一道高考题的推广与引申

一、题目回顾以下为2023年高考语文全国卷Ⅰ的作文题目：阅读下面的材料，根据要求写作。

古人说：“学然后知不足，教然后之困。

”教学相长。

教学是学校工作的中心，也是教师成长和发展的主渠道。

请你以“教学相长”为题，写一篇文章。

要求：①角度自选，立意自定；②明确文体，自拟标题；③不少于800字；④不得套作，不得抄袭。

二、解题思路1. 确定文章立意：本题要求以“教学相长”为题，写一篇文章。

首先，我们要理解“教学相长”的含义。

教学相长是指教师和学生通过教学活动相互促进、共同成长。

在文章中，可以从教师和学生两个角度展开论述。

2. 构建文章框架：文章可以分为三个部分。

第一部分，引出“教学相长”这一主题，并简要阐述其含义。

第二部分，从教师和学生两个角度分别论述教学相长的重要性。

第三部分，总结全文，强调教学相长对个人和社会的深远影响。

三、作文解析以下为作文示例：教学相长古人云：“学然后知不足，教然后之困。

”这句话揭示了教学相长的道理。

教学相长，是指教师和学生通过教学活动相互促进、共同成长。

在教学过程中，教师和学生都受益匪浅，教学相长成为了一种美好的教育现象。

首先，从教师的角度来看，教学相长使教师不断提升自己的教育教学能力。

教师在教学过程中，不仅要传授知识，还要引导学生掌握学习方法，培养学生的综合素质。

在这个过程中，教师不断反思自己的教学方法和理念，不断丰富自己的知识储备，从而提高自己的教育教学水平。

正如我国著名教育家陶行知所说：“教，然后知不足；教，然后知困。

”教师通过教学相长，不断丰富自己的教育教学经验，成为一位优秀的教育者。

其次，从学生的角度来看，教学相长有助于学生全面发展。

在教学过程中，学生通过与教师的互动，了解自己的不足，从而有针对性地进行改进。

同时，学生在学习过程中，不断挑战自己，超越自己，实现自我成长。

此外，教学相长还有助于培养学生的合作精神、创新意识和实践能力。

在团队合作中，学生学会倾听、沟通和协作，形成良好的团队精神。

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百，是ｚ — 而ｎ 一ｉ＾Ｙ 于 ・ １＾Ｙ ｙ＾ ］ ，一 一 专 一ＪＡ ｘ— 。 广 ， － －Ａ ， — Ｔ Ｆ ｍ
２０ ０ ８年 第 ６期
数 学 教 育 研 究
・ ７ ３ ・
０ ８年 安 徽 理科 高 考 压轴 题 的推 广 与 引 申
姜 伟 （ 理工学院， 常熟 江苏常熟 ２５０） １ ０ ５ 张肇 平 （ 江苏省常熟外国 语学 校 ２５０） １５０
２０ ０ ８年 安徽 理 科 高 考 压 轴 题 是 一 道 关 于 定 直 线 的 解 析 几 何 题 ， 以运 用 定 比 分 点 的公 式 解 决 ， 面 先 来 可 下 看 来 题 目和 解 法 ． （ ｎ 为其 外 的一 定 点 ； ｍ， ） 当过 点 Ｐ 的 动 直 线 ｌ 椭 圆 Ｃ 与 相 交 于 两 不 同 点 Ａ ， 时 ， 线 段 ＡＢ 上 取 点 Ｑ， 足 ｌ Ｂ 在 满 ＡＰ１ Ｂ Ｉ Ｉ Ｑｌ・Ｉ Ｂ Ｉ 证 明 ：点 Ｑ 在 某 定 直 圆 相 切 ， Ｑ 也 即 是 切 点 ． 点 Ｐ 可 这 点 过 向椭 圆作 二 切 线 ， Ｑ 也 就 是 二 切 点 ． 此 猜 想 在 其 他 点 因 情 况下 点 Ｑ 是 否 也 在 切 点 弦所 在 直 线 上 ？

高考复习中，例题、习题再利用点滴体会安陆二中 沈辉 安陆一中 管秀娟摘要：高中数学课堂教学尤其是复习课教学，教师应重视课本中例题的再利用，通过对课本例习题深入挖掘、变形推广、引申改造，引导学生总结方法，拓宽解题思路，激发学生的求知欲，培养学生驾驭课本知识的能力，从而提高数学高考复习备考的质量。

关键词：高三数学 复习 习题再利用课本中的例题、习题，都是编者精心设计筛选的，具有一定的典型性、代表性、示范性和功能性，其中许多例题、习题蕴含着丰富的内涵和背景。

通过对我省近几年高考试卷进行分析不难发现，湖北高考数学命题一贯坚持重视和关注数学教科书而不是各种复习资料这一高考数学改革方向，一些高考题就是把课本和平时练习中的题目通过给出新的情景、改变设问方式、适当变更条件等手段改编而成，许多题目都能在课本上找到“影子”。

因此，尽管剩下的复习时间已经不多只剩下八十多天，但在马上将要进行的二轮复习中我们仍然要注意回归课本。

只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。

回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，教师应有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让学生进一步掌握这类问题的本质及其通性通法，培养学生发散思维能力，只有这样复习才有实效。

下面本人结合近几年的高三教学实践，就高考复习中对课本例题、习题的再利用谈点体会。

一、旧题新做，推陈出新在复习过程中，部分例题在经过一次讲解之后，往往被放置一边，久而久之，造成了学生轻视旧题，一味求全猎奇，从而走入题海的现象。

实际上，好的例题犹如一部名著，可以一讲再讲，细细揣摩，尤其在复习阶段的教学中，将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖掘出新意，找出易错点，留给学生的印象也深刻的多。

在高二讲不等式放缩时，我讲过一个例题：证明22312111123++<+-n +…+n n 1212-<。

解析几何试题的高考原题引申【关键词】解析几何;数学试题;命题模式;教学策略新高考模式对于教师和学生而言，都具有一定的挑战.因此，为了更好地满足新高考模式下社会对人才的需求，在实际的教学工作中，教师要顺应时代发展的潮流，依据培养目标，有的放矢地对自身的教学模式加以创新.学生同样要有意识地培养自己的学习习惯，提高自身的学习能力，建立相应的数学核心素养.一、新高考情况概述及案例分析高考作为我国重要的人才选拔方式，高考试卷的试题设置关系到万千考生的前途命运，高考试题是众多的专家、学者以及一线教师在经过多方研讨、综合调研下的集体智慧的结晶.因此，对于高中教师而言，研究高考试题是必要且重要的.通过对高考试题的研究，教师能从中发现如今高考数学的考查方向、整体动向，这能对高中数学的教学工作提供良好的指导和改进.2020年山东正式开始实行新高考，这也是山东在高考中首次采取文理一套卷的形式进行的改革尝试.就题目的数量和难度的设置而言，相较于以往的山东高考数学卷，这次数学卷整体上难度不大，在关于解析几何的题目设置上，考查的是曲线与定点和定值的问题.试题如下：回顾题目的解答过程，在传统解析几何解答的基础上，增加了构造直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.题目对学生的转化与化归、建立数学模型的数学思想和能力进行了全面的考查.直线MN过定点的问题，考生经过分析容易入手，多数考生可以拿到部分基础分数;后半部分点Q的确定，需要考生有较强的数学能力，起到了一定的选拔功能.二、高考数学解析几何试题分析在进行解析几何的问题求解时，往往都会涉及大量的运算，在运算过程中，不仅耗费的时间长而且运算的难度比较大，稍有不慎就会导致运算结果的错误.因此，在高考试题中，解析几何往往是让学生较为头疼的一个类型，但是若能合理地利用平面几何的相关知识，用推理代替计算，就能大大减少运算量，从而提升解题的效率.平面几何与解析几何之间关系密切，将一些简单的平面几何中的知识，例如三角形的相似、射影定理、角平分线定理、圆的性质定理等运用到解析几何中往往会产生意想不到的效果.这就需要教师在平时的教学工作中注意培养学生的创新意识和知识迁移能力，促进学生对知识的灵活运用.这不仅对于学生的数学能力的提升有帮助，还能够锻炼学生解决问题的能力，进而促进学生的全面发展.（一）基本知识点方面的考查在高考数学的解析几何的试题中，往往第一题是对解析几何的基本知识的考查应用，这就要求学生必须掌握椭圆、双曲线、抛物线等的基础知识，利用具体的定义来求解相应的轨迹方程.这就要求教师在平时的教学中，对于基础性知识的讲解与应用提高重视.（二）综合运用方面的考查坐标系法往往是解决圆锥曲线和直线位置关系的主要方法，尤其是对于高考中的大题而言，训练学生在分析几何条件的基础上，选择合适的代数形式对几何问题进行相应的表示，建立系统性、整体性的思维方式，对学生的成绩提升以及未来发展都具有重要意义.三、高中数学解析几何的教学策略解析几何在高考中有着重要的地位，也是教师在高三数学备考复习中的重点.一方面，数学教师要加强对学生解析几何基础知识的教学和基本能力的训练;另一方面，要让学生在掌握基础题型的前提之下，提升解析几何和平面几何的综合应用能力.（一）进行一定的思维训练对试题的具体解决方法的寻找属于“术”的层面的教学工作.对于高中数学教师而言，在教学工作中，不仅要注重对学生的“术”的培养，也要注重对学生的“道”的培养.教师要站在数学文化、数学思维的角度，将数学结构和解析几何的分析价值进行明确，教导学生如何根据自己的直觉思维，结合自己的抽象思维，进行相应的归纳总结，对其中的思维想法进行提取，进而促进顺利解题.正如笛卡尔的数学思想内涵所倡导的那样，将自己的数学思想进行系统化、整体化，这将不仅有利于学生数学成绩的提高，更有利于学生综合能力的培养.（二）立足典型试题，总结解题方法寻找出解决解析几何题的有效途径，是教师在进行解析几何问题讲解时的一大重点.教师要针对解析几何问题中的重要的、常见的、具有代表性的问题，例如上面高考题中的直线MN过定点P的问题，进行相应的训练，根据本班学生的接受能力和知识基础进行相应的试题的难度和题型的选择，为学生精心设计解析几何试题，针对学生的计算能力、思维能力以及旧知识的复习情况进行充分的测试，在测试中提升學生对知识的掌握程度.另外，教师也要及时发现学生解题中的问题，对于一些共性的问题，教师要在课堂上进行相应的点评讲解，对于一些个性的问题，教师则可以采取批注或课下单独辅导的形式解决.然而，需要注意的是，教师在进行解题方法总结的过程中，要将学生放在课堂的主体位置，而不是由教师进行知识的归纳、总结，然后让学生对具体的解题过程和解题技巧进行单纯的记忆.这种教学方法，一方面，不利于学生的自主学习能力的发展，因为学生并没有真正理解教师所总结出来的解题方法的精髓，在如今高考试题不断创新的大背景之下，并不能有效提升学生的数学成绩.另一方面，这种对于教学技巧的灌输式教学模式，会导致学生仅仅是孤立地进行解题方法的记忆，学生将精力错误地用在训练模仿力和记忆力上，这就导致学生在进行解题时，往往只是机械性地熟练操作，并不能深入理解题目背后的含义.教师在立足典型试题总结解题方法时，应该以学生为主体，教师此时不是知识权威者，而应该是引导者，应帮助学生自己总结出相应的规律性、技巧性的解题方法，这不仅有利于学生加深这部分知识的印象，而且学生在课堂中探索出相应的解题方法能够有效地提升他们在数学学习过程中的满足感和自信心.同时引导学生进行相应的更深层次的学习，对于他们的数学思维的培养、数学意识的形成都具有重要意义.（三）创新解析几何题，帮助学生举一反三，真正掌握知识教师在进行解析几何部分的教学工作时，应该有意识地对题型进行创新改造，这样做不仅能够让学生解题时具有新鲜感，同时与时俱进的试题也满足高考选拔人才的要求.平时的创新性试题的训练，能够使学生在面对真正的高考试题时游刃有余.教师在进行解析几何试题创新的过程中，要注意以下几点.第一，立足实际，多方联系.教师可以通过对日常生活中的新情境进行提炼与运用设计创新试题.如今的社会日新月异，整体的时代背景也发生了巨大的变化，高中生不能“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”，提升学生关注社会、关注生活的意识，是高中教师在教学工作中要注意的一个重要方面.教师在进行试题创新的过程中要实现新旧教材的有效结合，将相应的知识点或表述方式进行综合，总结提炼出其中最适合的方式，同时在题型创新时可以采用“旧瓶装新酒”“新瓶装旧酒”“新瓶装新酒”等方式.第二，两点论与重点论相结合.在高考试题中，直线和曲线等综合问题是比较常见的考察对象，因此这部分试题应该是教师在进行相应的题型创新时的重点.四、小结随着新课程改革的不断推进，一线的高中数学教师在进行教学工作的过程中，要加大对学生进行高考解析几何问题的分析引导工作，对学生的解析几何知识的掌握情况进行及时的检测.对于学生容易出现的问题，教师要制订有效的教学策略，带领学生对最新的高考试题进行充分的利用，在掌握基础性知识点之上，引导学生自己总结出相应的解题方法和解题步骤.同时，及时给予学生针对性的辅导，及时督促学生的复习工作，让学生在把握数学课程学习的理念，确定学习目的的前提下，进行知识的进一步学习，将对学生的数学思维和数学意识的培养放在对具体的数学技巧、解题方法同等重要的位置，多方发力，为提升学生对解析几何问题的把握和理解助力，进而提升学生的数学成绩，提高教师的教学质量.【參考文献】欧阳尚昭.解答解析几何试题不要脱离其“几何背景”[J].中小学数学：高中版，2015（6）：55-56.林志展.妙解若干解析几何试题[J].福建中学数学，2011（7）：40-41.王安园.解析几何试题解题方法技巧探究[J].考试周刊，2014（50）：8.陈少华.一道解析几何试题的延伸[J].新课程导学，2017（20）：63.江保兵.对一道解析几何试题的探究[J].数学教学研究，2017（8）：48-51.。

随着教育改革的深入推进和高考考试的不断优化，高中语文教育也在不断地完善和提高。

为了帮助2024届高考考生更好地备考，语文教师们积极探索和研究高考语文总复习案，不断地推陈出新，为考生们提供更加全面、系统的语文复习方案。

其中第五个教案就是深入拓展思维、掌握归纳演绎与引申比较的方法与应用。

一、拓展思维拓展思维是指针对问题的各种可能性进行分析、探索、发掘的能力，可以从不同的角度、不的思维模式、不同的思维方法中汲取有益的信息，以便更好地理解问题、解决问题、表达问题、这是考生们必须具备的一种重要能力。

通过拓展思维，我们可以：1.更好地理解问题在高考语文中，很多文章和题目都存在着深层含义和多层次解读。

这就需要我们用拓展思维的方法去发掘其更深层的意义，更全面的理解和分析文章、文化、古代文学和现代文学等内容。

例如，《离骚》中的“躞蹀（xiè dí）”一词，我们可以通过拓展思维将其理解为“纵情高歌，不受约束的走路姿态”。

2.更好地解决问题在高考语文中，我们往往需要通过分析、归纳、推理、比较等多种思维方法来解决问题。

而拓展思维则可以帮助我们寻找新的解决问题的方法和角度，提供新的思路和思考方向。

例如，在解答“深情与感情的区别”这样的题目时，我们可以通过拓展思维，结合实际经验，从精神体验、内涵、书写方式等多个角度进行全面、深入的分析和比较。

3.更好地表达问题在高考语文中，若想写出高质量的作文或回答一些较为复杂的问题，通常需要有良好的表达能力。

而拓展思维可帮助我们转变思考方式和思考方法，以便使用更加生动、形象、有力的语言来表达问题和观点，并且包含更加深刻、饱满的文化内涵和思想情感。

例如，在描写一个特定情境时，我们可以通过拓展思维，采用类比、对比、比喻等方法提升表达力，更好地传达情感和信息。

二、归纳演绎归纳演绎是推理方法中最常用的思维方式之一。

一般而言，我们可以根据一些特定的观点或者特定的规则，总结、归纳出某一类事物或某些规律。

审读材料，思辨提升—从语法和思辨的角度看2021年全国新高考I卷作文题审题立意作文题：1917年4月，XX在《新青年》发表《体育之研究》一文，其中论及“体育之效”时指出：人的身体会天天变化。

目不明可以明，耳不聪可以聪。

生而强者如果滥用其强，即使是至强者，最终也许会转为至弱；而弱者如果勤自锻炼，增益其所不能，久之也会变而为强。

因此，“生而强者不必自喜也，生而弱者不必自悲也。

吾生而弱乎，或者天之诱我以至于强，未可知也”。

以上论述具有启示意义。

请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。

要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。

这是一道材料作文题，有“任务”，但不是之前热议的任务驱动作文。

作文材料是有关“体育之效”的论述。

寓意不只适用于体育，在许多领域内也成立，可谓“体育其表，哲思其里”。

立意时，需要分析材料重心，再提炼转化为抽象观点，结合时代确定合适的立意。

一、语法分析，明确重心解读材料，明晰重心是审题的开始。

解读材料时，要理解每句话的大意，并进行语法分析，确定表意重心。

这是个多层复句，最大的一层以冒号为界，前后是解说关系。

冒号前指出这是XX 在论及“体育之效”时指出的，冒号后是具体论述，由四句构成。

这四句又构成一个句群。

“句群也叫句组，它由前后连贯共同表示一个中心意思的几个句子组成。

”审读句群，就要找出或归纳出这个“中心意思”。

我们结可以合XX《论体育之研究》中的相关段落来理解这则材料。

动之属于人类而有规则之可言者曰体育。

前既言之，体育之效，则强筋骨也。

愚昔尝闻，人之官骸肌络，及时而定，不复再可改易，大抵二十五岁以后，即一成无变。

今乃知其不然。

人之身盖日日变易者：新陈代谢之作用不绝行于各部组织之间，目不明可以明，耳不聪可以聪，虽六七十之人犹有改易官骸之效，事盖有必至者。

又闻弱者难以转而为强，今亦知其非是。

盖生而强者，滥用其强，不戒于种种嗜欲，以渐戕贼其身，自谓天生好身手，得此已足，尚待锻炼？故至强者或终转为至弱。

（ 作 者单位
●０
安徽 省 涡 阳第四 中学 ）
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●Ｃ ¨ Ｃ ）●Ｃ ●＜ ¨ Ｃ ）．＜ ）－Ｃ ” Ｃ ＂ Ｃ ¨ ０
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了解英语 交际 中常用 的体 态语 ， 了解英 语 国家 的饮食 习俗 ， 用恰 好教学实践 的一个保障 。寻找适 当的教学方法并加入文化背景 知 有助于初 中英语 教学实践。文化教学从途径上讲是 多方 当 的方 式表 达 赞扬 等 意义 。新课 程 标 准 中规定 的功 能项 目如 识学 习，
肘（ ２ ， 、 ／ 一 ） ， Ⅳ （ 、 ／ ， １ ） ， ０为坐标 原点．
．
定值 ； 若不是， 请说明理由． （ ２ ） 求Ｉ
参考文献 ：
Ｏ Ｂ ｌ 的最小值．
（Ｉ） 求 椭圆 Ｅ的方程 ； （Ⅱ） 是否存在 圆心在 原点 的圆 ， 使巧［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参
该圆的任意一条切线与椭圆 Ｅ恒在两个交点 Ａ ， 且 Ｊ ＿ － ｏ － ￣？ 考， ２ ０ １ １ （ ３ ） ： ６ ｌ 一 ６ ３ ．
若存在， 写出该圆的方程， 并求 Ｉ Ａ Ｂ ｌ 的取值范围； 若不存在 ， 说明
＜ ）●（ ）●＜ ＞ ● ０ ●ｏ ●ｏ ●Ｃ Ｍ Ｃ ） ．Ｃ Ｈ Ｃ ＞ ●０ ●ｏ ●０ ●０ ●Ｃ ¨ Ｃ ）● ｂ ● ｏ ●０ ●ｏ
一
、
高 考试 题
例： （ ２ ０ １ ２年 上 海卷 理 科 第 ２ ２ 题） 在 平 面 直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，
理 由 。 略 解 ： （ Ｉ ） 椭 圆 Ｅ 的 方 程 为 等 － － １ ・

椭圆一切线性质的发现、引申及切线的一种新作法——2013
年一道高考题引发的思考
周天擎
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2013(000)019
【摘要】引例已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a&gt;b&gt;0）的焦距为4,且过点P(21/2,31/2).（1）求椭圆C的方程;（2）设Q（x0,y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 21/2,连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点。

【总页数】2页(P29-30)
【作者】周天擎
【作者单位】江苏省南通第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.破解一道椭圆切线高考题的策略 [J], 刘刚;赵毅
2.从椭圆的光学性质谈椭圆的切线作法 [J], 周伯明;张仁端;
3.由一道高考题引申出的切线三角形问题的探讨 [J], 李思蔚
4.由一道高考题引申出的切线三角形问题的探讨 [J], 李思蔚;顾金(指导)
5.从一道高考题看抛物线切线的几何作法——对2016年高考新课标Ⅰ卷文科第20题的研究 [J], 李超
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的左 、右 顶 点 ， Ｐｍ，） （ ０ 为椭 圆 内一定 点 ．过 点 Ｐ作
直线 ｚ 交椭 圆于 Ｍ ，Ⅳ两 点 ，连接 Ａ ，Ｂ ，设 直 Ｍ Ｎ
趣 ．本文从一道高考解析几何题 出发 ，运 用合情推 理 的两 大 利器 —— 归纳 、 类 比 ，探 寻 出 圆锥 曲线 的
一
个美妙性质 ，实现 了从解一题到通 一类 、会一法
ｚｐ
一
ｚ ｐ
求证 ：直线 ＭＮ恒 过 定点 （ ， ） Ｏ．
ｍ
王２
证明过程可以仿照猜想 １ ，这里从略． 椭 圆 、双 曲线 的 这一 性 质 ，其 结构 对称 ，遥相 呼应 ，两者交相辉映 ，彰显数学的奇异、和谐之美 ，
又 ・ ：１ ． ・ 一ｘ
．
Ｐ
・ ． ．
的跨 越 ，收获 的不 仅 是一 种 知识 ，更 是 一种 问 题 解
线 Ａ ，Ｂ 交于 点 Ｐ， Ｍ Ｎ 求证 ： Ｐ在 一条 定直 线 上 ． 点
类似于猜想 ５ ，对于 双曲线和抛物线是否也成 立 ？答 案均 是 肯定 的 ，在这 里就 不再 赘述 了 ． 合 情 推 理 的应 用 ，使原 有认 知 结 构 得到 有 效 的 整 合 和 优化 ，思 维 能力 得 到 发 展 ，并 把 学 习者 引入
求 证 ：直 线 ＭＮ恒 过 定 点
（ ， ） ｏ． 玻利 亚 认 为合 情 推 理 的结 论在 严 密 的逻辑 论 让
前 是 冒险 的 ，以下 是对猜 想 １的验 证 ．
设 Ｐ ， ｏ ，则 ｌ Ｙ： （ Ｙ） ｅ ａ：
ｍ ＋ ａ
＋口 ，代 入椭 圆 ）
一
方程得【 ＋ ６
＝
双 曲 线 一 ＝１ ＞０ ６ ｏ ，＞ ）

一道高三复习题的推广、引申与统一吴家华（四川省遂宁中学校 629000）在高三二轮复习中，笔者在讲到用“极限法”解选择题时，遇到下面一道例题[1]： 设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，若线段MF 的延长线与直线14x =-交于点N ，则11||||MF NF +的值为（ ） .A 14 .B 12.C 2 .D 4原文解析：若MF 与x 轴逐渐趋近于垂直时，1||2MF →，而||NF →+∞，则112||||MF NF +→，所以排除,,A B D ，答案选.C 1.反思与推广笔者在长期的教学和解题中养成了一个习惯，就是喜欢把解题得到的结论与题目的条件联系起来进行思考，看结论与条件有没有什么直接联系？是否有什么规律可循？对本题也不例外.由本题的条件可知，直线14x =-恰好是抛物线2y x =的准线，且抛物线的焦准距p （即焦点到准线的距离）为12p =，而结果“2”，又恰好可以写成“11212p ==”，这说明，本题的结论“2”与题中抛物线的焦准距p 的值有密切的联系，且结论是焦准距的倒数. 那么，本题的一般形式又如何呢？也就是说，对本题我们是否可以进行推广呢？于是，笔者通过探索得到命题1 设抛物线22y px =)0(>p 的焦点为F ，点M 在抛物线上，若线段MF 的延长线与准线l ：2p x =-交于点N ，则11||||MF NF +为定值1p.运用“极限法”很容易验证命题1的正确性. 下面我们给出它的一般性证明.证明：如图1，设l 与x 轴交于点K ，则||KF p =. 过点M 作l MH ⊥，垂足为H ，则显然有NKF ∆∽NHM ∆，所以图1||||||||MH KF MN NF =.由抛物线的定义，得：||||MH MF =.∴||||||||NF p MF NF MF =+，即||||||||MF NF p MF NF ⋅=+， 取倒数即得：111||||MF NF p +=故11||||MF NF +的值为1p. 2.引申由前面的推广我们知道，结论对抛物线成立.那么，我们自然会联想到圆锥曲线的另外两种情形，即对于椭圆和双曲线是否也有类似的结论呢？笔者通过类比，经过一番分析、探讨，分别得到：命题2：设椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，点M 在椭圆上，若线段MF 的延长线与左准线l ：2a x c =-交于点N ，则11||||MF NF +为定值2a b .命题3：设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点M 在双曲线上，若线段MF 的延长线与右准线l ：2a x c=交于点N ，则11||||MF NF +为定值2a b .下面我们来证明命题2.证明：如图2，设l 与x 轴交于点K ，过点M作1MM l ⊥，垂足为1M ，则显然有NKF ∆∽1NM M ∆，所以1||||||||NF KF MN MM =由椭圆的第二定义，得：11||||||c MF e MM MM a ==，22||a b KF c c c=-+=.∴22||||||||||b NF b ca MF NF a MF MF c==+， 即2||||||||MF NF b MF NF a⋅=+， 取倒数即得：211||||aMF NF b+=. 故11||||MF NF +为定值2a b . 对于命题3，我们可以类似地证明，至于具体的证明过程，留着读者练习.3.统一我们再来分析一下，命题1，2，3的结果与条件的关系的共同特征. 对于命题1，定值1p是抛物线的通径2p 的倒数的两倍，而对于命题2，3，定值2a b 则是椭圆、双曲线的通径22b a的倒数的两倍. 如果我们注意到椭圆、双曲线的焦准距（即焦点到相应准线的距离）均为c b p 2=，则定值ep cb ac b a 1122=⋅=，而对抛物线而言，由于1=e ，所以定值ep p 11=. 据此分析和命题1，2，3，我们不难归纳出圆锥曲线的一个新的统一性质：定理 记中心(或顶点)在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线为C ，设圆锥曲线C 的一个焦点为F ，且F 到相应准线的距离为p ，点M 在圆锥曲线C 上，若线段MF 的延长线与相应的准线l 交于点N ，则11||||MF NF +为定值ep 1.证明：如图3所示，以焦点F 为极点，射线Fx 为极轴建立极坐标系，则圆锥曲线的统一极坐标方程为θρcos 1e ep -=，准线l 的极坐标方程为p -=θρcos ，即θρcos p-=.设),(1θρM ，则),(2πθρ+N . ∴θρcos 1||1e epMF -==，θπθρcos )cos(||2pp NF =+-==， ∴ep p ep e NF MF 1cos cos 1||1||1=+-=+θθ. 故11||||MF NF +为定值ep 1. 参考文献 图31. 《天府一线》2016数学（文）.延边大学出版社，2007年11月第1版.。

由一道课本习题引申出的一组变式题文/袁秀青课本是知识与方法的重要载体，也是高考试题的主要来源，相当数量的基本题、创新题都源于课本，即使是综合题，也是由基础题组合与加工而成的，离开了课本的复习必将是无源之水，无本之木.下面通过对高中数学新教材第二册(上)第132页第6题的研究，来分析近几年的高考试题是如何对其进行改编的.原题 在椭圆2214520x y +=上求一点P ，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式题1 椭圆22194x y +=的两个焦点是F 1、F 2，点P 为它上面的一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .分析 受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题的解法很多，但以几何法最为简捷.如下图所示，以坐标原点O 为圆心，以|F 1F 2|为直径画圆，与椭圆交于A 、B 、C 、D 四点.由“直径所对的圆周角是直角”可知，当点P 位于A 、B 、C 、D 四点时，∠F 1PF 2为直角，当点P 位于椭圆上的弧AB 或弧CD 上时，∠F 1PF 2为钝角，锐角的情况不言而喻，故点P 的横坐标的取值范围是(变式题2 双曲线221916x y-=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .分析 该题将原题中的椭圆改为了双曲线，而点P 到x 轴的距离等于点P 的纵坐标的绝对值，点P 的坐标即为以|F 1F 2|为直径作圆与双曲线的交点的坐标.易求得点P 的纵坐标为165±，故点P 到x 轴的距离为165.变式题3 已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2为直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.95 B.3 C.94 分析 该题是将原题中的12FPF ∠为直角改为了△F 1PF 2为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性.当∠F 1PF 2＝90o 时，只要找到以12FF 为直径的圆与椭圆的交点的纵坐标即可，显然以12FF 为直径的圆的方程227x y +=与椭圆221169x y +=无交点，故此时无解；当∠PF 1F 2=90°或∠PF 2F 1=90°时，易求得点P 到x 轴的距离为294b a =.选D.变式题4 F 1、F 2是椭圆C ：22184x y +=的两个焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为 .分析 该题只是将原题中的求点的坐标改为了判断点的个数，但解法是相同的，即求以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的交点个数.显然，以|F 1F 2|为直径的圆的方程为224x y +=，它与椭圆C ：22184x y +=相切于椭圆的短轴端点，故点P 的个数为2.变式题5 设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，c >0，且椭圆上存在点P ，使得PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围.分析 该题是在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为了“求参数的取值范围”，但解法是相同的.要使椭圆上存在点P 使PF 1⊥PF 2，则只需以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距要大于或等于椭圆的短轴长，即c ≥b ，易得.下面将上述问题推广到一般情况：结论1 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点.(1)若椭圆上存在点P ，使PF 1⊥PF 2e ≤＜1.(2)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 22＜e ＜1.(3)若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=θ，则椭圆的离心率的范围是sin 2e θ≤＜1.证明 (1)若存在点P ，使PF 1⊥PF 2，则表明，于是有－，解得2e≤＜1.(2)若存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角，则表明c>b ，于是有，解得2＜e ＜1.(3)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，222212121212122cos ()2(1cos )F F PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-⋅=+-⋅+.∴122212(1cos )2(1cos )()2PF PF PF PF b θθ+⋅+=≤+. ∴222(1cos )b a θ≤+，即2222222(1cos )2cos 2a c a a θθ-≤+=.解得sin 2e θ≤＜1. 结论2 椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上对两焦点张角为θ()的点P 的个数由θ与1022arctan c F P F b ∠=(P 0为椭圆短轴的一个端点)的大小确定.当θ＞2arctan cb时，满足条件的P 点的个数为0；当2a r c t n c b θ=时，满足条件的P 点的个数为2；当θ＜2arctancb时，满足条件的P 点的个数为4.分析 若点P 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上的动点，则有22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅∵122PF PF a +=，∴当12PF PF =，即点P 在短轴上时，12cos F PF ∠有最小值，从而12F PF ∠有最大值，于是可知结论2成立.。

２０２２年新高考全国Ⅰ卷第２１题的探究林国红(广东省佛山市乐从中学ꎬ广东佛山５２８３１５)摘㊀要:文章对２０２２年新高考全国Ⅰ卷第２１题进行探究ꎬ给出两种解法ꎬ并将试题推广ꎬ得到椭圆㊁双曲线和抛物线的一般性结论.关键词:高考试题ꎻ圆锥曲线ꎻ探究ꎻ推广中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００１８－０４收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:林国红(１９７７－)ꎬ男ꎬ广东省佛山人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.１题目呈现与解答题目㊀(２０２２年新高考全国Ⅰ卷第２１题)已知点Ａ(２ꎬ１)在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ａ２－１＝１(ａ>１)上ꎬ直线ｌ交Ｃ于Ｐ㊁Ｑ两点ꎬ直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之和为０.(１)求ｌ的斜率ꎻ(２)若ｔａｎøＰＡＱ＝２２ꎬ求әＰＡＱ的面积.本题的解法较多ꎬ下面给出其中的两种解法.解法１㊀(１)将点Ａ(２ꎬ１)代入双曲线方程ꎬ得４ａ２－１ａ２－１＝１.化简ꎬ得ａ４－４ａ２＋４＝０ꎬ解得ａ２＝２.故双曲线Ｃ的方程为ｘ２２－ｙ２＝１.由题可知直线ｌ的斜率存在ꎬ设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).联立ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｘ２２－ｙ２＝１ꎬìîíïïï得(２ｋ２－１)ｘ２＋４ｋｍｘ＋２ｍ２＋２＝０.从而有ｘ１＋ｘ２＝－４ｋｍ２ｋ２－１ꎬｘ１ｘ２＝２ｍ２＋２２ｋ２－１.又因ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝ｙ１－１ｘ１－２＋ｙ２－１ｘ２－２＝ｋｘ１＋ｍ－１ｘ１－２＋ｋｘ２＋ｍ－１ｘ２－２＝０ꎬ化简ꎬ得２ｋｘ１ｘ２＋(ｍ－１－２ｋ)(ｘ１＋ｘ２)－４(ｍ－１)＝０.所以２ｋ(２ｍ２＋２)２ｋ２－１＋(ｍ－１－２ｋ)ˑ－４ｋｍ２ｋ２－１－４(ｍ－１)＝０.化简整理ꎬ得(ｋ＋１)(ｍ＋２ｋ－１)＝０.当ｍ＋２ｋ－１＝０ꎬ即ｍ＝１－２ｋ时ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１－２ｋ＝ｋ(ｘ－２)＋１ꎬ此时直线ｌ过点Ａ(２ꎬ１)ꎬ不符合题意ꎬ故ｍ＋２ｋ－１ʂ０.所以ｋ＋１＝０ꎬ即ｋ＝－１.所以直线ｌ的斜率为－１.(２)不妨设直线ＡＰ的倾斜角为锐角且为αꎬ由于直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之和为０ꎬ故直线ＡＰꎬＡＱ的倾斜角互补ꎬ所以２α＋øＰＡＱ＝πꎬ即øＰＡＱ＝π－２α.由ｔａｎøＰＡＱ＝ｔａｎ(π－２α)＝－ｔａｎ２α＝－２ｔａｎα１－ｔａｎ２α＝２２ꎬ解得ｔａｎα＝２.故ｋＡＰ＝ｔａｎα＝２ꎬ即ｙ１－１ｘ１－２＝２.联立ｙ１－１ｘ１－２＝２ꎬｘ２１２－ｙ２１＝１ꎬìîíïïïï解得ｘ１＝１０－４２３ꎬｙ１＝４２－５３.即Ｐ(１０－４２３ꎬ４２－５３).代入直线ｌ的方程ｙ＝－ｘ＋ｍꎬ得ｍ＝５３ꎬｘ１＋ｘ２＝２０３ꎬｘ１ｘ２＝６８９.由于｜ＡＰ｜＝１＋ｋ２ＡＰˑ｜ｘ１－２｜＝３ˑ｜ｘ１－２｜ꎬ｜ＡＱ｜＝１＋ｋ２ＡＱˑ｜ｘ２－２｜＝３ˑ｜ｘ２－２｜ꎬ故｜ＡＰ｜ ｜ＡＱ｜＝３ˑ｜ｘ１－２｜ˑ３ˑ｜ｘ２－２｜＝３ˑ｜ｘ１ｘ２－２(ｘ１＋ｘ２)＋４｜＝３ˑ｜６８９－２ˑ２０３＋４｜＝１６３.由ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝２ꎬｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１ꎬìîíïïï解得ｓｉｎα＝２３ꎬｃｏｓα＝１３.故ｓｉｎøＰＡＱ＝ｓｉｎ(π－２α)＝ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２ˑ２３ˑ１３＝２２３.所以әＰＡＱ的面积为Ｓ＝１２｜ＡＰ｜ ｜ＡＱ｜ｓｉｎøＰＡＱ＝１２ˑ１６３ˑ２２３＝１６２９.评注㊀解法１通过联立直线与双曲线方程ꎬ利用韦达定理及直线斜率的定义进行求解.运算量虽不小ꎬ但方法是解析几何中的常用方法ꎬ这种通性通法在数学解题中有重要作用.所以在平时的教学中要注重一般性的解题规律和方法(即通性通法)ꎬ要重视知识的生成过程ꎬ尽量创设问题情境引导学生探究知识ꎬ培养学生分析问题㊁解决问题的能力.解法２㊀(１)由解法１可知ꎬ双曲线Ｃ的方程为ｘ２２－ｙ２＝１.设直线ＡＰ的参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαꎬｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ代入双曲线方程ꎬ化简并整理ꎬ得(ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α)ｔ２＋４(ｃｏｓα－ｓｉｎα)ｔ＝０.解得ｔ１＝０或ｔ１＝４(ｃｏｓα－ｓｉｎα)ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.当ｔ１＝０时ꎬ此时是点Ａ的坐标ꎬ舍去ꎬ故ｔ１＝４(ｃｏｓα－ｓｉｎα)ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.由于直线ＡＰ㊁ＡＱ的斜率之和为０ꎬ所以直线ＡＰꎬＡＱ的倾斜角互补ꎬ故直线ＢＰ的参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓ(π－α)＝２－ｔｃｏｓαꎬｙ＝１＋ｔｓｉｎ(π－α)＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数).同理可得ｔ２＝－４(ｃｏｓα＋ｓｉｎα)ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.于是ｔ２－ｔ１＝－８ｃｏｓαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２αꎬｔ２＋ｔ１＝－８ｓｉｎαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.故ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝１＋ｔ２ｓｉｎα－(１＋ｔ１ｓｉｎα)２－ｔ２ｃｏｓα－(２＋ｔ１ｃｏｓα)＝(ｔ２－ｔ１)ｓｉｎα－(ｔ２＋ｔ１)ｃｏｓα＝－８ｃｏｓαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２αˑｓｉｎα－－８ｓｉｎαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２αˑｃｏｓα＝－１.所以直线ｌ的斜率为－１.(２)不妨设α为锐角ꎬ由于直线ＡＰ㊁ＡＱ的斜率之和为０ꎬ故直线ＡＰ㊁ＡＱ的倾斜角互补.所以２α＋øＰＡＱ＝π.即øＰＡＱ＝π－２α.由ｔａｎøＰＡＱ＝ｔａｎ(π－２α)＝－ｔａｎ２α＝－２ｔａｎα１－ｔａｎ２α＝２２ꎬ解得ｔａｎα＝２.由ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝２ꎬｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１ꎬìîíïïï解得ｓｉｎα＝２３ꎬｃｏｓα＝１３.从而ｔ１＝４(ｃｏｓα－ｓｉｎα)ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α＝－４２＋４３ꎬｔ２＝－４(ｃｏｓα＋ｓｉｎα)ｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α＝－４２－４３.又ｓｉｎøＰＡＱ＝ｓｉｎ(π－２α)＝ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２ˑ２３ˑ１３＝２２３ꎬ所以әＰＡＱ的面积为Ｓ＝１２｜ｔ１ｔ２｜ｓｉｎøＰＡＱ＝１２ˑ｜－４２＋４３ˑ－４２－４３｜ˑ２２３＝１６２９.评注㊀一般情况下ꎬ圆锥曲线大题的解答过程往往涉及繁冗运算ꎬ要减少圆锥曲线的运算量ꎬ规避运算风险ꎬ算理就显得非常重要.解法２利用直线的参数方程ꎬ其代数变形较简单ꎬ运算量少ꎬ解题过程比解法１更简洁.２问题的提出问题１㊀在试题中ꎬ若将点Ａ(２ꎬ１)改为其它值ꎬ则直线ｌ的斜率为多少?问题２㊀在试题中ꎬ若将点Ａ(２ꎬ１)改为Ａ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)ꎬ并将双曲线一般化ꎬ则直线ｌ的斜率为多少?问题３㊀在试题的问题(１)中ꎬ若将试题改为:点Ａ(２ꎬ１)在双曲线ｘ２２－ｙ２＝１上ꎬ直线ｌ交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ且直线ｌ的斜率为－１ꎬ则直线ＡＰ㊁ＡＱ的斜率之和为多少?问题４㊀在问题２或问题３中ꎬ若将双曲线改为椭圆或抛物线ꎬ又有什么结论?３试题问题(１)的推广与类比性质结合上述问题ꎬ经探究ꎬ可得到试题问题(１)的推广与类比性质:结论１㊀已知点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上ꎬＭ㊁Ｎ是椭圆Ｃ上的两个动点ꎬ若直线ＰＭ㊁ＰＮ的斜率分别为ｋ１㊁ｋ２ꎬ则ｋ１＋ｋ２＝０的充要条件是直线ＭＮ的斜率为ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.结论２㊀已知点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上ꎬＭ㊁Ｎ是双曲线Ｃ上的两个动点ꎬ若直线ＰＭ㊁ＰＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１＋ｋ２＝０的充要条件是直线ＭＮ的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.结论３㊀已知点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)在抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上ꎬＭ㊁Ｎ是抛物线Ｃ上的两个动点ꎬ若直线ＰＭ㊁ＰＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１＋ｋ２＝０的充要条件是直线ＭＮ的斜率为－ｐｙ０.评注㊀①结论１至结论３的证明ꎬ可以参照试题(１)的解答ꎬ限于篇幅ꎬ不再给出.②由结论２可知ꎬ当Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)＝Ａ(２ꎬ１)ꎬ双曲线方程为ｘ２２－ｙ２＝１ꎬｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０时ꎬ则直线ＰＱ(即直线ｌ)的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０＝－１２ˑ２１＝－１ꎬ这正是高考题的问题(１).４探究延伸结论１至结论３均是ｋ１＋ｋ２＝０与直线ＭＮ的斜率之间的关系.那么在一般的条件下ꎬ直线ＰＭ㊁ＰＮ㊁ＭＮ三者的斜率之间有什么联系?此时ꎬ能否求得әＰＭＮ的面积?经进一步探究ꎬ可得到如下结论:结论４㊀已知点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)在曲线Ｃ:Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１(ＡＢʂ０)上ꎬＭ㊁Ｎ是曲线Ｃ上的两个动点ꎬ若直线ＰＭ㊁ＰＮ㊁ＭＮ的斜率分别为ｋ１㊁ｋ２㊁ｋ３ꎬ则(１)ｋ３＝Ａ[(Ａ－Ｂｋ１ｋ２)ｘ０＋Ｂ(ｋ１＋ｋ２)ｙ０]Ｂ[(Ａ－Ｂｋ１ｋ２)ｙ０－Ａ(ｋ１＋ｋ２)ｘ０]ꎻ(２)ＳәＰＭＮ＝｜２(ｋ２－ｋ１)(Ａｘ０＋Ｂｋ１ｙ０)(Ａｘ０＋Ｂｋ２ｙ０)(Ａ＋Ｂｋ２１)(Ａ＋Ｂｋ２２)｜.证明㊀因为平移不改变直线的斜率及图形的面积ꎬ故平移坐标系ꎬ使得点Ｐ为坐标原点ꎬ则曲线Ｃ变为Ａ(ｘ＋ｘ０)２＋Ｂ(ｙ＋ｙ０)２＝１ꎬ且Ａｘ２０＋Ｂｙ２０＝１.此时直线ＰＭ的方程为ｙ＝ｋ１ｘꎬ设Ｍ(ｘＭꎬｙＭ)ꎬＮ(ｘＮꎬｙＮ).联立ｙ＝ｋ１ｘꎬＡ(ｘ＋ｘ０)２＋Ｂ(ｙ＋ｙ０)２＝１ꎬ{化简整理ꎬ得(Ａ＋Ｂｋ２１)ｘ２＋(２Ａｘ０＋２Ｂｋ１ｙ０)ｘ＝０.解得ｘＭ＝－２(Ａｘ０＋Ｂｋ１ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２１.同理ꎬｘＮ＝－２(Ａｘ０＋Ｂｋ２ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２２.从而(１)ｋ３＝ｙＭ－ｙＮｘＭ－ｘＮ＝ｋ１ｘＭ－ｋ２ｘＮｘＭ－ｘＮ＝－２ｋ１(Ａｘ０＋Ｂｋ１ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２１－－２ｋ２(Ａｘ０＋Ｂｋ２ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２２－２(Ａｘ０＋Ｂｋ１ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２１－－２(Ａｘ０＋Ｂｋ２ｙ０)Ａ＋Ｂｋ２２＝Ａ[(Ａ－Ｂｋ１ｋ２)ｘ０＋Ｂ(ｋ１＋ｋ２)ｙ０]Ｂ[(Ａ－Ｂｋ１ｋ２)ｙ０－Ａ(ｋ１＋ｋ２)ｘ０].(２)ＳәＰＭＮ＝１２｜ｘＭｙＮ－ｘＮｙＭ｜＝１２｜(ｋ２－ｋ１)ｘＭｘＮ｜＝｜２(ｋ２－ｋ１)(Ａｘ０＋Ｂｋ１ｙ０)(Ａｘ０＋Ｂｋ２ｙ０)(Ａ＋Ｂｋ２１)(Ａ＋Ｂｋ２２)｜.结论５㊀已知点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０ʂ０)在抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上ꎬＭ㊁Ｎ是抛物线Ｃ上的两个动点ꎬ若直线ＰＭ㊁ＰＮ㊁ＭＮ的斜率分别为ｋ１㊁ｋ２㊁ｋ３ꎬ则(１)ｋ３＝ｋ１ｋ２ｐ(ｋ１＋ｋ２)ｐ－ｋ１ｋ２ｙ０ꎻ(２)ＳәＰＭＮ＝｜２(ｋ２－ｋ１)(ｐ－ｋ１ｙ０)(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２１ｋ２２｜.证明㊀因为平移不改变直线的斜率及图形的面积ꎬ故平移坐标系ꎬ使得点Ｐ为坐标原点ꎬ则曲线Ｃ变为(ｙ＋ｙ０)２＝２ｐ(ｘ＋ｘ０)ꎬ且ｙ２０＝２ｐｘ０.此时直线ＰＭ的方程为ｙ＝ｋ１ｘꎬ设Ｍ(ｘＭꎬｙＭ)ꎬＮ(ｘＮꎬｙＮ).联立ｙ＝ｋ１ｘꎬ(ｙ＋ｙ０)２＝２ｐ(ｘ＋ｘ０)ꎬ{化简整理ꎬ得ｋ２１ｘ２＋(２ｋ１ｙ０－２ｐ)ｘ＝０.解得ｘＭ＝２(ｐ－ｋ１ｙ０)ｋ２１.同理ꎬｘＮ＝２(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２２.从而(１)ｋ３＝ｙＭ－ｙＮｘＭ－ｘＮ＝ｋ１ｘＭ－ｋ２ｘＮｘＭ－ｘＮ＝２ｋ１(ｐ－ｋ１ｙ０)ｋ２１－２ｋ２(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２２２(ｐ－ｋ１ｙ０)ｋ２１－２(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２２＝ｋ１ｋ２ｐ(ｋ１＋ｋ２)ｐ－ｋ１ｋ２ｙ０.(２)ＳәＰＭＮ＝１２｜ｘＭｙＮ－ｘＮｙＭ｜＝１２｜(ｋ２－ｋ１)ｘＭｘＮ｜＝１２｜(ｋ２－ｋ１)ˑ２(ｐ－ｋ１ｙ０)ｋ２１ˑ２(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２２｜＝｜２(ｋ２－ｋ１)(ｐ－ｋ１ｙ０)(ｐ－ｋ２ｙ０)ｋ２１ｋ２２｜.评注㊀当Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)＝Ａ(２ꎬ１)ꎬ双曲线方程为ｘ２２－ｙ２＝１时ꎬ则Ａ＝１２ꎬＢ＝－１ꎬｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０ꎬ且由解法１ꎬ可知ｋＡＰ＝２ꎬｋＡＱ＝－２.分别代入结论４ꎬ可得直线ＰＱ的斜率为－１ꎬәＰＡＱ的面积为１６２９ꎬ这正是高考题的情形.高考试题是精心之作ꎬ每年的高考题在命题角度㊁题型㊁难度等方面都进行了充分考量ꎬ是知识㊁能力和思想方法的载体ꎬ具有典型性㊁示范性和权威性.高考试题除了具有测试与选拔功能外ꎬ还具有良好的教学功能ꎬ要了解高考动向ꎬ把握高考脉搏.高考试题的研究是重要的路径ꎬ所以在复习中要加强高考题的渗透ꎬ通过高考真题的训练体会命题思想ꎬ善于作解后反思和方法的归类ꎬ并对试题进行挖掘㊁拓展㊁引申ꎬ扩大高考题的辐射面ꎬ从而实现高考试题功能的最大化㊁最优化.参考文献:[１]林国红.一道圆锥曲线竞赛试题的推广探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２２(０４):４４－４５ꎬ５５.[２]林国红.圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１８(１９):１２－１４.[责任编辑:李㊀璟]。

㊀㊀㊀以 高考母题 为驱动㊀提高数学一轮复习效率◉江苏省常熟市海虞中学㊀石雨茹１引言高三一轮复习的目标是通过有限时间有所侧重地帮助学生回顾所学知识,让整个高中阶段的数学知识系统化㊁网络化和螺旋式地整合与提升．如何提高一轮复习的质量,让复习效率最大化是每个高三数学教师必须面对,且始终密切关注的问题．为了让一轮复习达到既夯实基础,又提升能力的目的,笔者认为,以课本例题为素材,巧妙改造为高考母题进行针对性地强化训练,可以达到巩固记忆㊁启迪思维㊁形成能力和提高素养的多重效能．２对高考母题 的解读所谓的 高考母题 ,可以是教材中的一些典型例习题,也可以是这些例习题的变形,它对应高中数学知识中最基本㊁最典型㊁最关键的知识点,是培养创新能力和问题解决能力的源泉．以 高考母题 为载体进行训练,可以帮助学生快速厘清概念㊁把握原理㊁掌握规律,实现知识向能力的飞跃,让知识与能力呈现螺旋上升的趋势．３以高考母题 为驱动提高复习效率的策略３．１善用高考母题 ,一题多解善用 高考母题 进行一题多解的训练,可以让学生从多角度㊁多方位㊁多层次的分析和尝试中厘清问题本质,活化思维,以达到触类旁通之效．在这个过程中,教师应关注讲解的开放性和发散性,鼓励学生解法的多样化,这样才能以题带知识点和解题技巧,这才是复习课的最佳效果．例１㊀已知圆C :x ２＋y ２＝r２,证明:过圆C 上的一点M (x ０,y ０)的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．抛出问题后,笔者放手让学生去自主探究㊁合作讨论,激励学生大胆联想和猜想．正是由于有了足够的思考和探究时空,学生生成了多种证明方法,才有了如下登台展示的精彩场面．生１:我运用了斜率法．过程如下:当x ０,y ０ʂ０时,据k O M ＝y ０x ０,k l ＝－x ０y ０,则切线方程为y －y ０＝－x ０y ０(x －x ０)．又因为点M (x ０,y ０)在圆C 上,则有x ２０＋y ２０＝r ２,代入切线方程变形后可得㊀㊀㊀㊀㊀x ０x ＋y ０y ＝r ２①当x ０＝０时,易知切线方程为y ＝r (或y ＝－r )满足①式;当y ０＝０时,易知切线方程为x ＝r (或x ＝－r ),同样满足①式．综上所述,过点M 的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．生２:我是利用直线与圆相切的代数法证明的．若斜率存在,设直线方程为y －y ０＝k (x －x ０),再联立直线和圆的方程,消元并借助Δ＝０得出切线的斜率为k l ＝－x ０y ０．以下的步骤同生１．生３:我的方法和生２类似,是利用直线与圆相切的几何法予以证明,根据圆心到直线距离等于圆的半径,得出k １＝－x ０y０．后续步骤也同生１．图１生４:我是通过数形结合证明的．如图１,设P (x ,y )为切线上异于点M (x ０,y ０)的任意一点,则有O M ʅM P ．在R t әM O P 中,O P ２＝O M ２＋M P ２,即x ２＋y ２＝r ２＋(x －x ０)２＋(y －y ０)２,整理可得过点M 的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．生５:我是借助向量知识证明的．根据向量知识,可得O M ң＝(x ０,y ０),M P ң＝(x －x ０,y －y ０)．因为O M ңʅM P ң,所以O M ң M P ң＝０,化简后可得过点M 的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．生６:我是利用切线定义 割线逼近切线 来证明的．设P (x ,y )为切线上异于点M (x ０,y ０)任意一点,据条件可得x ２＋y ２＝r２,x ２０＋y ２０＝r ２．{两式相减,得(x －x ０)(x ＋x ０)＋(y －y ０)(y ＋y ０)＝０,即k P M ＝y ０－yx ０－x＝－x ０＋xy ０＋y．当y ңy ０,x ңx ０时,k P M ＝y ０－y x ０－x ＝－x ０＋x y ０＋y ң－x ０y ０(y ０ʂ０),切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．１４２０２２年８月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引复习备考Copyright 博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀㊀当y０＝０时也满足x０x＋y０y＝r２．生７:我是利用导数求解的．根据圆的对称性,可取圆C在第一象限的部分,对应的曲线方程为y＝r２－x２．求导数可得yᶄ＝－x r２－x２,所以切线的斜率为k l＝yᶄx＝x＝－x０r２－x２０＝－x０y０,从而切线方程为x０x＋y０y＝r２．从 高考母题 这一探索点开始,学生展开了思考和探究,学生的思维从被动转变为主动,从一般性策略到创意求解方法,灵活地运用向量㊁导数等相关知识．正是由于为学生创建的深度思考的氛围,才能让学生在不断探索中拥有无穷的思维创造力,这对提升学生的思维品质和数学核心素养意义重大,同时有效地沟通了多个知识点,实现了知识间的有机融合,进而达到完善自身认知体系的目的．３．２善用 高考母题 ,一题多变倘若仅仅是就题论题式解答,既使求解过程再完美,也不过是掌握了一个问题,但一题多变的训练有助于消除这一弊端．所谓的一题多变并非若干个独立题目的简单堆砌,而是具有内部关联的多个习题,意在激发学生的探究兴趣,开拓思路,深化学生对基础知识的理解,培养解题能力．因此,一轮复习中教师应不拘泥于一道习题,活用典型问题,进行深入剖析和精细设计,做到一题求变,将高考母题拓展为多个值得学生探究的数学问题,让高考母题真正成为学生思维拓展的有效素材．这样,不仅可以让知识更加透彻,还能开阔学生的解题视野,更重要的是能提高一轮复习的效果．例２㊀线段A B的长为２a,且其两个端点A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动,动点M为A B的中点,试求点M的轨迹．经过讨论和交流,学生很快探究得出本题的解法,更进一步地,笔者设计以下变式:变式１㊀线段A B的长为２a,其两个端点A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动,且动点M满足|AM||M B|＝２,点M的轨迹是什么当动点M满足|AM||M B|＝１２时,点M的轨迹又会什么?当动点M满足|AM||M B|＝λ(λ＞０,λʂ１)时呢?变式２㊀线段A B的长为２a,且其两个端点A,B分别在夹角为θ(０＜θ＜９０ʎ)的两条直线上滑动,动点M为A B的中点,试求点M的轨迹．复习课无法回避 炒冷饭 的尴尬局面,而如何在翻炒冷饭 的过程中调动学生的思维,为 冷饭 增添新的 佐料 ,让旧知识 炒 出新意,让学生在一轮复习中保持热情是教师的重要关注点．本例中,教师善于以变 促学,让变式问题不断上升,使学生兴趣盎然．通过解决变式,有助于学生在一轮复习中将基础知识形成网状知识结构,内化为自己的基本技能,感悟数学思想方法,同时还可以提高学生的自主探究能力．３．３善用 高考母题 ,一题多用学生听懂一道习题并不意味着掌握,真正的掌握应该是利用此问题的解法去解决新的问题,也就是实现一题多用,这才是真正意义上的领悟和掌握．因此,在一轮复习中,为了实现触类旁通,在探究和解答完高考母题之后,还需引导学生站在研究和剖析的角度审视问题,进一步回顾㊁总结和提炼,从而深化认识,提高复习效能．例３㊀试求出平面内到两个定点的距离之比为２的动点M的轨迹方程．(具体解答过程略．)本题推广引申后,可得如下命题:平面内到定点A和B的距离之比为定值λ(λ＞０,λʂ１)的动点的轨迹是一个圆．(这就是著名的 阿波罗尼斯圆 ,这一结论就是阿波罗尼斯轨迹定理,这一问题频繁出现于近几年的高考试题之中,可见,是高考热点问题之一．)进一步地,笔者提出以下问题:问题１㊀已知әA B C中,若A B＝２,A C＝２B C,则әA B C的面积的最大值为．图２问题２㊀如图２,已知平面直角坐标系x O y中,直线l:y＝２x－４,点A(０,３)．设圆C的半径为１,且圆心C在直线l上．若圆C上存在一点M使得|M A|＝２|M O|,试求出圆心C的横坐标a的取值范围．问题１和问题２背景相差甚远,但题目中均涉及到 阿波罗尼斯圆 ,这一知识点是解题的突破口．正是由于之前的总结和提炼,学生可以很快突破难点,寻得解法,灵活运用相关知识点解决问题．４总结总之,一轮复习的主要目标是夯实基础,提升能力．教师只有切实精心准备,以具有代表性的 高考母题 为指引,在深度和广度上下足功夫,实施一题多解㊁一题多变㊁一题多用,才能让学生真正做到做一题会一类,做一类通一法,才能帮助学生构建知识体系,提高思维能力,达到真正提高一轮复习效果的目的．F ２４复习备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年８月上半月Copyright博看网. All Rights Reserved.。

词语本义引申义比喻义的辨析与运用一、学习目标1、词语的本义、引申义、比喻义的含义（重点）2、辨析词语的本义、引申义、比喻义（难点）辨析词语的本义、引申义、比喻义多个义项不平等,最常用最基本的是基本义基本义推演发展产生的叫引申义用基本义来比喻事物的叫比喻义二、词语含义及用法（一）、词的本义与引申义之间具有相关性或相因性。

引申义是由词的本义演变发展而产生的意义,因此引申义与本义在意义上或多或少有一种子与母、流与源的关系。

如“ 浅”的本义是表示以表面到底部距离短的意思（水很浅）.引申为程度不深（他的功底浅）；引.（二）词的本义与比喻义之间具有相似性。

比喻义是通过基本义的比喻用法而逐步固定下来的新义。

比喻义用一个词的本义比喻另一事物,由两者之间的相似点相沟通而产生的新义.如用“手足”比喻“兄弟”,用“虎口”比喻危险境地.注意：词的比喻义和修辞上的比喻不同。

词的比喻义虽然最初是通过比喻用法逐渐形成的,但它已经成为词的一个新的固定意义,为群众所接受；而比喻修辞是在特定的语言不幸中临时打比方；本体和喻体间无固好多日常用语除了本义外，还有比喻义。

三、考查方向四、课堂实践1、判断下列加点词的词义分类。

①本义②引申义③比喻义1．我已经碰了多次钉子。

（③）2．快去拿几枚钉子来。

（①）3．今天玩得真痛快！（①）4．完成了任务，心里真痛快。

（②）5．他是我们的头儿。

（③）2、下列选项中，选项中标红的词语和例句中标红的词语用法相同的一项是（B）促食欲素含量降低就会导致人体困倦，让人缺少"精气神"。

A．学校作为育人主阵地，肩负着时代重任。

B．踏上新征程，跑出加速度。

C．打上井冈山，重走红色路。

D．移除绊脚石，奔向新时代。

【解析】本题考查学生准确理解词语（包括熟语）的含义的能力。

"精气神"原是道教术语，指人体内的元精、元气、元神。

此处指精神力气，为引申义。

A."主阵地"原本是战术用语，表示作战时主要占据的地方；此处用于修饰"育人"任务，是运用了比喻义。

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）语文一、本大题共 5 小题，共 18 分。

阅读下面材料，完成下面小题。

材料一：认知与身体的关系一直是认知心理学关注的一个重要问题。

最初，符号加工模式在认知心理学中居于主流地位。

该模式认为认知的本质就是计算，如果把大脑比作计算机的硬件，那么认知就是运行在这个“硬件”上的“程序”。

认知功能是相对独立的，不依赖于身体，就像程序在功能上是独立于硬件的，这就是所谓的“离身认知”。

离身认知观把人比作机器，把认知过程看成计算，认为人只能接受指令算法。

如果把某个人收到的刺激信号输入到另外一个人的大脑中，可以得到同样的感觉体验。

可是，现实情况是，不同的人对世界的感知千差万别。

面对同一事物可能会有“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”的惬意，也可能会有“感时花溅泪，恨别鸟惊心”的惆怅。

其后，联结主义模式进入认知心理学家的视野。

大脑是由神经元相互联结构成的复杂信息处理系统，联结主义建构了“人工神经网络”，力图找寻认知是如何在复杂的大脑神经元联结和并行分布加工中得以涌现的。

然而，联结主义模式与符号加工模式在“认知的本质就是计算”这一点上是相同的，认知在功能上的独立性、离身性构成了两种理论的基础。

目前，具身认知是认知心理学研究中的一个新取向。

该理论主张认知在很大程度上是依赖于身体的。

认知是身体的认知，心智是身体的心智，离开了身体，认知和心智根本就不存在。

身体的结构、身体的活动方式、身体的感觉和体验决定了我们怎样认识和看待世界。

如果我们拥有蝙蝠的生理结构，我们所感知到的世界就完全不是现在的样子。

有些认知内容是身体提供的，身体与世界的互动为我们提供了认识世界的初始概念。

例如，“冷、热、温”等概念基于身体感受，以这些概念为基础发展出了其他一些更抽象的概念。

如形容情感状态，我们会使用“冷漠、热情、温暖”。

（取材于叶浩生、苏得权等的相关文章）材料二：有许多实验支持具身认知的假设。

例如，有一个实验要求学生参加一个关于耳机舒适度的测试。

审题立意的角度
1.现实角度。

考生也要与时俱进，不能总是写依靠材料堆积而成的“三段式”作文，或者是就事论事，局限于作文材料，而是要在吃透材料的基础上，由此及彼，联想生发开去，借题发挥，写出自己对社会人生的真实感受。

这就要求考生增强现实意识，面对作文命题要学会从现实角度思考，从现实角度引申与立意，并写出自己独到的见解。

2. 人文角度。

人文精神是指用一种悲天悯人的情怀来关心、理解、尊重他人，对人类所遭受的苦难深表同情和深怀忧虑；对自然与他人充满敬畏和感恩之情，尊重自然，敬畏生命；在个人的全面发展中，善于反思，审视自我，对自己的行为、思维、心态具有自我批判精神。

在高考作文中，体现出自己所拥有的丰富而高尚的人文精神显得尤为重要。

3．历史角度。

在立意上，我们可以以历史名人的生平事迹、思想主张为载体，或以诗文名句所蕴含的哲理情感适度引申，对文题作形象别致的阐释，使文章的立意自出机杼，与众不同。

当然，这并不是说要我们钻在故纸堆中，预备点“秦砖汉瓦”般的陈旧素材，而是要求我们更多地思考历史，从历史中汲取素材，在思辨中深刻思想，从而体现自己的文学积淀和语文素养。

4.自我角度。

高考作文要写出自己独特的感受和真切的体验。

拿到一个文题，我们可以海阔天空，驰骋想象，作历史的、人文的、现实的联想，也可以反观自身，发掘生活中触动自己心灵的动情点、闪光点，并从自我角度，以自己的生活与感受，对命题作阐释。

这种立意更具真实感，流露真情，使文章真切感人
除此之外，考生也可以把文化角度、生命意义的角度作为立意的突破口，赋予作文题目较为深厚的文化内涵，或阐发其中所蕴含的生命意义，从而让自己的文章立意具有思想的深度，更具启发性。

摘 要：本文透析了2014~2015年全国新课标卷，整体解读了高考英语试卷命制特点，揭示了高考试卷命题趋势。

本文亦从总结与展望相结合的视角，详尽分析了各大题型的设题规律，探讨了提高高考英语教学与备考的可行性途径。

关键词：全国新课标卷；英语高考；命题规律；可行性途径从全国新课标卷看高考英语学科试卷命制与反思江西省抚州市临川第一中学 廖晓林近年来，英语科的考试均为全国每年高考压轴戏，这预示着每年的高考划上了圆满的句号。

2016年全国将有25个省市自治区采用全国卷，到时全国诸多省市自治区将重新回到全国统考试题中，为此2015年的高考英语全国新课标卷有何命题规律和特点？会带给我们什么启迪和思考？2016年的英语高考“路在何方”？高考英语学科试卷是高考命题专家和中学一线教师共同协作的成果。

笔者通过对2014~2015年全国新课标卷分析，旨在探讨高考英语试卷的命题维度和效度，并分析其命题趋势以适应新一轮高考教学与改革之需要。

1.2015年全国新课标卷英语试题总体评价整体解读：2015年全国新课标I 卷和I I 卷均为难易适中的好卷。

总体评价为：平稳创新，引领课改；立足主干，突出能力；贴近生活，注重交际；梯度适当，区分合理；科学选拔，彰显公平。

一言以蔽之，全国新课标卷彰显“四化”特征，即：知识生活化、生活情境化、情境应用化、应用有效化。

纵观这两年高考试题，在题目设置上确保在大格局基础上适度做些微调，其目的在于主流上体现“稳中有变，变中求新”的指导思想，即：真、稳是主基调；变是微调；格局决定结局。

高考英语命题变化趋势体现三大变化趋势：（1）考试内容变化；（2）试卷结构变化；（3）试题题型变化。

其命题走向五大特点为：（1）注重平稳过渡、稳中求变、渐变、孕变；（2）重视对高中英语教学的引领与反拨作用；（3）突出考查考生的综合语言运用与交际能力；（4）体现课改理念、增加主观性和开放性；（5）强调能力立意、提高考试效度。