高考数学知识点：立体几何解题技巧

篇章说明：本篇文章主要针对2023年高考数学甲卷的立体几何部分进行详细解析，旨在帮助考生更好地理解和掌握解答技巧，提高考试成绩。

文章将从题目分析、解题思路和步骤、相关知识点详解等方面展开，希望对广大考生有所帮助。

一、题目分析1.1 题目类型本次数学甲卷的立体几何部分主要包括平面与空间直角坐标系、三视图、旋转体、二面角等内容。

1.2 题目数量根据往年高考数学甲卷的趋势，立体几何部分一般有3-4道题目，覆盖面较广，深度一般。

二、解题思路和步骤2.1 题目分析在解答立体几何题目时，首先要仔细阅读题目，理清题意，确定所给数据和所求量，并尽可能画出对应的图形。

2.2 利用相关知识点根据题目所涉及的内容，运用相关的立体几何知识进行分析和计算，例如平面与空间直角坐标系的性质、旋转体的体积计算方法、三视图的绘制等。

2.3 运用解题技巧在解题过程中，要善于运用立体几何的解题技巧，例如利用平行投影、三视图推导、旋转体的切割与拼接等方法，增加解题的灵活性和多样性。

2.4 对答案进行检验在得出最终答案后，要对答案进行反复检验，确保计算和推导过程的准确性，避免因计算错误导致得出错误的结论。

三、相关知识点详解3.1 平面与空间直角坐标系平面与空间直角坐标系是立体几何的基础，涉及点、线、面的坐标计算以及相关性质的运用，考生需熟练掌握坐标计算和平面几何性质，例如点到直线的距离公式、向量的运算与应用等。

3.2 三视图三视图是立体图形的展开图，由正视图、俯视图和侧视图组成，通过三视图可以确定立体图形的形状和大小，考生需要掌握三视图的画法及相互关系，能够准确理解和绘制三视图。

3.3 旋转体旋转体是立体几何的一个重要内容，包括圆柱体、圆锥体、旋转抛物面等，通过观察旋转体的特点，运用相关计算公式可以准确求解旋转体的体积和表面积。

3.4 二面角二面角是平面几何与立体几何的交叉部分，涉及到二面角的性质、计算和应用等内容，考生需要掌握二面角的相关知识点，能够准确应用到解题过程中。

高考数学立体几何知识要点知识点总结及解题思路方法一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;c o s c o s c o s 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

立体几何题型及解题方法
立体几何是数学中研究三维空间几何图形的学科。

以下是一些常见的立体几何题型及其解题方法：
1. 计算体积和表面积：这类题目通常涉及到三维空间中的几何形状，如长方体、圆柱体、圆锥体等。

解题方法包括使用体积和表面积的公式，以及根据题目描述建立数学模型。

2. 证明定理和性质：这类题目通常涉及到几何图形的性质和定理，如平行线性质、勾股定理等。

解题方法包括使用已知定理和性质进行推导，以及通过构造辅助线或辅助图形来证明。

3. 求解最值问题：这类题目通常涉及到求几何图形中的最值，如最短路径、最大面积等。

解题方法包括使用不等式、极值定理和优化方法等。

4. 判定和性质应用：这类题目通常涉及到判定几何图形是否满足某个性质，或应用某个性质到实际场景中。

解题方法包括根据性质进行推导和判断，以及根据实际场景建立数学模型。

以上是一些常见的立体几何题型及其解题方法，当然还有其他的题型和解题方法。

在解决立体几何问题时，需要灵活运用几何知识和方法，多做练习，提高自己的解题能力。

四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为n =x ,y ,z ．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量a =a 1,b 1,c 1 ，b =a 2,b 2,c 2 ．③根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组n ⋅a =0n ⋅b =0④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组n ⋅a =0n ⋅b =0有无数多个解，只需给x ,y ,z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向量a =x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 是平面α内的两个不共线向量，则向量n =y 1z 2−y 2z 1,x 2z 1−x 1z 2,x 1y 2−x 2y 1 是平面α的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题方法一：中位线型：如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，点E 是PD 的中点.求证：PB ⎳平面AEC .分析：方法二：构造平行四边形如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE ⎳CF ，求证：AE ⎳平面DCF .分析：过点E作EG⎳AD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AE⎳DG即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD分析：：取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN∥平面OCD。

高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略立体几何的解答题型主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再计算几何体的体积．试题背景有折叠问题、探索性问题等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及转化与化归思想的应用能力.题型一线面位置关系的证明题型概览：空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，应用向量证明线、面的位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题．这里以传统方法为例建立审题程序与答题模板，向量方法参照本专题题型二．如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E、F分别为MA、DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[审题程序]第一步：利用中位线、平行四边形的性质在四边形MNCB内确定与EF平行的直线；第二步：在平面MAC和平面BND中寻找与另一平面垂直的直线；第三步：应用面面垂直、菱形的性质，由线线垂直解决．[规范解答](1)如图，取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝12ND，F、G分别为DC、NC的中点，FG∥ND且FG＝12ND，所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)如图，连接BD、MC.因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：1．(2016·北京西城区高三期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH.在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)由(1)得AC⊥平面BDEF.因为AO＝2，四边形BDEF的面积S▱BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×S▱BDEF同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.题型二求空间几何体的体积题型概览：计算几何体的体积，关键是根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．(2)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(3)等体积法：一般利用三棱锥的“等积性”求三棱锥体积，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．注意两点：一是求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；二是利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N－BCM的体积．[审题程序]第一步：由线线平行或面面平行证明(1)；第二步：由N 为PC 中点，推证四面体N －BCM 的高与P A 的关系； 第三步：利用直接法求四面体的体积．[规范解答] (1)由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：2．(2016·深圳一模)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是正三角形，E是SB的中点，且AE⊥平面SBC.(1)证明：SD∥平面ACE；(2)若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵E是SB的中点，∴EF∥SD.∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE.(2)∵AB⊥AS，BC＝BS＝2，且E是SB的中点，∴AE＝1.∵AE⊥平面SBC，BS、CE⊂平面SBC，∴AE⊥BS，AE⊥CE.∴AB＝AE2＋BE2＝ 2.又侧面SBC 是正三角形，∴CE ＝3， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴△ABC 是底边长为2，腰长为2的等腰三角形， ∴S △ABC ＝12×2×4－12＝72.设点S 到平面ABC 的距离为h .由V 三棱锥S －ABC ＝V 三棱锥A －SBC ，得13h ·S △ABC ＝13AE ·S △SBC ，∴h ＝AE ·S △SBC S △ABC ＝237＝2217.题型三 立体几何中的探索性问题题型概览：如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在探索型试题．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即要求的存在性条件．若能求出，则存在；若不能求出，则不存在．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，E 在线段B 1C 1上，B 1E ＝3EC 1，AC ＝BC ＝CC 1＝4.(1)求证：BC ⊥AC 1；(2)试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面A 1ABB 1？若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．[审题程序]第一步：由B 1E ＝3EC 1及EF ∥平面A 1ABB 1猜想点F 的位置；第二步：在平面A 1ABB 1内探求与EF 平行的直线或寻找经过EF 与平面A 1ABB 1平行的平面； 第三步：由线线平行或面面平行推理论证．[规范解答] (1)证明：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1. 又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C . 又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.(2)解法一：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1.又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG. ∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC⊥AB；(2)若AA1＝26，侧棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，求PC的长；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.因为△ABC是正三角形，所以NC⊥AB.因为MN∩NC＝N，MN⊂平面MNC，NC⊂平面MNC，所以AB⊥平面MNC，所以AB⊥MC.(2)由(1)知MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C与Rt△PCB相似，QC1C1C ＝PCCB，所以PC＝QC1·CBC1C＝3×426＝6，点P恰好是CC1的中点．。

高考数学立体几何知识点总结1.有关平行与垂直线线、线面及面面的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题包括论证、计算角、与距离等中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行垂直、线面平行垂直、面面平行垂直相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2. 判定两个平面平行的方法：1根据定义--证明两平面没有公共点;2判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;3证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

1棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。

立体几何七大解题技巧
一、把问题转化成数学问题
三维几何的问题可以转化为数学问题，如求解三角形的面积、求解两个空间向量的点积、求解空间曲线的长度等，都可以用数学方法来解决。

二、利用空间几何公式
三维几何中有许多空间几何公式，如三角形面积公式、平面夹角公式等，利用这些公式可以解决许多三维几何问题。

三、利用空间图形构建
可以利用空间图形构建的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。

四、利用空间投影
可以利用空间投影的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。

五、利用空间变换
可以利用空间变换的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。

六、利用空间对称
可以利用空间对称的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。

七、利用空间分析
可以利用空间分析的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。

数学立体几何解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

高考数学答题技巧：立体几何解答立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。

从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

知识整合1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2、判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

高考数学立体几何知识点梳理关键信息：1、立体几何基本概念与公理点、线、面的位置关系三公理及推论2、直线与平面的位置关系直线与平面平行直线与平面垂直3、平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面垂直4、空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球5、空间几何体的表面积与体积表面积公式体积公式6、空间向量在立体几何中的应用空间向量的坐标表示空间向量的数量积利用空间向量证明位置关系利用空间向量求空间角11 立体几何基本概念与公理111 点、线、面的位置关系点是空间中最基本的元素，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。

点动成线，线动成面。

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。

平面与平面的位置关系有：平行、相交。

112 三公理及推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

21 直线与平面的位置关系211 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

212 直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

31 平面与平面的位置关系311 平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

312 平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

立体几何大题的答题规范与技巧一、对于空间中的定理与判定，除公理外都要明确写出条件，才有结论。

需要多个条件时， 要逐个写出。

对于平面几何中的结论，要求写出完整的条件，可以省略部分证明过程。

二、一般地，有多个小题时，前几小题应该用几何法，可以节省时间。

最后一小题若几何法 较复杂，可以用坐标法。

三、建坐标系的要求：使更多的点在坐标轴上，坐标系最好在几何体的内部。

四、采用坐标法时，要千方百计的给出点、向量的坐标。

对未知的坐标可以先设。

若某个未知的点P 在直线AB 上变化，则可以用三点共线设出点P 的坐标。

如：A(0，1，2)，B(2，2，3)，点P 在线段AB 上改变，则设P(x ，y ，z)， 因为λ=，由此坐标化后，得P(2,1,2++λλλ )，10≤≤λ。

五、证明线线平行的方法1、平行公理：b a //，c a c b ////⇒；2、线面平行⇒线线平行：α//a ，β⊂a ，b a b //⇒=⋂βα；3、面面平行⇒线线平行：βα// ，a =⋂αγ，b a b //⇒=⋂βγ；4、α⊥a ，b a b //⇒⊥α；5、CD AB CD AB //⇒=λ。

六、证明线面平行的方法1、线线平行⇒线面平行：b a //，α⊂b ，αα//a a ⇒⊄；2、面面平行⇒线面平行：βα// ，βα//a a ⇒⊂；3、0=⋅，αα//AB AB ⇒⊄。

（其中是平面的一个法向量）七、证明面面平行的方法1、线面平行⇒面面平行：α//a ，α//b ，β⊂b a ,，βα//⇒=⋂P b a ；2、α⊥a ，βαβ//⇒⊥a ；3、线线平行⇒面面平行：α⊂b a ,，β⊂''b a ,，P b a =⋂，a a '//，βα////⇒'b b ；4、21n n λ=。

八、证明线线垂直的方法1、b a //，c b c a ⊥⇒⊥；2、勾股定理（适用于证明两相交直线垂直）；3、线面垂直⇒线线垂直：α⊥a ，b a b ⊥⇒⊂α（适用于两异面直线垂直）；4、CD AB ⊥⇒=⋅0。

高考数学中的立体几何问题及解题方法高考数学中，立体几何是一项重要的考试题型。

相比于平面几何、代数和概率统计等内容，立体几何更为抽象，对学生的空间想象力和逻辑能力要求更高。

本文旨在探讨高考数学中的立体几何问题及其解题方法。

一、立体几何常考题型常见的立体几何问题包括立体几何图形的性质、体积、表面积等问题。

下面列举一些高考中经常出现的立体几何考点。

1. 立体图形的名字和性质高考中经常出现的立体图形包括正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

学生需要掌握这些图形的属性，比如正方体的六个面都是正方形、长方体的所有面都是矩形等等，只要掌握了它们的基本属性，在解决题目时就能做到心中有数。

2. 体积求立体图形的体积是立体几何中比较基础和常见的题型。

学生需要清楚掌握各种常见图形的体积公式，例如：①正方体的体积公式：V=a³②长方体的体积公式：V=lxwxh③棱柱的体积公式：V=Ah④圆柱的体积公式：V=πr²h⑤球的体积公式：V=4/3πr³⑥棱锥的体积公式：V=1/3Ah注意，这些公式必须要掌握，不要在考试中还在纠结于公式的推导方法。

3. 表面积求立体图形的表面积也是数学中的一大题型。

常见的几何图形表面积的计算方式有如下几种公式：①正方体的表面积公式：S=6a²②长方体的表面积公式：S=2(lw+lh+wh)③棱柱的表面积公式：S=2B+Ph④圆柱的表面积公式：S=2πr²+2πrh⑤球的表面积公式：S=4πr²⑥棱锥的表面积公式：S=B+1/2Pl其中B表示底面积，P表示底面外接多边形的周长，l表示斜几何。

上面列举的是一些常见的立体几何题目，还有一些特殊题目需要学生掌握，例如“平行四边形体积定理”、“曲面半径定理”等等。

二、举例分析解题方法1. 体积题例题：某学校花坛为正方形，长和宽之和为25米，现在将花坛增加5个方块，每个方块边长为2米，求增加的花坛的体积。

2024年高考数学立体几何知识点总结____年高考数学立体几何知识点总结（____字）一、立体几何的基本概念1. 立体几何的研究对象：立体物体。

2. 立体物体的特征：具有长度、宽度和高度三个方向的物体。

3. 立体几何的基本概念：点、线、面。

- 点：没有任何维度，没有长度、宽度和高度。

在立体几何中用大写字母表示，如A、B、C。

- 线：由一串无限多个点组成，具有长度但没有宽度和高度。

用小写字母表示，如a、b、c。

- 面：由无限多条线组成，具有长度和宽度但没有高度。

用大写字母表示，如A、B、C。

- 空间：由无限多个面组成，具有长度、宽度和高度。

用字母S表示。

二、立体几何的基本性质1. 垂直关系：- 垂直平面：两个平面的法线互相垂直。

- 垂直线：两个线互相垂直。

2. 平行关系：- 平行线：在同一个平面上没有交点的两条线。

- 平行平面：在空间中没有交线的两个平面。

3. 点、线、面的关系：- 点在线上：一个点在一条线上。

- 线在平面上：一条线在一个平面上。

- 点在平面上：一个点在一个平面上。

- 线垂直于平面：一条线与一个平面垂直。

4. 空间几何图形的投影：- 平面的投影：一个空间几何图形在一个平面上的投影。

- 线的投影：一条线在一个平面上的投影是线段。

- 点的投影：一个点在一个平面上的投影是一个点。

- 面的投影：一个面在一个平面上的投影是一个面。

三、平行于坐标轴的立体图形1. 长方体的概念和性质：- 长方体的定义：由6个矩形面围成的立体几何图形。

- 长方体的性质：相对的面是平行的，相对的边是相等的。

2. 正方体的概念和性质：- 正方体的定义：所有边长相等的长方体。

- 正方体的性质：正方体的六个面是相等的正方形。

3. 正方柱、正交柱的概念和性质：- 正方柱：底面是正方形的柱体。

- 正交柱：底面和轴垂直的柱体。

- 正方柱和正交柱的性质：底面的对边平行且相等。

四、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义：两对对边平行的四边形。

高中数学立体几何知识点（大全）一、【空间几何体结构】1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。

棱柱(1)：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。

底面是几边形就叫做几棱柱。

(2)：棱柱中除底面的各个面。

(3)：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

(4)：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。

如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱(1)：旋转轴叫做圆柱的轴。

(2)：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。

(3)：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

(4)：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O（注：棱柱与圆柱统称为柱体）5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

圆锥(1)：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

(2)：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。

(3)：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

(4)：作为旋转轴的直角边与斜边的交点。

(5)：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。

圆锥可以用它的轴来表示。

如：圆锥SO（注：棱锥与圆锥统称为锥体）二、【棱台和圆台的结构特征】1.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。

棱台(1)：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

ʏ江苏省泗洪中学 戚雪敏高考试卷中的立体几何解答题,合理注重基本考查点,通过确定空间点㊁线㊁面之间的位置关系加以合理逻辑推理,借助空间角或空间距离的求解加以数学运算等,命题方式各样,基本考查方式相对稳定,保持这些基本的命题常规型㊂一、位置关系问题位置关系包括常见的空间直线㊁平面之间的平行(或垂直)关系,也包括点与线㊁点与面㊁线与面等的其他位置关系㊂图1例1 如图1所示,在四棱锥P -A B C D 中,P A ʅ底面A B C D ,A D ʊB C ,A D ʅC D ,A D =C D =12B C =2,点E 在平面P B C 上运动㊂(1)试确定一点E ,使得C D ʊ平面P A E ,并说明点E 的位置㊂(2)若四棱锥的体积为6,在侧棱P C 上是否存在一点F ,使得二面角F -A B -C 的余弦值为23417若存在,求出P F 的长;若不存在,请说明理由㊂图2解析:(1)取B C 的中点为G ,连接A G ,P G ,如图2所示㊂由A D =12B C ,A D ʊB C ,可得A D ʊG C ,A D =G C ,所以四边形A G C D 为平行四边形,于是A G ʊC D ㊂而A G ⊂平面P A G ,C D ⊄平面P A G ,则C D ʊ平面P A G ㊂所以当点E 在әP B C 的边B C 的中线P G 上运动时,C D ʊ平面P A E ㊂(2)由于P A ʅ底面A B C D ,A D ʅC D ,则四棱锥P -A B C D 的体积V =13ˑ(2+4)ˑ22㊃P A =6,解得P A =3㊂由(1)知,A G ʅB C ,A G =B G =2,则有A B =22,A C =22,所以A B 2+A C 2=B C 2,所以A B ʅA C ㊂以A 为坐标原点,A B ,A C ,A P 所在直图3线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图3所示的空间直角坐标系A -x yz ,则A (0,0,0),B (22,0,0),C (0,22,0),P (0,0,3)㊂假设在棱P C 上存在一点F 满足条件,令P F ң=λP C ң,λɪ(0,1),则F (0,22λ,3-3λ),所以A B ң=(22,0,0),A F ң=(0,22λ,3-3λ)㊂设平面A B F 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃A B ң=22x =0,n ㊃A F ң=22λy +(3-3λ)z =0,令z =22λ,得n =(0,3(λ-1),22λ)㊂又平面A B C 的一个法向量为m =(0,0,1),故二面角F -A B -C 的余弦值为|c o s <n ,m >|=|n ㊃m ||n ||m |=22λ9(λ-1)2+(22)2ˑ1=23417,解得λ=12,即F 为P C 的中点,此时P C =(22)2+32=17,P F =12P C =172,即当P F =172时,二面角F -A B -C 的41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月余弦值为23417㊂点评:推理论证空间直线㊁平面间的平行(或垂直)关系主要是利用向量法或几何法来处理㊂以该题中的线面平行的判定为例,证明线面平行的方法:(1)向量法:设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,则要证明l ʊα,只需证明a ʅu ,即a ㊃u =0,注意说明直线l ⊄平面α;(2)几何法:利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理等来推理论证与分析求解㊂二㊁空间角问题空间角包括异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角,以及二面角的平面角等,有时给出条件求解相应的空间角,有时利用已知的空间角来求解问题等㊂图4例2 如图4所示,在四棱柱A B C D -A 1B 1C 1D 1中,A B =2,A A 1=4,底面A B C D 是菱形,øB A D =π3,平面C C 1D 1D ʅ平面A B C D ,B D ʅA D 1㊂(1)证明:C D 1ʅ平面A B C D ;(2)若M 是线段A A 1的中点,求二面角M -B D -D 1的余弦值㊂图5解析:(1)如图5,取C D 的中点为E ,连接A C ,B E ㊂在菱形A BCD 中,A C ʅB D ,因为B D ʅA D 1,A C ɘA D 1=A ,A C ,A D 1⊂平面A C D 1,所以B D ʅ平面A C D 1㊂而C D 1⊂平面A C D 1,则C D 1ʅB D ㊂又øB A D =π3,则әB C D 是正三角形,所以B E ʅC D ㊂又平面C C 1D 1D ʅ平面A B C D ,平面C C 1D 1D ɘ平面A B C D =C D ,B E ⊂平面A B C D ,则B E ʅ平面C C 1D 1D ㊂而C D 1⊂平面C C 1D 1D ,于是C D 1ʅB E ㊂又B E ɘB D =B ,B E ,B D ⊂平面A B C D ,所以C D 1ʅ平面A B C D ㊂(2)在平面A B CD 内过点C 作C D 的垂图6线,以C 为坐标原点,建立如图6所示的空间直角坐标系C -x yz ,则C (0,0,0),D (2,0,0),B (1,3,0),A (3,3,0),D 1(0,0,23),A 1(1,3,23),M (2,3,3),可得B D ң=(1,-3,0),D D 1ң=(-2,0,23),DM ң=(0,3,3)㊂设平面B D D 1的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则n ㊃B D ң=x 1-3y 1=0,n ㊃D D 1ң=-2x 1+23z 1=0,令y 1=1,得n =(3,1,1)㊂设平面M B D 的一个法向量为m =(x 2,y 2,z 2),则m ㊃B D ң=x 2-3y 2=0,m ㊃DM ң=3y 2+3z 2=0,令y 2=1,得m =(3,1,-1)㊂所以c o s <n ,m >=n ㊃m |n ||m |=35ˑ5=35,显然二面角M -B D -D 1的平面角是锐角,故二面角M -B D -D 1的余弦值为35㊂点评:立体几何中,常见的确定二面角的平面角大小的方法为:设n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β所在平面的法向量,则向量n 1与n 2的夹角或其补角就是二面角的平面角㊂若n 1㊃n 2=0,则所求二面角为直二面角㊂若n 1㊃n 2不为0,则确定二面角的大小的方法有:①根据几何图形直观判断二面角是锐二面角还是钝二面角,从而确定其余弦值的正负;②依据 同进同出互补,一进一出相等 求解;③在二面角的一个半平面内取一点,过该点作另一个半平面所在平面的垂线,若垂足在另一个半平面内,则所求二面角为锐二面角,若垂足在另一个半平面的反向延长面上,则所求二面角为钝二面角㊂三㊁空间距离问题空间距离包括空间两点间的距离㊁点到平面的距离㊁平行直线到平面的距离,以及平行平面间的距离等,以点到平面的距离考查为重点㊂51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月图7例3 如图7,在四棱锥P -A B C D 中,侧面әP A D 是正三角形,且与底面A B C D 垂直,B C ʊ平面P A D ,B C =12A D =1,E 是棱P D 上的一个动点㊂(1)当E 是棱P D 的中点时,求证:C E ʊ平面P A B ;(2)若A B =1,A B ʅA D ,求点B 到平面A C E 距离的取值范围㊂解析:(1)因为B C ʊ平面P A D ,B C ⊂平面A B C D ,且平面P A D ɘ平面A B C D=图8A D ,所以BC ʊAD ㊂如图8,取P A 的中点为F ,连接B F ,E F ㊂因为E 是棱P D 的中点,所以E F ʊA D ,且E F =12A D ㊂而BC ʊAD ,B C =12A D ,所以BC ʊE F ,且B C =E F ,所以四边形B C E F 为平行四边形,则C E ʊB F ㊂因为C E ⊄平面P A B ,B F ⊂平面P A B ,所以C E ʊ平面P A B ㊂(2)取A D 的中点为O ,连接P O ㊂因为әP A D 是正三角形,所以P O ʅA D ㊂又因为平面P A D ʅ平面A B C D ,平面P A D ɘ平面A B C D =A D ,P O ⊂平面P A D ,所以P Oʅ平面A B C D ㊂因为B C ʊA D ,B C =12A D ,O 为A D 的中点,所以BC ʊA O ,且B C =A O ,所以四边形A B C O 为平行四边形,则A B ʊC O ㊂因为A B ʅAD ,则C O ʅA D ㊂以O 为坐标原点,O C ,O D ,O P 所在直图9线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图9所示的空间直角坐标系O -x yz ,则A (0,-1,0),C (1,0,0),P (0,0,3),D (0,1,0),可得A C ң=(1,1,0)㊂设D E ң=λD P ң=λ(0,-1,3)=(0,-λ,3λ),其中0ɤλɤ1,则A E ң=A D ң+D E ң=(0,2,0)+(0,-λ,3λ)=(0,2-λ,3λ)㊂设平面A C E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃A C ң=x +y =0,n ㊃A E ң=(2-λ)y +3λz =0,令z =2-λ,得n =(3λ,-3λ,2-λ)㊂设点B 到平面A C E 的距离为d ,则d =|A B ң㊃n ||n |=3λ7λ2-4λ+4,0ɤλɤ1㊂当λ=0时,d =0;当0<λɤ1,即1λȡ1时,有0<d =3λ7λ2-4λ+4=37-4λ+4λ2=32λ-12+6ɤ31+6=217,当且仅当λ=1时等号成立㊂综上可知,点B 到平面A C E 距离的取值范围为0,217㊂点评:常见的计算点到平面的距离问题的三种方法:(1)作高法:直接作出过点到平面的垂线段,计算该垂线段的长度即可㊂(2)等体积法:以三棱锥A -B C D 为例,可以根据V A -B C D =V B -A C D 得出13S әB C D ㊃d 1=13㊃S әA C D ㊃d 2,其中d 1是点A 到平面B C D 的距离,d 2是点B 到平面A C D 的距离,利用上述方程求解d 1或d 2即可㊂(3)向量法:如图图1010所示,P 为平面α外一点,A 为平面α内任意一点,n 为平面α的一个法向量,则点P 到平面α的距离d =|P A ң㊃n ||n |㊂高考试卷中的立体几何解答题,主要通过以上三种常规命题类型来创设,结合不同的命题方式来考查空间几何与空间向量的基本知识点㊂在数学学习与复习备考过程中,要合理把握基本类型及其对应的解题技巧与方法,系统理解并掌握破解之道,实现对该模块知识的全面理解与掌握㊂(责任编辑 王福华)61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月。

数学立体几何的技巧和方法
数学立体几何的技巧和方法包括以下几个方面：
1. 图形可视化：通过绘制平面图形和对图形进行旋转、反转等操作，将复杂的立体图形转化为简单的平面图形，从而更好地理解和推导立体图形的性质。

2. 投影方法：将立体图形在一个平面上进行投影，获得平面内的图形，然后通过计算等方法确定立体图形的性质和体积等。

3. 切割法：将立体图形沿着某个面进行切割，使其变为若干个平面图形，然后通过计算这些平面图形的面积和体积等，来推导立体图形的性质。

4. 坐标法：使用坐标系来表示立体图形的各个点和面，依据对应点的坐标以及立体图形的性质来进行计算和推导。

5. 等量代换法：将一个立体图形变换为等量的、更加简单的形式，从而方便计算和推导。

以上是几个常用的立体几何技巧和方法，当然还有其他的方法，需要根据具体情况灵活运用。