2.6一元二次方程的应用(2)

第二章一元二次方程6　应用一元二次方程第2课时　销售及变化率问题教学目标教学反思1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.教学重难点重点：会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.难点：如何找出等量关系.教学过程导入新课某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？探究新知一、温故知新1.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,则1件的利润是_____;若每天可售出100件,则1天的总利润是_________.2.利润问题的两个主要等量关系:1件的利润＝1件的售价-1件的进价；总利润＝每件的利润×销售总件数.二、知识讲解1.销售问题与一元二次方程例1 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元.如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900-x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得.整理,得x2- 300x + 22 500 ＝0.解这个方程,得x1＝x2＝150.教学反思2 900-150 ＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元.总结：利润问题常见关系式：(1)利润＝售价－________；(2)利润率；(3)总利润＝____________×销量.2.平均变化率问题与一元二次方程例2 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率.(2)请你预测4 月份该公司的生产成本.解:(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝ 361.解得x1＝5%，x2＝1.95＞1（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.总结：若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“＋”,降低取“－”).三、练习巩固，拓展提高1.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？分析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8 000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.2.某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.分析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.课堂练习1.某地一月份发生禽流感的养鸡场有100家，后来二、 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月发生禽流感的养鸡场的增长率为x ，依题意列出的方程是（ ）A.100（1+x ）2＝250B.100（1+x ）+100（1+x ）2＝250C.100（1-x ）2＝250D.100（1+x ）2+100＝2502.某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，若设每件售价为x 元，销售量可表示为（ ）A.×10 B. 200-×10 C. 200-×10 D. 200-0.5（x -10）×103.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元.A. 0.2或0.3B. 0.4C. 0.3D. 0.24.一件上衣原价为每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？参考答案1.B2.B3.C4.解：设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，根据题意得500(1-x )(1-2x )＝240,解得x 1＝0.2＝20%,x 2＝1.3＝130%（舍去）.答：第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%.课堂小结(学生总结，老师点评)营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；教学反思(2)利润率＝利润进价＝售价―进价进价；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.布置作业课本习题2.10板书设计6　应用一元二次方程第2课时　销售及变化率问题。

北师大版九年级数学上册说课稿：2.6应用一元二次方程一. 教材分析北师大版九年级数学上册第2.6节“应用一元二次方程”是学生在学习了二元一次方程组、一元一次方程和一元二次方程的基础上进行学习的。

这一节的主要内容是通过实例让学生了解并掌握一元二次方程的应用，培养学生的实际问题解决能力。

教材中提供了丰富的例题和练习题，旨在帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程和一元二次方程有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会将数学知识与实际问题脱节，不能很好地将数学知识应用于解决实际问题。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解一元二次方程在实际问题中的应用，掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，一元二次方程的解法。

2.教学难点：将实际问题转化为一元二次方程，灵活运用一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生自主探究，合作交流，发现并总结一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生更好地理解一元二次方程的应用。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题引出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解一元二次方程的定义、解法及其在实际问题中的应用。

通过丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握一元二次方程的解法。

3.课堂练习：让学生在课堂上独立完成练习题，巩固所学知识。

北师大版数学九年级上册第二章第6节应用一元二次方程（第2课时）教学案【教学目标】1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力．重点：列出一元二次方程解决：①销售利润问题、②动点问题难点：寻找实际问题中的相等关系．【教学过程】【例1】某商场销售一批衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为减少库存，尽快收回成本，商场决定降价销售．经调查发现，售价每降低一元，每天平均可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？【例2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？[例3]如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒钟△PBQ的面积等于8cm2?[跟踪练习1]1．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元？2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天售出8台。

经调查发现：这种冰箱的售价每降50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又使顾客尽可能多的得到实惠，每台冰箱应降价多少元？3．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/S的速度向D移动．(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？（2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于42cm？答案例1解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不低于25元，∴x1＝20应略去，解得：x＝10．答：每件衬衫应降价10元．例2解：设售价定为x元，[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝10000，整理，得x2﹣130x+4000＝0，解得：x1＝50，x2＝80（舍去）．600﹣10（x﹣40）＝600﹣10×（50﹣40）＝500（个）．答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．例3解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．（1）根据三角形的面积公式，得12PB•BQ＝8，t （6﹣t ）＝8，t 2﹣6t ＋8＝0，解得t ＝2或4．故经过2或4秒钟，△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）根据勾股定理，得PQ 2＝BP 2＋BQ 2＝（6﹣t ）2＋（2t ）2＝32，5t 2﹣12t ＋4＝0，解得t 1＝2，x 2＝25． 故2或25秒钟后，P ，Q 两点之间的距离等于42cm ．跟踪练习：1．解：假设每床的收费每晚应提高x 元，由题意得：（100﹣x 2×10）（10+x ）＝1120 解得：x 1＝4，x 2＝6（不合题意舍去）答：每床的收费每晚应提高4元．2．解：设每台冰箱应降价x 元，每件冰箱的利润是：（2400﹣2000﹣x ）元，卖（8＋x 50×4）件， 列方程得，（2400﹣2000﹣x ）（8＋x 50×4）＝4800， x 2﹣300x ＋20000＝0，解得x 1＝200，x 2＝100；要使百姓得到实惠，只能取x ＝200，答：每台冰箱应降价200元．3．解：当运动时间为t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．（1）依题意，得： 12×（16﹣3t +2t ）×6＝33， 解得：t ＝5．答：P ，Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2．（2）过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，如图所示．∵PM ＝PB ﹣CQ ＝|16﹣5t |cm ，QM ＝6cm ，∴PQ 2＝PM 2+QM 2，即102＝（16﹣5t ）2+62，解得：t 1＝85，t 2＝245（不合题意，舍去）． 答：P ，Q 两点从出发开始到85秒时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm ．4．解：根据题意，知BP ＝AB ﹣AP ＝6﹣t ，BQ ＝2t ．（1）根据三角形的面积公式，得12PB •BQ ＝8， t （6﹣t ）＝8，t 2﹣6t ＋8＝0，解得t ＝2或4．故经过2或4秒钟，△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）根据勾股定理，得PQ 2＝BP 2＋BQ 2＝（6﹣t ）2＋（2t ）2＝32，5t 2﹣12t ＋4＝0，解得t 1＝2，x 2＝25． 故2或25秒钟后，P ，Q 两点之间的距离等于42cm ．。

九年级一元二次方程的应用（2）1．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请支球队参加比赛．2．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是人．3．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，应邀请个球队参加比赛．4．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有名．5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请队参赛．6．一个凸多边形共有35条对角线，它是边形．7．学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了21场比赛，那么有个球队参加了这次比赛．8．一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有人．9．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手36次，参加这次聚会的有人．10．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过人．11．毕业之际，某校九年级数学性趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为人．12．乒乓球锦标赛上，男子单打实行单循环比赛（即每两个运动员都相互交手一次），共进行66场比赛，则参加比赛的运动员共人．13．2013年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有支．14．某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共110件，则全组有名学生．15．三（六）班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了3540张，则三（六）班的人数是．16．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为．17．如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是．18．若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是和．19．若两个负数的差为4，且它们的积为45，则这两个数中较小的数是．20．已知一个直角三角形的三边是三个连续的偶数，则它的三边为．21．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是．22．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出．23．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了个好友．24．若两数和为7，积为12，则这两个数是．25．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数的和是．26．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（分）之间的关系式为y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需分钟．27．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为．28．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m=．29．要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为．30．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是．2017年08月31日y1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请6支球队参加比赛．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1=15，即=15，∴x2﹣x﹣30=0，∴x=6或x=﹣5（不合题意，舍去）．即应邀请6个球队参加比赛．故答案为：6．2．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是12人．【解答】解：设参加会议有x人，依题意得：x（x﹣1）=66，整理得：x2﹣x﹣132=0解得x1=12，x2=﹣11，（舍去）．答：参加这次会议的有12人．3．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，应邀请5个球队参加比赛．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1=10，则=10，∴x2﹣x﹣20=0，∴解得：x1=5，x2=﹣4（不合题意，舍去）．故答案为：5．4．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有10名．【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：x（x﹣1）=45，即：x2﹣x﹣90=0，解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）故参加这次聚会的同学共有10人．故答案是：10．5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请8队参赛．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），所以比赛组织者应邀请8队参赛．故答案为：8．6．一个凸多边形共有35条对角线，它是十边形．【解答】解：设它是n边形，根据题意得：=35，解得n1=10，n2=﹣7（不符题意，舍去），故它是十边形，故答案为：十．7．学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了21场比赛，那么有7个球队参加了这次比赛．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x﹣1）÷2=21，解得x=7或﹣6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．故答案为：7．8．一个小组有若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送72张贺卡，则这个小组有9人．【解答】解：设这小组有x人．由题意得：x（x﹣1）=72，解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．即这个小组有9人．故答案为：9．9．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手36次，参加这次聚会的有9人．【解答】解：设参加这次聚会的有x人，根据题意列方程得，x（x﹣1）=36，解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）；答：参加这次聚会的有9人．故答案为9．10．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，解得：x1=11，x2=﹣13，答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．故答案为：11．11．毕业之际，某校九年级数学性趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为6人．【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人．x（x﹣1）=30，解得x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），故答案是：6．12．乒乓球锦标赛上，男子单打实行单循环比赛（即每两个运动员都相互交手一次），共进行66场比赛，则参加比赛的运动员共12人．【解答】解：设有运动员x人，根据题意得：x（x﹣1）=66，解得：x=12或x=﹣11（舍去）故答案为：12．13．2013年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有15支．【解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的x﹣1队打球，即共打x（x﹣1）场∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，∴每两支球队相互之间都要比赛两场，即x（x﹣1）=210，解得：x2﹣x﹣210=0，（x﹣15）（x+14）=0，x1=15．x2=﹣14（负值舍去）故参加比赛的球队共有15支，故答案为：15．14．某兴趣小组的每位同学，将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件，全组互赠标本共110件，则全组有11名学生．【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得x（x﹣1）=110解得：x1=﹣10（不合题意舍去），x2=11，答：全组共有11名学生．故答案为11．15．三（六）班的同学毕业的时候每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了3540张，则三（六）班的人数是60．【解答】解：设三（六）班共有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）=3540，解之得x1=60，x2=﹣59（舍去）答：三（六）班共有60名学生．故答案为：60．16．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为或．【解答】解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，化简得：（x﹣1）2=3，∴x﹣1=±，∴x=1±．故答案为：或．17．如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则这4个数中最小的数是8．【解答】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：x+8，根据题意可得：x（x+8）=128，整理得：x2+8x﹣128=0，（x﹣8）（x+16）=0，解得：x1=8，x2=﹣16，则这4个数中最小的数是8．故答案为：8．18．若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是﹣3和﹣4．【解答】解：设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，根据题意得x（﹣7﹣x）=12，解得x=﹣3或x=﹣4，那么这两个数就应该是﹣3和﹣4．19．若两个负数的差为4，且它们的积为45，则这两个数中较小的数是﹣9．【解答】解：设较小的数为x，根据题意得：x（x+4）=45，解得：x=﹣9，x=5（不合题意，舍去）则这两个数中较小的数是﹣9；答案为：﹣920．已知一个直角三角形的三边是三个连续的偶数，则它的三边为6、8、10．【解答】解：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得（x﹣2）2+x2=（x+2）2，x2﹣4x+4+x2=x2+4x+4，x2﹣8x=0，x（x﹣8）=0，解得：x1=8，x2=0（0不符合题意，应舍去），所以它的三边是6，8，10．故答案为：6、8、10．21．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是3和5或﹣3和﹣5．【解答】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），由题意得，x（x+2）=15，解得，x=3或x=﹣5，所以这两个数为3和5或﹣3和﹣5．22．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出3．【解答】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得1+x+x•x=13，整理得x2+x﹣12=0，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）．即：每个支干长出3个小分支．故答案是：3．23．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了5个好友．【解答】解：设每轮每人向x人发送短信，依题意得：x+x（x+1）=35，解得：x1=5，x2=﹣7（不合题意，舍去）故答案为：5．24．若两数和为7，积为12，则这两个数是3和4．【解答】解：设其中的一个数为x，则另一个是﹣7﹣x，根据题意得x（7﹣x）=12，解得x=3或x=4，那么这两个数就应该是3和4．故答案是：3和4．25．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数的和是3和5或﹣3和﹣5．【解答】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），由题意得，x（x+2）=15，解得，x=3或x=﹣5，故答案是：3和5或﹣3和﹣5．26．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（分）之间的关系式为y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需13分钟．【解答】解：把y=59.9代入y=﹣0.1x2+2.6x+43中得：x1=x2=13分钟，即学生对概念的接受能力达到59.9需要13分钟．27．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为9．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；故答案为：928．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3=﹣9，现将实数（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，则m=7或﹣1．【解答】解：根据题意得，m2+2×（﹣3m）﹣3=4，解得m1=7，m2=﹣1，故答案为：7或﹣1．29．要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为6cm，8cm．【解答】解：设一直角边长为xcm，根据勾股定理得：（14﹣x）2+x2=102，解得x1=6，x2=8，故答案为：6cm，8cm．30．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是5．【解答】解：设这两个数中的大数为x，则小数为x﹣2，由题意，得x（x﹣2）=15，解得：x1=5，x2=﹣3，∴这两个数中较大的数是5，故答案为：5；。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：2.6应用一元二次方程一. 教材分析《2.6 应用一元二次方程》是北师大版九年级数学上册的教学内容。

这部分内容主要让学生学会运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过引入实际问题，让学生理解一元二次方程的建模过程，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的理论知识，对一元二次方程的解法有一定的了解。

但部分学生可能对理论知识的运用还不够熟练，解决实际问题的能力有待提高。

此外，学生在学习过程中可能存在对公式记忆不牢、解题思路不清晰等问题。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

2.让学生掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。

3.通过对实际问题的分析，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：运用一元二次方程解决实际问题，掌握一元二次方程的解法。

2.教学难点：对实际问题进行分析，找出关键信息，建立一元二次方程。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的思考能力。

2.利用案例分析，让学生通过实际问题理解一元二次方程的应用。

3.采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.运用数形结合思想，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学演示。

2.准备一元二次方程的解法教程，以便学生课堂练习时参考。

3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、物体运动问题等，引导学生思考如何利用一元二次方程解决这些问题。

2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题，如：已知一颗抛物线的顶点坐标为（3，-2），求该抛物线与x轴的交点坐标。

引导学生分析问题，找出关键信息，然后根据一元二次方程的定义，建立方程。