2017-2018学年辽宁省高二上学期期中考试数学(理)试题7

2017-2018高二（上学期）期中考试数学（理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3- 4．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.1⎤⎥⎣⎦B.1,⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.1,⎤⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________. 14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“2≥1”是假命题B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1＜0”C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a＞2b，则a≤b”D．“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2D．＜4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=7，S5=20，则a10=（）A．16 B．19 C．22 D．255．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．8 C．D．166．（5分）已知，，与的夹角为，那么等于（）A．2 B．6 C．D．127．（5分）如图所示的程序框图运行的结果为（）A．1022 B．1024 C．2044 D．20488．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．﹣ B．C．4 D．69．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里10．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）11．（5分）在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n＞0成立的最大自然数n的值为（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）13．（5分）不等式＜0的解集为．14．（5分）若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是．}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则16．（5分）若数列{a++…+=．三、解答题（本题共6小题，共70分.）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；=，求a+b的值．（2）若c=，且S△ABC19．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．20．（12分）已知正项等比数列{a n}，a1=，a2与a4的等比中项为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）令b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n．证明：对任意的n∈N*，都有S n ＜2．21．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．（Ⅰ）若关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．22．（12分）已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n ≥2，n∈N*）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={0，1，2}，B={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，则A∩B={0，1}，故选：B．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“2≥1”是假命题B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1＜0”C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a＞2b，则a≤b”D．“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件【解答】解：命题“2≥1”是真命题，故A错误；命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1≤0”，故B错误；命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a≤2b，则a≤b”，故C错误；“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条，故D正确；故选：D．3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2D．＜【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，故C正确，C，D不正确当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，故选：C．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=7，S5=20，则a10=（）A．16 B．19 C．22 D．25【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=7，S5=20，∴，联立解得a1=﹣2，d=3，∴a10=a1+9d=﹣2+27=25，故选：D．5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．8 C．D．16【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=×2×2×4=8．故选：B．6．（5分）已知，，与的夹角为，那么等于（）A．2 B．6 C．D．12【解答】解：=1×=1，（4﹣）2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．故选：C．7．（5分）如图所示的程序框图运行的结果为（）A．1022 B．1024 C．2044 D．2048【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=21+22+…+29的值．由于S=21+22+…+29==1022，故程序框图运行的结果为输出S的值为1022．故选：A．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．﹣ B．C．4 D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由解得A（2，2）．代入目标函数z=x+y得z=2+2=4．即目标函数z=x+y的最大值为4．故选：C．9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得，解得：a1=192，∴，故选：C．10．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x ＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选：C．11．（5分）在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n＞0成立的最大自然数n的值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵前n项和S n有最大值，∴公差d＜0，又＜﹣1，∴a10＞0，a11＜0，∴由不等式的性质可得a10+a11＜0，∴S19===19a10＞0，S20==10（a10+a11）＜0，∴使S n＞0成立的最大自然数n的值为：19故选：B．12．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，2]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，2]上成立；设函数f（x）=﹣x，x∈[1，2]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣1，1]，要a＞﹣x在x∈[1，2]上有解，则a＞﹣1，即实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）13．（5分）不等式＜0的解集为{x|﹣＜x＜1} ．【解答】解：由不等式＜0等价于（2x+1）（x﹣1）＜0，可得：﹣＜x＜1，故答案为{x|﹣＜x＜1}．14．（5分）若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：若命题p：“”是假命题，则命题“∀x∈R，2x﹣2＞a2﹣3a”是真命题，即a2﹣3a+2≤0恒成立，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2]，故答案为[1，2]．15．（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是5．【解答】解：由3x+y=5xy得，∴4x+3y=（4x+3y）（）=，当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，∴x=1，y=2时取等号．故4x+3y的最小值是5，故答案为：5}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则16．（5分）若数列{a++…+=2n2+6n．【解答】解：令n=1，得=4，∴a 1=16．当n≥2时，++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．∴a n=4（n+1）2，∴=4n+4，∴++…+==2n2+6n．故答案为2n2+6n三、解答题（本题共6小题，共70分.）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2≤x＜3．（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，设A={x|¬p}，B={x|¬q}，则A⊊B，又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x≤2或x＞3}，则0＜a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S=，求a+b的值．△ABC【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得==．∵sinA≠0，∴sinC=．又∵△ABC是锐角三角形，∴C=．（2）c=，C=，由面积公式，得absin=，即ab=6．①由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．②由②变形得（a+b）2=3ab+7．③将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．19．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．【解答】解：方程x2+（m﹣3）x+m=0．设f（x）=x2+（m﹣3）x+m（Ⅰ）由题题：，即，解得：0＜m≤1．故m的取值范围为（0，1]（Ⅱ）由题题：，解得故m的取值范围为（，1]．20．（12分）已知正项等比数列{a n}，a1=，a2与a4的等比中项为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）令b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n．证明：对任意的n∈N*，都有S n ＜2．【解答】解：（Ⅰ）因为正项等比数列{a n}，所以a n＞0，设公比为q，则q＞0．又a2与a4的等比中项为，所以a3=，即a1q2=，由a1=，得q=，于是，数列{a n}的通项公式a n=证明：（Ⅱ）由题可知，b n=，于是，S n=1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n，﹣﹣①，∴S n=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1，﹣﹣②，由①﹣②，得S n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n×（）n+1=﹣=1﹣﹣解得S n=2﹣，故S n＜221．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．（Ⅰ）若关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，方程ax2﹣3x+2=0的两根为x=1或x=b，于是，1+b=，b=，…（3分）解得a=1，b=2．…（4分）（Ⅱ）原不等式等价于ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，等价于（ax﹣3）（x+1）＞0，…（5分）（1）当a=0时，原不等式的解集为原不等式解集为（﹣∞，﹣1），…（6分）当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）=0的根为x=，或x=﹣1，…（7分）∴①当a＞0时，＞﹣1，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），…（8分）②当﹣3＜a＜0时，＜﹣1，原不等式解集为（，﹣1），…（9分）③当a=﹣3时，=﹣1，原不等式解集为∅…（10分）④当a＜﹣3时，原不等式解集为（﹣1，）．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n ≥2，n∈N*）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．【解答】（1）证明：∵数列{a n}的前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2，n∈N*），=，化为：﹣=2．∴S n﹣S n﹣1∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为1．（2）解：由（1）可得：=1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得S n=．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣．∴a n=．（3）解：∵1+S n=1+=．∴T n=（1+S1）（1+S1）…（1+S n）=××…×＞××…×=×…××（2n+1）=，可得：T n＞．∴存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，则k的最大值为1．。

辽宁省实验中学2016—2017学年度上学期期中阶段测试高二数学试卷考试时间：120分钟 试题满分：150分1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1)下列说法正确的是 （ ）（A ）一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假 (B ）一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题为真 （C)一个命题的否命题为真,则它的逆命题为真（D ）一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真(2）如果命题“()p q ⌝∨"是假命题，则正确的是 ( ）（A ）,p q 均为真命题 （B),p q 中至少有一个为真命题 （C ）,p q 均为假命题 (D ）,p q 中至多有一个为真命题（3）命题“p :x ∃∈R ，使得2220x x -+≤”的否定是 ( ）（A ）x ∀∈R ，使得2220x x -+≤ (B ）x ∀∈R ,使得2220x x -+< (C)x ∀∈R ，使得2220x x -+≥ （D ）x ∀∈R ,使得2220x x -+>（4）“数列{}n a （*∈N n )满足1n n a a q +=⋅（其中q 为常数)”是“数列{}n a （*∈N n )是等比数列"的 （ ） （A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件（C)充分必要条件 （D)既不充分又不必要条件（5）数列}{n a 中,11=a ，22=a ,且数列}11{+n a 是等差数列,则3a 等于 （ ） （A ）31 （B)3 （C)15（D ） 5 （6)已知数列9,,,121a a 是等差数列，数列9,,,,1321b b b 是等比数列,则212a ab +等于（ ）（A ）107 （B ）57 （C ）103 （D ）21(7）下列命题中，正确命题的个数是 ( )①22bc ac b a >⇒>； ②22bc ac b a ≥⇒≥；③bc ac cb c a >⇒>； ④bc ac c bc a ≥⇒≥；⑤0>⇒>>c bc ac b a 且; ⑥0≥⇒≥≥c bc ac b a 且；（A ）2 (B ）3 （C ）4 （D)5（8)函数421y x x =+-(12x >)的最小值是 （ ）（A ）12 （B)12 （C ）12 （D ）12(9）已知,+∈R a b ，若14=+b a ,则ba 11+的最小值是 （ ）(A ）6 （B)3 (C ）12 (D ）9（10）已知平面区域D 由以)1,3(),3,5(),2,1(C B A 为顶点的三角形内部和边界组成。

2017-2018学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题∀m∈[1，2]，则的否定是（）A．∀m∈[1，2]，则B．∃m∈[1，2]，则C．∃m∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），则D．∃m∈[1，2]，则2．（5分）已知平面内动点P满足|PA|+|PB|=4，其中|AB|=4，则P点轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆3．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，（n=1，2…），则a3等于（）A．15 B．10 C．9 D．54．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）A．B．﹣C．D．5．（5分）下列命题中真命题是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件6．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A．B．C．D．7．（5分）函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．3+2B．3+2C．7 D．118．（5分）设x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．69．（5分）命题p：∀x∈Z，x2＞x，命题，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．p∨（¬q）D．（¬p）∨q10．（5分）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上．若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）C．（，1）D．（0，）11．（5分）设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．12．（5分）设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．14．（5分）已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数n的值是．15．（5分）如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点A与公共左焦点F，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长釉长的k（k＞1，且k为常数）倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是．16．（5分）下列命题中为真命题（把所有真命题的序号都填上）．①“A∩B=A”成立的必要条件是“A⊊B”；②“若a，b．c成等差数列，则a+c=2b”的否命题；③“已知数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n，…成等比数列．”的逆否命题；④“已知f（x）是R上的单调函数，若f（x）=x，则f（f（x））=x”的逆命题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数f（x）=x3+1，g（x）=2﹣x﹣m+1．（1）若对任意x1∈[﹣1，3]，任意x2∈[0，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．（2）若对任意x2∈[0，2]，总存在x1∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n，求最小的正整数n，使得．19．（12分）经过原点的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB 的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围．20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}为等差数列，且b1+b2=b3=3．（1）求S n；（2）求数列（a n b n）的前n项和T n．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AOB（O为坐标原点）面积取最大值时，求直线l的方程．2017-2018学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题∀m∈[1，2]，则的否定是（）A．∀m∈[1，2]，则B．∃m∈[1，2]，则C．∃m∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），则D．∃m∈[1，2]，则【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题∀m∈[1，2]，则的否定是∃m∈[1，2]，则．故选：D．2．（5分）已知平面内动点P满足|PA|+|PB|=4，其中|AB|=4，则P点轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【解答】解：∵点A（0，2）、B（0，﹣2），∴|AB|=4又∵动点P满足|PA|+|PB|=4，∴点P在直线AB上，且在A、B之间（含站点）由此可得，点P的轨迹是线段AB故选：B．3．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，（n=1，2…），则a3等于（）A．15 B．10 C．9 D．5【解答】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=（2n﹣λ）a n，∴a2=2﹣λ=3，λ=﹣1．∴a3=（4﹣λ）•3=15．故选：A．4．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）A．B．﹣C．D．【解答】解：不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），根据韦达定理，可得：，x1+x2=4a，那么：=4a+．∵a＜0，∴﹣（4a+）≥2=，即4a+≤﹣故的最大值为．故选：D．5．（5分）下列命题中真命题是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件【解答】解：A．当a=1，b=﹣1，满足a＞b，但a2＞b2，不成立，即充分性不成立，B．当a=﹣1，b=0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，即必要性不成立．C．当c=0时，ac2＞bc2，不成立，即充分性不成立，若ac2＞bc2，则必有c≠0，则a＞b成立，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件，成立，D．当a=1，b=﹣1，满足a＞b，但“|a|＞|b|”不成立，即充分性不成立，故选：C．6．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A．B．C．D．【解答】解：定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则：，整理得：a1+a2+…+a n=n（2n+1）①，=（n﹣1）（2n﹣1）②，则：a1+a2+…+a n﹣1①﹣②得：所以：a n=4n﹣1，则：，则：，=1++…+，=1﹣，=．故选：C．7．（5分）函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．3+2B．3+2C．7 D．11【解答】解：函数y=log a（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣1，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，∴﹣m﹣n+1=0，即m+n=1．则+=（m+n）=3++≥3+2=3+2，当且仅当n=m=2﹣时取等号．故选：A．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．6【解答】解：作出约束条件，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，0），B（1，2），C（﹣1，0）设z=F（x，y）=|x﹣3y|，|x﹣3y|的几何意义是可行域内的点到x﹣3y=0距离的倍，由图形可知B到x﹣3y=0的距离最大，=F（1，2）=5．∴z最大值故选：C．9．（5分）命题p：∀x∈Z，x2＞x，命题，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．p∨（¬q）D．（¬p）∨q【解答】解：命题p：∀x∈Z，x2＞x，显然当x=1时，不成立，故为假命题；命题，显然成立如x=4，故为真命题，故选：D．10．（5分）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上．若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）C．（，1）D．（0，）【解答】解：如图根据对称性，点D在直线y=x上，可得，即x2=＞c2．⇒b2＞ac⇒c2+ac﹣a2＜0⇒e2+e﹣1＜0，解得0故选：B．11．（5分）设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：画出可行域：设k=表示可行域中的点与点（0，0）连线的斜率，由图知k∈[，2]∴∈[，2]∴=k﹣取值范围为故选：D．12．（5分）设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且==，即=可得e==．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．14．（5分）已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数n的值是7．=4，【解答】解：由题意可得：a1+a3+…+a2k+1a2+a4+…+a2k=3，，∴a1+kd=1=a k+1=7，∴=na k+1解得n=7．故答案为：7．15．（5分）如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点A与公共左焦点F，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长釉长的k（k＞1，且k为常数）倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是．【解答】解：设椭圆II的标准方程为：=1（a＞b＞0），离心率为e=．椭圆I的标准方程为：+=1，设离心率为e1．则ka﹣x0=a，∴x0=（k﹣1）a．∴e1==1+（e﹣1），∵0＜e＜1，∴e 1∈．故答案为：．16．（5分）下列命题中②④为真命题（把所有真命题的序号都填上）．①“A∩B=A”成立的必要条件是“A⊊B”；②“若a，b．c成等差数列，则a+c=2b”的否命题；③“已知数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n ﹣S2n，…成等比数列．”的逆否命题；④“已知f（x）是R上的单调函数，若f（x）=x，则f（f（x））=x”的逆命题．【解答】解：对于①，A⊊B时，A∩B=A，充分性成立，A∩B=A时，得到A⊆B，即A=B，或A⊊B，必要性不成立，①错误；对于②，“若a，b．c成等差数列，则a+c=2b”的否命题是“若a，b．c不成等差数列，则a+c≠2b”，它是真命题，因为它的逆否命题是“若a+c=2b，则a，b．c成等差数列”是真命题，∴②正确；对于③，“数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是等比数列，当q=﹣1，且n为偶数，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…不能构成等比数列”，∴它的逆否命题是假命题，③错误；对于④，“已知f（x）是R上的单调函数，若f（x）=x，则f（f（x））=x”的逆命题是“已知f（x）是R上的单调函数，若f（f（x））=x，则f（x）=x”是真命题；综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数f（x）=x3+1，g（x）=2﹣x﹣m+1．（1）若对任意x1∈[﹣1，3]，任意x2∈[0，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．（2）若对任意x 2∈[0，2]，总存在x1∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题设函数f（x）=x3+1，g（x）=2﹣x﹣m+1．对任意x1∈[﹣1，3]，任意x2∈[0，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，知：f（x1）min≥g（x2）max，∵f（x）在[﹣1，3]上递增，∴f（x1）min=f（﹣1）=0又∵g（x）在[0，2]上递减，∴g（x2）max=g（0）=2﹣m∴有0≥2﹣m，m的范围为[2，+∞）（2）由题设函数f（x）=x3+1，g（x）=2﹣x﹣m+1．对任意x2∈[0，2]，总存在x1∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，知f（x1）min≥g（x2）max，∴有f（3）≥g（0），即28≥2﹣m，∴M的范围为[﹣26，+∞）．18．（12分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n，求最小的正整数n，使得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意有，解得a1=1，d=2，从而{a n}的通项公式为；（2）因为，所以=．令，解得n＞1009，故取n=1010．19．（12分）经过原点的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB 的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F 1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，∴，∵•=，∴=，∴椭圆C的离心率e==．（2）∵e=，∴，∴=1，c=，焦点F1（﹣，0），设MN：y=k（x﹣），联立，得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，=，∴＜0，∴（x 1+，y1）•（，y2）=（）+y1y2=+=（1+k2）x1x2﹣（x1+x2）（1﹣k2）+3b2（1+k2）=++＜0，∴（1+k2）（12k2﹣4）+24k2（1﹣k2）+3（1+k2）（4k2+1）＜0，整理，得，解得k的取值范围是（﹣）．20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}为等差数列，且b1+b2=b3=3．（1）求S n；（2）求数列（a n b n）的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，①当n=1时，有a1=S1，可得2a1=1，即a1=；当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=1，②①﹣②可得S n﹣S n﹣1+a n﹣a n﹣1=0，2a n=a n﹣1，可得{a n}为首项为，公比为的等比数列，即有a n=（）n，n∈N*，数列{b n}为公差为d的等差数列，且b1+b2=b3=3，可得2b1+d=b1+2d=3，解得b1=d=1，则b n=1+n﹣1=n，n∈N*；（2）a n b n=n•（）n，前n项和T n=1•（）+2•（）2+3•（）3+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，上面两式相减可得，T n=（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1=﹣n•（）n+1，化简可得，T n=2﹣（n+2）•（）n．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x 3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AOB（O为坐标原点）面积取最大值时，求直线l的方程．【解答】解：（1）由已知可得，解得a2=2，b2=1，故椭圆C的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．当△=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2＞m2﹣1时，，．∴，．当k=0时，线段AB的垂直平分线显然过点，此时==．∵m∈（﹣1，0）∪（0，1），∴m2∈（0，1），则=，当时，取到等号．则l：．当k≠0时，∵线段AB的垂直平分线过点，∴=，化简整理得2k2+1=2m．由，得0＜m＜2．又原点O到直线AB的距离为．=．∴=．而2k2+1=2m且0＜m＜2，则，0＜m＜2．取得最大值．∴当m=1，即时，S△AOB综上S的最大值为，△AOB此时直线l：或或．。

2017-2018学年高二数学理科期中测试卷（考试范围：必修1～5,选修2－1）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合M ={ x ∈R ｜0≤x ≤2},集合N ={ x ∈R ｜x 2-x =0}，则正确表示集合M 和N 关系的韦恩（Venn ）图是2、在△ABC 中，A=45o ，B=30o ， b=2，则a 的值为（ ）A 、4 B 、22 C 、3 D 、 3 3.“a ≠0”是“函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有零点”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当1≥x 时，不等式042≥--ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 、]4,(--∞ B 、]3,(--∞ C 、),4[+∞- D 、),3[+∞- 5.设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是A. 若m//α，m// n ，则n//αB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β， m ⊥α，m ⊥n ，则n//βD. 若α⊥β， m ⊥α，n//m ，n ⊄β，则n//β6.已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z =13y x -+的最大值A.3B.76C.13D.-237. 阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可填写 （ ）．Ａ．3?i < Ｂ．4?i < Ｃ．5?i < Ｄ．6?i <8.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段 如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ②、③都不能为系统抽样 B ②、④都不能为分层抽样 C ①、④都可能为系统抽样 D ①、③都可能为分层抽样10. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若有两条平行直线11:l y kx m =+和22:l y kx m =+使得当x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，且1l 与2l 的距离取得最小值d 时，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道。

2017-2018学年度上学期省六校协作体高二期初考试数学试题（理）命题学校：东港市第二中学第I卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，若,则A．B． C. D．2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．B．C．D．3. 已知，则A．B． C. D．4. 已知是夹角为的两个单位向量，且，则向量的夹角为A．B．C．D．5. 圆的圆心到直线的距离为1，则A．B．C．D．6. 从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是A．B． C. D．7. 执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1，则输出的k值为A．1 B．2 C．3 D．48. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．9. 已知函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为A．B．C．D．10.若底面边长是1，侧棱长为的正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是A．B．C．D．11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。

《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。

一为从隅，开平方得积。

”若把以上这段文字写成公式，即。

现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为A．12B．C．D．12. 已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，且，则的解析式为A．B．C．D．第II卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把答案填在答题卡相应的位置上。

13. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为；14.若点在直线上，则的值等于15. 函数在上的最小值和最大值之和为16. 在中，若,则的最大值是三．解答题:本大题共6小题，共70分。

2017-2018学年辽宁省大连市渤海高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若命题“p∧q”为假，且￢p为假，则（）A．“p∨q”为假B．q为假C．p为假D．q为真2．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．a2+b2＞2ab D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8+a11=30，那么S13值的是（）A．130 B．65 C．70 D．以上都不对4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）5．下列四组不等式中，同解的一组是（）A．与（x﹣2）（x﹣1）≥0 B．＞1与x＞1C．＜1与x＞1 D．＞1与lgx＜06．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．7．下列命题中正确的是（）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是D．的最大值是8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣19．椭圆+=1和+=k（k＞0）具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴10．已知数列{a n}的前n项和为S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A．﹣76 B．76 C．46 D．1311．若不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2]12．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣二、填空题：（每小题5分，共20分）13．不等式≤3的解集是．14．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．16．关于数列有下列命题：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣1（a∈R），则{a n}为等差或等比数列；（2）数列{a n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a n}中不会有a m=a n（m≠n），（3）一个等差数列{a n}中，若存在a k＞a k＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有a n+1＞0；（4）一个等比数列{a n}中，若存在自然数k，使a k•a k+1＜0，则对于任意n∈N*，都有a n•a n+1＜0，其中正确命题的序号是．三、解答题（共70分）17．已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．（1）当m=3时解此不等式；（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．18．（1）已知命题p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．19．已知数列{a n}中，a1=1，前n项和S n=a n．（1）求a2，a3，及{a n}的通项公式．（2）求{}的前n项和T n，并证明：1≤T n＜2．20．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．21．数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n=2a n﹣3n．（1）设b n=a n+3，求证：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．2016-2017学年辽宁省大连市渤海高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若命题“p∧q”为假，且￢p为假，则（）A．“p∨q”为假B．q为假C．p为假D．q为真【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据复合命题的真值表，先由“¬p”为假，判断出p为真；再根据“p∧q”为假，判断q为假．【解答】解：因为“¬p”为假，所以p为真；又因为“p∧q”为假，所以q为假．对于A，p∨q为真，对于C，D，显然错，故选B．2．若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．C．a2+b2＞2ab D．【考点】不等关系与不等式．【分析】a，b两数可以是满足a＜b＜0任意数，代入后看所给不等式是否成立，即可得到正确选项．【解答】解：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B，当a=b=﹣2时，C错．故选D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8+a11=30，那么S13值的是（）A．130 B．65 C．70 D．以上都不对【考点】等差数列的性质．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，，利用等差数列的通项公式化简已知的等式a2+a8+a11=30得到a1+6d的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，把a1+6d的值代入即可求出值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a8+a11=30，可得a1+6d=10，故S13==13a7=13（a1+6d）=13×10=130故选A4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．5．下列四组不等式中，同解的一组是（）A．与（x﹣2）（x﹣1）≥0 B．＞1与x＞1C．＜1与x＞1 D．＞1与lgx＜0【考点】其他不等式的解法．【分析】分别求解各个选项中的不等式，比较即可得到答案．【解答】解：对于选线A中，的解集为{x|x＜1或x≥2}，而（x﹣2）（x﹣1）≥0的解集为{x|x≤1或x≥2}，故选项A不符合题意；对于选线B中，＞1的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}，故选项B不符合题意；对于选线C中，＜1的解集为{x|x＜0或x＞1}，故选项D不符合题意；对于选线D中，＜1的解集为{x|x＜0或x＞1}，lgx＜0的解集为{x|x＜0或x＞1}，故选项D符合题意．故选：D．6．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得：==，故选：C．7．下列命题中正确的是（）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是D．的最大值是【考点】基本不等式．【分析】当x＜0时，＜0；y==+≥+=；y==≥2+=；当x＜0时，的最大值是不成立．【解答】解：当x＞0时，≥2=2，其最小值是2；当x=0时，不存在；当x＜0时，=﹣（﹣x﹣）≤﹣2=﹣2，其最大值是﹣2．故A不成立；设y=x+，则y′=1﹣，当x＞1时，y′＞0，∴y=x+在（1，+∞）内是增函数．∵y==+，，∴y==+≥+=，∴y=的最小值是，故B不正确．∵y==，，∴y==≥2+=，∴y=的最小值是，故C正确；当x＞0时，≤2﹣2=2﹣4，其最大值是；当x=0时，不存在；x＜0时，=2+4，其最小值是2+4，故D不成立．故选C．8．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z max=3×3+2=11，故选：B．9．椭圆+=1和+=k（k＞0）具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆+=k（k＞0）化为标准方程为：，求出其离心率，即可得到结论．【解答】解：椭圆+=k（k＞0）化为标准方程为：∴离心率的平方==∵椭圆+=1离心率的平方=∴椭圆+=1和+=k（k＞0）具有相同的离心率故选A．10．已知数列{a n}的前n项和为S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是（）A．﹣76 B．76 C．46 D．13【考点】数列的求和．【分析】由已知得S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，S22=﹣4×11=﹣44，S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，由此能求出S15+S22﹣S31的值．【解答】解：∵S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），∴S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，S22=﹣4×11=﹣44，S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76．故选：A．11．若不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2]【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意，讨论m的取值范围，求出使不等式恒成立的m的取值范围即可．【解答】解：∵不等式mx2+2mx﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，∴（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4＜0，当m﹣2=0，即m=2时，不等式为﹣4＜0，显然成立；当m﹣2≠0，即m≠2时，应满足，解得﹣2＜m＜2；综上，﹣2＜m≤2，即实数m的取值范围是（﹣2，2]．故选：C．12．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算k1k2的值．【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为y﹣0=k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k12﹣2=0，∴x1+x2=，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，），直线OP的斜率k2=，∴k1k2=﹣．故选D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．不等式≤3的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集．【解答】解：由≤3，得﹣3≤0，即，则，解得：x＜0或．∴不等式≤3的解集是．故答案为：．14．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】先设出椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．【解答】解：由题设椭圆的焦点在y轴上，设方程为：，由题得：解得所以椭圆标准方程为故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】函数恒成立问题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．16．关于数列有下列命题：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣1（a∈R），则{a n}为等差或等比数列；（2）数列{a n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a n}中不会有a m=a n（m≠n），＞a k＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有a n （3）一个等差数列{a n}中，若存在a k+1＞0；（4）一个等比数列{a n}中，若存在自然数k，使a k•a k+1＜0，则对于任意n∈N*，都有a n•a n+1＜0，其中正确命题的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），当a=0时，a1=﹣1，a2=a3=…=0，由此可判断（1）；（2），利用反证法可判断（2）正确；（3），依题意，可得公差d＞0，从而可判断（3）正确；（4），个等比数列{a n}中，a k•a k+1＜0，可知公比q＜0，从而可判断（4）正确．【解答】解：对于（1），数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣1（a∈R），当a=0时，a1=﹣1，a2=a3=…=0，{a n}既不是等差又不是等比数列，故（1）错误；对于（2），数列{a n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a n}中不会有a m=a n（m≠n），假设a m=a n（m≠n），则a1+（m﹣1）d=a1+（n﹣1）d，整理可得m=n，这与m≠n矛盾，故假设不成立，原命题正确，即（2）正确；对于（3），一个等差数列{a n}中，若存在a k+1＞a k＞0（k∈N*），由a k+1=a k+d知a k+d＞a k＞0，故d＞0，所以，对于任意自然数n＞k，都有a n＞0，（3）正确；对于（4），一个等比数列{a n}中，若存在自然数k，使a k•a k+1＜0，则q＜0，即q＜0，则对于任意n∈N*，都有a n•a n+1=q＜0，正确．综上所述，正确命题的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题（共70分）17．已知不等式x2﹣x﹣m+1＞0．（1）当m=3时解此不等式；（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程．【分析】（1）当m=3时，不等式x2﹣x﹣2＞0，解可得答案；（2）不等式x2﹣x﹣m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x2﹣x﹣m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．【解答】解：（1）当m=3时，不等式x2﹣x﹣2＞0解得：x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）（2）设y=x2﹣x﹣m+1∵不等式x2﹣x﹣m+1＞0对于任意的x都成立∴对∀x∈R，y＞0恒成立∴△=12+4（m﹣1）＜0∴故实数m的取值范围．18．（1）已知命题p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）解绝对值不等式|x2﹣x|≥6，我们可以求出命题p成立时，x的取值范围，再由p且q与非q都是假命题，可得x应满足P假且q真，由此构造关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；（2）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等价命题．又由￢p是￢q的必要而不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件，再由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，得到A、B的关系，进而得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵非q是假，则q是真，又∵P且q是假∴P假即非P真，∴|x2﹣x|＜6，且x∈Z，∴﹣6＜x2﹣x＜6且x∈Z，即，解之得：，∴x=﹣1，0，1，2；（2）由题知，若¬p是¬q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，∴p：﹣2≤x≤10；由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0解得1﹣m≤x≤1+m，∴q：1﹣m≤x≤1+m又∵p是q的充分不必要条件∴，∴m≥9，∴实数m的取值范围是[9，+∞）．19．已知数列{a n}中，a1=1，前n项和S n=a n．（1）求a2，a3，及{a n}的通项公式．（2）求{}的前n项和T n，并证明：1≤T n＜2．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据已知等式确定出a2，a3，得出{a n}的通项公式即可；（2）表示出{}的前n项和T n，根据前n项和T n为递增数列，确定出T n的范围，即可得证．【解答】解：（1）由S2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，解得：a2=3a1=3；由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得：a3=（a1+a2）=6．由题设知a1=1，当n ＞1时有a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣a n ﹣1，整理得：a n =a n ﹣1．于是a 1=1，a 2=a 1，a 3=a 2，…，a n ﹣1=a n ﹣2，a n =a n ﹣1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =，综上，{a n }的通项公式a n =；（2）∵=，∴T n =2[++…+]=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=2﹣＜2，即T n ＜2，又T n +1＞T n ，{T n }单调增， ∴T n ＞=T 1=1， 则1≤T n ＜2．20．已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）由短轴长可得b 值，由离心率为可得=，结合a 2=b 2+c 2即可求得a 值，即可得出椭圆的方程；（2）设直线方程为：y=k （x +1），联立方程组消掉y 得到x 的二次方程，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理及弦长公式即可表示弦长|MN |，最后利用弦长建立等式，即可求出直线l 的方程．【解答】解：（1），椭圆的标准方程：（2）由题意知，直线l 的斜率存在，所以设直线方程为：y=k （x +1），，联立得：（5k 2+4）x 2+10k 2x +5k 2﹣20=0，∴，则：==，∵，∴即：即：，所以，k=±1，所以直线方程为：y=x +1或y=﹣x ﹣1．21．数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有S n =2a n ﹣3n ． （1）设b n =a n +3，求证：数列{b n }是等比数列，并求出{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和．【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和． 【分析】（1）通过递推关系式求出a n 与a n +1的关系，推出{a n +3}即数列{b n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式即可求出{a n }的通项公式；（2）写出数列{na n }的通项公式，然后写出前n 项和的表达式通过错位相减法求解即可． 【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣3n ，对于任意的正整数都成立， ∴S n +1=2a n +1﹣3n ﹣3，两式相减，得a n +1=2a n +1﹣2a n ﹣3，即a n +1=2a n +3， ∴a n +1+3=2（a n +3）， 所以数列{b n }是以2为公比的等比数列， 由已知条件得：S 1=2a 1﹣3，a 1=3． ∴首项b 1=a 1+3=6，公比q=2， ∴a n =6•2n ﹣1﹣3=3•2n ﹣3．（2）∵na n =3×n •2n ﹣3n∴S n =3（1•2+2•22+3•23+…+n •2n ）﹣3（1+2+3+…+n ）， 2S n =3（1•22+2•23+3•24+…+n •2n +1）﹣6（1+2+3+…+n ）， ∴﹣S n =3（2+22+23+…+2n ﹣n •2n +1）+3（1+2+3+…+n ）=∴S n =22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y +2=0相切．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知点P （0，1），Q （0，2）．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y +2=0相切，可得b 的值，利用离心率为，即可求得椭圆C 的方程；（2）设M ，N 的坐标分别为（x 0，y 0），（﹣x 0，y 0），求出直线PM 、QN 的方程，求得x 0，y 0的值，代入椭圆方程，整理可得结论． 【解答】（1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y +2=0相切，∴b==．因为离心率e==，所以=，所以a=2．所以椭圆C 的方程为．（2）证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为（x 0，y 0），（﹣x 0，y 0），则直线PM 的方程为y=x +1，①直线QN 的方程为y=x +2． ②…设T （x ，y ），联立①②解得x 0=，y 0=． …因为，所以（）2+（）2=1．整理得=（2y ﹣3）2，所以﹣12y +8=4y 2﹣12y +9，即．所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．…2016年11月28日。

2017— 2018学年度上学期高二年级期中考试数学科试卷（理科）答题时间：120分钟；满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知等比数列｛a n｝的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n=（）3、n 2 . n 3、n1 2. n JA. 4 ■（一） B . 4 ■（—） C . 4 ■（—） D . 4 ■（—）2 3 2 32,下列命题正确的个数是（）①对于实数a,b,c,若a〉b,则ac2>bc2；②命题“若x < —1,则x2 —2x —3 > 0 ”的否命题为：“若x <—1,则x2-3x+2 E0” ；③“ x = 5”是“ x2—4x —5 = 0 ”的充分不必要条件；④命题“三％w R,x20+1 之3x°”的否定是“ V x w R,x2+1 M3x” .A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 2x y 2 _ _ _3.已知m = R ,命题p :方程-------- 十------ 二l表小椭圆，命题q : m - 7m+10 < 0,m —2 6 - m则命题p是命题q成立的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设｛a n｝是等差数列，公差为d , S n是其前n项的和，且S5 < S6 , S6 = S7 A S8 ,则下列结论错误的是（）A. d <0 B . a7=0 C . S9A s5D . 56和57均为S n的最大值5.已知命题p:Vx『1,2], x2—a之0 ,命题q :三x w R, x2+2ax+2 — a = 0 .若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（）A. aE—2 或a=1 B . 1 <a <2 C . a>1 D . -2<a<1a. 一6.两等差数列｛a n｝、｛b n｝的前n项和分别为S n和T n, H （2n+7）S n =（5n+3）T n ,则的b5值是（）23 15A.空 1753 2748 257.设集合 A={(x,y )||x| 十|y 区优 B = {(x, y ，(y — x)(y + x) E 0}, M = Ap B ,若动点 P(x,y)wM , 则x 2十（y —1）2的取值范围是（ ） 1 5 A - [2,2].2 5 B- [T,2] C £4]D . I/平]8.设离心率为 e 的双曲线2 x C:~ ab 2 = 1（a A0,b 〉0）的右焦点为F ,直线l 过点F 且斜率为k ,则直线 l 与双曲线 C 的左、 右两支相交的充要条件是 2 2 A. k -e 1 一 e 2二 1 2 2 C . e -k >1 9.已知椭圆C 2 2x y 一八…， —2+—2" =1 (a Ab a 0)的焦距为2, a 2 b 2，，、… 3 斜率为——直线l 交曲线 4 圆C 的标准方程为（ C 于A, B 且M 是线段AB 的中 2 2 x y A .——+— =13 2 16 2—=1 12 过 M1,1 )点，则椭2 2 C .L L=1 4 32 x12 2 匕=1 18 10 .如图所示点 是抛物线y 2 = 8x 的焦点，点 A 、B 分别在抛物线y =8x 及圆22（x-2 ） +y =16的实线部分上运动，且 AB 总是平行于x 轴，则AFAB 的周长的取值范围 A. 6,10 B ・ 8,12 C. 6,8 1 D ,8,121 11.已知等差数列 {a n }的公差d#0,且a 1，a 3, a 13成等比数列，若a 1=1, S n 是数列{a n } 的前n 项的和，则 2S n’6(n w N *)的最小值为()a n 3A. 4B. 3C. 273-2D. 9212.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A, A2,B l,B2为椭圆顶点，F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P ,若NB1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是(5 -2 八.5 -2、5-1、 5 -1 八A. (- ---- ,1)B. (0,- ---- )C. (0,-——)D.(-——,1)2 2 2 2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.2 213.点P是双曲线C1 : xy 工 =1(a > Qb A0)和圆C2: x2+y2=a2+b2的一个交点, a b且2/PF1F2 =/PF2F「其中F「F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为.14.下列命题：①数列｛a n｝的前n项和为S n ,则S n = An2 + Bn是数列｛ a n｝为等差数列的必要不充分条件；a②V x A0 ,不等式2x+a之4成立的充要条件a之2 ;③“ x + y#0 ”是“ x01或xy丰-1”的充分不必要条件；④已知4,。

试卷代码 高二理数12017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则从中抽取的男运动员的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．32 3．已知命题:p x A B ∈⋃，则p ⌝是（ ）A ．x AB ∉⋂ B ．x A ∉且x B ∉C ．x A ∉或x B ∉D ．x A B ∈⋂4．2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ）A ．2013年农民工人均月收入的增长率是10%B ．2011年农民工人均月收入是2205元C ．小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”D ．2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高5．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为（ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.56．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648yx =-+； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578yx =--． 其中一定不正确的结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78. 关于右面两个程序框图，说法正确的是（ ）A ．（1）和（2）都是顺序结构B ．（1）和（2）都是条件分支结构C ．（1）是当型循环结构，（2）是直到型循环结构D ．（1）是直到型循环结构，（2）是当型循环结构9．方程221xy x y +=所表示的曲线（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称10．已知椭圆221102x y m m +=--长轴在x 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．811．若椭圆13422=+y x 的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. 0734=-+y x B.0743=-+y x C. 0134=--y x D ．0123=--y x12．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，F 1，F 2分别是其左右焦点，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．1[,1)3C ．1(0,)3D ．1(0,]3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

辽宁省沈阳市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 如果a ＜b ＜0，下列不等式成立的是( )．A ．a －b ＞0B ．ac ＜bcC. D ．a 2＜b 22.命题“R ∈∃0x ， 01x 0<+”的否定形式是（ ）A.R ∈∃0x ，01x 0≥+ B ．R ∈∀0x ，01x 0≥+ C.R ∈∃0x ，01x 0<+ D ．R ∈∀0x ，01x 0<+3.椭圆的长轴是（ ） A.8B.4C.6D.34.已知等差数列的前项和为,,且.则( )A.11B.10C.9D.85.已知命题:函数在上为增函数,:函数在上为减函数,则在命题:;:;:和:中,真命题是( )A.,B.,C., D., 6.已知各项均为正数的等比数列,,,则 ( )A.B.7C.6D.7.已知实数满足不等式组则的取值范围是( )A.[-1,3]B.[-3,-1]C.[-1,6]D.[-6,1]8.已知数列满足,若的前n项和为，则项数n为( )A.2010B.2011C.2012D.20139.若集合则实数a的取值范围是 ( )A. B. [C. D.10.已知数列满足,则等于( )A． B.C. 1D. 211.已知是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A. B.C. D.12.设,且恒成立,则n的最大值是( )A.2B.3C.4D.6第II卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上。

13.已知p:1,q: ,则p是q的_________条件.14.已知且,则的最小值为_______.15.等差数列、的前项和分别为和,若,则的值______.16.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则_________.三.解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设实数满足,其中,实数满足,或,且非是非的必要不充分条件,求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式的解集为1.求a ，b 的值;2.当时,解关于x 的不等式.19．（本小题满分12分）设为数列的前项和,已知,,.（1）求,并求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.20.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数.（1）已知数列满足,,求证:是等差数列,并求的通项公式.（2）求的值;22．（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为、,上顶点为,过、、三点作圆,其中圆心的坐标为.（1）若是圆的直径,求椭圆的离心率;（2）若圆的圆心在直线上,求椭圆的方程.高二期中试题理科数学答案CBADC ACBDA CC13．必要不充分. 14.915． 16.3517. 设, 2’或或或, 4’∵是的必要非充分条件,∴,且不能推出,则, 6’而,或,∴或,则或, 8’即或. 10’18. （1）.由已知,得1,b是方程的两个实数根,且,所以解得. 4’（2）.由1问,得原不等式可化为+2C<0,即 (X-2)(X-C)<0,6’所以当C>2时,所求不等式的解集为(2,C) 8’当C>2时,所求不等式的解集为(C,2), 10’当C=2时,所求不等式的解集为. 12’19.(1).令,得,即,∵,∴, 1’令 ,得,解得. 2’当时,由, 两式相减得,即,∴数列是首项为,公比为的等比数列, ∴数列的通项公式为. 6’(2).由1知,.记数列的前项和为,于是.①.② 8’ ①-②得.从而. 12’20. (1)依题意得y ＝x f(x ＝x x2－4x ＋1＝x ＋x 1－4. 因为x >0，所以x ＋x 1≥2. 当且仅当x ＝x 1时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝x f(x的最小值为－2. 4’(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1.所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可． 8’所以g(2≤0，g(0≤0，即4－4a －1≤0，0－0－1≤0， 解得a ≥43.则a 的取值范围为，＋∞3. 12’21. (1).由两边同减去1,得.所以,即是以2为公差,为首项的等差数列,所以. 6’(2).,设,①则.②①+②得,所以. 12’22. (1).解:由椭圆的方程知,∴.设的坐标为,∵是圆的直径,∴,∵,∴.∴,又,,解得(负值舍去),∴椭圆的离心率. 6’2.∵圆过点三点,∴圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上.由题意知的垂直平分线的方程为.①∵的中点为,∴的垂直平分线的方程为.②由①②,得,即.∵在直线上,∴.∵,∴.由得, ∴椭圆的方程为. 12’。

辽宁省庄河市2017-2018学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）2017年庄河高中高二上学期期中考试一、选择题（512=60⨯分） 1---6 DCACDA 7---12B DACCB 二、填空题（54=20⨯分）13、102 14、2600 15、（﹣∞，1）∪（1，2] 16、. 210三、解答题（共70分） 17. （本小题满分10分）解：(1)由题意知，f (x )＝3cos 4x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝3cos 4x ＋sin 4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2………………………………………………..5分(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π3≤4x ＋π3≤4π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3≤1，∴函数f (x )的取值范围为．。

10分18（本小题满分12分）解：（I ）由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+ 2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+=(0,)B π∈ sin 0B ∴≠ 1cos 2A ∴=(0,)A π∈ 3A π∴=…………………………………………6分(II)解：由（I ）得3A π=，由余弦定理得222242cos3b c bc b c bc π=+-=+-2()34,4b c bc b c ∴+-=+=4bc ∴=所以ABC ∆的面积为11sin 422ABC S bc A ∆==⨯=分 19（本小题满分12分）（I ）证明：因为112n n n n n a S S S n +++=-=,12,1n n S S n n+∴=+又12,a = 1112021,n nS S n S n++∴=≠∴=∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,首项为2，公比为2的等比数列. ……………6分（Ⅱ）由（I ）可知2,2n n nn S S n n=∴=⋅ T n =2+2·22+3·23+…(n-1)·2n-1+n ·2n, 2T n =22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n ·2n+1, 所以T n -2T n =-T n =2+22+23+24+ (2)-n ·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n =(n-1)2n+1+2. ……………12分 (20)（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得222222,5, 1.c a a a b b a b c ⎧⎪⎪=⎧⎪+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩解得 22 1.4x y +=所以，椭圆方程为----------4分 （Ⅱ）21-=AB k ， 设与AB 平行的椭圆的切线方程为 m x y +-=21， 联立方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=442122y x m x y ， 消去y 得022222=-+-m mx x ， ①0)22(4422=--=∆m m解得2±=m .2,0-=∴>m k . ---------6分代入到①中得2-=x ，代入到221--=x y 得22-=y ， .)22,2(的面积最大时，的坐标是当取ABC C ∆--∴ ---------8分 5222+=d ，⨯⨯=∆521ABC S 125222+=+. ---------10分此时，直线l 的方程是12212+--=x y . ---------12分 其它方法酌情给分21.（1）证明：略。

2017——2018学年度上学期期中考试试题高二数学分数：150分；考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果0a b >>且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是 ( )①23a b b <；②110a b>>；③32a ab <；④33a b > A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．在ABC ∆中，已知角B 030=， AB = 2， 2AC =．则ABC ∆的面积为（ ）3．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，．若,,a b c ，成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A.4 B. 14 C. 34 D. 34．已知是椭圆的两个焦点，焦距为4.过点的直线与椭圆相交于两点，的周长为32，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.5．曲线221259x y +=与曲线221(0)259x y t t t+=>的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等6．下列关于正弦定理的叙述中错误的是（ ） A. 在△ABC 中，a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C B. 在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，则A =BC. 在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；若A ＞B ，则sin A ＞sin BD. 在△ABC 中，a sinA =bc sinB sinC++ 7．下列命题错误的是（ ）A. 对于命题2:,1p x R x x ∃∈++使得＜0，则:P ⌝∀ ,x R ∈均有210.x x ++≥B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1,x ≠， 则2320.x x -+≠”C. 若p q Λ为假命题，则,p q 均为假命题D. “x＞2”是“232x x -+＞0”的充分不必要条件. 8．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. 1y x x =+B. 1sin sin y x x =+， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C. 2y =431y x x =+--， 1x > 9．等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有231n n S nT n =+，则55a b 等于( ) A. 23 B. 914 C. 2031 D. 111710．设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11a =， 12n n a S +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为（ ）A.1931223-⨯ B. 1971443-⨯ C. 1831223-⨯ D. 1871443-⨯ 11．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ）12．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是（ ）A.B.C. D.第II 卷（非选择题）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1=﹣3，S 5=S 10，则当S n 取到最小值时n 的值为________14.若,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x 错误！未找到引用源。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

2017-2018学年度第一学期期中高二理科数学试题考试时间：120分钟试题满分：150 分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考查范围：数列、不等式、逻辑、椭圆考生注意：答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在试题、答题纸和答题卡上，考生要认真核对涂准答题卡上的相关信息。

第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

考试结束，监考员将答题纸和答题卡按对应次序排好收回。

第Ⅰ卷（共60分）一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A. B. C. （ D.【答案】B【解析】命题只有命题都为真命题时，才一定为真命题，故选项A错；命题一真为真，故B对。

为假命题，所以选项C、D都不对；所以选B。

2. “”是“”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不必要也不充分条件【答案】C【解析】的充要条件为或，所以是的充分不必要条件。

故选C。

3. 关于的一元二次不等式的解集为,则的值为（）A. 6B. -5C. -6D. 5【答案】A【解析】由题可知-1和是方程的两根，由根与系数关系可知，所以。

所以选A。

4. 等差数列的前项和为，若，则的值为 ( )A. 30B. 180C. 90D. 45【答案】D【解析】由等差数列前项和公式得，所以选D。

5. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（）A. 1B. 3C. 6D. 10【答案】C【解析】由椭圆方程可得，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.故选C。

6. 下列命题错误．．的是（）A. 命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题B. 命题“R,”的否定是“R,”C. 且，都有D. “若”的逆命题为真【答案】D【解析】对于选项D，命题“若，则”的逆命题为“若，则”。