工程光学习题2

8．在等倾干涉实验中，若照明光波的波长 λ = 600nm ，平板的厚度h=2mm，折射率n=1.5， ，问 其下表面镀高折射率介质（nH>1.5） （1）在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？ （2）由中心向外计算，第 10 个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为 20cm） （3）第 10 个亮环处的条纹间距是多少？ 解： （1）因为平板下表面镀高折射率膜，所以 Δ = 2nh ⋅ cosθ 2 当 cosθ 2 = 1 时，中心处光程差 Δ = 2nh = 2 × 1.5 × 2 = 6mm
λ
λ
λ
5
15．假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为 λ1 和 λ 2 的两个单色光波， λ = λ + Δλ ， 2 1
且Δλ << λ ,这样当平面镜M1移动时，干涉条纹呈周期性地消失和再现，从而使条纹可见 1
度作周期性变化。(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律；(2)相继两次条纹消失时，平 面镜M1移动的距离 Δh ； (3)对于钠灯,设 λ = 589.0nm, λ = 589.6nm 均为单色光， 求 Δh 值。 1 2 解： （1）
∴ r2 − r1 = 2 Δx ⋅ d 1 × 5 ≈ = 10 − 2 mm , r1 + r2 500
2
(1.58 − 1)Δl = 10 −2 mm ∴ Δl = 1.724 × 10 −2 mm
3．一个长 30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定 的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了 25 个条纹， 已知照明光波波长 λ =656.28nm，空气折射率为 n0 = 1.000276 。试求注入气室内气体的 折射率。 解： Δl (n − n0 ) = 25λ S1 r1 S S2 r2
相干长度
Δ max ≈
λ 2 (632.8) 2 = = 20.02(km) Δλ 2 × 10 −8
2
７．直径为 0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于 1mm，双孔必 须与灯相距多远？ 解：∵ bc ⋅ β = λ ,
β=
d l
∴l =
bc ⋅ d
λ
=
0.1 × 1 × 10 −6 = 182mm 550 × 10 −9
C
证明：由几何关系知，
r 2 = R 2 − ( R − h) 2 = 2 Rh − h 2 略去h 2 得 h = 又 ∵ 2h + h=N⋅ r 2R
2
R R-h
(1)
λ
2
= (2 N + 1)
λ
2 r2 Nλ
r
h
λ
2
代入(1)式得R =
14．长度为 10 厘米的柱面透镜一端与平面玻璃相接触，另一端与平面玻璃相隔 0.1mm，透 镜的曲率半径为 1m。问：(1)在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样？ (2)在透镜长度 方向及与之垂直的方向上，由接触点向外计算，第 N 个暗条纹到接触点的距离是多少？ 设照明光波波长为 500nm。
（2）条纹可见度最大时满足条件
λ2
πΔ = mπ
∴Δ = m
λ2 Δλ λ1λ 2 2Δλ
取微分得： δΔ = （3） Δh =
λ2 δm Δλ
令δ m = 1
且δΔ = 2Δh
得Δh =
589.6 × 589 = 0.289(mm) 2 × (589.6 − 589)
16．用泰曼干涉仪测量气体折射率.D1和D2是两个长度为 10cm的真空气室,端面分别与光束I 最后 和II垂直.在观察到单色光照明 λ =589.3nm产生的干涉条纹后,缓慢向气室D2充氧气， 发现条纹移动了 92 个，(1)计算氧气的折射率 (2)若测量条纹精度为 1/10 条纹，示折射 率的测量精度。 解：
10 × 589 × 10 −6 × 1000 10 × 589.6 × 10 −6 × 1000 = 5.89nm ，x 2 = = 5.896nm 1 1
Δx = x2 − x1 = 6 μm
２． 在杨氏实验中， 两小孔距离为 1mm， 观察屏离小孔的距离为 50cm， 当用一片折射率 1.58 的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了 0.5cm，试决定试件厚度。 解： n ⋅ Δl + r1 = r2
λ 的干涉光强 I ' = I + I + 2 I I cos k Δ = I + I + 2 I I cos
2π
λ
⎡ 2πΔ Δλ ⎤ cos πΔ ⎥ = 2A + 2B⎢cos λ ⎢ λ2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ B ⎤ B Δλ Δλ = 2 A⎢1 + cos πΔ cos δ ⎥ ∴ k = cos πΔ 2 2 A A ⎢ ⎥ λ λ ⎣ ⎦ Δλ
l 50 = (mm) , N 14
∴α =
λ/2n
e
=
600 × 14 = 5.6 × 10 −5 (rad ) 2 × 1.52 × 50
【注意】
5cm范围内有15个条纹时，e =
5 。即15个亮条纹相当于14个e。 14
4
12．图示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。证明 R =
r2 ，N 和 r 分别表示第 N 个暗纹 Nλ 和对应的暗纹半径， λ 为照明光波波长,R 为球面曲率半径。
Δ = 0, I ( p) = I 0 + I 0 + 2 I 0 ⋅ I 0 ⋅ cos kΔ = 4 I 0
当有突变 d 时 Δ = ( n − 1)d
'
I ' ( p ) = I 0 + I 0 + 2 I 0 I 0 cos kΔ ' = 2 I 0 + 2 I 0 cos kΔ' ∵ I ' ( p) = 2π 1 I ( p ) ∴ cos kΔ' = 0 2
C
λ
d=
(n − 1)d = mπ +
π
2
, (m = 0,±1,±2 )
m 1 1 λ + )= (m + ) n −1 2 4 2(n − 1) 2 (
λ
６．若光波的波长为 λ ，波长宽度为 Δλ ，相应的频率和频率宽度记为 γ 和 Δγ ，证明：
Δν
ν
=
Δλ
λ
，对于 λ ＝632.8nm 氦氖激光，波长宽度 Δλ = 2 × 10 −8 nm ，求频率宽度和相
干长度。 解：∵ λ = cT = c / γ
⎛ Δγ ⎞ c ⎛ Δγ ⎟ 两边求微分得： Δλ = c⎜ ⎜ γ ⎜− γ 2 ⎟ = − γ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
整理得：
⎞ ⎛ Δγ ⎟ ⎟ = −λ ⎜ ⎜ γ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Δλ
λ
=
Δγ
γ
当 λ ＝632.8nm 时
γ=
3 × 10 8 × 10 9 = 4.74 × 1014 Hz λ 632.8 Δγ Δλ 2 × 10 −8 = ∴ Δγ = 4.74 × 1014 × = 1.5 × 10 4 Hz γ λ 632.8 c =
Δh h1 − h2 10 = = h2 h2 10
= 20 × ＝10λ 2 2 解得h1 = 20λ , h2 = 10λ Δh = N ⋅
∵ Δ = 2nh1 +
λ
λ
(2) θ 1N
【注意】
= 2 × 20λ＋ ＝40.5λ ∴ m0 = 40.5 2 2 1 nλ λ = N −1+ q = 5.5 − 1 + 0.5 = 0.707(rad ) n' h1 10λ
(1)在M 1镜移动前 θ 1N = 在M 1镜移动后 θ 1N ’ =
又 ∵θ 1N = θ 1' N ,
1 nλ n’ h1 1 nλ n’ h2
N 1 − 1 + q ， N 1＝20.5 ， q = 0.5 N 2 − 1 + q ， N 2 = 10.5 ， q = 0.5
得
h1 20 = h2 10
D
2
⎞ ⎛d r12 = D 2 + ⎜ − Δx ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛d r22 = D 2 + ⎜ + Δx ⎟ ⎠ ⎝2
(r2 − r1 )(r2 + r1 ) =
S1
r2
2
Δ
Sx=5mLeabharlann r1ΔL2
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ ⎜ + Δx ⎟ − ⎜ − Δx ⎟ = d ⋅ 2Δx ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
λ
λ
（1）当分光镜不镀膜时，两光路有半波损失；当分光镜镀膜时，两路光的光程差非 0、也 非
λ
2
，应根据膜层厚度和膜层折射率的影响而定，但接近于 0。
（2）视场范围有限，视场中看到的不是全部条纹。 （3）两个变化过程中，不变量是视场大小，即角半径不变。 （4）公式中亮条纹均为整数级次，暗条纹均与之相差 0.5。 11．用等厚条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达 5cm 的范围内共有 15 个亮纹，玻璃楔板的 折射率 n=1.52，所用光波波长为 600nm，求楔角。 解： e =
1 z2 x z2 x+ = + = 常数 - - - (1) 1000 2 R 1000 2000
(2) Δ = 2h +
2h = N ⋅ λ h = N ⋅ 代入(1)式得 = (2 N + 1) 2 2 2 2 2 2 x z z N= ( ) 解得x = 500 Nλ − + λ 1000 2000 2 x ≈ 500N ⋅ 500( μm) = 0.25 N (mm)