人教版八年级数学-全等三角形

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。

经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。

例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。

例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。

全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。

②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。

③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。

④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。

⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。

温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。

全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。

第十二章 --全等三角形一、基本概念1.全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；（3）能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的表示两个三角形全等用“≌”符号表示；例如：△ABC与△DEF全等，那么我们可以表示为：△ABC≌△DEF。

3.全等三角形的基本性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等4.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）例：在如图所示的三角形中，AB=AC,AD是△ABC的中线，求证△ABD≌△ACD.AB D C（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）例：如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C不经过池塘可以直接到达点A和B。

连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A，B的距离。

为什么？（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C。

求证AD=AE.AD EB C（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）例：如图，AC⊥BC，BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.5.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

二、灵活运用定理1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找相等的可能性。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）三、常见考法（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等（2）利用判定公理来证明两个三角形全等练习题1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2015•贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 4．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC8．（2015•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45°B．∠BAC=90°C．BD=AC D．AB=AC 9．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对10．（2015春•泰山区期末）如图，△A BC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．（2015春•沙坪坝区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．12．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ABCDEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是．13．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，则∠A=°．14．（2015春•万州区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE=．15．（2015•黔东南州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）16．（2014秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．17．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是度．18．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=度．19．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．20．如图，在△A BC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三．解答题（共7小题）21．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB 延长线上一点．（1）求∠EBG的度数．（2）求CE的长．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请证明你的结论．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．24．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．25．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少请说明理由．练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 二．填空题（共10小题）11．4 12．70°13．30 14．30°15．AB=CD 16．AC=DE 17．60 18．90 19． 20．4三．解答题（共7小题）21．解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．22．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．23．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．24．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=CE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+E B=AF+2EB．25．解：AB=60米．理由如下：∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=60（米），则池塘的宽AB为60米．。

全等三角形　第十二章全等三角形知识框架：：一、知识框架知识概念：：二、知识概念基本定义：：1.基本定义⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平理解移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

　⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：：2.基本性质⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对理解应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

　(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

　(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

　全等三角形的判定定理：：3.全等三角形的判定定理⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.证明两个三角形全等的基本思路：：4.证明两个三角形全等的基本思路5.角平分线角平分线：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等　证明的基本方法：：6.证明的基本方法⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）　⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题学习全等三角形应注意以下几个问题：：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；　(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；　(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；　(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

初中数学试卷全等三角形知识导引1、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应边相等；（2）全等三角形的对应角的角平分线相等，对应边上的中线、高线分别相等；2、全等三角形的判定方法：（1）定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形；（2）边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（3）角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（4）角角边（AAS）：有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；（5）边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。

3、会用三角形全等的判定定理来证明有关问题，并会进行有关计算。

4、全等三角形知识是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线的位置关系等常见的几何问题。

利用全等三角形证明问题时，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下几类基本图形：典例精析例1：如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A、甲、乙B、甲、丙C、乙、丙D、乙例2：如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需要添加的一个条件是（写出一个条件即可）。

例2—1：如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AC＝AB，，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。

其中正确的结论是（把你认为所有正确结论的序号都填上）。

例3：众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排这三个条件，是这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）、（2）、（3），导出方案（4）。