17.2勾股定理的逆定理(第2课时)

《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第2课时）一、内容和内容解析1.内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题.2.内容解析运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题.基于以上分析，可以确定本课的教学重点是灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.二、目标和目标解析1.目标(1)灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.(2)进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.2.目标解析达成目标(1)的标志是学生通过合作、讨论、动手实践等方式，在应用题中建立数学模型，准确画出几何图形，再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形状及求边长、面积、角度等；目标(2)能先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明.三、教学问题诊断分析对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用，有一定的困难，所以在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发，鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题.本课的教学难点是灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.四、教学过程设计1.复习反思，引出课题问题1 通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容.师生活动：学生回答勾股定理的内容“如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么；勾股定理的逆定理“如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形.追问：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题?师生活动：学生通过思考举手回答，教师板书课题.【设计意图】通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务——应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题.2. 点击范例，以练促思问题2 某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?师生活动：学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答.追问1：请同学们认真审题，弄清已知是什么?解决的问题是什么?师生活动：学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，“远航”号的航向——东北方向；解决的问题是“海天”号的航向.追问2：你能根据题意画出图形吗?师生活动：学生尝试画图，教师在黑板上或多媒体中画出示意图.追问3：在所画的图中哪个角可以表示“海天”号的航向?图中知道哪个角的度数?师生活动：学生小组讨论交流回答问题“海天”号的航向只要能确定&ang；QPR的大小即可.组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评，多媒体展示规范解答过程.解：根据题意，因为，即，所以由“远航”号沿东北方向航行可知.因此，即“海天”号沿西北方向航行.课堂练习1. 课本33页练习第3题.课堂练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗?【设计意图】学生在规范化的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力.3. 补充训练，巩固新知问题3 实验中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮?师生活动：先由学生独立思考.若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎么想到的?对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从所要求的结果出发是要知道四边形的面积，而四边形被它的一条对角线分成两个三角形，求出两个三角形的面积和即可.启发学生形成思路，最后由学生演板完成.【设计意图】引导学生利用辅助线解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识.4. 反思小结，观点提炼教师引导学生参照下面两个方面，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流：(1)知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；(2)方法归纳：数学建模的思想.【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想.5.布置作业教科书34页习题17.2第3题，第4题，第5题，第6题.五、目标检测设计1.小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是(假设小明走的每段都是直线) ( )A.南北B.东西C.东北D.西北【设计意图】考查运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.2.甲、乙两船同时从港出发，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地.如果两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度?【设计意图】考查建立数学模型，准确画出几何图形，运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题.3.如图是一块四边形的菜地，已知，，，，，求这块菜地的面积.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。

17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。

17.2 勾股定理的逆定理（二）基础版【教学目标】1．掌握勾股定理及逆定理与旋转综合的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．2．掌握勾股定理及逆定理与常规问题的图形特征、基本思路以及问题类型，熟练解此类问题．3．掌握勾股定理及逆定理与夹半角综合的图形特征、基本思路和变式类型，熟练解此类问题．【重点难点】1．旋转问题（构手拉手全等&Rt△）；2．常规问题（导角导线、Rt△斜边中点处的直角、逆命题）；3．夹半角模型（构Rt△）．【夯实基础】1．勾股定理及逆定理与旋转问题的图形特征：．2．勾股定理及逆定理与旋转问题的基本思路：．3．勾股定理及逆定理与旋转问题的问题类型：．【基本图形】1．旋转问题：2．等腰Rt△夹半角：（1）基本图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是斜边AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF（2）变式图已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，E、F是直线AB上两点，△ECF＝45°．结论AE2＋BF2＝EF2．证法①旋转法（vs过A作AF′△AB且AF′＝BF，连CF′、EF′）；②轴对称法．△CEF′ ≌△CEF（SAS），Rt△AEF′△CFA′ ≌△CFB（SAS），Rt△A′EF重难点1勾股定理及逆定理与旋转问题♀例一♀．（手拉手）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为；（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA、DB、PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且P A＝3，PB＝1，CD＝CP＝2，CD ⊥CP，求△BPC的度数．♀例二♀．如图，在△ABD中，AB＝AD，△BAD＝90°，P A＝a，PB＝b．（1）若P点在△ABD外，且△APB＝45°，求PD的长；（2）若P点在△ABD内，且△APB＝135°，求PD的长．1．正方形ABCD内一点P，连接P A、PB、PC．（1）若P A：PB：PC＝1：2：3，求△APB的度数；（2）若P A2＋PC2＝2PB2，求证：点P在对角线AC上．♀例三♀．（1）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，P A＝1，PB3，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；在△P AP′中，易证∠P AP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；（2）类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，P A＝2，PB2，PC＝1．求∠APC的度数；（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝4，CD＝5，AB＝AC＝12AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．图1 图2 图31．在△ACD中，AD＝4，CD＝3；在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，若△CAB＝60°，△ADC＝30°，△在△ACD外作等边△ADD′，求证：BD＝CD′；△求BD的长；（2）如图2，若△CAB＝90°，△ADC＝45°，求BD的长．图1 图22．请阅读下面的材料：问题：如图△，在等边△ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝PC＝1，求△BPC的度数和等边△ABC的边长；李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC＝°，等边△ABC的边长为．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且P A，BP PC＝1，求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．①②③♀例四♀．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，且P A＝2PC，设∠APB＝α，∠CPB＝β．（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，易证△DAP为等边三角形，则α＝，β＝；（2）如图2，若PB＝2P A，则α＝，β＝；（3）如图3，试猜想α与β之间的数量关系，并给予证明．图1 图2 图3♂巩固练习♂1．如图，P是正△ABC内一点，且P A＝6，PB＝8，PC＝10，求S△P AB＋S△P AC的值．重难点2勾股定理及逆定理与常规问题♀例五♀．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图△）．（1）求证：AM＝AN；（2）连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图②，当∠BAD是多少度时，AD＝DH？①△♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，△ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、CD分别交于点G、H，△ABE＝△CBE．（1）线段HB与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；（2）求证：BG2－GE2＝EA2．♀例六♀．（Rt△斜边中点处的直角）如图，在△ABC中，D是BC的中点，点M是AB上的点，点N在AC边上，并且△MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证：△BAC＝90°．♂巩固练习♂1．如图△，在△ABC中，CA＝CB，△ACB＝90°，D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上的点，且DM ⊥DN．（1）求证：CM＋CN＝2BD；（2）如图△，若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．①△2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝4，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．（1）求证：△AEC是直角三角形；（2）求BC边的长．3．如图，CD是△ABC的高，D在边AB上，且CD2＝AD·DB，求证：△ABC为直角三角形．重难点3勾股定理及逆定理与夹半角模型♀例七♀．△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在直线BC上，如图1，若△DAE＝45°，求证：BD2＋CE2＝DE2．【阅读理解】要证明BD2＋CE2＝DE2，设法将BD、CE、DE转化为某直角三角形的三边即可，故过A作AF⊥AD，且AF＝AD．连接CF、EF．再通过证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF．即可将BD、CE、DE 三边转化到直角△ECF中解决问题．【拓展应用】如图2，若∠DAE＝135°，其他条件不变，请探究：以线段BE、CD、DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．图1 图2♂巩固练习♂1．（1）如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M、N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN、ND、DH之间的数量关（3）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG、MN的长．①△2．如图，已知在Rt△AOB中，OA＝OB，△AOB＝90°，E、F在AB上，且△EOF＝45°．（1）求证：EF2＝AE2＋BF2；（2）如图，过E作EM⊥OA于M，过F作FN⊥OB于N，ME、NF交于点P，若设NF＝x，ME＝y，PE ＝a，则x2＋y2与a2之间的关系式为，若△AME、△BFN、△PEF的面积分别为S1、S2、S3，则S1＋S2与S3之间的数量关系为．♀例八♀．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，△BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE存在等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立，现请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3 图4♂巩固练习♂1．已知Rt△ABC中，△ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C 旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是，线段AM、BN、MN之间的数量关系是．（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是．（无需证明）①△ △2．（1）如图△，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足△DBE＝12△ABC（0°＜△CBE＜12△ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′＝DE．（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2＝AD2＋EC2．（3）如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且∠DBE＝45°．第（2）题中的结论：DE2＝AD2＋EC2还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1 图2 图3。

第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时：2课时教学目标：1.复习巩固命题的意义和组成，知道逆命题的意义，会根据原命题写出它的逆命题，知道原命题成立逆命题不一定成立.2.会写出勾股定理的逆命题。

3.知道勾股定理的逆定理，了解勾股定理的逆定理的证明，进一步体会证明的必要性.4.会利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.教学重点：1.勾股定理的逆命题.2.勾股定理的逆定理及其运用教学难点：1. 勾股定理逆命题的正确性.2. 勾股定理的逆命题的证明.教学方法：讲练结合法，对比，总结，归纳法。

教学工具：直尺，三角板第1课时教学过程：一．导入：如果两直线平行，那么同位角相等.师：这句话是对一件事情的判断，所以这句话叫做命题。

命题一般可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后面的部分叫做题设，“那么”后面的部分叫做结论.我们把这个命题的题设和结论交换，这样我们可以得到一个新的命题，同学们试着写出来，这个新的命题叫什么呢？生：如果同位角相等，那么两直线平行.师：题设和结论经过交换，我们把这个命题叫做这个命题的逆命题二．新课：命题2 如果三角形的边长a, b, c满足，那么这个三角形是直角三角形命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c, 那么我们看到，命题2与命题1的题设和结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

例如：如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题。

师：下面我们再来看一个命题：对顶角相等.“对顶角相等”的逆命题怎么写？“对顶角相等”这个命题的逆命题，先要把这个命题写成“如果什么什么，那么什么什么”的样子。

生：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等）师：那么现在写出这个命题的逆命题？生：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角）师：这些命题成不成立.我们知道，命题有真有假，能成立的命题是真命题，不能成立的命题是假命题.“如果两直线平行，那么同位角相等”这个命题成立吗？生：（成立））师：它的逆命题“如果同位角相等，那么两直线平行”成立吗？生：（成立））师：（指准命题）“对顶角相等”这个命题成立吗？生：（成立））师：它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”成立吗？师：（不成立））师：从上述命题的真假可以看出，原命题成立逆命题不一定成立.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。

勾股定理的逆定理要点讲解一、勾股定理的逆定理1 .勾股定理的逆定理“如果直角三角形两直角边分别为a、b 、c，且满足a2＋b2＝c2．那么这个三角形是直角三角形．” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图1所示，在△ABC中，如果AC2＋BC2＝AB2，那么△ABC就是直角三角形．2.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与a2＋b2＝c2有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法．特别说明：勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科学家们在实践中逐步发现和认识的，所以我们在学习勾股定理时，也应通过实践来认识和理解它．如通过勾股数画图、剪纸、户外实践等活动认识和理解逆定理，这样才能使我们的印象深刻，认识清楚，理解透彻．二、勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想，在生产实践与现实生活中有着广泛的应用．例2 如图2所示，在△ABD中，∠A 是直角，AB＝3，AD ＝4，BC＝12，DC＝13，△DBC是直角三角形吗？为什么？图2分析：要判断△DBC是不是直角三角形，首先要有它的三条边，而其中的BD边需要通过Rt△BAD得到，所以，解答这个问题的步骤应是，先由Rt△BAD 中的AB、AD求得BD，再根据勾股定理的逆定理进行判定．解：是直角三角形．理由：在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝33＋42＝25，所以BD＝5 ．在△DBC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2．所以△DBC是直角三角形．例3 如图3所示，在某市的地图上有三个景点A、B、C，已知景点A、B 之间的距离为0.4cm，景点C、B之间的距离为0.3cm，景点A、C之间的距离为0.5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？分析：要判别三角形是不是直角三角形只要验证AB2＋BC2＝AC2即可．解：因为0.3 2＋0.42＝0.52，所以这个三角形一定是直角三角形．说明：在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数．。

17.2 勾股定理的逆定理
第二课时勾股定理的逆定理的应用
【学习目标】
1.进一步理解勾股定理的逆定理。

2.能灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。

3.进一步加深性质定理与判定定理之间的关系的认识。

【重点难点】
重点：灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。

【授课时数】第二课时
【导学过程】
一、自主学习
1、叙述勾股定理及逆定理。

2、在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）已知a=6, c=10, 求b.
（2）已知a=40, b=9, 求c.
3、直角三角形两条直角边分别是3和4，则斜边上的高是。

4、判断下列三角形是否是直角三角形：
（1）a=3, b=5, c=6;
（2）a=3/5, b=4/5, c=1;
（3）a=3, b=2√2, c=√17
二、合作探究
自主学习教材例2，合作交流后完成下列问题：
（1）如何画出示意图，建立数学模型？
（2）、“海天”号轮船的航行方向会有几种可能？
三、课堂展示
四、感悟释疑
五、课堂小结
谈谈你本节课的收获。

六、达标测试
1、教材练习第3题。

2、如下图所示：三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB=5km,BC=12km,AC=13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价2600万元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
3、已知，如图四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD 的面积。

【课后反思】。

17.2 勾股定理逆定理（第2课时）课题: 17.2 勾股定理逆定理（第2课时）教学目标知识与能力：1．说出证明勾股定理逆定理的方法。

2．叙述逆定理，互逆定理的概念。

过程与方法：1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。

2．经历互为逆定理的讨论，树立严谨的治学态度和实事求是求学精神。

情感态度价值观：1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，树立克服困难的勇气和坚强的意志。

2．树立与人合作、交流的团队意识。

教学重、难点重点：勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念。

难点：互逆定理的概念学情分析本节主要学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。

课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图创设问题情境，引入新课二、讲授新课活动 1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24活动2 问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?1．如果三条线段长a，b，c 满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(3)全等三角形的对应角相等．(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠D BC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?[例2](1)判断以a＝A'B'＝c △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注学生．①学生对勾股定理的逆定理的理解．②学生对互为逆命题的掌握情况．③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．请问：上述解法对吗?为什么?(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC 边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣。