概率论课件第八章

2 2 2 2 正态总体N(1 , 1 )与N( 2 , 2 )的样本，S1 ,S2分别
为它们的样本方差，则
2 2 S1 1 F 2 2 F(n1 1, n 2 1) S2 2
由定理4的推论可知
2 1 n1 (n1 1)S1 2 1 2 (Xi X) 2 (n1 1) 2 1 i1 1
定理5 设有两个随机变量1和2相互独立， 且1 2(n1 ),2 2(n 2 ),则 F 1 n1 F(n1 , n 2 ) 2 n 2
F(n1,n 2 )是第一个自由度为n1, 第二个自由度为n 2 的F 分布
推论 设X1 ,..., X n1和Y1 ,..., Yn 2 是分别取自两个独立
2 1 n 2 1 n DX 2 DXi 2 n n i1 n i 1
2 故 X N , n
X N(0,1) 标准化可得 n
定理2 设X1 ,..., X n相互独立，都服从标准正态分布， 则2＝ Xi2服从具有n个自由度的2分布，记为2(n)
统计三大抽样分布
一、

2
分布

2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1,X2,·· ·· ·,Xn相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：
X X2 Xn
2 2 1 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 2分布.
二、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
记为 T t(n)
若X1,...,Xn是取自正态总体的样本，
X 则 ＝ N(0,1) n 1 n (n 1)S2 2 2 (Xi X) 2 (n 1) i 1 2
且与独立，应用定理4
X n (n 1)

(n 1)S2 (n 1) 2
对Yi应用定理3得到 推论 设X1 ,..., X n是取自正态总体N(, 2 )的
样本，则有 1 n (1) 2 (X i X) 2 2 (n 1) i1 (2)X与 (X i X) 2相互独立
n i 1
定理4 设两个随机变量与相互独立，且 N(0,1), 2 (n)，则T n 服从具有n个自由度的t分布
x 2 52 6.52 ... 6.92 ＝282.35 i
i 1
2
8
1 s (282.35 8 5.86252 ) 1.057 7
又如婴儿体重
组中值 2550 2850 3150 3450 3750 组频数 2 3 8 5 2
mi x i2 2 25502 3 28502 8 31502 5 34502 2 3750 2
§4 几个常用统计量的分布
数理统计中，较多使用正态总体，其样本X1,...,Xn的统 计量X与S2及其函数的分布很重要。
定理1 设X1 ,..., X n 相互独立，X i服从正态分布N(i , i2 )， 则它们的线性函数 a i Xi (a i不全为零)也服从正态分
i 1 n
布，且
＝112736.84
(三)样本平均值与样本方差的简单公式 设(x1,…,xn)为样本的n个观察值 对任意常数a及非零常数c (x -a) 记zi = i i 1,...,n c 即 xi czi a
1 n 1 n x (czi a) c zi a cz a n i1 n i1 2 1 n 1 n (czi cz) 2 s2 (x i x) x n 1 i 1 n 1 i 1 1 n 2 c2 (zi z) 2 c2sz n 1 i 1
1 n2 (n 2 1)S2 2 2 2 (Yi Y)2 立。 对1与2用定理5得到推论。
E a ii , D a i 2i2
i 1 i 1
n
n
推论 设X1 ,..., X n是取自正态总体N(, 2 )的样本，则 2 ) (1)X N(, n (2)(X ) n N(0,1)
这是因为X是X1,...,Xn的线性函数
故X是正态分布
1 n 1 n EX EXi n i1 n i1
若(x1,…,xn)为样本观察值
2 1 n 2 s x i nx n 1 i 1 若数据已分成k组 2 1 k 2 ' 2 s mi (x i ) nx n 1 i 1 如观察值为 2
5，6.5，7，4，5.4，6.3，5.8，6.9
X Y (1 2 ) 故 ＝ N(0,1) 1 1 m n 2 (m 1)S1 1 m 而 2 (Xi X) 2 (m 1) 2 i 1 (n 1)S2 1 n 2 2 (Yi Y)2 2 (n 1) 2 i 1 2 (m 1)S1 (n 1)S2 2 故 ＝ 2 (m n 2) 2 对与应用定理4得到推论2
i 1 5
＝204390000
s2
1 (204390000 20 31802 ) 112736.84 19 1 2 或 s 2(2550 3180)2 3(2850 3180)2 8(3150 3180)2 19 5(3450 3180)2 2(3750 3180)2
(n) , 且X与Y相互
2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n). t分布又称为学生氏分布.t ( n)分布的
概率密度函数为：
[( n 1) 2] t2 h( t ) (1 ) ( n 2 ) n n
n 1 2
t
X t(n 1) S n
即 推论1 设X1 ,..., X n是取自正态总体N(, 2 )的样本 X 则 T t(n 1) S n 推论2 设X1 ,...,X m 和Y1 ,...,Yn 分别是来自两个
独立正态总体N(1 , 2 )及N(2 ,2 ),则 T= X-Y-(1 -2 )
§3 样本分布的数字特征
(一)样本平均值 对于样本(X1,…,Xn)
1 n 样本平均值为 X Xi n i1 对于具体样本值(x1,…,xn) 1 n x xi n i1
若样本观察值已整理成分组数据，分成k组。
属于同一组的数据以组中值xi' 代表，组频数为mi 1 k 则样本平均值的计算公式为 x mi x i' n i1
(二)样本方差 对于样本(X1,…,Xn) 1 n 样本方差为 S2 (Xi X)2 n 1 i1 1 n 样本标准差为 S (Xi X) 2 n 1 i 1 实际计算时， 2 1 n 2 2 S (Xi 2Xi X X ) n 1 i 1 2 1 n 2 n Xi 2 Xi X nX n 1 i 1 i 1 2 1 n 2 Xi nX n 1 i 1
若观察值为 5，6.5，7，4，5.4，6.3，5.8，6.9 1 则 x (5 6.5 7 4 5.4 6.3 5.8 6.9) 8 1 46.9＝5.8625 8 再如婴儿的体重
组中值 2550 2850 3150 3450 3750 组频数 2 3 8 5 2 1 则 x (2 2550 3 2850 8 3150 5 3450 2 3750) 20 3180
a与c选取应使z尽可能简单。
例3 在婴儿体重数据中，令zi
组中值 zi 组频数mi mizi
z i2
300 2550 2850 3150 3450 3750 2 1 0 1 2 2 3 8 5 2 -4 -3 0 5 4
4 1 0 1 4
(xi 3150)
mizi2
8
3
0
5
8
1 1 1 2 2 故 z 2 =0.1 s z (24 20 0.1 ) 23.8 19 20 19 x 300 0.1 3150 =3180 1 2 2 s x 300 23.8 =112736.84 19
2 2 (m 1)S1 (n 1)S2 mn2
t(m n 2) 1 1 m n
2 Y N 2 , n
2 由于 X N 1, m
1 1 2 X Y N 1 2 , m n
i 1 n
定理3 设X1 ,..., X n 相互独立，都服从标准正态分布，
n 1 n 则X＝ X i与 (X i X) 2相互独立，并且 n i1 i 1
(Xi -X)2 2 (n 1)
i=1
n
若Xi不是标准正态分布，而是N(, 2 ) Xi - 则 Yi＝ N(0,1) X n 1 n 2 Y , (Yi Y) 2 (Xi－X) 2 i1 i1
3、F分布
定义: 设 U ~ 2 ( n1 ),V 独立，则称随机变量
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第自 由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1