数学分析 (III)

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。

数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。

数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。

数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。

课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。

课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。

主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。

多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。

内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。

数学分析III数学分析III（Mathematical Analysis III）是大学数学系最后一门正规的大功课，也是大学数学系最重要的一门课程之一。

在这门课程中，学生需要掌握高级微积分和多元函数的概念、性质和重要的应用。

本文将简要介绍数学分析III的主要内容，以及它在数学和应用中的重要作用。

数学分析III的主要内容包括：1. 多元函数的概念和性质：多元函数包括二元函数、三元函数等，是指输入参数有两个或三个以上的函数。

在数学分析III 中，学生需要掌握多元函数的定义、极限、连续、偏导数、方向导数、二阶偏导数等基础概念和性质。

2. 多元函数的方向导数和梯度：方向导数是指一个多元函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数，是多元函数的特殊导数。

学生需要掌握方向导数的定义、性质，以及梯度的概念，是指一个多元函数在某一点上的梯度是一个向量，指向上升最快的方向。

3. 多元函数的极值和条件极值：多元函数的极值是指一个多元函数在某一点上取得最大或最小值，而条件极值是指一个多元函数在满足一定条件下取得的极值。

学生需要掌握多元函数的局部极值和全局极值的概念和性质，以及如何求解多元函数的条件极值。

4. 多元函数的积分和重积分：多元函数的积分是指对多元函数进行积分运算，求出在某个区域内的面积、体积或质量等量。

重积分是指在三维坐标系中求解多元函数的积分，如三重积分、二重积分等。

学生需要掌握多元函数的积分和重积分的概念、性质和重要的计算方法。

5. 微分方程和偏微分方程：微分方程是指一个含有导数的方程，而偏微分方程是指一个含有偏导数的方程。

在数学分析III中，学生需要掌握微分方程和偏微分方程的求解方法和解的存在性与唯一性，以及应用于物理、工程和经济等领域的例子。

数学分析III在数学领域和应用领域具有重要作用，以下是它的几个重要应用：1. 物理学：多元函数的概念和性质以及微积分和微分方程的方法在物理学中有着广泛的应用，在量子力学、电磁学、热力学、流体动力学等多个领域都有重要作用。

陈纪修数学分析答案【篇一：陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。

陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。

我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。

陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。

讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。

如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。

首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。

这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。

当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。

若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。

数学分析三习题答案【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】class=txt>------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。

……(9分)zxf(xy),yy(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dzf(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。

xydxdxdzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程2z2zzz。

2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。

本课程内容有四个教学模块，分别为1、多变量微分学理解偏导数和全微分的定义，了解全微分存在的必要条件和充分条件，会求多元函数的偏导数和全微分。

理解高阶偏导数和高阶全微分的概念，掌握复合函数求偏导的链式法则，会求复合函数的二阶偏导数。

理解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

知道多元函数的泰勒公式。

了解极值，极值点和条件极值的概念，会求函数的极值。

2、隐函数理论会求隐函数（包括由方程（组）所确定的隐函数）的偏导数。

了解空间曲线的切线与法平面的求法，曲面的切平面与法线的求法。

理解方程或方程组的隐函数存在定理，理解函数行列式的性质。

3、含参变量的积分理解含参变量的积分及由含参变量积分所确定的函数的性质（连续性，可微性，可积性），了解含参变量广义积分的定义，掌握一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法（魏尔斯特拉斯判别法）及一致收敛积分的性质（连续性定理，积分顺序交换定理，积分号下求导定理），了解欧拉积分。

4、多变量积分学掌握二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的概念。

掌握二重积分与三重积分的计算及应用（化二重积分为二次积分，用极坐标计算二重积分，二重积分的一般变量替换，化三重积分为三次积分，三重积分的变量替换）。

了解积分在物理上的应用（质心，矩，引力）。

了解广义重积分的定义。

掌握第一、二类曲线积分和第一、二类曲面积分的计算，会计算曲面的面积，会化第一类曲面积分为二重积分。

了解两类曲线积分之间和两类曲面积分之间的联系，掌握各种积分间的联系（格林公式、高斯公式、斯托克司公式），会利用这些公式计算曲线的积分。

会使用平面曲线积分与路径无关的条件，了解场及向量场的散度与旋度的概念。

会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。

数学分析3知识点整理●场论●数量场●定义●在区域上的一个点将对应一个数量●f:D\rightarrow \mathrm{R}●向量场●定义●在区域上的一个点将对应一个向量●f:D\rightarrow \mathrm{R}^3●梯度●向量场●\operatorname{grad}f(\pmb{p})=\left(\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partialx},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial y},\frac{\partial f(\pmb{p})}{\partial z}\right)●Nabla 算子●定义●\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partialy},\frac{\partial}{\partial z}\right)●作用在数量场●\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partialf}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f●\nabla (\varphi\circ f)=\varphi '\circ f\nabla f●作用在向量场数量积形式●\nabla \bullet F=\left(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partialy},\frac{\partial R}{\partial z}\right)●性质●线性●\nabla\bullet\varphi F=\varphi\nabla\bullet F+F\bullet\nabla\varphi\varphi是数量场●向量积形式●定义●F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●\nabla\times F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partialz}\\P&Q&R\end{vmatrix}●性质●线性●\nabla\times(\varphi\mathbf{F})=\varphi\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\varphi\times\mathbf{F}\varphi为数量函数●\nabla\bullet(F_1\times\mathbf{F}_2)=(\nabla\times\mathbf{F}_1)\bullet\mathbf{F}_2-(\nabla\times\mathbf{F}_2)\bullet\mathbf{F}_1混合积●通量●定义●向量场通过正则曲面的流量●\iint\limits_{\Sigma}\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●正源区域通量为0●负源区域通量为负●无源区域通量为正●散度●定义●向量场\pmb{F}通过无限趋于一点M的闭曲面\Sigma的流量●(\mathrm{div} \pmb{F})_M=\lim\limits_{V\toM}\frac1{\mu(V)}\iint\limits_S\pmb{F}\cdot \pmb{n}\mathrm{d}\sigma●定理●散度计算●向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k●P.Q,R存在连续偏导●\operatorname{div}F= \nabla · F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partialQ}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}●例子●静电场的Gauss 定理●不可压缩流体的连续性方程●Laplace 算子●定义●\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partialx^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}●调和函数●定义●数量场u满足Laplace 方程●\Delta u =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0●u为区域上的调和函数●环量●定义●\Gamma圆周曲线中沿切线的变化速度●\int_\Gamma(F\cdot t)\mathrm{d}st为单位切向量●漩涡强度●确定一个平面上点的平均环量极限●\lim\limits_{\Gamma\to M}\left.\frac1A\right]_{\Gamma}(F\cdot t)\mathrm{d}s●旋度●定义●漩涡强度对应的最大方向，模为漩涡强度●\mathrm{rot~}F=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partialz})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partialQ}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k●不同形式●\text{rot}F=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}●\operatorname{rot}F=\nabla\times F●例子●有心场●有势场●向量场F=(P,Q,R)●存在数量场\varphi满足\mathrm{grad} \:\varphi(p) = F(p)●\varphi为势函数●势函数（不计常数）唯一●保守场●曲线积分与路径无关●任意一条封闭曲线\int_\Gamma F\cdot \mathrm{d}p=0●无旋场●任意点旋度\operatorname{rot}F=0●空间单连通●区域中的任意封闭曲面包含在区域中●曲面单连通●对区域中任意逐段光滑曲线\Gamma,有逐段光滑曲面以\Gamma为边界●曲面单连通与空间单连通不相关●曲面单连通区域的等价场●F\in C^2(D)●F为有势场\Leftrightarrow无旋场\Leftrightarrow保守场●恰当微分形式●1次微分形式P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●存在0形式微分\mathrm{d}\varphi=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z●隐函数\varphi(x,y)=c为恰当微分方程P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0的通解●旋度场●存在F=\nabla\times G●F为旋度场●向量场G为向量势●可推出无源场●向量势不唯一，G_1=G+\nabla \varphi也是向量势●星形域●区域两点的线段仍在区域●星形域上旋度场\Leftrightarrow无源场●正交曲线坐标系●定义●参数域与积分区域间的连续可微双射且\mathrm{det} \:J f>0●u_0\in D,p_0=f(u_0)\in f(D)u_0=(u_1,u_2,u_3)为参数坐标●h_i=||\frac{\partial f}{\partial u_i}||,\quad h_i e_i=\frac{\partial f}{\partial u_i}●e_i为正交向量系（随点变化）●梯度表示●\nabla \Phi=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\Phi}{\partialu_{i}}e_{i}\nabla \Phi=(\frac{\partial\Phi}{\partial x_{1}},\frac{\partial\Phi}{\partialx_{2}},\frac{\partial\Phi}{\partial x_{3}})●引理●\begin{aligned}&(1)\nablau_{i}=\frac{e_{i}}{h_{i}}\left(i=1,2,3\right)\\&(2)\nabla\times\frac{e_i}{h_i}=0\left(i=1,2,3\right)\\&(3)\nabla\bullet\frac{e_1}{h_2h_3}=\nabla\bullet\frac{e_2}{h_1h_3}=\nabla\bullet\frac{e_3}{h_1h_2}=0\end{aligned}●散度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\bulletF=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Big(\frac{\partial(F_{1}h_{2}h_{3})}{\partialu_{1}}+\frac{\partial(F_{2}h_{1}h_{3})}{\partialu_{2}}+\frac{\partial(F_{3}h_{1}h_{2})}{\partial u_{3}}\Big)●旋度表示●F=F_{1}e_{1}+F_{2}e_{2}+F_{3}e_{3}●\nabla\timesF=\frac1{h_1h_2h_3}\left|\begin{array}{ccc}h_1e_1&h_2e_2&h_3e_3\\\frac\partial{\partial u_1}&\frac\partial{\partial u_2}&\frac\partial{\partialu_3}\\F_1h_1&F_2h_2&F_3h_3\end{array}\right|●Laplace 算子●\Delta\Phi=\frac1{h_1h_2h_3}\sum\limits_{i=1}^3\frac\partial{\partialu_i}\Big(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\frac{\partial\Phi}{\partial u_i}\Big)●Fourier级数●简弦波●定义●x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)●周期T=2\pi/\omega●圆频率\omega●初相\varphi●振幅A●三角函数系1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots●正交性\delta_{mn}：克罗内克符号（Kronecker Symbol）●\int_{-\pi}^\pi \sin {mx}\sin {nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \cos {mx}\cos{nx}=\pi \delta_{mn}●\int_{-\pi}^\pi \sin {nx}\cos {mx}=0●Fourier级数●定义●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)●Fourier系数●\begin{cases}a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnx\mathrm{d}x\quad(n=0,1,\cdots)\\ \\b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sinnx\mathrm{d}x\quad(n=1,2,\cdots)\end{cases}●Riemann-Lebesgue 引理●f(x)在[a,b](b可以是+\infty)可积且绝对可积●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\cos\lambda x\operatorname{d}x=0●\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_a^bf(x)\sin\lambda x\operatorname{d}x=0●推论●[-\pi,\pi]可积且绝对可积的函数的Fourier系数●\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0●\int _0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}●Fourier 级数部分和●S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t))\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}}\mathrm{d}t●为Dirichlet 积分●\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)t}{2\sin\frac{t}{2}} 为Dirichlet 核●局部化定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi].Fourier级数在x_0处收敛的收敛情况仅与f在x_0附近的行为有关f是以2\pi为周期的函数●Dini 判别法●条件●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]，\varphi(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2sR[-\pi,\pi]是周期为2\pi的可积且绝对可积函数类●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●则Fourier级数在x_0上收敛于s，即\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=s ●Dini 判别法推论●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]满足下列条件之一\RightarrowDini 判别法条件成立●满足\alpha阶Lipschitz条件●存在\delta>0,L>0,\alpha\in(0,1]●\mid f(x_0+t)-f(x_0+0)\mid\leqslant Lt^\alpha,\quad\mid f(x_0-t)-f(x_0-0)\mid\leqslant Lt^\alpha\alpha\geqslant 1可推得有界●存在有限单侧导数●f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+t)-f(x_{0})}{t},\quad f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{t\to0^{+}}\frac{f(x_{0}-t)-f(x_{0})}{-t}●仅有两个有限的广义单侧导数●\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}t,\quad\lim\limits_{t\to0^+}\frac{f(x_0-t)-f(x_0-0)}{-t}●分段可微●定义●存在[a,b]的分割a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b●g_i(x)=\begin{cases}f(t_{i-1}+0),&x=t_{i-1},\\f(x),&x\in(t_{i-1},t_i)\quadi=1,2,\cdots,n\\f(t_i-0),&x=t_i\end{cases}●g_i(x)都可微（端点处单侧可微）则函数f分段可微●分段可微的函数\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x_0)=\frac{(f(x_0+0)+f(x_0-0))}{2}●延拓●对单侧函数\mathrm{def} \: f=(0,\pi)●偶性延拓●f(x)=f(-x)●展开为余弦级数f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos nx●奇性延拓●f(x)=-f(-x)●展开为正弦级数f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx●Cesàro和●Cesàro收敛●\sigma_n=\frac{S_1+\cdots+S_n}n\quad(n=1,2,\cdots)●\lim_{n\to\infty}\sigma_n=\sigma●称级数\sum\limits_{n=1}^\infty a_n在Cesàro意义下收敛到\sigma●记为\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sigma(\mathrm{C})●Fejér 定理●f\in \mathrm{\pmb{R}}[-\pi,\pi]●x_0左右极限存在●\sigma_n(x_0)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_k(x_0)●则\lim\limits_{n\to +\infty} S_n(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}(\mathrm{C})\sigma_n(x_0)\to \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2},Cesàro和为左右极限的均值●若傅里叶级数收敛一定收敛到左右极限的均值●f是以2\pi为周期的连续函数●Fourier级数在Cesàro意义下在(-\infty,+\infty)上一致收敛于f●Weierstrass 逼近定理●f\in C[-\pi,\pi]且f(-\pi)=f(\pi)●f一定能用三角多项式一致逼近即\sigma_n(x)●平方平均逼近●\lim\limits_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-T_n(x))^2\mathrm{d}x=0●部分和T_n平方平均逼近(收敛于)f● \mathrm{\pmb{R}}^2[a,b]可积且平方可积空间●定义●线性空间●函数加法与数乘●内积●\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x●范数●||f||=\sqrt{\langle f,f\rangle}●正交●当\langle f,g\rangle=0●正交系●函数间两两正交●范数不为0●规范正交系●范数为1的函数正交系●Fourier系数●\{\varphi_k\}为规范正交系●c_k=\langle f,\varphi_k\rangle为f关于正交系的Fourier系数●Fourier级数●f(x)\sim\sum\limits_{k=1}^\infty c_k\varphi_k(x)c_k为Fourier系数●规范正交性上的投影●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\varphi_k\parallel\geqslant\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel对任意a_k,n=1,2,\cdots●\parallel f-\sum\limits_{k=0}^nc_k\varphi_k\parallel^2=\parallel f\parallel^2-\sum\limits_{k=0}^nc_k^2●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2\leqslant\|f\|^2Bessel不等式●Parseval 等式/封闭性方程●\sum\limits_{k=0}^\infty c_k^2=\|f\|^2Bessel不等式等号成立●完备正交系●对任意f，Paseval等式成立，即可用Fourier级数的部分和平方平均逼近●定理●三角函数系是完备的●与三角函数系中每个函数正交的连续函数为0●相同Fourier级数的连续函数唯一●函数内积计算●f的系数为a_n,b_n，g的系数为\alpha_n,\beta_n●\frac1\pi\int_{-x}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0\alpha_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\alpha_n+b_n\beta_n)●逐项积分●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n\operatorname{=}1}^\infty(a_n\cosnx+b_n\sin nx)●则\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\frac{a_0}2\mathrm{d}x+\sum\limits_{n=1}^\infty\int_a^b(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\mathrm{d}x[a,b]\sub [-\pi,\pi]●\mathrm{\pmb R}[-l,l]●Fourier 级数●f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{x}\left(a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx\right)●Fourier 系数●\begin{aligned}a_n&=&\frac1l\int_{-1}^lf(x)\cos\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=0,1,\cdots)\\b_n&=&\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi}lx\mathrm{d}x&(n=1,2,\cdots)\end{aligned}●Fourier积分f \in \mathrm{\pmb R}(-\infty,+\infty)●定义●a\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}t,\quadb\left(u\right)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}t●f(x)\thicksim\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●a(u),b(u)在(-\infty,+\infty)一致连续●有限积分●\begin{aligned}S(\lambda,x)& =\int_0^\lambda(a(u)\cos ux+b(u)\sinux)\mathrm{d}u &\quad &(定义)\\&=\frac1\pi\int_{0}^{\lambda}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u(t-x)\mathrm{d}t)\mathrm{d}u&\quad &(代入a(u),b(u))\\&=\frac1\pi\int_{0}^{+\infty}\left(f(x+t)+f(x-t)\right)\frac{\sin\lambda t}t\mathrm{d}t &\quad &(有限次序交换再取极限)\end{aligned}●局部化定理●f在x的Fourier积分收敛情况仅与f在x附近的函数值有关●Dini 定理●\varphi(t)=f(x+t)+f(x-t)-2s●存在\delta>0,使得\varphi(t)/t在[0,\delta]上可积且绝对可积●Fourier积分在x点收敛于s●收敛定理Fourier积分在x点收敛于左右极限的平均值●有广义左右导数●\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos u\left(t-x\right)\mathrm{d}t=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u=\frac12(f(x+0)+f(x-0))●连续●f(x)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cosu\left(t-x\right)\mathrm{d}t●f(x)=\int_0^{+\infty}(a(u)\cos ux+b(u)\sin ux)\mathrm{d}u●Fourier 余弦公式f为偶函数●g(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\cos ut\mathrm{d}tFourier余弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}g(u)\cos xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 正弦公式f为奇函数●h(u)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}f(t)\sin ut\mathrm{d}tFourier正弦变换公式●f(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{+\infty}h(u)\sin xu\mathrm{d}u反变换公式●Fourier 积分复数形式●f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}u\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}u(x-t)}\mathrm{d}t●Fourier变换●\hat{f}(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tu}\mathrm{d}t●反变换公式●f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i}ux}\mathrm{d}u●导数定理●\lim \limits_{t\to \infty}f(t)=0 \Rightarrow\hat{f}^{\prime}(x)=\mathrm{i}x\hat{f}(x)●\lim \limits_{t\to \infty}f^{(k)}(t)=0 (k=1,2\cdots ,n-1)\Rightarrow\hat{f}^{(n)}(x)=(\mathrm{i}x)^n\hat{f}(x)●卷积●(f* g)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-u)g(u)\mathrm{d}u●卷积定理●\hat{(f* g)(t)}=\hat{f(t)}\hat{g(t)}●Fourier级数复数形式满足收敛定理●离散的Fourier变换●f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}●\hat{f}(n)=\begin{cases}\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x,&n=1,2,\cdots\\\frac{a_0}{2},&n=0\\\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pif(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}nx}\mathrm{d}x，&n=-1,-2,\cdots\end{cases}●离散的Fourier 反变换●\hat{f}(n)=\frac1{2\pi}{\int_{-\pi}^{\pi}}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\mathrm{d}x\quad(n=0,\pm1,\cdots)。

《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂　，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一。

计算题(共8题,每题9分,共７２分)。

1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0）处的二次极限与二重极限。

解：11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。

……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中和分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx．解: 对两方程分别关于求偏导：, ……（4分）。

解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……（9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续)。

解：看成是,x y 的复合函数如下:,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。

……（４分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν.整理得:2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……（９分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ 解: 设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……（３分）构造Ｌa ｇra ｎge 函数:22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。

第一章测试1.偏导数存在是可微的充分条件。

（）A:对B:错答案:B2.在（0,0）点处偏导数存在。

（）A:错B:对答案:A3.若，则。

（）A:对B:错答案:A4.设则。

（）A:对B:错答案:A5.设在点（1,2）的全微分为。

（）A:对B:错答案:B6.设则grad u= 。

（）A:对B:错答案:A7.在点M（1,2,5）处的切平面方程为。

（）A:对B:错答案:A8.设在点（1,0）处沿从点P(1,0)到点Q（2，-1）方向的方向导数为（）。

A:B:C:D:答案:B9.设则（），A:0B:C:1答案:A10.的极值为（），A:不存在B:1C:-1D:0答案:C第二章测试1.方程在原点（0,0）附近的邻域内能唯一确定连续可微的隐函数，( )。

A:错B:对答案:B2.若则。

（）A:对B:错答案:A3.若则。

（）A:对B:错答案:A4.若则（）。

A:B:C:D:答案:B5.若则分别为（）。

A:B:C:D:答案:C6.若则（）。

A:B:C:D:答案:C7.若则分别为（）。

A:C:D:答案:D8.若则在点（1,1,1）处的切线方程为（）。

A:B:C:D:答案:B9.若则在点（1,-2,1）处的法平面方程为（ )。

A:B:C:D:答案:A10.函数在约束条件下的极值为（）。

A:B:C:D:答案:B第三章测试1.设，则（）。

A:不存在B:1C:0D:-1答案:C2.设，则。

（）A:对B:错答案:A3.，则（）。

A:B:C:D:答案:B4.，则. ( )A:错答案:B5.A:错B:对答案:B6.含参量反常积分在上一致收敛。

（）A:错B:对答案:A7.含参量反常积分在上一致收敛。

（）A:对B:错答案:B8.含参量反常积分在上一致收敛。

（）A:错B:对答案:B9.=（），A:-1B:0C:D:1答案:B10.=（），A:B:C:D:答案:C第四章测试1.设L为摆线的一拱，则=。

（）A:对B:错答案:B2.曲线L为沿逆时针方向通过的椭圆，则=0. （）A:错B:对答案:B3.设曲线C的弧长为5，则=（）。

数学分析（III ）期末试题
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1 叙述第二类曲线积分的定义。

2 叙述Parseval 等式的内容。

3 叙述以π2为周期且在],[ππ−上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。

二 计算题（每小题10分，共50分）
1．求∫
+=l ds y x I )( ，此处l 为联结三点 )1,1( ),0,1( ),0,0(B A O 的直线段。

2．计算二重积分
∫∫Ω
+=dxdy y x I )(22。

其中 Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形。

3．一页长方形白纸，要求印刷面积占2 cm A ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为cm h ，左部与右部之和为cm r ，试确定该页纸的长)(y 和宽)(x ，使得它的总面积为最小。

4．计算三重积分
∫∫∫++=V dxdydz c
z b y a x I )(222222。

其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。

5．计算含参变量积分)0( 0>>−∫∞
+−−a b dx x
e e bx
ax 的值。

三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 已 知y
x u arccos =，试确定二阶偏导数y x u ∂∂∂2与x y u ∂∂∂2的关系。

2 讨论积分
dx x x x x q p ∫∞++πcos 的敛散性。

《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。

1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。

三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。

四．计算三重积分∫∫∫，其中。

Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。

六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。

222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。

),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。

九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。

（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。

)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。

第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为： ； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等； （ ）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续； （ ）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积； （ ）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò； （ ）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（ ）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)， 则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分） 一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分） 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分） 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。

数分三知识点总结数分三（Calculus III）是数学中的一个分支，主要研究多元函数的极限、连续性、偏导数、多元积分等问题。

在数学和应用数学的领域中，数分三是极为重要的一门课程，对于理解和应用很多复杂的数学问题都起着至关重要的作用。

本文将从三个方面来总结数分三的知识点，包括多元函数的极限与连续性、偏导数与全微分、多元积分与曲线曲面积分。

一、多元函数的极限与连续性1. 多元函数的极限多元函数的极限是数分三中最基础的概念之一。

多元函数的极限是在多元空间中描述函数在某一点的局部行为的重要工具。

在二元函数中，函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，即lim(f(x,y),(x,y)→(x0,y0))=L，当且仅当对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−L|<ε。

在多元函数中，极限的概念也可以类似地推广。

多元函数的极限的存在性与唯一性是数分三中的一个重要定理，它为后续的连续性、偏导数等概念的研究奠定了基础。

2. 多元函数的连续性多元函数的连续性即多元函数在定义域内某一点处的连续性。

若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当点(x,y)满足0<√((x−x0)^2+(y−y0)^2)<δ时有|f(x,y)−f(x0,y0)|<ε。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但需要更精细的分析和证明。

多元函数的连续性与多元函数的极限密切相关，通常需要利用极限的性质来证明函数的连续性。

二、偏导数与全微分1. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要概念。

对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处关于变量x的偏导数定义为fx(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(x−x0)，x→x0。

类似地，关于y的偏导数定义为fy(x0,y0)=lim(f(x,y)−f(x0,y0))/(y−y0)，y→y0。