数学竞赛《解析几何》专题训练

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

高中数学联赛（预赛题锦）解析几何板块(天津卷2）2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1in 2s ABC ∠=.那么，A 点的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）以上皆有可能(天津卷8）8.设M 是椭圆22143x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.(天津卷15）在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .（河北卷6）6.圆O 的方程为221xy +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．（河北卷12）12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为12，通径长为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、的内心，延长2BF 交椭圆于点M ．（ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．（山西卷2）若自椭圆中心到焦点，长轴顶点，以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形。

则该椭圆的离心率是（吉林卷8）8．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的66，则椭圆的离心率为 ______．1F M 2F 1I BxA2I y o（山东卷12）12．（本小题满分15分）已知椭圆22143x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值．（福建卷12）12．已知A 、B为抛物线C ：24y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限。

高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

高中数学联赛解析几何专题练习（详解版)一、单选题1．已知12F F 、分别为双曲线()222210,?0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。

若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )。

A ．(1, 3] B ．(1,2] C ．[2,3] D ．[3,十∞) 2．对0b a >>，取第1象限的点(),k k k A x y ()1,2,,k n =L ，使a ，1x ，2x ，L n x ，b 成等差数列，而a ，1y ，2y ，L ，n y ，b 成等比数列.则各点1A 、2A 、L 、n A 与射线():0l y x x =>的关系为（ ）.A ．各点均在射线l 的上方B ．各点均在射线l 上C ．各点均在射线l 的下方D ．不能确定 3．若直线4x π=被曲线C ：()()()()arcsin arccos arcsin arccos 0x a x a y a y a --+--=所截得的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是（ ）．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π4．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（ ）.A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线5．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o .则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A．3 B．2 C ．l D6．过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45︒的弦AB .则AB 为（ ）. A．3 B．3 C．3 D．37．点P （0，2）关于直线210x y +-=的对称点坐标是A ．（-2，0）B ．（-1，0）C ．（0.-1）D ．62,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 8．以双曲线2214x y m-=的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m =（ ）A ．32B ．43C ．54D ．65 9．记()()()223,03x F x y x y y y ⎛⎫=-++≠ ⎪⎝⎭．则(),F x y 的最小值是（ ）． A ．125 B ．165 C ．185 D ．410．设1A 、2A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点．若在椭圆上存在异于点1A 、2A 的点P ，使得20PO PA ⋅=u u u v u u u u v ，其中，O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题11．若实数x 、y 满足x -=，则x 的取值范围是______.12．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线13．抛物线22y x =的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是__________. 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的右支交于点P ，且1245F PF o ∠=。

解析几何练习题一、直线方程与性质1. 已知两点A(2,3)和B(5,1)，求直线AB的方程。

2. 已知直线l经过点P(1,2)，且斜率为3，求直线l的方程。

3. 设直线y = 2x + 1与直线y = x + 3相交于点A，求点A的坐标。

4. 已知直线l：3x + 4y + 6 = 0，求直线l在x轴和y轴上的截距。

5. 判断下列直线是否平行：y = 2x + 3 和 y = 2x 1。

二、圆的方程与性质1. 已知圆心在原点，半径为5，求圆的方程。

2. 已知圆的方程为(x 2)² +(y + 3)² = 16，求圆的半径和圆心坐标。

3. 求过点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)的圆的方程。

4. 已知圆C：x² + y² = 25，直线l：2x y + 3 = 0，判断直线l与圆C的位置关系。

5. 求圆x² + y² + 2x 4y 20 = 0 的圆心和半径。

三、点、线、圆的综合问题1. 已知直线l：2x + 3y 1 = 0，求直线l上到点P(1,2)距离最短的点的坐标。

2. 已知圆C：(x 3)² + (y + 2)² = 16，直线l：x + y 4 = 0，求直线l与圆C的交点。

3. 设点A(2,3)关于直线y = x的对称点为B，求点B的坐标。

4. 已知直线l：3x 4y + 7 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 9，求直线l与圆C的公共点。

5. 求直线y = 2x + 1与圆x² + y² = 25的交点。

四、解析几何在实际问题中的应用1. 已知某工厂的原料存放点A(2,3)和产品存放点B(5,1)，求从A 到B的最短路线。

2. 在平面直角坐标系中，有一块长方形土地，其四个角分别为A(0,0)、B(4,0)、C(4,3)和D(0,3)，求该土地的对角线长度。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。

学习必备 欢迎下载高中数学解析几何问题研究x 2 y 21题 1. Let point M movealong the ellipse 98,and point F be itsright focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is. (ellipse 椭圆； focus 焦点； coordinate 坐标 ) （第十四届高二第二试第 18 题）x 2 y 2译文：点 M 是椭圆91上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P （6，2），那8么 3|MF|-|MP| 的最大值是，此时点 M 的坐标是.x 2y 2 1y在椭圆98解中 ，MMQ D a29,b28 ，则 c 21, c 1 ，PG 所以椭圆的右焦点 F 的坐标Fc 1-3O 1369 xea 3 ，l为（1，0），离心率a 2 9l : x右准线c，显然点x 2y 21P （6，2）在椭圆98的外部 . 过点 P 、M 分别作 PG ⊥ l于 G ，MD ⊥ l于 D ，过点 P 作 PQ ⊥MD 于 Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|- |MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3 ，当且仅当点 P 位于线段MD 上，即点 P 与 Q 点重合时取等号 . 由点 P 位于线段 MD 上，MD ⊥ l及点 P （6，2），x 02 41 知点 M 的纵坐标为 2，设 M 的横坐标为x 0，即 M （x 0，2），则有98 ，解3 23 2x 02，因此 3|MF|-|MP| 的最大值是 3，此时点 M 的坐标是（ 2 ，2）. 得评析 若设点 M 的坐标为 (x,y) ，则可将 3|MF|-|MP| 表示成 x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP| 转化为 ||MD|-|MP| ，就把无理运算转化为有理运算， 从而大大简化了解题过程 .拓展 将此题引伸拓广，可得x 2y 2 1(a b0)定理 M 是椭圆 E ： a 2b 2上的动点， F 是椭圆 E 的一个焦点， c为椭圆 E 的半焦距， P （ m,n ）为定点 .1a 2m若点 P 在椭圆 E 内，则当 F 是右焦点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c；当 F是左焦1a 2m点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c.若点 P 在椭圆 E 外，则a 21a 2mF 是右焦点，且 0≤m ≤ c ，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是c.a 21ma 2F 是右焦点，且 m>cc .，|n| ≤b 时， |MP|- e|MF| 的最小值是a 21a 2F 是左焦点，且mc ≤m ≤0，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是c.a 21ma 2 F 是左焦点，且 m ≤c，|n| ≤b 时， |MP|- e|MF| 的最小值是 c .1简证 1 、如图 1，作 MN ⊥右准线 l 于 N ，PQ ⊥l 于 Q ，由椭圆定义， |MN|= e|MF|.1a 2mm∴ e |MF|+|MP|=|MN|+|MP| ≥|PQ|=c，当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且 M1a 2在 P 、Q 之间时取等号 . 如图 2，同理可证 e|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|= mc ，y当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且MNyNMP M QQMPOm FxlF mOxl图 1图 2M 在 P 、Q 之间时取等号 .1a 2如图 3， e|MF|-|MP|=|MN|- |MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= m，当且仅当 Pc位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号 .1a 2如图 4，|MP|- e|MF|=|MP|- |MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|= m，当且仅当 P 位于直c 线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号 .yyMm MN QMMR NPQPOFmxOF m xll图 3 图 41a 2m如图 5， e |MF|-|MP|=|MN|- |MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= c，当且仅当 P位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号 .1a 2如图 6，|MP|- e |MF|=|MP|- |MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=mc，当且仅当 P 位于yyN R MMQ NMMQPPmF O xmF O xll图 5图 6直线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号 .题 2 已知双曲线 x2y2k关于直线 x-y=1 对称的曲线与直线 x+2y=1 相切，则 k 的 值 等 于（ ）2454A 、3B 、 3C 、4D5（第十五届高二培训题第 19 题）解 设点 P （x0,y0 ）是双曲线 x 2y 2k上任意一点，点 P 关于直线 x-y=1 的对称点为x x 0y y 0 1y y 01P ’（ x,y ）, 则 22①，又 xx 0②，解①、②联立方程组得x 0y 1y 0 x1③. ∵P 点在双曲线x 2y2k 上，∴x 02y 02 k④. ③代入④，得( y 1) 2 (x 1) 2k ⑤，此即对称曲线的方程，由 x+2y=1，得 x=1-2y`, 代入⑤并整理，得 3 y 242 y k 1 0. 由题意，△ =4-12 （ k-1 ）=0，解得 k= 3，故选 B.评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程 . 由于对称曲线与直线相切，故由 △=0 便可求得 k 的值 . 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的 结论 1 、点（ x0,y0 ）关于 x 轴的对称点是（ x0,-y0 ）. 2、点（ x0,y0 ）关于 y 轴的对称点是（ -x0, y0 ）. 3、点（ x0,y0 ）关于 y=x 的对称点是（ y0,x0 ）. 4、点（ x0,y0 ）关于 y=-x 的对称点是（ -y0,-x0 ）. 5、点（ x0,y0 ）关于 y=x+m 的对称点是（ y0-m,x0+m ）. 6、点（ x0,y0 ）关于 y=-x+n 的对称点是（ n-y0,n-x0 ） .7、点（ x0,y0 ）关于直线 Ax+By+C=0的对称点是（ x,y ），x,y 是方程组 Ax 0 x 1By 0 y 1c 022A( y 0 y 1 ) B( x 0 x 1 )的解 .根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=x+m 对称的曲线的方程是 f(y-m,x+m)=0.3.F 1, F2是双曲线x 23y23的左、右焦点，A, B两点在右支上， 且与F2在同一条直线上，则F 1 A F 1B的最小值是y____________. CA（第四届高二第二试第 15 题）x 22NM双曲线 x23y23,即 3y1解，如图，OF2xF1BDlA, B在双曲线右支上，AF 1AF 2 2 3 ,BF 1BF 2 2 3, 故当 AF 2BF 2 取得最小值时， AF 1 BF 1 也取最小值 . 设l是双曲线对应于 F2的准线，ACl , BDl, 垂足为C, D，则由双曲线定义可知AF 2e AC , BF 2eBD，而ACBD 2 MN，其中 MN 是梯形 ACDB 的中位23 122 ，这时，AF2BF2取得最小值线，当ABF 1F2时， MN 取最小值2e MN24 2 143 , 从而AF1BF133取最小值 33.评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现 AF 2BF2，即e( ACBD )，亦即2eMN最小时， F 1AF 1 B也最小，并能知道 AB F 1F 2时MN最小（这点请读者自己证明） . 本题虽然也有其他解法， 但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得x 2 y 21F1、F2是双曲线 a2b2A, B两点在右支上，且与F2定理的左、右焦点，4a2b 2a .在同一条直线上，则F 1 A F 1B的最小值是 仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者） .43 2 1214 3 用此定理可知本题中的最小值为33.题4.方 程 x 2 2y 2 2| x y 3 | 表 示的曲线是( )A 、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线（第十二届高二培训题第23 题）解法1 由x 22y 2 2| x y3 |的两边平方并整理得2xy 10x 2 y 1 0 . 令 xu v, y uv，则2 u v uv 10 u v 2 u v 1 0，整 理 得2u 2 8u 8 2v 2 12v 18 9 ，即 2 u 2 2 2 v 3 2 9，故已知方程表示双曲线，选 C. x 2 y 22 | x y 3 |2 2解法 2 已知方程就是 2 ，由双曲线的第二定义，可知动点 P x, y到定点（2，2）的距离与到定直线x y 3 0的距离比为 2 ，因为2 1，所以选 C.评析根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程 . 显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy . 如何消去乘积项便成了问题的关键. 解法 1 表明对称换元是消去乘积项的有效方法 .解法 2 从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（ 2，2）的距离与到定直线x y30的距离之比为2的动点x, y的轨迹，根据双曲线定义选 C.显示了发现与联想在解题中的作用 .拓展将此题一般化，我们有下面的定理若x a 2 y b 2 | Ax By C |（ A、B、 C、 a、 b 为常数，且 A、 B不全为零），则（1）当0A2 B 2 1时，方程表示a, b为一个焦点，直线Ax ByC 0为相应准线的椭圆 .（ 2）当 A2 B2 1时，方程表示a,b为一个焦点，直线Ax By C 0为相应准线的双曲线 .（3）当 A2 B2 1 且 Aa Bb c 0 时，方程表示过点a,b且与直线Ax By C 0垂直的直线 .（4）当 A2 B2 1 且 Aa Bb c0 时，方程表示a, b为焦点，直线Ax By C 0为准线的抛物线 .读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理 .1，则动点 A x1, x 1题 5. 已知xxx与点 B（ 1， 0）的距离的最小值是_________.（第七届高二第一试第 23 题）ABx 12x1 0211 22解法 1由已知得xxx21 211 27142 x2 321xx xx22xxx将此式看作以1x1, 1 1xx2x2, 这表明该二次函数的定x为自变量的二次函数，xx1 2义域是2,.该函数在 2,x上是增函数，当x时 ，272 2 211, AB m i n 1ABm i n22 .x tan ,x 1tan1 22csc22解法 2x tansin2令42，则x 1x1 2 , x1 tan1 2 2cot 2 .x xtantan 22AB2csc 222cot 2 28csc 22 4csc 238 csc 21 7.1421 2ABmin71当 csc21，即8 124时，4.x1tty1t解 法 3设t（ t1）,两式平方并相减，得yB x 2y 24(x 2, y 0), 即动点 A 的轨迹是双曲线x2 y 24O1 2x的 右半支在 x 轴上方的部分（含点（ 2，0）），由图知 |AB|min=1.评析 所求距离 |AB| 显然是 x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域 1,上的最小值并不好求，解法 1 根据 |AB| ≥0，通过平方，先求| AB |m2| AB |min2 ，并将x1in，再求 |AB|min=x看作一个整体，将原问题化为求二次函数在 2,上的最值问题；解法 2 通过三角换元，把求 |AB|min的问题转化为求关于csc2的二次函数在2,的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟； 解法 3 则求出点 A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用 . 许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前 .题 6. 抛物线yx 2 上到直线x y 2 0的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第 27 题）解法 1 设抛物线 yx 2 上的点的坐标是 x, x 2 ，则它到直线x y 2 0的距离是x x 22 (x 1 )27d22 2 4x1y1时 d最小，此时，当 2 4. 故所求点的坐标1 , 1是24.解法 2 如图，将直线xy 20 平移至与抛物线yx 2 相切，则此时的切点即为 所 求 点 . 设 切 线方 程 为yx k ， 代 入 y x 2 ，得y1x2xk 0 . 由o ， 即 14k 0 ， 得k4. 解y=x2 yx 2x 12-2Ox111 , 1y x y-24 得4. 故所求点的坐标是2 4 .解法 3设所求点的坐标为 Px 0, y 0，则过点 P 的抛物线的y y 0 x 0 x，故 2x 01 ，切线应与直线 x y 2平行 . 而其切线方程为2x 01 y 0 x 02 1故所求点的坐标为 1 , 12 .4 . 2 4 .评析 解法 1 由点线距离公式将抛物线上的任意一点 x, x 2到直线x y2 0的距离 d表示成 x的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用 .解法 2 运用数形结合思想发现与直线 xy 2 0 平行的抛物线 y x 2的切线的切点就是所求点，设切线方程为yxk后运用方程思想求出k，进而求出切点坐标 .解法 3 则设切点为 P x 0 , y0 ，直接写出过二次曲线f x, y 0 上一点 P x 0, y 0的 切线方程，由切线与已知直线平行 . 两斜率相等，求出切点坐标 . 解法 2、3 不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于 求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法 3 涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程， 下面用导数证明一般情形的 结论：定理 过抛物线 yax 2 bx c 上一点 P x 0 , y 0的切线方程是yy 0 ax x b xx 0 c2 02 .证 明设过点 Px 0 , y 0 的抛物线 y ax 2bx c的切线的方程为y y 0 k x x 0 ①.y /2ax b ，k y / xx 02ax 0 b ，代入①得 yy 02ax 0 b xx 0 ，yy 0 2ax 0 b x x 02 y 0y y 0x x 02bx②. 点222 ， 2ax 0 x b 2y 0 ax 0x 0 , y 0 在抛物线yax 2 bxc上， y 0ax 02 bx 0c ， y 0ax 02bx 0c，代y y 0 ax 0 x b x x 0 c入②，得切线方程为 22 .拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的x2, y 2x 0 x，分别换成y 0 y，把 x, y 分别换成x 0x , yy2 2 便得切线方程 . 事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理 .定理过二次曲线Ax 2Bxy Cy 2 Dx EyF 0 上一点 Ρ x 0 , y 0 的该曲线Ax xBx 0y xyCyyDxx EyyF 0的切线方程是20 22.运用该定理必须注意点 Ρx 0, y在曲线上 .例 求过点2,3 的曲线 2x23xy 4 y 2 4 x 8 y 30的切线的方程 .解 经验证，点 2,3 在曲线 2x23xy 4 y24x 8 y 30上，根据上面的定理，所求切线方程为2 2x 32 y 3x4 3 y 4 2 x 83 y30 0222， 即13 x 22 y 92 0.题 7在抛物线y2 4x 上恒有两点关于直线 y kx3 对称 , 则 k 的取值范围是.(第十五届高二培训题第 71 题)解法 1设两点 Bx 1, y1、Cx 2, y2关于直线ykx3对称，直线 BC 的方程为xky m，将其代入抛物线方程y24x ，得 y24ky4m 0. 若设 BC 的中点y 1 y 22ky 02. 因为 M 在直线ykx 3上，所以为 Mx 0, y，则k 2k2m 3.m2k 3 2k 22k 32k 32kkk，因为 BC 与抛物线相交 于两个不同点，所以16k 216 m. 再将m的式 子代 入， 经 化 简得k 3 2k3k，即k 1 k 2k 3k0 ，因为 k2k 3，所以 1 k 0 .y 1 y 28k 38k 12 解 法 2 由 解 法 1 ， 得 y 1y24mk. 因 为4k ，y 1 2y2y 1 y 2 4k28k 38k 1221 k 0 .，所以k，解得解法 3设 Bx 1, y1、Cx 2, y2是抛物线 y24x上关于直线ykx 3对称的两点，且 BC 中点为 Mx 0, y 0.因为y124x 1 , y 2 2 4 x2，所以y22y 1 24 x 2x1，y 2y 1 y 1 y 2 412 y 04, y 02k即 x 2x 1kx 03,所以， 所 以 k. 又 y 0x 02k 3在抛 物线 y24x 的内部，所以 y24x，即k, 因为 Mx 0, y2k 2 42k3k，解得 1 k 0 .解法 4 设 B 、C 是抛物线 y24x上关于直线ykx3对称的两点， M 是 BC中点 . 设 M x 0 , y 0 ， B x, y ， C 2x 0x,2 y 0y , 则 y24x ① ，2 y 0y 24 2x 0 x ②. ①- ②，得 2x y 0 y y 022x 00 ③. 因为点 M x 0 , y 0 在直 线ykx 3 上 ，y 0kx 0 3④.④代入③得直线 BC 的方程为px 0 ,2x 02x kx 0 3 ykx 03 22x 0 0，故直线 BC 的方向向量为kx 0 3 ，同理得直线ykx3的方向向量vx 0 , kx 0 . 因为直线 BC 与直线ykx3垂2x 0直，所以 p v 0，即 x 0 ,kx 03 x 0 , kx 0 0，化简得 x 0 2 kx 0 2k32kx 0 3，得kx2k 3或x（舍去） . 显然k，解得x 02k 3, y 0kx 0 32k . 因为 M x 0 , y 0 在抛物线 y24x的内部，所以k2k 24 2k 3k 32k 3 0, ( k1)(k 2k 3)y 0 24x， 即0,k，kk又k 2k 3，所以 1 k 0 .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲 线）方程中参数的取值范围 . 这是解析几何中一类常见的问题 . 解决这类问题的关 键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法 1 运用二次方程根的判别式，解法 2 运用均值不等式，解法 3、4 运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于 k 的不等式起了积极作用 .练习 若抛物线 yax 21上总存在关于直线xy对称的两个点，则实数a的 取 值范围是 （ ）1 ,3 ,0,11 , 3A 、4B 、4C、 4D、4 4答案： B题 8 抛物线 y24x的一条弦的倾斜角是, 弦长是4csc 2, 那么这种弦都经过一定点 , 该定点是 ．（第十三届高二培训题第 73 题）解法 1 设弦过点M (a,0)，则弦所在的直线是yk( xa)，k tan， 90 ，yy 2 a)k y 2 y akk(，即4代入抛物线方程，消去 x得 4．(弦2cot 24 16a1 cot 21616a长)2=(1 )ktan 2csc 2 16cot 216a=16 csc4，即 16cot216a 16csc 216 16cot 2，由此得 a1 ．x ax a 当90 时，弦所在直线方程为x a (a0) ，弦长为 4．由 y 24x ，得 y2 a或x ay2a．又由弦长4a4 ，得 a1 ．综上，这些弦都经过点（ 1，0）．解法 2 由题意，对任意 都得同一结论，故运用特殊化思想解．4csc 24x a (a 0) ，代入令2，则弦长为2，此时弦所在直线方程为y24x ，得 y 24a ， y2 a．由题设， 4 a 4，即 a 1 ．所以2时，弦所在直线方程为x 1．4csc 28y b x 1 ，得再令4，则弦长为 4，设此时弦所在直线方程为x y 1 b ， 代 入 y 24x 并 整 理 ， 得 y24y 4b4 0，弦长1 1 ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 2 16 4(4b 4) 8，解得 b0，所以 4x 1时，弦所在直线方程为y x 1．解y x 1，得定点为（ 1，0）．评析题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若确定，则以为其倾斜角的弦的长也确定，变化，则以为其倾斜角的弦的长也变化．但不论怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0 ，故解法 1 设弦过点( a,0) ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是4csc2 ，直接求出 a 1 ．从而说明不论为何值，弦总过定点（ 1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法 2 分别令2 与 4 ，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为 (1,0) ，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特7 3殊也正确．”至于解法2中为什么令2 与 4 ，而不令13与25，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展原题中弦长 4 csc2 中的 4 恰好为抛物线方程中的2 p，而答案中的定点(1,0) 又恰好为抛物线 y2 4x的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这并非巧合，而是一个定理 .定理若抛物线 y 2 2 px ( p 0)的弦 PQ 的倾斜角为，则 PQ 2p csc2 的充分必要条件是 PQ经过抛物线的焦点F (p, 0)2 ．证明先证必要性 :由已知，可设 PQ 的方程为y k ( xa) (k tan , 90 ) ，代入 y2 2 px ，得k 2 x22( k2 a p)x k 2 a 2 0 ①．由已知及弦长公式得2(1 k 2 ) (x1 x2 ) 2 4 x1x2② ．将①的两根之和与积代入②，得PQ241 k2 22p csck4p 2apk，从而得 p 2 csc 4tan 4sec2（ p22ap tan 2 ），a pF (p, 0)90时，结论也成立．解得2 ，即知 PQ过焦点2．容易验证当再证充分性：yk( xptan, 90 )由已知可设PQ的方程为 ) ( ky 22 px ，得2，代入4k 2 x 2 4 p( k 2 2) xk 2 p 2③，将③的两根之和与积代入②得PQ 2 p csc 2．容易验证当90时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为 1 的直线经过抛物线 y 24x的焦点，与抛物线相交于 A 、B 两点，求线段 AB 的长．2．PQ是经过抛物线y 2 4ax (a 0)焦点 F 的弦，若 PQb ，试求△ POQ 的面积（ O是坐标原点）．（91 年全国高中联赛题）3．PQ是经过抛物线y 2 4x焦点 F 的弦， O 是抛物线的顶点，若△POQ的面积为 4，求PQ的倾斜角．（98 年上海高考题）答案： 1. 8 2.aab3. 30 或 150题 9 长为 l (l1)的线段 AB 的两端在抛物线yx 2 上滑动，则线段 AB 的中点 M到 x轴的最短距离等于.（第 13 届高二第二试第 20 题）解 设 AB 的中点为 M （x, y），点 A 的坐标为（x, y），由对称性知 B 的坐y( x )2① ,)2y( x② ,22( l )2标为x, y，于是有以下关系成立：③ .2①+② ， 得 y x22④，-②，得2 x ⑤.将④、⑤代入③，得22l 2yl 2 x21 [l 22)1]( yx )(1 4x )4 x 2 )4x 2 )(1 4x4 ， 即4(14 (1， 因 为u xa 2(a x1 4x 2l (l0, x 0),a时, u 有最小值 , 当x a时 ,u是单调增加的 . 又当xl 21), y 关于 x2是单调增加的 , 所以 , 当x 0时 , y取得最小值 4.评析 点 M 到 x轴的最短距离显然就是点 M 的纵坐标的最小值 . 巧妙利用对称性，设出点 M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y的最小值，现在却出现了四个变量x 、 y 、 、 ，能否消去、从而得到y f (x)，再求其最小值呢？果然，可以、yl 2 x 2 消去 ，得到4(1 4x 2 ) ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法） . 若变形为yl 2 4x 216x 4x 24 16 x2，再令u，得到y l 2 4u 16u 216u 2(4 16 y)u l 2 4y0(u0)⑦，则可由方程⑦有非4 16u负实数解求出 y的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂 . 能否用别的 什 么 方 法 呢 ？ 考 虑 到 ⑥ 式 中 的1 4x2，故将⑥式变形为1 l 22l 2y4[1 4x 2(1 4x ) 1]⑧，由于14x 2 与 1 4x 2的积是定值，故当l 2l时, 有 y 最小值 .. 然而，因为l1 4 x 2=14x2 ，即14x21，所以 1 4x 2l ，0时，yminl 2即 1 4x 2取不到 l，故由函数⑧为x 2的单调增函数，可知当x4 .f (x) xa 2 ( a 0)0, 则当 x a 时 ,f ( x)取得最小值注：形如x的函数，若x2a ； 若xa (b b0 ), 则f ( x)单 调 递 增 ,f ( x)minf (ab) ； 若0 xab( 0 b , a) f ( x)则单调递减， f (x) minf (a b).( 请读者自己证明该结论 )拓展 将此题推广，可得定理 1 长为l的线段 AB 的两端在抛物线x22 py( p0)上滑动，线段 AB 的中点 M到x轴的距离为d，则0 l 2 p时， d min l 2;当8 p当 l 2p时， d min lp, d max l 22 8 p .证明由题意，直线 AB 的斜率k存在 . 设A( x1 ,x12), B( x2,x22 ), M ( x0 , y0 ),2 p 2 p 则x12 x22kAB 2 p 2px1 x2x2 2pyx1 x2 x0y y0 x0(x x0 ) y y0x0(x x0 )2p p，所以直线 AB的方程为p p，由，2x02，因为点 M在抛物线的内部，即yx02消去y，得 x2 2 x0 x 2 py0 2p ，所以（4 2py0 x02） 0，又x1 x2 2 ,x0 x1 2 x22 x20所p 0 y，以2l 1 x2 | x1 x2 | p1 p2 x02 ( x1 x2 )2 4x1x2 2 p2 x02 2 py0 x02p p . 于是d y0 p 2 l x02 ,8( p2 x 2 ) x02 p对求导数，得0' pl 2( 2 ) x12xx20[1 )p2l 22]2dx08 p 1 x0 ( 0p0 2 2 22 p 4( p x0 )x0x02 )2 [2( p 2 2 pl ][ 2( p 24p( p2 x0 ) x02 ) pl ] .（1）若0l2p（抛物线的通径长），令dx'，得x，易知x，是 ddminl 2x 0AB y 8 p的唯一极小值点，所以当（即 轴）时，；'，得xx 02 p(l 2 p)，易知当x 0 0时，（ 2）若l22 p，令d x0 或l 2 x 02 p(l2 p) lpdmax2时， dmin2 .8 p ；当l 2令定理中的 2 p 1 ，由定理的结论（ 1）可知本赛题的答案为 4.此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强 . 这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁 . 用导数研究函数的最值问 题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡 .此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：x 2 y 2 1(a b0)定理 2已知 A 、 B 两点在椭圆a 2b2上滑动， |AB| =l，线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 d，则当 2b 2 l 2a 时， d max a( 2a l )a 2 a 2b 2（ 1）；（ 2）当 l2b 2 时， d maxa 4b 2 l 2 .a2bx 2 y21(a,b 0)定理 3已知 A 、B 两点同在双曲线a 2b 2的右（或左）分支上滑动， |AB| = l ，线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 d，则当l 2b 2 时， d mina(2a l )（ 1）a2 a 2 b 2 ；l2b 2 时， d mina 4b 2 l 2（ 2）当a2b.为证定理 2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短 .ep l证明 设圆锥曲线的极坐标方程为1ecos，其中 e表AOFxBx示圆锥曲线的离心率，p表示焦点 F 到对应准线 l的距离，设 AB 是圆锥曲线过焦点 F 的弦，且 A ( 1,), B( 2 ,) ，epepep1,2ecos ，所以 | AB | 1因为1 ecos1 ecos() 1 2ep ep2ep1 ecos + 1 ecos= 1 e 2 cos 2 . 当2 ，即当 AB 与对称轴 x轴垂直时，| AB |min2ep，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理 2 .xa 2 证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为 F （c,0），A 、M 、B 三点到右准线 c 的距离分别是t 1、 t 、 t 2，则 t t 1t2,由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ： |AF|=et1，2|BF|= et 2 (e c )a ，|AF|+|BF||AB|= l，所以 t l2b 2 ,当 l 2b 2 时，2e. 又过焦点的弦最小值为aa线段lAB 可 以 过 焦 点 F ， 当 AB 过 焦 点 F 时 ， t有 最 小 值2e， 因 此a2la(2a l ) a( 2a l )d m a x2 a 2 b 2c2e2c.当 l2b 2 时，a（ 2）线段 AB 不可能过焦点 F ，但点 M总可以在过 F 垂直于 x轴的椭圆的弦的右侧， 如右图，在△ AFM 中，设 ∠AMF= ，由余弦定理知| AF |2 | FM |2 | AM |22 | FM || AM |cosyAt1FOM t xBt2| FM |21l21l 2 cos在 △BFM42， 中 ，|BF|2|FM |21 l2 1l 2cos|AF |2| BF |2 2 | FM |21l 242，所以2，所以1（2|AF| 222| FM | ta 2 cb 2|FM || BF | ） lcc，所以2，又t1 22） l 2b 2（2|AF||BF|2c①，无论线段 AB 在什么位置，不等式①都成立.又（2|AF| 22） l 2（|AF |2l 22(t 1 t 2 ) 2l 22 22, 故|BF | |BF |）e4e tl t2 21 2b 2ta 2a 4b 2l 2e tlcc2b③，当线段 AB 垂4②. 解此不等式，得直 于 x轴 且 在焦 点 F 的 右侧 时， 不等 式 ① 、 ② 、 ③ 都 取等 号， 此时t min a2a 4b 2 l2dmaxa 2( a 2a 4b 2 l 2 ) a4b 2 l 2c2b， cc2b2b. 仿此亦可证明定理 1、3，不再赘述 .题 10动圆 M 过定点 A 且与定圆 O相切，那么动圆M 的中心的轨迹 是（ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第 10 题）解 动圆 M 、定点 A 、定圆 O, 这三者的位置关系有 5种可能，如图⑴～⑸：O在情形⑴： A 在圆O上，这时动圆 M 与定圆O相切于 A ，所以 M 点的轨迹是过O, A的一条直线 .在情形⑵： A 与O重合，这时动圆 M 在定圆O的内部，与它内切，所以 M 点的轨迹是以O为圆心，以定圆O的半径的一半为半径的圆 .在情形⑶： A 在定圆O的内部但不重合于 O 点，动圆 M 过 A 且与定圆 O 内切，这时动点 M 与定点 O 、 A 的距离的和是MOMA ( R x)xR（定值），其中的 R 、x分别表示定圆 O 、动圆 M 的半径 . 可知点 M 的轨迹是以 O、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆 .在情形⑷： A 在定圆O的外部，动圆M 过 A 且与定圆O外切，这时MO MA(R x) x R（定值） . 可知 M 的轨迹是以 O 、 A 为焦点， R 为实轴长的双曲线的一支 .在情形⑸： A 在定圆O的外部，动圆M 与定圆O内切，这时MAMOx ( xR)R（定值）. 可知 M 点的轨迹也是以O, A为焦点 . R 为实轴长的双曲线的一支（和情形 4 对应的另一支） .综上，可知选 D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想 . 分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏 . 此题的关键是要搞清全部情形有 5 种，然后再分别求动圆中心的轨迹 . 运用二次曲线的定义大大简化了解题过程 .应当指出，当点 A 在圆O上时，动圆 M 的中心的轨迹是直线OA，但应除去点 O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除A, B, C,而选 D，这样就更快捷了.。

数学竞技解析几何的综合算式练习题数学竞技解析几何的综合算式练习题解析解析一：已知直线AB与直线CD垂直交于点E, 引直线EF⊥CD于点F，交线段AB于点G，并且EF = 2.5 cm，GF = 6 cm，EG = 7 cm，求线段FD的长度。

解法一：首先，由于直线AB与直线CD垂直交于点E，所以可得到如下几何关系：∠FED = 90°，∠GEA = 90°。

接下来考虑三角形GEA与三角形FED，根据两个直角三角形的相似性质，可以得到如下比例关系：ED/GA = FD/EA。

已知EG = 7 cm，GE = 6 cm，EA = EG - GA = 7 cm - 2.5 cm = 4.5 cm。

代入上述比例关系得到：ED/4.5 = FD/4.5。

解方程可得：ED = 2.5cm + FD。

代入已知的EF = 2.5 cm，可得：2.5 cm + FD = 2.5 cm + 6 cm。

简化得：FD = 6 cm。

因此，线段FD的长度为6 cm。

解析二：已知平面内一直线AB与直线CD垂直交于点E，引直线EF⊥CD于点F，交线段AB于点G，并且EF = 2.5 cm，GF = 6 cm，EG = 7 cm，求线段FD的长度。

解法二：同解法一，首先，由于直线AB与直线CD垂直交于点E，所以可得到如下几何关系：∠FED = 90°，∠GEA = 90°。

同样考虑三角形GEA与三角形FED，根据两个直角三角形的相似性质，可以得到如下比例关系：ED/GA = FD/EA。

已知EG = 7 cm，GE = 6 cm，EA = EG - GA = 7 cm - 2.5 cm = 4.5 cm。

代入上述比例关系得到：ED/4.5 = FD/4.5。

解方程可得：ED = 2.5cm + FD。

代入已知的EF = 2.5 cm，可得：2.5 cm + FD = 2.5 cm + 6 cm。

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD 的面积等于_______.【解析】 【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCDAOB S S =△，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上， 如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --. 将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：0014x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0014x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.故242||21ABCDADBAOBA B SSSOP x x ===⋅-=⨯=故答案为：36542．（2021·全国·高三竞赛）抛物线2Γ:2(0)y px p =>，设它的某三条切线交于A 、B 、C 三点，设ABC 的外接圆与x 轴相切，切点为(,0)D k ，则k =_______． 【答案】2p k = 【解析】 【分析】先证明A 、B 、C 、F 四点共圆，得出D 、F 重合，进而求出k . 【详解】设Γ的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，下面我们证明：A 、B 、C 、F 四点共圆．设直线AB 与Γ切于()11,P x y ，直线BC 与Γ切于()22,Q x y ，直线CA 与Γ切于()33,R x y ．则2(1,2,3)2i i y x i p==，于是直线AB 的方程为()11yy p x x =+，直线BC 的方程为22()yy p x x =+，直线CA 的方程为()33yy p x x =+．记i l 为直线()(1,2,3)i i yy p x x i =+=．设F 在直线AB BC CA 、、上的射影分别为123K K K 、、，于是直i FK 的方程为2i y p y x p⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又直线i l 方程为()(1,2,3)i i yy p x x i =+=，则直线i FK 与直线i l 交点为0,(1,2,3)2i y i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以123K K K 、、均在y 轴上，故123K K K 、、三共线，由Simson 定理逆定理知：A 、B 、C 、F 四点共圆．所以D 、F 重合，于是2p k =． 3．（2021·全国·高三竞赛）设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =．若在Γ的右支上存在一点A ，使得||||OA OF =且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ离心率的取值范围为___________． 【答案】2215⎛+ ⎝⎦【详解】在平面直角坐标系xOy 中考虑问题．不妨设A 在第一象限．A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆Ω与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即,FAB FBA FA FB ∠≥∠≤．在Ω上取一点C ，使FC FB =，则FC FA ≥． 由双曲线的定义知2CX CF a -≤（a 是实半轴长），即 2222(2)4a CF CX c CF +≥=-（c 是半焦距）．代入2c CF FB ==，得2222424c c a c ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭．解得22151,7e ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦． 故答案为：22151,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦4．（2021·全国·高三竞赛）过椭圆221169x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A ､B 为切点过A ､B 的直线l 与x 轴､y 轴分别交于点P ､Q 两点，则POQ △面积的最小值为___________. 【答案】13【详解】解析：设(4cos ,3sin )M θθ，则l 的方程为(4cos )(3sin )2x y θθ+=，12,2cos 3sin P Q x y θθ==， 11123sin 23P Q S x y θ=⋅=≥，当且仅当4πθ=时等号成立，故答案为：13.5．（2021·全国·高三竞赛）设123A A A △为抛物线24y x =的内接三角形，分别过1A ､2A ､3A 作抛物线的切线1l ､2l ､3l ，设三条切线相交所成的三角形为123B B B .求123A A A △与123B B B 的面积比. 【答案】2 【解析】 【详解】推导一般情况.设222(0),,,1,2,32i i i t y px p A t i p ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭.那么过i A 的切线方程为2222i i t x p y t p +⋅=⋅，即2:,1,2,32ii i t l yt px i =+=.联立1l 与2l 的方程：211222,2.2t yt px t yt px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1212,2.2t t x p t t y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 这表明1l 与2l 的交点3B 的坐标为12123,22t t t t B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，13132,22t t t t B p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23231,22t t t t B p ⎛+⎫ ⎪⎭⎝.由面积公式：123123A A AB B B S S =△△2112222331212131323231211221212211222122t t pt t p t t pt t t t p t t t t pt t t t p+++=2211222233121213132323111111t t t t t t t t t t t t t t t t t t +++而222112222332222231213122313111t t t t t t t t t t t t t t t t t t =++---， ()()()()121221313132312132321311232323111t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++=+++++-++()()222312312123t t t t t t t t t t -+-+232222122331122331t t t t t t t t t t t t =++---，所以211222231212131333232111111t t t t t t t t t t t t t t t t t t +=++，从而1231232A A A B B B SS=.故答案为：2.6．（2021·全国·高三竞赛）双曲线222019x y -=，左右顶点分别为1A ､2A ，P 为双曲线右支上一点，且1210A PA ∠=︒，则12PA A ∠=___________. 【答案】40︒ 【解析】 【详解】设直线12,A P A P 的倾斜角分别为,αβ，则2019tan tan 12019αβ==， 故90αβ+=︒，而10βα-=︒，故40α=︒， 故答案为：40︒.7．（2021·全国·高三竞赛）已知双曲线2213y x -=的左右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，则12AF F △、12BF F △的内切圆面积之和的取值范围是__________． 【答案】102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【详解】解析：令12AF F △、12BF F △的内切圆心为1I 、2I ，与x 轴切于M ，N ，则12121132F F F A F AF M F N +-===，所以M 、N 重合于双曲线右顶点．过2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，令212,33AF F ππα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，内切圆面积和为22221210tan cot 2,223S r r ααπππππ⎛⎫⎡⎫=+=+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭．故答案为：102,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8．（2021·全国·高三竞赛）已知双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左右两支于点B 、C ，若2BC CF =，则双曲线的离心率为__________． 523+【解析】 【详解】根据题意，记12BF F θ∠=，则sin a cθ=，其中c进而由双曲线的焦半径公式和双曲线的定义，可得1112CF BF CF a -=-， 即22cos b a c aθ=+，也即22b a bc a c=⋅+，解得1ba=因此双曲线的离心率c e a ===9．（2021·浙江·高三竞赛）若正方形ABCD 的一条边在直线206y x =+上，另两个顶点在抛物线2yx 上，则该正方形的面积为______.【答案】2178或1250 【解析】 【分析】 【详解】设另一条边所在直线为y x m =+，则20x x m --=， 设两交点的横坐标12,x x，则12x x -=2428424320m m -+=， 解得272m =或156m =，所以22178S ==或1250.故答案为：2178或1250.10．（2021·浙江·高三竞赛）已知点()3,1P ，存在抛物线24x y =上相异的两点A ，B ，使得四边形PAQB 为矩形，则点Q 的轨迹方程是______.【答案】()222395402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y Q x y ,且22112211,44y x y x ==. 则由四边形PAQB 为矩形知,121231x x x y y y +=+⎧⎨+=+⎩ ，即122212311144x x xx x y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 即122123(3)442x x x x y x x +=+⎧⎪⎨+--=⎪⎩， 且PA PB ⊥,即()()()()12120,33110PA PB x x y y ⋅=--+--=,()()121212123910x x x x y y y y -+++-++=， ()()222212121212113910164x x x x x x x x -+++-++=， 222(3)441(3)443(3)9(1)102162x y x y x y ⎡⎤+--+----++-++=⎢⎥⎣⎦，222(3)441(3)4430244x y x y x y ⎡⎤+--+--++-=⎢⎥⎣⎦，即2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 故点Q 的轨迹方程为2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：2223(9)5402x x y ⎡⎤+⎛⎫+--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 11．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆Γ的方程为22195x y +=，经过Γ的左焦点(2,0)F -，且斜率为1k （1k 存在且不为0）的直线与Γ交于A 、B 两点，设点(1,0)R ，延长AR 、BR 与Γ分别交于点C 、D ．直线CD 的斜率为2k ，将2122k k 写成既约分数ab，其中a ，b 是互质的正整数，则2a b +=__________． 【答案】305 【解析】 【分析】 【详解】设()()()()11122334411,,,,,,,,:1AR x A x y B x y C x y D x y l x y y -=+代入椭圆Γ的方程， 消去x 得2112115140x x y y y y --+-=． 由韦达定理得()211311405y y y y x =-≠-， 从而13145y y x =-，代入直线AR 的方程得131595x x x -=-．类似的，242595x x x -=-，24245y y x =-．故()()121212342342145516y x y y x y y y k x x x x --+-==--．因为A 、F 、B 三点共线，所以121222y y x x =++，故()1221212y x y x y y -=-， 所以()()2211212212771616,494449y y a k k k a b x x b k -==⇒==⇒==-． 所以2305a b +=． 故答案为：305.12．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【解析】 【分析】 【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t13．（2021·全国·高三竞赛）已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的焦点，P 是M 上一点，12PF F △的周长是6，且41a c+的值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A ，B ，则QA QB ⋅的取值范围是_________．【答案】45,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】 【详解】 因为12226PF F Ca c =+=，所以3a c +=．由241()(21)a c a c ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，413a c +≥，得到2,1a c ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（1）当直线QA 为0y =时，12QA QB =．（2）设直线QA 的方程为4x my =-，联立得22123034m y my ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 221(2)43034m m ⎛⎫∆=-⨯⨯+> ⎪⎝⎭，得2m >或2m <-．所以()2212231143m QA QB y y m +⋅=⋅=+．将2m >或2m <-代入，得出QA QB ⋅的取值范围为45,124⎛⎫⎪⎝⎭．由（1）（2）知QA QB 的取值范围为45,124⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：45,124⎛⎤⎥⎝⎦.14．（2021·全国·高三竞赛）已知P 、Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】 【详解】由22(4)8x y -+=得22880x x y -++=，于是22222828x x y x y -++=+，从而()22221442x x y x y -++=+=等于点P 到点(2,0)M 的距离．所以PQ PQ PM MQ +=+≥，而min MQ =所以PQ15．（2021·全国·高三竞赛）半径为2的球O 放在水平桌面上，该水平桌面所在平面内的一点1A 的竖直正上方有一个点光源A ．若1AA 与球O 相切，且16AA =，那么，球O 经过点光源A 照射之后，在该水平桌面上的投影的离心率为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】 【详解】考虑过A 、1A 、O 三点的截面，设12A A 的中点为M ，如图：容易求得1228,10,213A A AA AM === 则利用圆锥曲线的定义知，投影的椭圆的长半轴长为42212232AA AA AM +⎛⎫-= ⎪⎝⎭224(23)12-=．故答案为：12.16．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22111x yt t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =_________． 5【解析】 【分析】 【详解】设切点为1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭．容易求得1xy =在1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为()211y x m m m =--+，即220x m y m +-=．椭圆22111x y t t +=+-在1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为()1011mx y t m t +-=+-，由以上两条切线为同一条直线，知()2211121m m t m m m t ⎧⋅=⎪+⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，因为1t >，所以由以上方程组容易解得5t = 517．（2021·全国·高三竞赛）设双曲线22221x y a b -=的离心率为e ，过原点的直线与之交于A 、B 两点，若双曲线上存在一点C ，使得直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之乘积恰为e ，则e 的值为__________.【解析】 【分析】 【详解】设()()sec ,tan ,sec tan ,sec ,t (n )a A a b B a b C a b ααααββ--﹐， 则222tan tan tan tan 1sec sec sec sec AC BCb b b b b k e a k a a a aβαβαβαβα-+=⨯==--+⋅，因此21e e -=，即e =. 18．（2021·全国·高三竞赛）任作椭圆22221x y a b+=的一条切线与椭圆两条对称轴分别交于点A B 、，若AB 长度的最小值为4b ，则椭圆的离心率为___________.【答案】3【解析】 【分析】 【详解】设切点为()cos ,sin P a b θθ，则切线方程为cos sin 1x y a bθθ+=. 其与x 轴、y 轴交点分别为,0,0,cos sin a b A B θθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2222222222cos sin ()cos sin cos sin a b ab AB a b θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以4,3,ca b b a b e a +=====. 19．（2021·全国·高三竞赛）已知S 、P （非原点）为抛物线2y x 上不同的两点，点P 处的切线与y 轴交于点R ，若SP PR ⊥，则PSRS的最小值为______________．【解析】 【分析】 【详解】设()200,P x x ，则切线方程：()002y x x x =-，交于y 轴上的点()200,2R x -，切线的垂线：()0012y x x x =--， 与抛物线联立，解点S 的坐标：2000011,22S x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 那么011||||222SPRSSP PR x x =⋅=⋅()2200141=42x x +⋅令02t x =，则：()22114SPRtSt+=⋅()2222111133344t t tt⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭==24t ⎛ ⎝⎭≥==最值在213t =时取到．. 20．（2019·山东·高三竞赛）△ABC中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .【答案】54π【解析】 【详解】分别以点B 、C 为圆心，6为半径作圆，交于三角形外一点D ，连结BD 、CD ； 有5353cos ,cos 7272A BDC =∠=-，故A 、B 、D 、C 四点共圆，所以∠ABD +∠ACD =π. 又易知AB 与圆C 相离，故所求的面积为2个圆的面积去掉半个圆的面积再加上△BCD 的面积等于54π+故答案为：54π 21．（2019·重庆·高三竞赛）已知△ABC 为椭圆22194x y +=的内接三角形，且AB 过点P (1，0)，则△ABC 的面积的最大值为_______ .【解析】 【详解】提示：经伸缩变换32x X y Y=⎧⎨=⎩得△A 'B 'C '内接于圆X 2+Y 2=1，A 'B '过点1,03P '⎛⎫ ⎪⎝⎭.6ABCA B C SS'''=，设O '到A 'B '的距离为t ，则10,3t A B ''=21(1)A B C S t t '''-⋅+，易知当13t =时，A B C S '''，所以S △ABC .． 22．（2019·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，若以(r +1,0)为圆心､r 为半径的圆上存在一点(a ,b )满足b 2≥4a ，则r 的最小值为____________ . 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，求得,a r 的不等关系，结合不等式有解，即可求得r 的范围，从而求得最小值. 【详解】由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a =---=---. 即22(1)210a r a r --++.上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2[2(1)]4(21)4(4)0r r r r --+=-， 解得r ≥4.经检验，当r =4时，(,)(3,a b =满足条件.因此r 的最小值为4. 故答案为：4.本题考圆的方程，以及一元二次不等式的有解问题，属综合中档题.23．（2019·四川·高三竞赛）双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为3π的直线与该双曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M ，且|FM |等于半焦距，则e =_____ .【解析】 【详解】设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=.两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以AB的斜率为20122120b x y y k x x a y -===-又||,3FM c xFM π=∠=，所以M点的坐标为32c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22b a=01x =，所以c e a ===二、解答题(共0分)24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【解析】 【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a kk a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x a x ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+， 于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭． 所以直线OD 的方程为()221a x y a k=--． 设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭， 由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey F a b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,2D ⎛ ⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C 上，故222222123311a a a a ⎛⎫-⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-，解得98a =， 于是1C 的离心率为223c e a ==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知如图椭圆221:14x C y +=的左右顶点为1A 、2A ，上下顶点为1B 、2B ，记四边形1122A B A B 的内切圆为2C ．（1）求圆2C 的标准方程；（2）已知P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作圆2C 的切线分别交椭圆1C 于M 、N 两点，试求三角形PMN 面积的最小值．【答案】（1）2245x y +=；（2）85. 【解析】 【详解】（1）因为2A 、1B 分别为椭圆221:14x C y +=的右顶点和上顶点， 则2A ，1B 坐标分别为(2,0),(0,1)，可得直线21A B 方程为：22x y +=， 则原点O 到直线21A B 的距离为2512d ==+，即圆2C 的半径5r d ==， 故圆2C 的标准方程为2245x y +=． （2）设直线PM 方程为1mx ny +=，由直线PM 与圆2C 相切，可知原点O 到直线PM 距离225d m n ==+2254m n +=，将直线PM 方程代入椭圆1C 可得222()4x y mx ny +=+， 整理即有()222448410y y n mn m x x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，则2212221241411544444y y m m x x n m --===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即1OP OM k k ⋅=-，故OP OM ⊥．同理OP ON ⊥，故M 、O 、N 三点共线，则2||||PMNOPMS SOP OM ==．设:OP y kx =代入椭圆方程可得22214x k x +=，则22414x k =+， 故()()222222241114k OP x y kxk+=+=+=+，同理()22222141414114k k OM k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则 ()()22222211144544141k k OP OM k k +++=+=++， 则2251124||||OP OM OP OM =+≥，得8||||5OP OM ≥， 则85PMN S OP OM =≥△，当且仅当OP OM ==故三角形PMN 面积的最小值为85．26．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F .C 上两点A ､B 满足()1A B A B x x x x +=≠，且FA FB ⊥.求证：以AB 为直径的圆恒过异于点F 的一个定点.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由FA FB ⊥可得()()220A B B A x x y y --+=，结合1A B x x +=可得2A B A B x x y y +=-，而以AB 为直径的圆为：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=，化简可得()2220A B x y x y y y +---+=，该圆过(1,0)-或(2,0)（舍）.27．（2021·全国·高三竞赛）已知()()()111222333,,,A x y A x y A x y 、、是抛物线()220y px p =>上三个不同的动点，123A A A △有两边所在的直线与抛物线22(0)x qy q =>相切.证明：123A A A △的重心在定直线上. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】如图，不妨设边13A A 和23A A 所在直线与抛物线22(0)x qy q =>相切，切点分别为1T 和2T .那么切点弦12T T 所在直线方程为()33x x q y y =+.设切点1T 和2T 的坐标分别为211,2t t q ⎛⎫ ⎪⎝⎭和222,2t t q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线13A A 的斜率为1t q ，于是有31131y y t x x q -=-，即1312t py y q=+. 把切点1T 的坐标代入直线方程()33x x q y y =+中，可得213132t x t q y q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理即22311322y t t q y p q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 再把1312t p y y q =+中的1t 代入该式，可得()223323131222y pqp q q y p y y y y ⎡⎤⋅=+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()2233231312y p q y y y y y =+++，即()213231312y y p q y y y y -=++，可得()213132y y y y p q +=-. 同理，利用切点2T 可以推得()223232y y y y p q +=-.上面两式相减可得1230y y y ++=，所以123A A A △的重心的纵坐标恒为0，从而一定在x 轴（定直线）上.28．（2021·全国·高三竞赛）设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，抛物线222:C x by b +=．（1）若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；（2）设5(0,),33,4A b Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为30,4B b ⎛⎫⎪⎝⎭，且QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．【答案】（1）22；（2）椭圆方程为2211643x y +=，抛物线方程为224x y +=．【解析】 【详解】（1）已知椭圆焦点(,0)c 在抛物线上，可得：22c b =，由22222a b c c =+=，有221222c e a =⇒=．（2）由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设()11,M x y -，()()111,0N x y x >， 由AMN 的垂心为B ，有()21113004BM AN x y b y b ⎛⎫⋅=⇒-+--= ⎪⎝⎭．由点()11N x y ,在抛物线上，有2211x by b +=，解得14by =-或1y b =（舍去）．故1,,,,44b b x M N ⎛⎫⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得QMN重心坐标4b ⎫⎪⎭．由QMN 的重心在抛物线上得：2234bb +=，所以112,,22b M N ⎛⎫⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为M 、N 在椭圆上可得2163a =， 所以，椭圆方程为2211643x y +=，抛物线方程为224x y +=．29．（2020·浙江·高三竞赛）已知直线l 与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>交于A 、B 两点，直线AB 不经过原点O .（1）求OAB 面积的最大值；（2）设M 为线段AB 的中点，延长OM 交椭圆C 于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求四边形OAPB 的面积. 【答案】（1）2ab ；（2. 【解析】 【详解】解法一 当直线AB 的斜率不存在时，由对称性，设直线AB 方程为()0x n n a =<<，则y =122OABS n =⨯⨯=△2222122n n a a ab ab ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤=，当且仅当n =. 设直线l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22221x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：()22222222220ba k x a kmx a m ab +++-=，判别式()()()()2222222222222222440a km b a k a m a b a b b a k m ∆=-+-=+->，则2222b a k m +>，于是AB ==原点O 到AB的距离d =1122OABS AB d ==△()()2222222222m b a k m ab ab ab b a k ++-=≤⋅=+， 当且仅当22222m b a k =+时取等号.（2）不妨设0k >，根据垂径定理得：22AB OM k k b a =-⋅，则OM 的方程为22b y x a k=-.将OM 的方程代入椭圆方程，消去y 得422222a k xb a k =+.注意O 、P 在直线AB 的两侧，所以M x =2222M M b b y x a k a k ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝.又点M 在直线ABk m ⎛=+ ⎝，化简得：22224b a k m +=，则22OAPB OAB S S ab ===△解法二 （1）设x x ay y b ⎧=⎪''⎪⎨⎪=⎪⎩，则221x y ''+=，OAB O A B S abS '''=△△.设原点O '到直线A B ''的距离为()()0,1d d ∈，则22122OAB O A B d d abS abS ab A B d ab '''-+''==⋅=≤=△△. （2）要四边形OAPB 为平行四边形，则四边形O A P B ''''为菱形，由（1）知12211sin1202O A B S S S ''''==⨯⨯⨯⨯︒=⇒=△.解法三 （1）设()cos ,sin A a b αα，()cos ,sin B a b ββ，则 ()1cos sin cos sin sin 222OAB ab abS a b a αββααβ=⋅-=-≤△， 当且仅当2k παβπ-=+，k Z ∈时取等号.（2）(cos cos ,sin sin )OP OA OB P a a b b αβαβ=+⇒++，则2222(cos cos )(sin sin )1a a b b a b αβαβ+++=，即22cos()1αβ+-=，移项整理得1cos()2αβ-=-，则()3sin 2αβ-=，故322OAPB OAB S S ab ==△. 30．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，ABC 三边所在直线与抛物线分别相切，求证：ABC 外接圆过定点．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】由对称性，及BC x ⊥轴，可猜测ABC 的外接圆过定点F ．设()22,2P pt pt ，切点()2112,2M pt pt ，切点()2222,2N pt pt ，则2:22BC l t y x pt ⋅=+； 211:22AC l t y x pt ⋅=+；222:22AB l t y x pt ⋅=+．则()12122,A pt t pt pt +，()222,B ptt pt pt +，()112,C ptt pt pt +， 所以()()121222,4141CF BF t t t t k k t t tt ++==--，因此()()()()()2112212112212224141tan 2214114141BF CF BF CFt t t t t t k k tt t t CFB t t t t k k t t tt t t ++-----∠===+++⋅++--． 同时12121122tan tan 1114AC AB AB ACk k t t BAC CFB k k t t --∠===-∠+⋅+，所以180BAC BFC ∠+∠=︒，故ABC 外接圆过定点F ．31．（2021·全国·高三竞赛）已知A ､B 是抛物线2:4C y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限，直线12l l 、分别过点A ，B 且与抛物线C 相切，P 为12l l 、的交点.设C ､D 为直线12l l 、与直线4x =的交点，求PCD 面积的最小值. 1283【解析】 【详解】设()22121212,,,044y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1l 方程为12121,2y x y l y =+方程为22212y x y y =+， 联立1l ､2l 方程可得点P 坐标为1212,42y y y y P +⎛⎫⎪⎝⎭，C ､D 的坐标分别为11814,2y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭､22814,2y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()1212121212168181||222y y y y CD y y y y y y --⎛⎫⎛⎫=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是()()121212121614242PCDy y y y y y Sy y --=-⋅. 设21212(0),y y t t y y m =->-=，由()()2222121212440y y y y y y m t +=-+=-≥知2m t ≥， 当且仅当120y y +=时等号成立，所以()()()()222222222221616216161424216168PCDtmm t t t t t St t t t--⋅+⋅++=+⋅=≥=-.设()2216()8tf t t+=，则()()()()222222221621631616()88t t t t t t f t tt+⋅⋅-+-+=='.所以0t <<时，()0f t '<；t >()0f t '>， ()f t '在区间⎛ ⎝⎦上为减函数；在区间⎫+∞⎪⎪⎣⎭上为增函数.所以t =时，()f t所以当1212160,3y y y y +==-，即12y y ==PCD. 32．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22223:1(0)x y C a a a+=>，点P 、Q 在椭圆C 上，满足在椭圆C 上存在一点R 到直线OP 、OQ 的距离均为12a ，证明：223a OP OQ ⋅≤．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设cos R a θθ⎛⎫⎪⎝⎭，1:0OP k x y -=，2:0OQ k x y -=， 则根据题意，1k 、2k 是关于k12a =的两个实根，该方程即222111cos sin 0434k k θθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 于是2212221111sin sin 13434133cos sin 44k k θθθθ--⋅===---．OP OQ ⋅=2a =2a =2a =2a ≤223a =， 原命题得证．33．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，A 为抛物线C 上异于顶点的动点，D 为x 轴正半轴上的动点．设直线AF 、AD 分别交抛物线C 于M 、N （不同于点A ），设,AF FM AD DN λμ==．已知FA FD =，且43λμ+=，求直线MN 的方程．【答案】12(1)2y x +=--或12(1)2y x -=-．【解析】 【分析】 【详解】设()20000,,4A x y y x =，则(),M M M x y 满足()002114M M M M y y x x y x⎧=-⎪-⎨⎪=⎩， 消元得()200000411M M y y y y x x --=--， 由根与系数的关系得04M y y =-，2000044M y y y y y λ=-=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为01DF AF x ==+，所以()02,0D x +．()00:22AD y l y x x =--+⎡⎤⎣⎦，则(),N N N x y 满足()002224N N N Ny y x x y x ⎧⎡⎤=--+⎪⎣⎦⎨⎪=⎩，得0024N x y y +=-⨯， 所以()200042N y y y x μ=-=+． 由43λμ+=，得()2200044423y y x +=+，即000423x x x +=+．解得083x =-（舍）或者01x =，所以02y =±．当001,2x y ==时，有(1,2),(9,6)M N --，则1:2(1)2MN l y x +=--．当001,2x y ==-时，有(1,2),(9,6)M N ，则1:2(1)2MN l y x -=-．综上，1:2(1)2MN l y x +=--或12(1)2y x -=-．34．（2021·全国·高三竞赛）已知圆Γ与抛物线2y x 交于A 、B 、C 、D 四个不同的点，且AC为圆Γ的直径，线段AC 和BD 的中点分别为M 、N ，求证：线段MN 在y 轴上的投影长度为定值．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】设()()()()222211223344,,,,,,,A x x B x x C x x D x x ，则圆Γ的方程为：()()()()2213130x x x x y x y x --+--=．联立圆Γ和抛物线方程，消去y ，得()()()()222213130x x x x x x x x --+--=，即()()()()131310x x x x x x x x --+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，从而2x 、4x 是方程()2131310x x x x x x ++++=的两根．由韦达定理知，()24132413,1x x x x x x x x +=-+=+．所以()()2222221313242413242212222x x x x x x x x x x x x +-+-++-=-=． 又22132x x +、22242x x +分别是点M 、N 的纵坐标，所以线段MN 在y 轴上的投影长度为定值1．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y +=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.35．若点(22,0),(0,2)P Q -，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.36．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】35．(2,1),2(2,1),100(0,2)P Q P P +---- 36．存在，311,322P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭或311,322P ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用新定义数形结合直接求解P Q +、2P 以及100P 的坐标（2）利用参数方程假设存在，找出点P 、Q 对应的参数，求出P Q +对应的参数，以及2P ，3P 对应的参数，列方程直接求解.(1)根据新定义P Q +“和”的运算，画图如下：过S 做PQ 的平行线，因为12PQ OS k k ==，所以平行直线过原点，可知P+Q 的坐标与S 关于原点对称，所以(2,1)P Q +--过S 做P 处切线的平行线，可知2P 的坐标2(2,1)P -，以此类推100(0,2)P -(2) 存在.设(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b C a b D a b ααββγγθθ则sin sin sin sin //cos cos cos cos b b b b AB CD a a a a αβγθαβγθ--⇔=--2sin cos2sincos22222sin sin 2sin sin2222αβαβγθγθαβαβγθγθ-+-+⋅⋅⇔=-+-+⋅⋅ tantan(mod 2)22αβγθαβγθπ++⇔=⇔+≡+.而(2,1)S 对应的参数为4π，于是，若点P 、Q 对应的参数为αβ、，则P Q +对应的参数γ满足(mod 2)4πγαβπ≡+-.设(cos ,sin )P a b ϕϕ，且对应的参数为ϕ.则2P 对应的参数为2(mod 2),34P πϕπ-对应的参数为3(mod 2)2πϕπ-. 故23(mod 2)2443k ππππϕπϕ-≡⇒=+. 于是，3P 的坐标为2222cos ,2sin 4343k k ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而，所求坐标为311,322P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭或311,322P ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭.37．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【解析】 【分析】 【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+， 直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=， 故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++， 因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++， 即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||)24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅， 其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=3183⎛≤ ⎝⎭= 当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．38．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆T 的中心为原点O ，焦点在x(1,0)C -的直线l 与T 交于两点A 、B 满足2AC BC =．求AOB 面积的最大值以及取到最大值时T 的方程． 【答案】故ABCT 的方程为2235+=x y ． 【解析】 【分析】 【详解】设2222:1(0)x y T a b a b +=>>，离心率e = 则222223,:3a b T x y a =+=． 显然，l 不与x 轴重合．若l 垂直于x 轴，则AC BC =，不满足题意．故可设:(1)l y k x =+，即:1y l x k =-，与T 联立得：22213y y a k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22212310y y a k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭． ①设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可得：1222221313kky y k k +==++， ② 2122113a y y k -⋅=+． ③ 若点C 在椭圆内部，则1y 、2y 异号，由2AC BC =知122y y =-，代入②知22231ky k -=+，故 12223132231AOBk SOC y y y k =⋅⋅-==+333121323k k kk=≤=+⋅．上式等号成立当且仅当13k k =，即33k =±，此时，2123,23y k y y =-==-． 上式代入③得2212221213a y y y k -⋅=-=+，即2221,536a a --==， 此时①的判别式()222414311246(15)0a k k ⎛⎫∆=-+-=-⨯⨯-> ⎪⎝⎭， ①有两实根，此时方程为2235+=x y ．若点C 在椭圆外部，则1y 、2y 同号，由2AC BC =知122y y =， 代入②知()222331ky k =+，故()12221122331AOBk SOC y y y k =⋅⋅-==+ 11331821133||323||||||k k k k =≤=<⎛⎫+⋅⋅⎪⎝⎭．故ABC 面积的最大值为32，此时T 的方程为2235+=x y ． 39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ 的方程为(26)6360x y ++-．【解析】 【分析】 【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得()()()()22221111111210r x r y x y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r y x y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x r y r -+-+-=， 即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x ry r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y ++-．40．（2021·全国·高三竞赛）设F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点，过F 作两条相互垂直的直线，与椭圆的四个交点顺次记为A 、B 、C 、D ，设F 在四边形ABCD 的四条边上的射影分别为P 、Q 、R 、S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共圆. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】实际上结论对一切非等轴双曲线的圆锥曲线都是成立的（对等轴双曲线则变为四点共线）为证明原结论，我们来说明F 在AB 上的射影P 在定圆上.以F 为原点重新建立平面直角坐标系，设椭圆的离心率为e ，焦准距为p ，不妨设A 在第一象限，AF 与x 轴正半轴夹角为锐角θ，B 在第二象限，于是：,1cos 1sin ep epAF BF e e θθ==-+，从而cos cos sin cos (,),(,)1cos 1cos 1sin 1sin ep ep ep ep A B e e e e θθθθθθθθ---++， 所以sin cos sin cos ,sin cos sin cos AB FP e k k eθθθθθθθθ-++==-+-+ 记FP 与x 轴的夹角为α，再记sin cos t θθ-=，则sin cos θθ+我们有cos αα==另一方面，FP ==，所以2()(22t e ep P e et +-++，不难验证它在圆22222()2e p x y e -+=-上.同理Q 、R 、S 均在此圆上，结论成立.41．（2021·全国·高三竞赛）设a 为正实数．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:,:l y ax l y ax ==-，过点()2,0M -的直线l 分别与直线12l l 、交于点A B 、，其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()2,0N ．设直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ．若直线l PQ 、的斜率均存在，分别为12k k 、，判断12k k 是否为定值?若为定值．求出该定值；若不为定值，说明理由． 【答案】是，12k k 为定值13-． 【解析】 【分析】 【详解】由题意，直线l 的方程为1(2)y k x =+，其中1k a ≠±，联立方程1(2),,y k x y ax =+⎧⎨=⎩得11()2a k x k -=．解得112Ak x a k =-，则112A ak y a k =-．。

解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。

解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。

斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。

题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。

解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。

题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。

解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。

经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。

2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。

3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。

4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。

然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。

选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。

5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。

由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。

高中数学竞赛专题讲座之四：解析几何一、选择题部分1．(集训试题)过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 （ ）A ．]33,0( B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。

又∵HQ=λPH ，所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=yy x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33[321322322∈-=-λλλ. 故选C.2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)A ．212y x =-B ．212y x =C ．216y x =-D ．216y x =3．（2006年江苏）已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有（B ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线12222=-by a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（A ） A ．22ab ab- B ．22a b ab- C ．aba b 22- D ．ab a b 22-5．(2005全国)方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ 即 .3sin 2sin >又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ方程表示的曲线是椭圆.)()4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π,0)4232sin(.423243,432322,0232sin ,02322>++∴<++<∴<+<<-∴<-<-πππππππ.0)(<*∴式即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。

数学竞赛《解析几何》专题训练一、选择题1、在平面直角坐标系中,方程1(,22x yx ya b a b +-+=为相异正数),所表示的曲线是（ ）A.三角形B.正方形C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形2、若椭圆2213620x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐为 ( )A. B.(- C.(3, D.(3,-3、设双曲线22221x y a b -= 的离心率,23e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。

（ ）A ．1 B.2 C.3 D.45、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 ( )A.相交B.相切C.相离D.以上情况均有可能6、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+ y x 所表示的曲线是 ( )A.双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的椭圆D.以上答案都不正确7、过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为( ) A,bc B,ab C,ac D,2b二、填空题 8、已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是 ．9、若直线x cos θ＋y sin θ＝cos 2θ－sin 2θ（0＜θ＜π）与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则θ 的取值范围是 ． 10、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值 范围是 ．11、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 . 12、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .三、解答题13、已知抛物线2128y x x =-+-和点111(,)48A 。

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉一、单选题1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉－zA B.!!.3c.主4 D.前三个答案都2不对2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小4 9值之利是（〉A. 4..{JjB.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭2圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若。

－－IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为25 16坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉A .e 2 B.e 2 -1C.I-e2D.-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦4 9A C 和B D ，顺次连接A ,B,C,D 得－四边形，则该四边形的丽积可能为（A. 10B. 12c. 14D. 167.(2019贵州高三校联考竞赛〉设椭圆C：牛牛！（a>b>O）的左、右焦点分别为。