三角形的性质．5.如图，已知AB∥CD，EA是∠CEB的平分线，若∠BED=40°，则∠A的度数是（）A．40° B．50° C．70° D．80°答案：C．解析：根据邻补角性质可得∠BEC=180°-40°=140°，然后算出∠AEC的度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案：∵∠BED=40°，∴∠BEC=180°-40°=140°.∵EA是∠CEB的平分线，∴∠AEC=70°.∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC=70°.故选 C．考点：平行线的性质．6.如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40° B．45° C．50° D．60°答案： C.解析：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选： C．考点：平行线的性质．7.如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°答案： D．解析：过E作EF∥AC，如图：∵AC∥BD，∴EF∥BD，∴∠B=∠2=45°，∵AC∥EF，∴∠1=∠A=30°，∴∠AEB=30°+45°=75°，故选 D．考点：平行线的性质．.8. 如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（）A．70° B．100° C．140° D．170°答案：C．解析：如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a∥b，∴∠4=180°∠1=180°130°=50°，由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°．故选： C．考点：平行线的性质．9.如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1=∠3 B．∠2+∠3=180° C．∠2+∠4＜180° D．∠3+∠5=180°答案： D．解析：根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．故选 D．考点：平行线的性质．10.如图所示，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，当∠A=120°时，∠ECD的度数是（）A．45° B．40° C．35° D．30°答案：D．解析：∵AB∥CD，∠A=120°，∴∠DCA=180°-∠A=60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠DCA=30°，故选 D．考点：平行线的性质．11. 如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，BE∥AC，若∠C=50°，∠DBE=60°，则∠CBD的度数等于A．120° B．110° C．100° D．70°答案： B.解析：∵BE∥AC，∴∠CBE=∠C而∠C=50°∴∠CBE=50°又∠DBE=60°∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=50°+60°=110°.故选B.考点：平行线的性质.12.如图，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°答案： C．解析：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥AB∥DE，∴∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，∴∠A+∠ACD+∠D=∠A+∠1+∠2+∠D=360°．故选 C．考点：平行线的性质．二、填空题13. 如图，已知AB//DE，∠ABC=75°，∠CDE=150°，则∠BCD的度数为．答案： 45°．解析：根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．试题解析：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，∴∠BMD=∠ABC=75°，∴∠CMD=180°-∠BMD=105°；又∵∠CDE=∠CMD+∠BCD，∴∠BCD=∠CDE-∠CMD=150°-105°=45°．考点：平行线的性质．14.如图，已知AD∥BE，∠DAC=29°，∠EBC=45°，则∠ACB= °．答案： 74.解析：根据平行线的性质得出∠DAC+∠CAB+∠ABC+∠EBC=180°，求出∠CAB+∠ABC=106°，根据三角形内角和定理得出∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC），代入求出即可：∵AD∥BE，∴∠DAC+∠CAB+∠ABC+∠EBC=180°.∵∠DAC=29°，∠EBC=45°，∴∠CAB+∠ABC=106°.∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-106°=74°.考点：平行线的性质．15.如图，已知AB∥CD，∠1=130°，则∠2= ．答案： 50°.解析：如图：∵∠1=130°，∴∠3=180°∠1=180°130°=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．考点：平行线的性质．16.如图，AB∥CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，则∠EGF= °．答案： 32°．解析：根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．试题解析：∵AB∥CD，∠1=64°，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD= ∠EFD= ×64°=32°，∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD=32°．考点：平行线的性质．三、解答题17. 如图：BD平分∠ABC,F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H. ，求证：.答案：证明见解析.解析：先证明FG∥BD，再利用角平分线的性质知∠2=∠ABD利用平行线的性质即得∠1=∠2. ∵∠BHC=∠DHF，且∴∴FG∥BD∴∠1=∠ABD∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠2∴∠1=∠2.考点：1.平行线的性质2.角平分线的性质．18.如图，已知∠B=∠C，AD∥BC,求证：AD平分∠CAE．答案：证明见解析．解析：利用两直线平行，同位角相等和角平分线的定义进行即可．∵AD∥BC（已知）∴∠B=∠EAD（两直线平行，同位角相等）∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠C（已知）∴∠EAD=∠DAC（等量代换）∴AD平分∠CAE（角平分线的定义）．考点：1，平行线的性质2.角平分线的定义．19. 如图，已知AB//CD，分别写出下列四个图形中，∠P与∠A、∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以证明．答案：（1）∠A+∠C+∠P=360；（2）∠A+∠C=∠P；（3）∠A+∠P=∠C；（4）∠C+∠P=∠A．理由见解析.解析：本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．（1）∠A+∠C+∠P=360；（2）∠A+∠C=∠P；（3）∠A+∠P=∠C；（4）∠C+∠P=∠A．说明理由（以第三个为例）：已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．考点：1.平行线的性质；2.三角形的外角性质．20.如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠F，请说明理由．解：∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠DGF（）∴∠1＝∠DGF∴BD∥CE（）∴∠3＋∠C＝180º（）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＋∠C＝180º∴∥（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A＝∠F（）答案：（对顶角相等）、（同位角相等，两直线平行）、（两直线平行，同旁内角互补）、DF、AC、（两直线平行，内错角相等）解析：根据平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，分别分析得出即可．试题解析：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠DGF（对顶角相等），∴∠1=∠DGF，∴BD∥CE，（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠C=180°，（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠3=∠4（已知）∴∠4+∠C=180°∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．考点：平行线的判定与性质．。

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。

5.3.1 平行线的性质1. （3分）（2019·河南省3/23）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°2. （3分）（2018·赤峰8/26）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°3. （3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//∠∠=︒，则FAAB CD，70∠=︒，40C的度数为()A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒4. （3分）（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．5. （3分）（2015•盐城6/28）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．85° B．75° C．60° D．45°6. （3分）（2015•赤峰4/26）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10° B．20° C．30° D．50°7. （3分）（2015•鄂尔多斯4/24）如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（）第4题图A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′8. （3分）（2015•随州2/25）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°9. （3分）（2015•沈阳4/25）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．70°10. （3分）（2015•呼和浩特3/25）如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°11. （3分）（2015•通辽8/26）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°12. （3分）（2015•陕西4/26）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A．43°30′ B．53°30′ C．133°30′ D．153°30′（2014•南宁14/26）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是°．13. （3分）14. （3分）（2014•贵港14/26）如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．15. （3分）（2015•云南11/23）如图，直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，则∠α=．16. （3分）（2014•仙桃3/25）如图，已知a ∥b ，小华把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析●（3分）（2019·河南省3/23）如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．58°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，l 1l 2l 3l 4 56°120° α∴∠B ＝∠1，∵∠1＝∠D +∠E ，∴∠D ＝∠B ﹣∠E ＝75°﹣27°＝48°，故选：B ．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．●（3分）（2018·赤峰8/26）已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠EGB ＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【考点】平行线的性质．【分析】依据AB ∥CD ，可得∠EHD ＝∠EGB ＝25°，再根据∠PHD ＝60°，即可得到∠PHG ＝60°﹣25°＝35°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EHD ＝∠EGB ＝25°，又∵∠PHD ＝60°，∴∠PHG ＝60°﹣25°＝35°，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． ●（3分）（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//AB CD ，70C ∠=︒，40A ∠=︒，则F ∠的度数为( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出BEF ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：//AB CD Q ，70C ∠=︒，70BEF C ∴∠=∠=︒．40A ∠=︒Q ，704030F ∴∠=︒-︒=︒． 故选：A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2018·通辽12/26）如图，∠AOB 的一边OA 为平面镜，∠AOB ＝37°45′，在OB 边上有一点E ，从点E 射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是 75°30′（或75.5°） ．【考点】度分秒的换算；平行线的性质．【分析】首先证明∠EDO ＝∠AOB ＝37°45′，根据∠DEB ＝∠AOB +∠EDO 计算即可解决问题；【解答】解：∵CD ∥OB ，∴∠ADC ＝∠AOB ，∵∠EDO ＝∠CDA ，∴∠EDO ＝∠AOB ＝37°45′，∴∠DEB ＝∠AOB +∠EDO ＝2×37°45′＝75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．【点评】本题考查平行线的性质、度分秒的换算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．●（3分）（2015•盐城6/28）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．85° B．75° C．60° D．45°考点：平行线的性质．分析：首先根据∠1=60°，判断出∠3=∠1=60°，进而求出∠4的度数；然后对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2=∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可．解答：解：如图1，，∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°，∵∠5=∠4，∴∠5=30°，∴∠2=∠5+∠6=30°+45°=75°．故选：B．点评：此题主要考查了平行线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．●（3分）（2015•赤峰4/26）如图，直线AB∥CD，一个含60°角的直角三角板EFG（∠E=60°）的直角顶点F在直线AB上，斜边EG与AB相交于点H，CD与FG相交于点M．若∠AHG=50°，则∠FMD等于（）A．10° B．20° C．30° D．50°考点：平行线的性质．分析：先根据平行线的性质求出∠CKG的度数，再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数，根据对顶角相等即可得出结论．解答：解：∵直线AB∥CD，∠AHG=50°，∴∠AKG=∠XKG=50°．∵∠CKG是△KMG的外角，∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°．∵∠KMG与∠FMD是对顶角，∴∠FMD=∠KMG=20°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2015•鄂尔多斯4/24）如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为（）第4题图A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′答案：A●（3分）（2015•随州2/25）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（）A．50°B．120°C．130°D．150°考点：平行线的性质．.分析：由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．解答：解：如图：∵AB∥CD，∴∠A+∠2=180°，∴∠2=130°，∴∠1=∠2=130°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等分析．●（3分）（2015•沈阳4/25）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．70°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=60°，∵∠B=40°，∴∠A=180°﹣∠C ﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C 的度数是解答此题的关键．●（3分）（2015•云南11/23）如图，直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，则∠α= ．解法一：∵ 直线l 1∥l 2，并且被直线l 3、l 4所截，∴ ∠α+56°=120°，∠α=120°-56°=64°.故答案：64°.解法二：如图，∵ ∠1+56°=120°，∴∠1=120°-56°=64°, ∵直线l 1∥l 2，∴ ∠α=∠1==64°.故答案：64°.考点：平行线的性质.解题分析：本题关键是准确找出“两直线平行，内错角相等”，即∠α+56°=120°；或是根据三角形外角的性质，求出∠1的度数，再由直线l 1∥l 2，可得∠α=∠1即可. 答题分析：考生答错原因：（1）不会运用平行线的性质定理；（2）三角形外角的概念不清楚；（3）角度的计算出现错误，如640，74°等；（4）结果中遗漏角的单位符号.●（3分）（2015•呼和浩特3/25）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．.专题：计算题．分析：先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．解答：解：如图，∵∠1=70°，l 1l 2l 3l 4 56°120° α∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C．点评：本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．●（3分）（2015•通辽8/26）如图，已知AB∥CD，若∠A=25°，∠E=40°，则∠C等于（）A．40° B．65° C．115° D．25°【答案】B【解析】试题分析：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．∵∠EFB是△AEF的一个外角，∴∠EFB=∠A+∠E=25°+40°=65°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=65°，【考点】平行线的性质●（3分）（2015•陕西4/26）如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F．若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A．43°30′ B．53°30′ C．133°30′ D．153°30′考点：平行线的性质．.分析：先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再根据补角的定义即可得出结论．解答：解：∵AB∥CD，∠1=46°30′，∴∠EFD=∠1=46°30′，∴∠2=180°﹣46°30′=133°30′．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．●（3分）（2014•南宁14/26）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是°．考点：平行线的性质．分析：求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．解答：解：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，∵a∥b，∴∠2=∠3=60°，故答案为：60．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．●（3分）（2014•贵港14/26）如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．【分析】先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．【解答】解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．●（3分）（2014•仙桃3/25）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】先根据互余计算出∠3=90°﹣40°=50°，再根据平行线的性质由a∥b得到∠2=180°﹣∠3=130°．【解答】解：∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣40°=50°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°．∴∠2=180°﹣50°=130°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．。

平行线的性质一．平行线的判定和性质综合--平行的判定1.如图,CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,当∠CED=______°时,AD∥BC.2.如图,已知∠EAC=90∘,∠1+∠2=90,∠1=∠3,∠2=∠4.则DE与BC______(填位置关系)3.如图,E是直线AB,CD内部一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,∠CDE=60°,当∠BED的度数为______度时,AB∥CD.4.已知:如图EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,当∠1=30°时,当∠EFG的度数为______度时,AB∥CD5.如图,已知直线c和a、b分别交于A、B两点,点P在直线c上运动.若P点在AB两点之间运动,试探究:当∠1、∠2和∠3之间满足的数量关系是∠2=______时,a∥b.二．平行线的性质--同位角1.如图,直线c与直线a,b相交,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数是()2.如图,AB∥CD,AC∥BD,∠1=28°,则∠2的度数为______°.3.如图,已知AB∥CD,GM∥HN, GM平分∠EGB,若∠MGB=40°.则∠NHD=______°4.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=57°,则∠2的度数是()三．平行线的性质--内错角1.如图，l1∥l2，∠1=110∘，则∠2的度数是()2.如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，AG平分∠BAE交CD于点G，∠2=30°，则∠1=______度3.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）4.如图，将一副三角板如图放置，∠BAC＝∠ADE＝90°，∠B＝60°，∠EAD=45°，若AE∥BC，则∠CAD＝______度四．平行线的性质--同旁内角1.如图，a∥b，直线c与a，b相交，∠1=120∘，则∠2=______°2.如图：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则∠1+∠2＝______度3.如图，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数（）4.将一副三角板如图放置，∠ABE＝30°，∠DAC＝45°，若DA∥BC，则∠EBC=______度．五．平行线的性质综合--角度计算1.如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝______°2.如图，直线AB∥CD//EF．若CF平分∠ECD，且满足CF∥BE，∠ECD=80°，则∠ABE的度数为______度．3.如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，则图中∠EGF=______°．4.如图，AC∥BD，∠A＝60°，∠C＝62°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠1＝______°5.已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．若∠O=40°，则∠ECF的度数为______度；∠OCG=______度．六．平行线的性质综合--找相等的角1.如图，AB∥EF，EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（除∠1外）共有（）2.如图，EG∥BC，CD交EG于点F，那么图中与∠1相等的角共有______个．3.如图，AB∥EF∥CD，GH∥PN，MN∥HK，则图中与∠CHM相等的角（∠CHM 除外）共有（）4.如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有______个七．平行线的性质综合--拐弯问题1.如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，第一次拐弯处的∠B＝142°，那么第二次拐弯处的∠C＝______°．2.某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠C）的度数是（）3.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于（）4.如图，某学员在广场上练习驾驶汽车，第一次向左拐弯15度行驶一段后，第二次向左拐弯13度，再次行驶一段后，那么第三次要向______拐弯______度，则行驶方向与原来行驶方向相同．八．平行线的性质综合--折叠问题1.将长方形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将长方形ABFE与长方形EFCD分别沿折痕MN 和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，若∠AMN=60°，则∠MFP=______°．2.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点P，若∠AEB′＝32°，则∠C′FC的度数为______°．3.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC＝56°，则∠1＝______°．4.如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB ＝32°，则下列结论中：①∠C′EF＝32°，②∠AEC＝116°，③∠BGE＝64°，④∠BFD＝116°，正确的有______．（按从小到大的序号填写）九．平行线的性质综合--三角板问题1.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30∘，则∠2的大小是( )2.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30∘，则∠2的大小是( )3.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=35∘，则∠2的大小是( )4.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，AB//EF，已知∠1=55∘，则∠2的度数是______度．5.将一副三角板如图放置，使点A在EF上，BC∥EF，则∠ACE的度数为______度．6.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为______度．十．平行线的性质综合--铅笔型1.判断：如图，AB∥CD，∠A+∠E+∠C=180°.______（填“对”或“错”）2.小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．AE//CF,若她已测出∠A=135°，∠C=125°，由于受条件影响，屋顶的∠B的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他能算出∠B=______°3.如图，l//m，∠1=115∘，∠2=95∘，则∠3=______°．4.如图，已知AB∥CF，CF∥DE，∠1=120°，∠2=105°，则∠3=______°．5.如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，∠2=______°．十一．平行线的性质综合--锯齿型1.如图，直线AB∥CD，∠1=25∘，∠F=90∘，则∠2的度数为( )．2.如图，已知直线m∥n，∠1=36°，∠2=90°，则∠3的度数为( )3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，直线l1,l2,l3分别经过△ABC的顶点A，B，C，且l1∥l2∥l3,若∠1=40°，则∠2的度数为( )4.如图所示，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=80∘，则∠BFD的度数为______°．5.如图所示，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=35∘，那么∠BED的度数为______度．十二．平行线的性质综合--牛角型1.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠DEF=120∘，∠CDE=25∘，则∠BCD的度数是()2.如图，AB//CD，∠B=160°，∠D=120°，则∠E=______°.3.如图，AB//DE，∠ABC=60∘，∠CDE=150∘，则∠BCD=______°.4.如图所示，AB//CD//EF，若∠ABC=50°，∠BCE=20°，则∠CEF=______°.5.如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC=114°，CE、CF是∠ACB 的三等分线，则∠EFC=______°.十三．平行线的性质综合--锄头型1.如图，直线AB//CD，∠B=50∘，∠C=40∘，则∠E等于______度.2.如图，已如AB//CD，若∠A=25∘，∠E=40∘，则∠C=______度.3.如图，直线EF//GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB=110∘，∠C=60∘，点D在GH上，则∠BDC的度数为______度.4.如图，BC//DE，若∠A=35∘，∠C=24∘，则∠E等于______度.5.如图，a//b，c⊥d，∠1=25∘，则∠2=______度.十四．平行线的性质综合--模型综合1.如图所示，AB∥CD，∠C=125∘，∠E=80∘，则∠A=______°.2.如图，AB//CD，∠P=90∘，∠C=140°，则∠A+∠E的度数为( )3.如图，正五边形ABCD中，11∥12，∠1-∠2的度数为______°（提示：正五边形的每个内角都是108°）4.如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1=35°，∠2=62°，则∠BCD的度数为( )5.如图所示，已知 FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，则∠B=______度．6.如图，AB//CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，若∠E=30°，则∠F=______°十五．平行线的性质综合--几个角之间的数量关系1.如图所示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，则∠A+∠C______∠AEC （填大于、小于、等于）2.如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，则∠1+∠2-∠E=______°.3.如图，直线m∥n，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是( )十六．平行线的判定和性质综合--反射问题1.如图，两条平行光线射向平面镜面后被反射，其中一条光线AB反射后的光线是BC，此时∠1=∠2=46°，另一条光线的反射光线EF与镜面的夹角∠3的度数为( )2.根据光反射定律，射到平面镜上的光线与被反射出的光线与平面镜的夹角相同，如图，已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=36°，在OB 上有一个点E，从点E射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠CDE的度数是( )3.如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为( )4.如图，两平面镜OA，OB的夹角为∠O，入射光线CD平行于OB入射到镜面OA上，经两次反射后的反射光线EF恰好平行于OA，则∠O的度数为______度．5.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=______°，∠5=______°十七．平行线的判定和性质综合--角度计算1.如图，已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠3=∠E=45°，则∠1=______°.2.如图，已知∠1=∠2，∠B=40°，则∠3=______度．3.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝()4.如图，∠1=∠2=30°，∠A=60°，则∠ADB=______度．5.如图在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠2－∠1=30°，∠DEF=∠EFC,∠C =50°，则∠3=______°.6.如图，∠ABC=∠ACB=70°，且∠EAC=2∠ABC,AD平分∠EAC，BD平分∠ABC．则∠ADB=______°.。

5.3平行线的性质一选择题1、有下列四个命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③如果b∥a，c∥a，那么b∥c；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．其中是真命题的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2、如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=125°，则∠2=（）A．25°B．35°C．55°D．65°3、如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（）A．45°B．35°C．55°D．125°4、如图，直线l1∥l2，l3⊥l4．有三个结论：①∠1+∠3=90°；②∠2+∠3=90°；③∠2=∠4．下列说法中，正确的是（）A．只有①正确B．只有②正确C．①和③正确D．①②③都正确5、如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB 于点E,，∠A=60º,∠BDC=95º，则∠BED的度数是（）A．35 º B．70º C．100 º D．110 º6、如图，AD∥EF∥BC,EG∥BD,和∠1相等的角有（）A. 4个B.5个C.6个D.7个7、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°二填空题1、填空：如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠ACB证明：∵∠1+∠2=180°（已知）∠1+__=180°（邻补角的定义）∴∠2=_____（同角的补角定义）∴AB∥EF（）∴∠3=___（已知）∴∠B=____（等量代换）∴DE∥BC（）∴∠AED=∠ACB（）2、完成下面的证明．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：DF∥AC．证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3，∠2=∠4 （）∴∠3=∠4（等量代换）．∴_________∥_______（）∴∠C=∠ABD （）∵∠C=∠D （）∴∠D=∠ABD （）∴AC∥DF （）3、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在直角△ABC中，∠A ＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是_______；如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ________ ；如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是______________ （2）请在图①、图②、或图③中任选两种情况，给出证明.我选图___________来证明.三解答题1、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式（1）直角都相等；（2）等量代换；（3）末位数是5的整数能被5整除；（4）三角形的内角和是180°.2、判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.（1）两个锐角的和是钝角；（2）点P到A、B两点的距离相等，则P是线段AB的中点；（3）不相等的角不是对顶角；（4）若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1=∠3.3、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．4、如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，求证：AD平分∠BAC。

人教版 七年级数学 5.3 平行线的性质 同步训练一、选择题（本大题共10道小题） 1. 如图，直线l 1∥l 2，则∠α为()A. 150°B. 140°C. 130°D. 120°2. （2020·河南）如图， 1l ∥2l ，3l ∥4l ，若∠1=70°，则∠2的度数为( ) A.100° B.110° C.120° D.130°3. 如图，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°则3∠的度数为（） A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°mn1234. （2020·随州）2.如图，直线1l ∥2l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ） B.60° D.100°C.120°D.140°5. 如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ，若∠ADC ＝35°，则∠1的度数为( )A . 65°B . 55°C . 45°D . 35°6. （2020·常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是() A．30°B．40°C．50°D．60°7. 将一幅直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF//BC，则∠ADF等于（）A．70°B．75°C．80°D．85°EFAC BD8. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．40°9. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB 的度数是()A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′10. 如图所示，两直线AB CD、平行，则l23456∠+∠+∠+∠+∠+∠=( ) A．630︒B．720︒C．800︒D．900︒65HG 4321DCFEBA二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．图221bal12. 如图，已知a b∥，170∠=︒，240∠=︒，则3∠=__________．ba321CBA13. 有一直的纸带，如图折叠时，α∠=_________．α30°E DCBA14. （2020·黄冈）已知：AB∥EF，∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD=________度．135°75°A BE FD15. （2019·上海）如图，已知直线l1∥l2，含90°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．16. （2020·恩施）如图，直线12//l l，点A在直线1l上，点B在直线2l上，AB BC=，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠=______．17. （2020·永州）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．18. （2020·新疆）如图，若AB ∥CD ，∠A ＝110°，则∠1＝________°．三、解答题（本大题共3道小题）19. 已知如图所示，AB DE ∥,116D ∠=︒，93DCB ∠=︒，求B ∠的度数.D CEBA20. 如下图所示，已知AB CD ∥，分别探讨下面四个图形中BPD ∠与B ∠，D ∠的关系.PPPDC BA(1) (2) (3) (4)DD CC BBAA A BCD P21. 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明.（1）如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： . （2）如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠， CNE ∠.求证：MG NH ∥.从本题我能得到的结论是： . （3）如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠， CNE ∠，相交与点O .求证：MG NH ⊥. 从本题我能得到的结论是： . （4）如图⑷，已知：AB ，CD 相交于O ，OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠.求证：F ，O ，E 三点共线.从本题我能得到的结论是： .(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O (4)A BCD E F O人教版 七年级数学 5.3 平行线的性质 同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D 【解析】α＝70°＋(180°－130°)＝120°.2. 【答案】B【解析】如图，∵直线l1∥l2，∴∠3＝∠1＝70°，∵3l ∥4l，∴∠3＋∠2＝180°，∴ ∠2＝110°．3. 【答案】C ．4. 【答案】C【解析】本题考查了平行线的性质、邻补角的性质，解答过程如下：如图所示，∵1l ∥2l ，∴∠3=∠1=60°， ∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°.因此本题选C ．5. 【答案】B【解析】∵DA ⊥AC ，∠ADC ＝35°，∴∠ACD ＝90°－∠ADC ＝90°－35°＝55°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ＝55°，故选B.6. 【答案】B【解析】本题考查了平行线的性质，如图，由于a ∥b ，所以∠3＝∠2，又由于∠1＋∠3＝180°，∠1＝140°，所以∠2＝40°．7. 【答案】B，【解析】本题考查平行线的性质． 解：∵EF //BC ，∴∠CGD ＝∠E ＝45°，3∵∠CGD 是△GDB 的外角，∴∠GDB ＝∠CGD －∠B ＝45°－30°＝15°． ∵∠EDF ＝90°，∴∠ADF ＝180°－15°－90°＝75°．故选B.GE F ACBD8. 【答案】C【解析】∵AB ∥CD ， ∴∠3＝∠1＝20°，∵三角形是等腰直角三角形，∴∠2＝45°﹣∠3＝25°．9. 【答案】B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC ＝∠ODE ，∵DC ∥OB ，∴∠ADC ＝∠AOE ，∴∠ODE ＝∠AOE ＝37°36′，∴∠DEB ＝∠ODE ＋∠AOE ＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.10. 【答案】D.【解析】分别过E F C H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】110°．12. 【答案】70︒13. 【答案】75︒【解析】∵AC BD ∥ ∴30CBE ∠=︒由折叠问题可知：ABC ABD ∠=∠∴()118030752ABD ∠=︒-︒=︒∵AC BD ∥∴75ABD α∠=∠=︒14. 【答案】30【解析】本题考查了平行线的性质，对顶角以及三角形外角等知识．如答题所示，由AB ∥EF 可得∠B+∠1=180°，而∠B=75°，则∠1=105°；有对顶角相等可得∠1=∠2=105°；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得∠2+∠C=135°，进而求出∠C=30°，因此本题答案为30．21135°75°A BEFCD15. 【答案】120【解析】∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠2＝∠DCA ＋∠DAC ＝60°，∵11∥l2，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－60°＝120°．16. 【答案】40°【解析】∵AB =BC ，∠C =30︒， ∴∠CAB =30︒，∴∠CBA =120︒， ∵∠1=80︒， ∴∠EBA =40︒， ∵12//l l∴240EBA ∠∠==︒，故答案为：40︒．17. 【答案】35°【详解】如图，标注字母，延长ED 交a 于C ， 由题意得：30,90,B DEB ∠=︒∠=︒ 60,BDE ∴∠=︒//,a b 2,DCA ∴∠=∠1,125,BDE DCA ∠=∠+∠∠=︒602535,DCA ∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒故答案为：35.︒18. 【答案】70【解析】本题考查了平行线的性质以及对顶角的性质．如答图，因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠A ＝180°－110°＝70°．因为∠1＝∠2，所以∠1＝70°．三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】29︒【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，DCFEBA因为116D ∠=︒，18011664DCF ∠=︒︒=︒-因为93C ∠=︒，所以936429BCF ∠=︒-︒=︒， 因为B BCF ∠=∠，所以29B ∠=︒．20. 【答案】过P 做AB 、CD 的平行线，即可得如下结论： ⑴360BPD B D ∠+∠+∠= ； ⑵BPD D B ∠=∠-∠ ； ⑶BPD B D ∠=∠+∠ ； ⑷BPD B D ∠=∠-∠ .21. 【答案】（1） 两直线平行，同位角的角平分线平行. （2）证明：∵AB ∥CD ，∴BMF CNE ∠=∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠∴1122GMF BMF CNE HNM ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，内错角的角平分线平行. （3）证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠= 又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠∴119022GMF HNE AMF CNE ∠+∠=∠+∠=∴18090MON GMF HNE ∠=-∠-∠=，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是： 两直线平行，同旁内角的角平分线垂直. （4）证明：∵AB ，CD 相交于O ，∴AOC BOD ∠=∠ ∵OF 平分AOC ∠，OE 平分BOD ∠∴12AOF AOC ∠=∠，12DOE BOD ∠=∠∵180AOC AOD ∠+∠=，∴180AOF AOD DOE ∠+∠+∠=即F ，O ，E 三点共线从本题我能得到的结论是： 对顶角的平分线，在一条直线上. 要证明三点共线 ，我们可以通过证明这三点所成的角为180.。

人教版 七年级下册数学 课时训练 5.3 平行线的性质一、选择题 1. （2020·黔西南州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）A ．37°B ．43°C ．53°D ．54°2. 如图，ACD ∠是ABC 的外角，//CE AB ．若75ACB ∠=︒，50ECD ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）ED C B AA ．50︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒3. （2020·内江）如图，已知直线//a b ，150∠=︒，则2∠的度数为（）A. 140︒B. 130︒C. 50︒D. 40︒ 4. （2020·滨州）如图，AB //CD ，点P 为CD 上一点，PF 是∠EPC 的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD 的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°5. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( ) A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPG D . ∠DNG ＝∠AME6. （2020·绵阳）在图中，AB ∥DE ，△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝124°，∠CDE ＝72°，则∠ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°7. （2020·枣庄）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB //CF ，∠F =∠ACB =90°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．18°D ．30°8. 一副三角尺如图摆放(直角顶点C 重合)，边AB 与CE 相交于点F ，DE ∥BC ，则∠BFC 等于 ( )A .105°B .100°C .75°D .60°二、填空题9. 如图AB CD EF CG ∥∥，平分140110ACE A E ∠∠=︒∠=︒，，．则______DCG ∠=． GF EDCB A10. 如图，直线a ∥b ，B 为直线a 上一点，AB ⊥BC ，如果∠1=48°，那么∠2=°.11. 如图，直线a ∥b ，∠1=60°，∠2=40°，则∠3的度数为 .12. （2020·黄冈）已知：AB ∥EF ，∠ABC =75°，∠CDF =135°，则∠BCD =________度．135°75°A BEFCD13. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD 的度数为 .14. 已知：如图所示，AB CD ∥，1=110∠︒，2120∠=︒，则α∠=____α21D C E BA15. 如图，小明从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则他应右转 °.16. (1)如图1，AD，BC相交于点O.图1因为AB∥CD(已知)，所以=，=(两直线平行，内错角相等). (2)如图2，因为l1∥l2(已知)，所以∠1=(两直线平行，同位角相等).因为l2∥l3，所以∠3+∠4=().图2图3(3)如图3，因为AB∥EF(已知)，所以∠A+=180°(两直线平行，同旁内角互补).因为ED∥CB(已知)，所以∠DEF=().三、解答题17. 如下右图所示，①已知：AB CD∥，12∠=∠，求证：BE CF∥；②已知：AB CD∥，BE CF∥，求证：12∠=∠图3F21EBDAC18. 如下图，AB DE ∥，70ABC ∠=︒，147CDE ∠=︒，求C ∠的度数．147︒70︒ED CB A19. 如图所示，AB ED ∥，A E B C D αβ=∠+∠=∠+∠+∠，，证明：2βα=DCEBA20. 如下图所示，已知AB CD ∥，分别探讨下面四个图形中BPD ∠与B ∠，D ∠的关系.PPPDC BA(1) (2) (3) (4)DDCCBBAA ABCDP人教版 七年级下册数学 课时训练 5.3 平行线的性质-答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】本题考查了平行线的性质，平角、直角的意义．如答图，因为AB ∥CD ，所以∠2＝∠3＝37°，又因为∠FEG ＝90°，所以∠1＝180°－90°－∠3＝90°－37°＝53°，因此本题选C ．321G BAF2. 【答案】B【解析】∵∠ACB=75°，∠ECD=50°，∴∠ACE=180°-75°-50°=125°. 又∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE=125°.故选B。