圆幂定理练习(汇编)

141+ = 第四讲 圆幂定理在圆锥曲线中的应用圆幂定理在圆中的应用【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (-1 ，0)，点 P 是圆O : x 2 + y 2 = 4上的任意一点，过点B (1 ，0)作直线 BT 垂直于 AP ，垂足为T ，则2PA + 3PT 的最小值是．【例 2】(2015 全国 1 文)已知过点 A (0 ，1)且斜率为 k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1交于 M 、N .(1) 求 k 的取值范围；(2) OM ⋅ ON = 12,其中O 为坐标原点，求| MN |.圆幂定理在椭圆上的推广x 2 y 2 1 【例 3】（2019•陆良县月考）已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 2， 椭圆C 上的点 M (1 ， 3)到点 F ， F 的距离之和等于 4． 2 1 2（1）求椭圆C 的标准方程；2 （2）是否存在过点 P (2 ，1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 A ， B ，满足 PA ⋅ PB = PM？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【例 4】（2017•南京二模）在平面直角坐标系中，焦点在 x 轴上的椭圆C : x 8 y 2 b 21经过点(b ，2e )，其中 2142 AP TBe 为椭圆C 的离心率．过点T (1 ，0)作斜率为 k (k > 0)的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两点( A 在 x 轴下方）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求 AT ⋅ BT 的值；MN 2（Ⅲ）记直线l 与 y 轴的交点为 P ，若 = 2 ，求直线l 的斜率 k ．5。

圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。

1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。

22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。

幂的运算法则（人教版）一、单选题(共15道，每道6分)1.下列计算正确的有( )①；②；③；④．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：A解题思路：①中：，①错误；②中：，②错误；③中：，③错误；④中：，④错误．所以正确的有0个．故选A．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方2.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜”，意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事．据测算，25万粒芝麻才1000克，那么1粒芝麻有( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据题意，得故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法3.计算的结果是( )A.-10B.9C. D.-9答案：D解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算4.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：可以把当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘除混合运算5.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的除法法则进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算6.若，则的值为( )A.4B.3C.-2D.-3答案：A解题思路：观察式子，等式右边底数是6，左边底数是2，3，2×3=6，根据可得，所以，解得．故选A．试题难度：三颗星知识点：积的乘方7.若，，则的值为( )A.1B.16C.4D.8答案：D解题思路：观察式子，，又因为，，所以．故选D．试题难度：三颗星知识点：整体代入8.若，，则的结果是( )A.7B.12C.81D.64答案：B解题思路：观察式子，根据可得，又因为，，所以．故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入9.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把n当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算10.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把x当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算11.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把m当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算12.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把a当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算13.计算的结果为( )A.8B.C. D.0答案：B解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算14.已知，，则的值为( )A.41B.42C.251D.401答案：B解题思路：观察式子，根据可得，又因为，所以．所以．故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入15.已知，，，则的值为( )A.3B.1C. D.答案：C解题思路：观察式子，根据可得，又因为，，，所以．故选C．试题难度：三颗星知识点：整体代入。

第8章 幂的运算（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题（2023春·江苏·七年级专题练习）1. 计算32m m ÷的结果是（ ）A. mB. m 2C. m 3D. m 5（2023春·江苏·七年级专题练习）2. 已知32816x x ⨯=，则x 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5（2023春·江苏·七年级专题练习）3. 计算23m m ⋅的结果是（ ）A. 6mB. 5mC. 6mD. 5m（2023春·江苏·七年级专题练习）4. 计算()32a a - 的结果是（ ）A. 6aB. 6a -C. 5aD. 5a -（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）5. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a+= B. 236a a a ⨯=C. 826a a a ÷=D. ()437a a =（2023春·江苏·七年级专题练习）6. 计算：()323·a a -结果为（ ）A. 9a -B. 9aC. 8aD. 8a （2023春·江苏·七年级专题练习）7. 如果()21633n =，则n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 8D. 14（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）8. 目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，则这个数字用科学记数法表示正确的是（ ）A. 41.210⨯ B. 41.210⨯﹣ C. 50.1210⨯ D. 50.1210⨯﹣（2023春·江苏·七年级专题练习）9. 下列运算正确的是（ ）A. 842x x x ÷= B. ()239xx =C. 437x x x ⋅= D. ()22222xy x y =（2022秋·江苏·七年级专题练习）10. 式子5555555555++++化简的结果是（ ）A. 25 B. 55 C. 65 D. 555+二、填空题（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）11. 把数字0.0000009用科学记数法表示为 _____．（2023春·江苏·七年级专题练习）12. 计算：()22y -= ___．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）13. 4月9日，以“打造城市硬核 塑造都市功能”为主题的2021泰州城市推介会在中国医药城会展交易中心举行，某出席企业研制的溶液型药物分子直径为0.00000008厘米，该数据用科学记数法表示为______厘米．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）14. 在()()22323xy x y =的运算过程中，依据是______．（2022秋·江苏·七年级校考阶段练习）15. 计算：9999188⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭_____________．三、解答题（2021春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）16. 计算：（1）()102132363π-⎛⎫--⨯+- ⎪⎝⎭（2）()()333nnn a a a a +-⋅（2023春·江苏·七年级专题练习）17. 计算：()()()3443x x x x ⋅+-⋅---．（2021春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）18. 计算：3272(2)a a a a -⋅+÷．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）19. 计算： ()100100133⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）20. 我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快．科学家们发现，光在空气中的传播速度约为8310m/s ⨯，而声音在空气中的传播速度约为300m /s ．问：在空气中光的传播速度是声音的多少倍？（结果用科学记数法表示）【常考】一．选择题（共4小题）（2022春•江阴市校级月考）21. 计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（ ）A. ﹣1B. 1C. 0.25D. 44020（2022春•吴江区期中）22. 计算()234a 的正确结果是（ ）A. 616a B. 516a C. 68a D. 916a （2022春•沛县月考）23. 下列运算正确的是（ ）A. 2242x x x += B. 236x x x ⋅=C. 236()x x = D. 22(2)4x x -=-（2021春•秦淮区期末）24. 下列计算正确的是（ ）A. 235a a a += B. 236a a a ⋅= C. ()326a a = D. 624a a a ÷=二．填空题（共8小题）（2022春•亭湖区校级期末）25. H9N2型禽流感病毒的病毒粒子的直径在0.00008毫米～0.00012毫米之间，数据0.00012用科学记数法可以表示为_____．（2022春•邗江区期末）26. 若x +y ＝3，则2x •2y 的值为_____．（2021春•惠山区校级期中）27. 已知2,4x y m m ==，则x y m +=_____．（2022春•浦口区校级月考）28. 计算：22(2)xy - =____________________．（2022春•泰兴市校级月考）29. 16=a 4=2b ，则代数式a+2b=__．（2022春•广陵区期末）30. 已知a m =3，a n =2，则a 2m ﹣n 的值为_____．（2021春•梁溪区期中）31. 已知2x ＝3，2y ＝5，则22x+y-1＝_____．（2020春•丹阳市校级月考）32. 若0(1)1x -=，则x 满足条件__________．三．解答题（共8小题）（2021春•高新区校级月考）33. 阅读下面的文字,回答后面的问题：求231005555+++⋯+的值.解：令231005555S =+++⋯+①，将等式两边同时乘以5得到:23410155555S =+++⋯+②，②-①得:101455S =-∴101554S -=即10123100555555.4-+++⋯+=问题:(1)求231002222+++⋯+的值；(2)求404123643+++⋯+⨯的值.（2022春•建邺区校级期中）34. 如果c a b =，那么我们规定(),a b c =，例如：因为328=，所以()2,83=（1）根据上述规定，填空：()3,27= ，()4,1= ，()2,0.25= ；（2）记()()()3,5,3,6,3,30a b c ===．求证：a b c +=．（2021春•东台市月考）35. 若105x =，103y =，求2310x y +的值.（2022春•宝应县校级月考）36. （1）若10x ＝3，10y ＝2，求代数式103x +4y 的值．（2）已知：3m +2n ﹣6＝0，求8m •4n 的值．（2022春•亭湖区校级月考）37. 阅读下列材料:若32a =，53b =，则,a b 的大小关系是a_____b.(填“<”或“>”)解：因为15355()232a a ===，15533()327b b ===，32>27，所以1515a b >，所以a b >解答下列问题:(1)上述求解过程中，逆用的幂的运算性质是：A.同底数幂的乘法 B.同底数幕的除法C.幂的乘方D.积的乘方(2)已知72x =，93y =，试比较x 与y 的大小．（2020秋•淇滨区校级月考）38. 已知2,3m n x x ==，求32m n x -的值．（2021春•高新区校级月考）39. 已知23,25x y ==．求：（1）2x y +的值；（2）32x 的值；（3）212x y +-的值．（2020•盐城二模）40. 计算：()0112π42-----【易错】一．选择题（共4小题）（2022春•吴江区校级期中）41. 新型冠状病毒呈圆形或者椭圆形，最大直径约0.00000014米，怕酒精，不耐高温，相信我们团结一心，必定早日战胜病毒．用科学记数法表示新冠病毒的直径是（ ）A. 61410⨯﹣ B. 71410⨯﹣ C. 61.410⨯﹣ D. 71.410⨯﹣（2022春•东海县期末）42. 算式35-可以表示为（ ）A. ()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯- B.1555⨯⨯C. ()()()()()33333-+-+-+-+- D. 555-⨯⨯（2022春•相城区期末）43. 下列运算中，正确的是（ ）A. 2221a a -= B. ()2222a a = C. 633a a a ÷= D. 428a a a ⋅=（2022春•工业园区校级期中）44. 下列运算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅= B. 323a a a +=C. ()3339a a-=- D. ()236aa -=二．填空题（共7小题）（2022春•丹阳市期末）45. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA ，DNA 分子的直径只有0.0000002cm ，将0.0000002用科学记数法表示为_________．（2022春•宜兴市校级月考）46. （1）若2•4m •8m ＝221，则m ＝_____．（2）若3x ﹣5y ﹣1＝0，则103x ÷105y ＝_______．（2022秋•通州区期中）47. 计算：()02-=__．（2021春•宝应县月考）48. 若()3n n -的值为1，则n 的值为__．当x __时，()0241x -=（2020春•高新区期中）49. 20182019133⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭________．（2022春•相城区校级期末）50. 若416m =，28n =，则22m n -=________．（2019春•滨湖区期中）51. 计算：()2020201940.25⨯-_______.三．解答题（共5小题）（2022春•盐都区月考）52. 若a m ＝a n （a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数），则m ＝n ．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！（1）如果2×8x ×16x ＝222，求x 的值；（2）已知9n +1﹣32n ＝72，求n 的值．（2022春•江阴市校级月考）53. 计算：()()2020********π-⎛⎫----+- ⎪⎝⎭．（2022春•泰兴市校级月考）54. 世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000005克．（1）用科学记数法表示上述两个数据．（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？（2020春•沭阳县期中）55. 已知：23a =，25b =，275c =．（1）求22a 的值；（2）求2c b a -+的值．（2022春•江都区月考）56. （1）已知a +3b ＝4，求3a ×27b 的值；（2）解关于x 的方程4321313155x x x +++⨯=．【压轴】一、单选题（2021春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考期中）57. 计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ）A.25033333⋅⋅⋅ 个B.26033333⋅⋅⋅ 个C.27033333⋅⋅⋅ 个D.28033333⋅⋅⋅ 个（2023春·七年级单元测试）58. 设m ，n 是正整数，且m n >，若9m 与9n 的末两位数字相同，则m n -的最小值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）59. 计算20206060(0.125)(2)-⨯的结果是（ ）A. 1B.1- C. 8 D. 8-（2022春·江苏·七年级专题练习）60. 观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-；…已知按一定规律排列的一组数：1001011021992002,2,2,,2,2 ，若1002S =，用含S 的式子表示这组数据的和是( )A. 22S S -B. 22S S +C. 222S S -D. 2222S S --二、填空题（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）61. 已知23a =，26b =，212c =，现给出3个数a ，b ，c 之间的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④2b a =+．其中，正确的关系式是____（填序号）．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）62. 已知5160x =，32160y =，则(1)(1)1(2022)x y ----=__________．（2022秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）63. 计算：202320222021(0.125)24-⨯⨯=________．（2023春·七年级单元测试）64. 观察等式：232222+=-；23422222++=-；按一定规律排列的一组数：5051529910022222+++++ ，若502a =，则用含a 的代数式表示下列这组数50515299100222.....22++++的和_________．（2022春·江苏·七年级专题练习）65. 已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．三、解答题（2023春·江苏·七年级专题练习）66. 规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝，（2，1）＝，（3，19）＝．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n ，4n ）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n ，4n ）＝x ，则（3n ）x ＝4n ，即（3x ）n ＝4n ．所以3x ＝4，即（3，4）＝x ，所以（3n ，4n ）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．（2023春·江苏·七年级专题练习）67. 如果10b =n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b =d （n ）．由定义可知：10b =n 与b =d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10）=____ ，d （10-2）=______；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）=d （m ）+d （n ），d （mn）=d （m ）-d （n ）；根据运算性质，填空：3()()d a d a =________．（a 为正数）（3）若d （2）=0.3010，分别计算d （4）；d （5）．（2023春·江苏·七年级专题练习）68. 阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．如：数列1，3，9，27，⋯为等比数列，其中11a =，公比为3q =．然后解决下列问题．（1）等比数列3，6，12，⋯的公比q 为 ，第4项是 ．（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为1)a 和公比（设为)q ，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项n a = （用1a 和q 的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比2q =，第2项是10，求它的第1项与第4项．（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．（2023春·七年级单元测试）69. 阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______；（3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）（2023春·江苏·七年级专题练习）70. 阅读下列材料,并解决下面的问题:我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子328=可以变形为25log 83log 252==，也可以变形为2525=.在式子328=中,3叫做以2为底8的对数,记为2log 8.一般地,若()010n a b a a b =≠＞且，＞，则n 叫做以a 为底b 的对数,记为()a log log a b b n 即，=且具有性质:()log log log log log log n n a a a a a a b n b a n M N M N ==+=⋅①；②；③，其中0a ＞且100.a M N ≠，＞，＞根据上面的规定,请解决下面问题:(1)计算:31010log 1_____log 25log 4=+=， _______(请直接写出结果)；(2)已知3log 2x =，请你用含x 的代数式来表示y ，其中3log 72y =(请写出必要的过程).（2022春·江苏·七年级专题练习）71. 阅读下面的文字,回答后面的问题：求231005555+++⋯+的值.解：令231005555S =+++⋯+①，将等式两边同时乘以5得到:23410155555S =+++⋯+②，②-①得:101455S =-∴101554S -=即10123100555555.4-+++⋯+=问题:(1)求231002222+++⋯+的值；(2)求404123643+++⋯+⨯的值.（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）72. (1)你发现了吗？2222()333=⨯，22211133()222322()333-==⨯=⨯，由上述计算，我们发现2223(___(32-；(2)请你通过计算，判断35()4与34(5-之间的关系；(3)我们可以发现：()m b a -____()m a b(0)ab ≠(4)利用以上的发现计算：3477()()155-⨯.（2022秋·江苏·七年级专题练习）73. 观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．第8章 幂的运算（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题（2023春·江苏·七年级专题练习）【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【详解】解： 3232m m m m -÷==．故选：A ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减，正确掌握相关运算法则是解题关键．（2023春·江苏·七年级专题练习）【2题答案】【答案】B【解析】【详解】根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数的幂相等，可得指数相等，可得答案．【解答】解：由题意，得34122222x x x ⋅==，412x =，解得3x =，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用幂的乘方得出同底数幂的乘法是解题关键．（2023春·江苏·七年级专题练习）【3题答案】【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：原式235m m +==，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握m n m n a a a +⋅=是解题的关键．（2023春·江苏·七年级专题练习）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．【详解】解：()32a a - ＝32a +-＝5a -.故选：D【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与运用．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）【5题答案】【答案】C【解析】【分析】依据合并同类项，同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则进行判断，即可得出结论．【详解】解：A ．235a a a +=，故错误，不合题意；B ．235a a a ⨯=，故错误，不合题意；C ．826a a a ÷=，故正确，符合题意；D ．()1432a a =，故错误，不合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法、幂的乘方，掌握幂的运算法则是解题的关键．（2023春·江苏·七年级专题练习）【6题答案】【答案】A【解析】【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则对式子进行运算即可．【详解】解：()323639··a a a a a -=-=-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方；解答的关键是对相应的运算法则的掌握．（2023春·江苏·七年级专题练习）【7题答案】【答案】C【解析】【分析】把左边的数化成底数是3的幂的形式，然后利用利用相等关系，可得出关于n 的相等关系，解即可．【详解】解：∵()2233nn =，∴21633n =，∴216n =，∴8n =．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算公式是关键．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）【8题答案】【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：40.00012 1.210.-=⨯故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．（2023春·江苏·七年级专题练习）【9题答案】【答案】C【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行计算即可．【详解】解：A ．原式4x =，故本选项错误，不合题意；B ．原式6x =，故本选项错误，不合题意；C ．原式7x =，故本选项正确，符合题意；D ．原式224x y =，故本选项错误，不合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法（除法），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方，（2022秋·江苏·七年级专题练习）【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：555555655555555++++=⨯=．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）【11题答案】【答案】7910-⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：70.0000009910-=´，故答案为：7910-⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．（2023春·江苏·七年级专题练习）【12题答案】【答案】4y 【解析】【分析】根据幂的乘方法则计算，即可求解．【详解】解：()422y y -=．故答案为：4y ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方，底数不变，指数相乘是解题的关键．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）【13题答案】【答案】8810-⨯【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：80.00000008810-=⨯．故答案是：8810-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）【14题答案】【答案】积的乘方运算法则【解析】【分析】根据积的乘方法则∶把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得答案．【详解】解∶在()()22323xy x y =的运算过程中，依据是积的乘方运算法则，故答案为∶积的乘方运算法则．【点睛】此题主要考查了单项式乘法和积的乘方，关键是掌握积的乘方计算法则．（2022秋·江苏·七年级校考阶段练习）【15题答案】【答案】-1【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行计算即可得．【详解】解：原式=9918(8⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=99(1)-=-1故答案为：-1．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，解题的关键是掌握积的乘方的逆用并正确计算．三、解答题（2021春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）【16题答案】【答案】（1）14-（2）332n n a a +-【解析】【分析】（1）根据乘方运算，负指数幂的运算，非零数的零次幂运算法则即可求解；（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则即可求解．【小问1详解】解：()102132363π-⎛⎫--⨯+- ⎪⎝⎭9231=--⨯+14=-．【小问2详解】解：()()333n n n a a a a +-⋅333n n n a a a +=+-332n n a a +=-．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方，负指数幂的运算，非零数的零次幂的运算是解题的关键．（2023春·江苏·七年级专题练习）【17题答案】【答案】0【解析】【分析】根据同底数幂的乘法以及积的乘方计算法则进行求解即可【详解】()()()3443x x x x ⋅+-⋅---()()4343x x x x ⋅+=⋅---4343x x ++-=77x x =-0=．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．（2021春·江苏苏州·七年级苏州草桥中学校考期中）【18题答案】【答案】57a -【解析】【分析】先计算积的乘方运算，再计算同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，再合并同类项即可．【详解】解：3272(2)a a a a -⋅+÷3258a a a =-+558a a =-+57a =-．【点睛】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，除法运算，合并同类项，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）【19题答案】【答案】1【解析】【分析】逆用积的乘方公式即可求解．【详解】解：()100100133⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭100133⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭1=．【点睛】本题考查积的乘方，灵活运用积的乘方公式是解题关键．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）【20题答案】【答案】6110⨯【解析】【分析】先根据同底数幂相除法则计算，再改写成科学记数法表示即可．【详解】解：根据题意得：8310300⨯＝82310310⨯⨯ ＝610＝6110⨯答：在空气中光的传播速度是声音的6110⨯倍【点睛】本题考查同底数幂相除，用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键．【常考】一．选择题（共4小题）（2022春•江阴市校级月考）【21题答案】【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方的逆运算法则计算即可．【详解】原式()2021202120212021111111144114444444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-=-⨯⨯-=-⨯-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（2022春•吴江区期中）【22题答案】【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方运算法则来进行计算，再与选项进行比较求解．【详解】解：()2323264416a a a ⨯==．故选：A ．【点睛】本题主要考查了积的乘方．积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．理解相关知识是解答关键．（2022春•沛县月考）【23题答案】【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【详解】解：A 222.2x x x +=，故A 不符合题意；B.235x x x ⋅=，故B 不符合题意；C.236()x x =，故C 符合题意；D.22(2)4x x -=，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．（2021春•秦淮区期末）【24题答案】【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵235a a a +≠，∴选项A 不符合题意；∵232356a a a a a +⋅==≠，∴选项B 不符合题意；∵()326a a =，∴选项C 符合题意；∵624a a a ÷=，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则是解决问题的关键．二．填空题（共8小题）（2022春•亭湖区校级期末）【25题答案】【答案】1.2×10﹣4．【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．【详解】解：数据0.00012用科学记数法可以表示为1.2×10﹣4．故答案为：1.2×10﹣4．【点睛】本题考查了科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．（2022春•邗江区期末）【26题答案】【答案】8【解析】【分析】运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．【详解】解：∵x +y ＝3，∴2x •2y＝2x +y＝23＝8故答案为8．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．（2021春•惠山区校级期中）【27题答案】【答案】8【解析】【分析】根据幂的运算法则即可求解．【详解】∵2,4x y m m ==∴x y m +=248x y m m =⨯⨯=故答案为：8．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．（2022春•浦口区校级月考）【28题答案】【答案】244x y 【解析】【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可．【详解】解：22(2)xy -()()22222x y =-⋅244x y =，故答案为：244x y ．【点睛】本题考查整式运算，涉及到积的乘方运算以及幂的乘方运算，熟练掌握整式运算的法则是解决问题的关键．（2022春•泰兴市校级月考）【29题答案】【答案】10或6【解析】【分析】根据16=24，求出a，b的值，即可解答．【详解】解：∵16=24，16=a4=2b，∴a=±2，b=4，∴a+2b=2+8=10，或a+2b=﹣2+8=6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查的知识点是幂的乘方与积的乘方，利用已知条件得出a、b的值是解此题的关键．（2022春•广陵区期末）【30题答案】【答案】4.5【解析】【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的逆运算方法，求出a2m-n的值为多少即可．【详解】详解：∵a m=3，∴a2m=32=9，∴a2m-n=292mnaa=4.5．故答案为4.5．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的逆运算法则，以及幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．（2021春•梁溪区期中）【31题答案】【答案】45 2【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．【详解】解：22x+y-1＝22x ×2y ÷2＝（2x ）2×2y ÷2＝9×5÷2＝452故答案为：452．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法的逆用，熟记法则并根据法则计算是解题关键．（2020春•丹阳市校级月考）【32题答案】【答案】x ≠1.【解析】【分析】根据0的零次幂没有意义，有意义的条件下，一个数的零次幂等于1求解即可.【详解】解：∵0的零次幂没有意义，有意义的条件下，一个数的零次幂等于1，∴x-1≠0，∴x ≠1，故答案是：x ≠1.【点睛】本题考查了零次幂的性质，掌握零次幂的性质是关键.三．解答题（共8小题）（2021春•高新区校级月考）【33题答案】【答案】（1）1012 2.-（2）()41231.⨯-【解析】【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.【详解】解：（1）令231002222S =+++⋯+①，将等式两边同时乘以2得到:23410122222S ②，=+++⋯+②-①得:10122S =-∴即2310010122222 2.+++⋯+=-（2）()4023404123643413333+++⋯+⨯=++++⋯+令()2340413333S =++++⋯+①，将等式两边同时乘以3得到:()2341343333S ②，=+++⋯+②-①得:()412431S =-()41S 231.=⨯-【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.（2022春•建邺区校级期中）【34题答案】【答案】（1）3，0，2-（2）见解析【解析】【分析】（1）根据规定求解即可；（2）根据规定，得到35,36,330a b c ===，进而得到33356303a b a b c +⋅==⨯==，即可得证．【小问1详解】解∵3021327,41,20.254-====∴()3,273=，()4,10=，()2,0.252=-，故答案为：3，0，2-；【小问2详解】解：由题意，得：35,36,330a b c ===，∵33356303a b a b c +⋅==⨯==，∴a b c +=．【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法．理解并掌握题干中的规定，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．（2021春•东台市月考）【35题答案】【答案】675【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得要求的形式，根据幂的乘方，可得答案．【详解】解：因为10x=5，10y=3，所以102x+3y=102x⋅103y=(10x)2⋅(10y)3=52×33=25×27=675.故答案为675.【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法.（2022春•宝应县校级月考）【36题答案】【答案】（1）432；（2）64【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则将原式变形进行求解；（2）利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进行求解．【详解】（1）∵10x＝3，10y＝2，∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4＝33×24＝432；（2）∵3m+2n﹣6＝0，∴3m+2n＝6，∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．【点晴】考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，解题关键是熟记运算法则．（2022春•亭湖区校级月考）【37题答案】【答案】1、C，2、x＜y【解析】【分析】(1)、根据幂的乘方法则将其化成同指数，然后进行比较大小得出答案；(2)、将x 和y 的指数化成相同，然后进行比较幂的大小从而得出底数的大小．【详解】(1)、C(2)、解∵x 63=（x 7）9=29=512，y 63=（y 9）7=37=2187，2187＞512，∴x 63＜y 63，∴x ＜y ．（2020秋•淇滨区校级月考）【38题答案】【答案】89【解析】【分析】根据幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算，进行运算即可．【详解】解： 32m n x -32m nx x =÷()()32m n x x =÷89=÷89=．【点睛】本题主要考查了幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的除法的逆运算是解题的关键．（2021春•高新区校级月考）【39题答案】【答案】（1）15（2）27（3）22.5【解析】【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解；（2）根据幂的乘方的逆运算，即可求解；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算计算，即可求解．【小问1详解】解：2223515x y x y +=⋅=⨯=【小问2详解】解：()33322327x x ===【小问3详解】解：()2212222235222.5x y x y +-=÷⨯=⋅=÷【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（2020•盐城二模）【40题答案】【答案】1-．【解析】【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂运算，再计算有理数的减法即可．【详解】原式11122=--1=-．【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂运算、有理数的减法，熟记各运算法则是解题关键．【易错】一．选择题（共4小题）（2022春•吴江区校级期中）【41题答案】【答案】D【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】解：70.00000014 1.410-=⨯．故选：D ．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．（2022春•东海县期末）【42题答案】。

C．3个是半圆的三等分点，则∠C．145°．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结B．∠BAD＞∠D．∠BAD＜∠AD⊥BC于D，AB＝2，DB为斜边上的高，S△ABC＝4S△ABD，则ABC在半圆上，CD⊥AB于点百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫．8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO＝∠BCD；(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．8cm ，DO ＝6cm ，.cm 102=DO ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AEO ∽△AOD ．.cm 8.4=ADOD平分∠BAC ，的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠．又∵OA ＝OC A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ，∠AEC ＝∠CEB ．．∴CE 2＝BE ·CEAE=．＝8022=+CE AE ，为圆周上一5C 的切线，过点作l A ___________．CD =的切线，切点为，交圆于A PO O B ，.C ∠=、如图所示，过⊙O外一点AP．已知AC=4，AB。

1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．➢变式训练【变式11】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．【变式12】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．例题精讲考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线P AB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是度．➢变式训练【变式21】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5【变式22】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线P A过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为．➢变式训练【变式31】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12【变式32】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是．【变式33】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知P A＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5➢变式训练【变式41】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝．【变式42】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．2．如图，从圆外一点P引圆的切线P A，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知P A＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5，DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB ＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan ∠DFO＝，tan∠A＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O的切线交CD 的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以P A、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB 延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．14．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•P A．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G 作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：解：连接BC，OA，OC，OB，OD．如图2，在△BCE中，∠AEC＝∠EBC+∠ECB∵∠EBC＝∠AOC，∠ECB＝∠BOD∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED 的度数是．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D 是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．。

a a a 3aA. —B. —C. —D.——4 3 2 4如图，AD是^ ABC高线，DE丄AB于E, DF丄AC于F,则(1)AD2= BD • CD(2)AD2= AE- AB(3)AD2 =AF- A0(4)AD2= AC2- AC- CF 中正确的有( )2.3.A. 1个B. 2个 C. 3个如图，AB是O O的直径，C, D是半圆的三等分点，则/D. 4个C+/ E+Z D=(4.D. 120°二、填空题在RtAABC中，/ BAC= 90°, AD丄BC于D, AB= 2, DB= 1，贝U DC=5. ,AD =6. 在RtAABC 中，AD 为斜边上的高，&ABC= 4S A ABD，则AB : BC=7.tan22 CD丄AB 于点D,且AD= 3DB，设/ COD=，贝U BC.°A. 135B. 110如图，AB是半圆3.2AB 是O O 的直径，CB 切O O 与B , CD 切O O 与D ,交BA 的延长线于 E.若AB = 3, ED 则BC 的长为 ________________ .(I )求/ AOD 的度数；(n )若 A0= 8 cm , D0= 6 cm ,求 OE 的长.10.如图，在△ ABC 中，/ C = 90°, AD 是/ BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以 OA 为半径的O O 经过点D .(1)求证：BC 是O O 切线；⑵若BD = 5, DC = 3，求AC 的长.11.如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的一条弦，且 CD 丄AB 于E,连结 AC 0C 、BC.(1)求证：/ ACO =/ BCD;⑵若BE = 2, CD = 8，求AB 和AC 的长.&如图,=2,9.如图, 在梯形 ABCD 中，AB// CD,一、选择题:1. A2. C二、填空题5. 3疋6. 1 :.•••O O 内切于梯形ABCD,1••• AO 平分/ BAD ，有/ DAO =—/ BAD,2 1 又 DO 平分/ ADC,有/ ADO = — / ADC.21•••/DAO +/ ADO = _(/ BAD +/ADC)= 90°,A / AOD= 180°- (/ DAO +/ADO) =290(n )•••在 RtA AOD 中，A0= 8cm , D0= 6cm ,•••由勾股定理，得（AO2DO 210cm.• E 为切点，••• OE 丄 AD .有/ AEO = 90°, •/ AEO =/ AOD. 又/ CAD 为公共角，•••△AEO^^ AOD.OE AO AO OD '。

圆幂定理及其相关问题解答1. 圆幂定理简介圆幂定理是平面几何中的一个重要定理，用于解决与圆相关的问题。

它给出了在一个平面内，一个点到圆的两条切线所构成的线段与该点到圆心的距离乘积的平方等于该点到圆的距离与圆心到切点的距离乘积的平方。

圆幂定理的数学表达如下：PA * PB = PC * PD其中，P为点到圆的距离，A、B为切点，C为圆心到切点A的距离，D为圆心到切点B的距离。

2. 圆幂定理的证明圆幂定理的证明可以通过构造垂直，利用勾股定理和相似三角形推导得到。

具体证明过程如下：假设点P到圆O的两条切线分别与圆O相交于A、B两点。

连接线段OP，并设其交点为C。

根据正弦定理可得：PA / sin ∠PAC = PC / sin ∠CPAPB / sin ∠PBC = PC / sin ∠CPB由于∠CPA = ∠CPB，而sin ∠PAC = sin ∠PBC，因此有：PA / PB = sin ∠PBC / sin ∠PAC由于∠PAC和∠PBC都是直角，所以sin ∠PAC = PC/PA，sin ∠PBC = PC/PB。

将上述结果代入可得：PA * PB = PC^2同样的方式可以得到另一组切线的结论。

综上所述，圆幂定理得到证明。

3. 圆幂定理的应用圆幂定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值，下面介绍几个常见的问题及其解法：3.1 问题一：求解切线长度已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的长度。

解法：根据圆幂定理可得：PA * PB = PC * PD = d^2 - r^2由于PA = PB，所以：PA = PB = sqrt(d^2 - r^2)因此，切线长度为sqrt(d^2 - r^2)。

3.2 问题二：判断两个圆的位置关系已知两个圆的半径分别为r1和r2，以及两个圆的圆心之间的距离d，判断两个圆的位置关系。

解法：根据圆幂定理可得：(r1 + r2)^2 = d^2根据以上公式，可以得到以下几种情况：•当d < r1 + r2时，两个圆相交•当d = r1 + r2时，两个圆相切•当d > r1 + r2时，两个圆相离3.3 问题三：求解切点坐标已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的切点坐标。

可编辑修改精选全文完整版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为 ．2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．⌒⌒⌒(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ． 12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

幂的运算基础题小测一．填空题（每空 1 分）1 ．计算：（1）x 2 4（）2 32 x y（3）a2 4 ? a 3 （4）a4 a2 ．填上适当的指数：（1）a4 ? a a5 （2）a5 a a 4（3）a4 a8 （4）ab3 ab a3b3 3 ．填上适当的代数式：（1）x3? x4 ? x 8（）a12 a62(3)x y 5 ? x y 44、若a x 2, 则a3 x= 若 a m＝2，a n＝3，则 a m+n=2 35. 计算： ( a2b ) ? ab3 2 ＝ 1 xy2z3 =26、a2 4? a 3 x 2 5=7、( a2b ) ? ab3 2 ＝(a ＋b) 2·(b ＋a) 3＝(2m－n) 3·(n －2m)2＝;二．选择题（每小题 2 分）1 ．下列各式中，正确的是（）A ．m4m4m8 B.m 5 m52m25 C.m3m3m9 D.y6 y6 2 y122.下列各式中错误的是 ( )A. x y 3 2 x y 6B.( 2a 2)4 =16a81 m2n 3C. 1 m6n3D. ab3 3 - a3b63 273. 下列各式 (1) 3x 3 ?4 x2 7x 5; (2) 2x 3 ?3x3 6x 9 (3) ( x 5)2 x 7(4) (3xy) 3 =9x3y3 , 其中计算正确的有 ( )A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4. 下列各式 (1) b5 ? b5 2b5 (2) (-2a 2 ) 2 = 4 a4 (3) ( a n 1 ) 3 =a3n 14 x2y3 3(4) 64 x 6 y 9,其中计算错误的有( )5 125A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5. 下列 4 个算式 (1) c 4 c 2 c 2(2) y 6 y 4 y 2(3) z3 z0 z3(4) a 4m a m a 4其中,计算错误的有( )A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个6. x k 1 2等于( )A. x 2k 1B. x 2k 2C. x2 k 2D. 2x k 17. 已知 n 是大于 1 的自然数 , 则 c n 1 ? c n 1等于 ( )A.n2 1B. 2ncC. c 2nD. c2 n c8. 计算 x4 3 ? x 7的结果是( )A. x12B. x14C. x 19D. x849. 下列等式正确的是( )A. x 2 3 x5B. x8 x 4 x2C. x3 x3 2x 3D.( xy )3 xy310.下列运算中与 a 4 ? a 4结果相同的是( )A. a2? a8B. a2 4C. a4 4D. a 2 4 ? a2 411. 下列计算正确的是( )A. a3? a2 a 5B. a3 a a 3C. a2 3 a 5D.( 3a ) 3 3a 312. 下列计算正确的 ( )A. x 2x 3 2 x 5B.x 2 ? x3 x 6 C. ( x 3 ) 2 x 6 D. x 6 x 3x 313．下列计算正确的是（ ）A ． 14 35 10 2 01 21 B.1 C.2 5 2 102D.813 4914. 计算（﹣ 2）100 +（﹣ 2）99 所得的结果是（）A 、﹣ 299B 、﹣ 2C 、299D 、215.a 与 b 互为相反数，且都不等于 0，n 为正整数，则下列各组中一定互为相反数 的是（）A 、a n 与 b nB 、 a 2n 与 b 2nC 、a2n+1与 b 2n+1D 、a2n ﹣1与﹣ b 2n ﹣116、下列等式中正确的个数是（）55106?（﹣ a ）3104520556． ①a +a =a ；②（﹣ a ） ?a=a ；③﹣ a ?（﹣ a ） =a ；④2+2 =2 A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个三. 解答题 1. 计算（每小题 4 分）17 1111(1)9 ( 1) 11(2)x 2? xm3x 2 m916（3）( －3a) 3－ ( －a) · ( －3a) 2（4） 2 x 3 4 x 4 x 4 2x 5 ? x 7 x 6 x 3 2432(6)2+3+2() 2（5）(p －q) ÷ (q － p) · (p － q)y ） x y? y xy x x y （ x(7) x m? ( x n)3x m 1 ? 2x n 1(8) b a b a 3 a b 52求值（9）已知 : 8 ·22m－1·23m=217. 求 m的值 .（10）、已知a x5, a x y25, 求 a x a y的值．（11）、若x m 2n16, x n2, 求 x m n的值．12．用简便方法计算：（ m 1b n 2 )(a 2n 1 b 2 n ) 5 3，则求 m ＋n 的值．（4）．若 aa b（5）已知２ x ＋５ y －３＝０，求 4 x ?32 y 的值．（6）如果 a 2 a 0( a 0), 求 a 2005 a 200412的值（7）解关于 x 的方程 : 3 3x+1·53x+1=152x+4（8）、若１＋２＋３＋⋯＋n＝a，求代数式（x n y)( x n 1y2)( x n 2y3)( x2 y n 1 )( xy n ) 的．（9）已知 9n+132n=72，求 n 的．（10）若 x=3a n，y=，当a=2，n=3，求a n x ay 的．（11）已知： 2x=4y+1，27y=3x﹣1，求 x y 的74、已知10a3,10 b5,10 c7, 试把１０５写成底数是１０的幂的形式．5、比较下列一组数的大小．8131，2741，961。

圆幂定理试题及答案一、选择题1. 圆幂定理指的是（）A. 圆上任意两点的距离等于它们到圆心的距离之和B. 圆上任意两点的距离等于它们到圆心的距离之差C. 圆上任意一点到圆心的距离等于该点到圆上其他点的距离之和D. 圆上任意一点到圆心的距离等于该点到圆上其他点的距离之差2. 在圆幂定理中，如果圆上一点P到圆心O的距离为OP，点P到圆上另一点A的距离为PA，则以下哪个表达式是正确的？（）A. OP = PAB. OP + PA = 2RC. OP - PA = RD. OP × PA = R^2二、填空题3. 若圆的半径为5cm，圆上一点到圆心的距离为3cm，则该点到圆上任意一点的距离之和为_________。

4. 已知圆幂定理中的OP = 8cm，PA = 6cm，且点A在圆上，则圆的半径R为_________。

三、解答题5. 如图所示，圆O的半径为10cm，点P在圆上，OP（点P到圆心O的距离）为12cm。

求点P到圆上另一点B的距离PB。

6. 在一个半径为7cm的圆中，有两点A和B，已知OA（点A到圆心O 的距离）为5cm，求AB的长度。

四、证明题7. 证明圆幂定理：在一个给定的圆中，圆上任意一点到圆心的距离与该点到圆上其他点的距离之和等于圆的直径。

答案一、选择题1. 正确答案：D2. 正确答案：B二、填空题3. 该点到圆上任意一点的距离之和为10cm + 10cm = 20cm。

4. 圆的半径R可以通过勾股定理计算得出：R^2 = OP^2 - OA^2，所以R^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28，因此R = √28 ≈ 5.29cm。

三、解答题5. 由于OP > OA，根据圆幂定理，PB = 2R - OP = 2 * 10 - 12 = 20 - 12 = 8cm。

6. 同样使用圆幂定理，AB = 2R - OA - OB，但是OB = OA = 5cm，所以AB = 2 * 7 - 5 - 5 = 14 - 10 = 4cm。

有关圆幂定理型[真题再现]例1 （2020·南京市六校联合体高三第一次联考·13）如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【解法一】由中线长公式可得22212()2PO PA PB AB =+-，则22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以923221862PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当322PA =时取等） 【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC =3，由切割线定理得：23PC PA PT =⋅=21862PA+≥=（当且仅当32=时取等）【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM ⊥AB ，故∠CMA +∠AOC =180o ，所以A 、O 、C 、M 四点共圆，AC 为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sin A 即可. 【解析】连结C 、M ，则CM ⊥AB ，在四边形AOCM 中，∠CMA +∠AOC =180o ，故A 、O 、C 、M 四点共圆，且AC 为直径. x 2＋(y －1)2＝5中，令y =0，得x ＝±2，A （－2，0），AC =√5即为△AOM 外接圆的直径， 在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2， 所以sinA =2√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ． 【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt⊥OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt⊥OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12， 则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1， 所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.【解法二】由2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+ 由相交弦定理得()(225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）.【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k 1＋k 2，y 1·y 2＝－4k21＋k 2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k 1＋k 2，y 2＝－4k1＋k 2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限， 所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.[强化训练]1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .【答案】2.（2020·南京盐城二检·13）在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：222()x m y r -+=(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为 ．【答案】【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r mm r -=-，化简得3r m =，即cos ∠OCD ＝CD OC＝rm=，tan ∠COB ＝tan ∠OCD∴直线l 1的斜率为． 【答案】【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 过点O 作AB 的垂线交AB 于D ， 则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD==222212cos5ODAODr r∠===，r=【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.由5344OC OA OB=+，即153288OC OA OB=+得A B D、、三点共线（其中D是AB的中点），且:3:5AD BD=，设，5BD x=思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224rxr x⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩，解之得r=.思路二：相交弦定理，()22335224r rx xr x⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r=4.在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,1P在圆C：22222410++-+-+=x y mx y m m内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.在平面直角坐标系xOy中，圆22:(2)()3C x y m++-=．若圆C存在以G为中点的弦AB，且2AB GO=，则实数m的取值范围是．【答案】[6.已知直线3y ax=+与圆22280x y x++-=相交于,A B两点，点()00,P x y在直线2y x=上且PA PB=，则x的取值范围为.【答案】(1,0)(0,2)-⋃3AD x=。

《弦切角定理》定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧的圆周角度数。

那怎么证明呢？《圆幂定理》（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅【精典例题】1、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°2、如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A ．C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°解答：解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP =∠OBP =90°， 而∠P =50°，∴∠AOB =360°﹣90°﹣90°﹣50°= 130°， 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠BOC =180°﹣130°=50°． 故选A ．BADB3、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、67.5°4、已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则 线段AB 长度的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2解答：如右图所示，OA ⊥l ，AB 是切线，连接OB ， ∵OA ⊥l ，∴OA=2， 又∵AB 是切线， ∴OB ⊥AB ，在Rt △AOB 中，AB =22OB OA -=2212-=3．故选C ．5、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形， 两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管 道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点） 是（ ）A.2mB.3mC.6mD.9m解答：在Rt △ABC 中，BC =8m,AC =6m,AB =22BC AC +=2286+=10． ∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ．△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积 即：12AC •BC =12AB •r+12BC •r+12AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r=4824=2． 故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m ．故选C ．解答：解：∵BD 是圆O 的直径， ∴∠BAD ＝90°， 又∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ＝45°， ∵直线ED 为圆O 的切线， ∴∠ADE ＝∠ABD ＝19°，∴∠AFB ＝180°－∠BAF －∠ABD ＝180°－45°－19°＝116°． 故选C ．解答：解：如图：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD ， 又∵OC=CD ， ∴∠COD=45°， 连接AC ，∵AO=CO ， ∴∠ACO=22.5°，∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°． 故选D ．O（第5题图）6、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确．．．的是（ ） A. DE ＝DO B. AB ＝AC C. CD ＝DB D. AC ∥OD7、已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°解答：连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠A=∠ACO ， ∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． 故选C ．8、如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ．9、已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝解答：由三个半圆依次与直线y ＝x 相切并且圆心都在x 轴上，∴y ＝x 倾斜角是30°，∴得，OO 1=2r 1，OO 1=2r 2，001=2r 3，r 1＝1，∴r3=9．故答案为9．333333解答：当AB=AC 时，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴CD=BD ， ∵AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．所以B 正确． 当CD=BD 时，AO=BO ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ∵DE ⊥AC ∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线．所以C 正确．当AC ∥OD 时，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．所以D 正确． 故选A ．ABCD P· OE解答：如图：连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠ABC =90°， ∵∠C =40°，∴∠BAC =50°，∴∠ABD =40°，∴∠E =∠ABD =40°． 故答案为：40°．10、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ．解答：解：过BP 中点以BP 为直径作圆，连接QO ，当QO ⊥AC 时，QO 最短，即BP 最短， ∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C ，∴△ABC ∽△OQC ，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5， ∵BP=x ，∴QO=x ，CO=4﹣x ，∴=，解得：x=3，当P 与C 重合时，BP=4，∴BP=x 的取值范围是：3≤x ≤4， 故答案为：3≤x ≤4．11、如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.解答：（1）直线BD 与⊙O 相切．如图连接OD ，CD ， ∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°， ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=∠ADB ﹣∠ODA=120°﹣30°=90°． 所以直线BD 与⊙O 相切．（2）连接CD ，∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°， 又OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA ，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15．12、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【解析】（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD ⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线．（2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DEC=. 由勾股定理得：DC=在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ⋅ BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【巩固练习】1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（ ）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B. 635 C. 10 D. 55．如图已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么AB ︰CD 等于∠BPD 的（ ）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．如图A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）7．如图AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动8．如图AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 21359．如图在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM⌒的度数是22.5° D. BC ∥MN 10．如图⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=_________．（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）11．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．12．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．13．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．（第14题） （第15题） （第17题） （第18题）15．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．16.在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，以点C 为圆心，6cm 的长为半径的圆与直线AB 的位置关系是________.17.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于___度. 18.如图,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).19.已知⊙O 的半径为4cm,直线L 与⊙O 相交,则圆心O 到直线L 的距离d 的取值范围是____.E A PO EC D BA20.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.（第20题） （第21题） （第22题） （第23题）21.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.22.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ ADO 等于_______23.如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝45°,则下列结论正确的是（ ）A.AD ＝BCB.AD ＝ACC.AC ＞ABD.AD ＞DC24.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M,N 两点．若点M 的坐标是(2,-1)，则点N 的坐标是（ ）A ．(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)（第24题） （第25题） （第26题） （第27题）25、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB ＝2,OD ＝3,则BC 的长为（ ）A ．B ． CD26、已知圆O 的半径为R ，AB是圆O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为（ ）A ．BC ．D 27、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、M 两点，若点M 的坐标是（-4,-2），则点N 的坐标为（ ）A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（-1.5,-2）D ．（1.5,-2）PO C BA212123322R R R28、如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（第28题） （第29题） （第30题） （第31题）29、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）①AD ⊥BC ②∠EDA ＝∠B ③OA ＝AC ④DE 是⊙O 的切线A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4个30、一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN ＝60︒，则OP ＝( )A ．50 cmB ．25cm C ．cm D ．50cm 31、如图，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点 F ．已知BD ＝2，设AD ＝x ，CF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是 ．32、如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB ＝60°，BC ＝4cm ，则切线AB ＝ cm.（第32题） （第33题） （第34题） （第35题）33、如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC ＝30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF ＝2，则HE 的长为_________．34、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ，若∠A ＝30°，CD ＝，则⊙O 的半径长为 ．35、如图，在中，，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是 （保留）．O 12AD BC =12AD AC =AC AB >AD DC >12333503第19题图ABC DO32ABC △120AB AC A BC =∠==，°，A ⊙BC D AB AC 、M N 、π36、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .∠B ＝50°，∠C ＝60°，连结OE ，OF ，DE ，DF ，则∠EDF 等于( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°（第36题） （第73题） （第38题）37、如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为________cm.38、如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA .设PA ＝x ，PB ＝y ，则x －y 的最大值是________．39、如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，过C 作半圆的切线，连接AC, 作直线AD ，使∠DAC=∠CAB ，AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D. (1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由; (2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.40、如图，点A ，B ，C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连结BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°.(1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)求图中阴影部分的面积．答案：8、据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．9、解：A错，F显然不是弦的平分点；B错，F不是半径的中点；C错，M点平分应为45°；D对，∵BE为圆O的切线，∴BE⊥AB，∵CD⊥AB，∴BE∥CD，∴∠BEF=∠DCF，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEF，∴∠BCE=∠DCF，∵OC=OM，∴∠DCF=∠CMN，∴∠BCE=∠CMN，∴BC∥MN．故选D．10、解：如图利用相交弦定理可知：11、根据割线定理，PF*PC=PA*PB，设EB=X则PA=2X，AE=4X，PB=7X7*（7+13）=2X*7X，X2=10在三角形PCE中，CE2=PC2-PE2=400-360=40，CD=2CE=10412、由切割线定理可得PA2=PD×PB，∵PA=12，PD=8 ∴PB=18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．∴S△PAD：S△PBA=PA2：PB2=4：9．⌒，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，13、∵点D平分BC又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm，则弦AC=6cm．故答案为6cm．14、连接AC，∵∠DBA和∠DCA都为AD所对的圆周角，∴∠DBA=∠DCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠CAB=∠E+∠DCA，∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，∵∠E=25°，∠DBC=50°，∴∠DBA=7.5°，∴∠CBE=∠DBA+∠DBC=57.5°15、∠A=50°,故∠BCD=130°（因为是圆,同弧的角互补)，由P=35°计得∠CDQ=85°,故可以计出∠Q=45°.16.相交 17.60 18.如OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP等. 19.0≤d<4. 20.65°21. 146°,60°,86° 22.64°23、【答案】Ａ 24、【答案】A 25、【答案】A 26、【答案】C27、【答案】C 28、【答案】A 29、【答案】D 30、【答案】A31、 32、【答案】433、【答案】34、【答案】2．3536、B 由∠B ＝50°，∠C ＝60°可求出∠A ＝70°，则易求得∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝12∠EOF ＝55°.37、过O 作OF ⊥AC 于F ，连结OC ，如图．则CE ＝2CF .根据△ABC 为等边三角形，且边长为4 cm ，易求得它的高为2 3 cm ，即OC ＝ 3 cm.∵BC 与⊙O 相切，∴∠OCB ＝90°.又∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.3π3在Rt△OFC中，可得CF＝OC·cos 30°＝3×32＝32(cm)，故CE＝2CF＝3 cm.38、如图，连结OA，过点O作OC⊥AP于点C，所以∠ACO＝90°，AC＝12AP.易证△OAC∽△APB，所以OA AP ＝ACPB，即4x＝x2y，所以y＝x28.所以x－y＝x－x28＝－18(x－4)2＋2，所以x－y的最大值是2.39.(1)AD⊥CD.理由:连接OC,则OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∠OAC= ∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴AD⊥CD.(2)连接BC,则∠ACB=90°由(1)得∠ADC=∠ACB,又∠DAC=∠CAB.∴△ACD∽△ABC,∴AC ADAB AC=,即AC2=AD·AB=80,故40、22．(1)证明：如图，连结OB，交CA于点E.∵∠C＝30°，∠C＝12∠BOA，∴∠BOA＝60°.∵∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°.∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°.∴OB⊥BD.∴BD是⊙O的切线．(2)解：∵AC∥BD，∴∠D＝∠OAC＝30°.∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝3OB＝8 3.∴S阴影＝S△BDO－S扇形AOB＝12×8×83－60·π×82360＝323－32π3.。

圆幂定理提高训练一、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）1、已知：如图,PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点且与直径CT交于点D,CD=2，AD=3，BD=6，则PB=．第1题第2题第3题2、如图:PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线交⊙O于A,B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4,则PT的长等于．3、如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7,CD=11,则AC：BD=．4、如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=．第4题第5题第6题5、如图，△ABC中，∠C=90°,O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1,那么BC=．6、如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=．二、选择题(共6小题，每小题4分,满分24分）7、如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）A、3B、4C、D、第7题第8题第9题8、如图,在△ABC中,∠C=90°，AB=10,AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（)A、6.4B、3.2C、3.6D、89、如图,⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x2﹣12x+24=0的两根，则此圆的直径为（）A、B、C、D、10、如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F,给出下列四个结论：(1）CH2=AH•BH；（2)=；（3）AD2=DF•DP；（4）∠EPC=∠APD,其中正确的个数是(）A、1B、2C、3D、4第10题第11题第12题11如图,P是半圆O的直径BC延长线上一点,PA切半圆于点A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=a（a＞2），则PH等于（)A、B、C、D、12、已知：如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB,若AB=2，则DE的长是（）A、B、C、D、1三、解答题（共10小题，满分96分）13如图,△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线,∠PAC=∠B,(1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F,AC=8，CE：ED=6:5，AE:EB=2：3,求AB的长和∠ECB的正切值．第13题第14题第15题14、如图,P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点,求证：EG=DE．15、如图,以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4．求：(1)cos∠F的值；(2）BE的长．16如图，BC是半圆的直径,O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．(1）若∠B=30°,问：AB与AP是否相等？请说明理由；（2）求证：PD•PO=PC•PB；（3)若BD：DC=4:1,且BC=10，求PC的长17已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：△PBD∽△PEC；（2）若AB=12,tan∠EAF=，求⊙O半径的长．18已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2﹣6x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．（1)求证：BE=BD．(2）若GE•EF=6，求∠A的度数19、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC．20、已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F、三点，连接OF．(1）求证：△AEP∽△CEA;（2）判断线段AB与OF的位置关系,并证明你的结论；(3）求BH：HC．21、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点,若PE=2，CD=1,求DE的长．22、如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k﹣2）x+k=0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数,且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值．答案与评分标准一、填空题（共6小题,每小题5分，满分30分）1、（2001•重庆）已知:如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3,BD=6,则PB=15．解答：解：根据相交弦定理得DT•CD=AD•BD，DT=9．设PB=x．根据切割线定理和勾股定理得:PT2=PD2﹣DT2=PB•PA，即(x+6)2﹣81=x（x+9），解得x=152、（2006•菏泽）（非课改区)如图：PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线交⊙O于A，B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长等于．分析：由相交弦定理得AM•MB=CM•MD，由此求出AM=5，再由切割线定理得PT2=PA•PB即可求出PT．解答：解：由相交弦定理得,AM•MB=CM•MD，而CM=10，MD=2，PA=MB=4,∴AM=5；由切割线定理得,PT2=PA•PB=4×(4+5+4）=4×13，∴PT=2．3、如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11,则AC：BD=1：3．分析：根据切割线定理可以求得∠D=∠PAC，即可求证△PAC∽△PDB，根据对应边比值相等的性质和CD的长可求得PC与PB的比值，即可解题．解答：解:∵PAB、PCD为⊙O的两条割线，∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BDC=∠PAC,又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PDB,∴=,设PC=x，PD=y,且y﹣x=11，解得x=4,y=15,∴===，4、如图，AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E,若AB=CD=2，则CE=．分析:连接OD，设CE=x，由切割线定理得,CD2=CB•CA，根据AB=CD=2，求得BC，由切线的性质，可证明△BCE∽△DCO，由比例式求得CE即可．解答：解:∵CD是⊙O的切线,∴CD2=CB•CA，∵AB=CD=2，∴4=BC（BC+2），解得BC=﹣1+，∵CD是⊙O的切线,BE为⊙O的切线，∴∠CBE=∠CDO=90°，∴△BCE∽△DCO，∴=,即=,解得,CE=，故答案为．点评:本题考查了切割线定理和切线长定理以及三角形的相似的判定和性质等知识，综合性强,难度较大．5、如图，△ABC中,∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1,那么BC=．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R,AD=2,AE=1，利用勾股定理可计算出R=,则AO=，AB=4，再根据OD∥BC，得到△AOD∽△ABC，利用相似比=，即可求出BC的长．解答：解:连OD，如图，∵AC为⊙O的切线，∴OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，∴22+R2=（R+1)2,解得R=，∴AO=，AB=4，又∵∠C=90°，∴OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴=，即BC==．故答案为：．6、如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=7．分析:根据已知条件，易证△ABC∽△BEC，所以BC2=CE•AC，即可求得EC=2，AE=6，利用相交弦定理,可以确定BE•DE=12，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7．解答：解：∵BC=CD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠DBC=∠DAC，∴∠BAC=∠DBC,又∵∠BCE=∠ACB,∴△ABC∽△BEC，∴BC2=CE•AC，∵AC=8，CD=4，∴EC=2，AE=6，由相交弦定理得，BE•DE=AE•EC，即BE•DE=12，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中,BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=BE+DE=7．．二、选择题(共6小题，每小题4分,满分24分）7、如图，在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（)A、3B、4C、D、分析：连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC,而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知:∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5,进而可由切割线定理求DE的长．解答:解：连接CE；∵，∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE，∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC2÷DA=,△BEC是等腰三角形，是解决此题的关键．8、如图，在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（)A、6。

第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学历训练A组1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD 于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．8(5．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．⌒⌒⌒8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．B 组10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ． 12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215 C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

圆幂定理专题训练一班级：九（）班学生姓名：家长签名：222PA PB PC PD PT OP R ⋅=⋅==- 由于PA PB ⋅均等于22OP R -，为一常数，叫做点P 关于⊙O 的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.1.如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD 长为（ ）A ．6B ．12C ．8D ．不能确定2.如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB=2，BC=3，点E 为BC 上一点，且BE=1，延长AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为（ ） 7551353.如图，过点P 作⊙O 的两条割线分别交⊙O 于点A 、B 和点C 、D ，A．3 B．7.5 C．5 D．5.54.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．圆幂定理专题训练二班级：九（）班学生姓名：家长签名：1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA=8cm，PB=4cm，求⊙O的半径．2.如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．53.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．4.如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．35.如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（）A．16 B．16πC．4 D．4π圆幂定理专题训练三班级：九（）班学生姓名：家长签名：1.⊙O的两条弦AB与CD相交于点P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，则CD=（）A．12cm B．6cm C．8cm D．7cm2.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A．9 B．8 C．7 D．63.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A．B． C．D．4.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（）A．120°B．60° C．30° D．45°5.如图，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB=8，=，求PC的长．圆幂定理专题训练四班级：九（）班学生姓名：家长签名：1.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长．2.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若P A＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.3.如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，求PB的值．4.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．（1）求证：PA2=PB•PC；（2）割线PDE交⊙O于点D、E，且PB=BC=4，PE=6，求DE的长．5.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，求AM的值。

圆幂定理题型总结引言圆幂定理是数学中一个重要的定理，它应用广泛，尤其在几何题型中经常被使用。

本文将总结和归纳几种常见的圆幂定理题型，并给出解题思路和详细步骤。

一、相交弦上的圆幂定理给定一个圆，以及圆上的两个点A、B和它们的切线交点C。

我们要求证明AC 和BC上的两个弦段乘积相等，即AC * BC = CD * DB。

解题思路1.运用相似三角形的性质，找到相关的角等于关系。

2.利用相似三角形的比例关系，得到AC与CD、BC与BD的比值。

3.由比值得到圆幂定理的结论。

解题步骤步骤1：根据题目画出图形，并在图上标出已知信息。

步骤2：观察图形中是否能找到相似三角形，尝试找到所有能够利用的角等于关系。

步骤3：应用相似三角形的比例关系，得到AC与CD、BC与BD的比值。

步骤4：由比值关系得到圆幂定理的结论。

二、相切两圆的圆幂定理给定两个相切的圆，分别是圆A和圆B。

已知切线的切点分别为C和D，连接AC和BD。

我们要证明AC和BD的乘积等于切点到切线的距离的平方，即AC * BD = CD^2。

解题思路1.运用相似三角形的性质，找到相关的角等于关系。

2.利用相似三角形的比例关系，得到AC与CD、BD与CD的比值。

3.由比值得到圆幂定理的结论。

解题步骤步骤1：根据题目画出图形，并在图上标出已知信息。

步骤2：观察图形中是否能找到相似三角形，尝试找到所有能够利用的角等于关系。

步骤3：应用相似三角形的比例关系，得到AC与CD、BD与CD的比值。

步骤4：由比值关系得到圆幂定理的结论。

三、公切线的圆幂定理给定两个外切的圆A和圆B，他们的切点分别为C和D。

已知CD为公切线，我们要证明CD的平方等于切点到原点的距离差的平方，即CD^2 = (OC - OD)^2。

解题思路1.运用勾股定理和相似三角形的性质，找到相关的角等于关系。

2.利用相似三角形的比例关系，得到OC与OD的比值。

3.由比值得到圆幂定理的结论。

解题步骤步骤1：根据题目画出图形，并在图上标出已知信息。

1幂的运算基础题小测一．填空题（每空 1 分）1 ．计算：（1）x 2 4（）2 32 x y（3）a2 4 ? a 3 （4）a4 a2 ．填上适合的指数：（1）a4 ? a a5 （2）a5 a a 4（3）a4 a8 （4）ab3 ab a3b3 3 ．填上适合的代数式：（1）x3? x4 ? x 8（）a12 a62(3)x y 5 ? x y 44、若a x 2, 则a3 x= 若 a m＝2，a n＝3，则 a m+n=2 35. 计算： ( a2b ) ? ab3 2 ＝ 1 xy2z3 =26、a2 4? a 3 x 2 5=7、( a2b ) ? ab3 2 ＝(a ＋b) 2·(b ＋a) 3＝(2m－n) 3·(n －2m)2＝;二．选择题（每题 2 分）1 ．以下各式中，正确的选项是（）A ．m4m4m8 B.m 5 m52m25 C.m3m3m9 D.y6 y6 2 y122.以下各式中错误的选项是 ( )A. x y 3 2 x y 6B.( 2a 2)4 =16a81 m2n 3C. 1 m6n3D. ab3 3 - a3b63 273. 以下各式 (1) 3x 3 ?4 x2 7x 5; (2) 2x 3 ?3x3 6x 9 (3) ( x 5)2 x 7(4) (3xy) 3 =9x3y3 , 其上当算正确的有 ( )A.0 个个个个4. 以下各式 (1) b5 ? b5 2b5 (2) (-2a 2 ) 2 = 4 a4 (3) ( a n 1 ) 3 =a3n 14 x2y3 3(4) 64 x 6 y 9,其上当算错误的有( )5 125A.1 个个个个5. 以下 4 个算式 (1) c 4 c 2 c 2(2) y 6 y 4 y 2(3) z3 z0 z3(4) a 4m a m a 4此中,计算错误的有( )A.4 个个个个6. x k 1 2等于( )A. x 2k 1B. x 2k 2C. x2 k 2D. 2x k 17. 已知 n 是大于 1 的自然数 , 则 c n 1 ? c n 1等于 ( )A.n2 1B. 2ncC. c 2nD. c2 n c8. 计算 x4 3 ? x 7的结果是( )A. x12B. x14C. x 19D. x849. 以下等式正确的选项是( )A. x 2 3 x5B. x8 x 4 x2C. x3 x3 2x 3D.( xy )3 xy310.以下运算中与 a 4 ? a 4结果同样的是( )A. a2? a8B. a2 4C. a4 4D. a 2 4 ? a2 411. 以下计算正确的选项是( )A. a3? a2 a 5B. a3 a a 3C. a2 3 a 5D.( 3a ) 3 3a 312. 以下计算正确的 ( )A. x 2 x 3 2 x 5B. x 2 ? x 3 x 6C. ( x 3 ) 2 x 6D. x 6 x 3x 313．以下计算正确的选项是 （）A ． 14 35 10 2 0121 B.1 C.2 5 2 102D.813 4914. 计算（﹣ 2）100 +（﹣ 2）99 所得的结果是（）A 、﹣ 299B 、﹣ 2C 、299D 、215.a 与 b 互为相反数，且都不等于 0，n 为正整数，则以下各组中必定互为相反数 的是（）A 、a n 与 b nB 、 a 2n 与 b 2nC 、a2n+1与 b 2n+1D 、a2n ﹣1与﹣ b 2n ﹣116、以下等式中正确的个数是（）55106?（﹣ a ）3104520556． ①a +a =a ；②（﹣ a ） ?a=a ；③﹣ a ?（﹣ a ） =a ；④2+2 =2 A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个三. 解答题 1. 计算（每题 4 分）17 1111(1)9 ( 1) 11(2)x 2? xm3x 2 m916（3）( －3a) 3－ ( －a) · ( －3a) 2（4） 2 x 3 4 x 4 x 4 2x 5 ? x 7 x 6 x 3 2432(6)2+3+2() 2（5）(p －q) ÷ (q － p) · (p － q)y ） x y? y xy x x y （ x(7) x m? ( x n)3x m 1 ? 2x n 1(8) b a b a 3 a b 52求值（9）已知 : 8 ·22m－1·23m=217. 求 m的值 .（10）、已知a x5, a x y25, 求 a x a y的值．（11）、若x m 2n16, x n2, 求 x m n的值．12．用简易方法计算：（ m 1b n 2 )(a 2n 1 b 2 n ) 5 3，则求 m ＋n 的值．（4）．若 aa b（5）已知２ x ＋５ y －３＝０，求 4 x ?32 y 的值．（6）假如 a 2 a 0( a 0), 求 a 2005 a 200412的值（7）解对于 x 的方程 : 3 3x+1·53x+1=152x+4（8）、若１＋２＋３＋⋯＋n＝a，求代数式（x n y)( x n 1y2)( x n 2y3)( x2 y n 1 )( xy n ) 的．（9）已知 9n+132n=72，求 n 的．（10）若 x=3a n，y=，当a=2，n=3，求a n x ay 的．（11）已知： 2x=4y+1，27y=3x﹣1，求 x y 的74、已知10a3,10 b5,10 c7, 试把１０５写成底数是１０的幂的形式．5、比较以下一组数的大小．8131，2741，961。

板块1. 圆幂定理例1.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若P A＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.例2 如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，求PB的值．例3自圆O外一点P引圆的一条切线P A，切点为A，M为P A的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB的大小．例4 如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，求DE的长例5如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．例6 如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点⊙O的切线，弦CD交AB 于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长．A BCDEFO O F EDCBAP练习：1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为 ． 2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4. 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上 的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．5. 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BF FC=．已知点A 在CE的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为__________． 6．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为 方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．22 7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ； (3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．9．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．10．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a11．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．1 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．板块2.托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅例1． 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ，求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．例2． 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．例3 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且122=+b a ，122=+y x ．求证：1≤+by ax ．PACDBQ PBC DAQ Q CD D P C D C B A P ∠=∠∠∠求证：，＝，使上取一点之间，在弦、在两点，、圆于。