2009年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）设集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，全集 ∪ ，则集合∁ （ ∩ ）中的元素共有（）． 个 ． 个 ． 个 ． 个．（ 分）已知 ，则复数 （）．﹣ ． ﹣ ． ． ﹣．（ 分）不等式＜ 的解集为（）． ＜ ＜ ∪ ＞ ． ＜ ＜ ． ﹣ ＜ ＜ ． ＜．（ 分）已知双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为（）． ． ． ．．（ 分）甲组有 名男同学， 名女同学；乙组有 名男同学、 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 名同学，则选出的 人中恰有 名女同学的不同选法共有（）． 种 ． 种 ． 种 ． 种．（ 分）设、、是单位向量，且，则 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．﹣ ． ﹣．（ 分）已知三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）． ． ． ．．（ 分）如果函数 （ ）的图象关于点（， ）中心对称，那么 的最小值为（）． ． ． ．．（ 分）已知直线 与曲线 （ ）相切，则 的值为（）． ． ．﹣ ．﹣．（ 分）已知二面角 ﹣ ﹣ 为 ，动点 、 分别在面 、 内， 到 的距离为， 到 的距离为，则 、 两点之间距离的最小值为（）． ． ． ．．（ 分）函数 （ ）的定义域为 ，若 （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，则（）． （ ）是偶函数 ． （ ）是奇函数 ． （ ） （ ） ． （ ）是奇函数．（ 分）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，右准线为 ，点 ∈ ，线段 交 于点 ，若 ，则 （）． ． ． ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ ﹣ ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于．．（ 分）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．．（ 分）直三棱柱 ﹣ 的各顶点都在同一球面上，若 ，∠ ，则此球的表面积等于． ．（ 分）若，则函数 的最大值为．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）在△ 中，内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，已知 ﹣ ，且 ，求 ． ．（ 分）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， ， ，点 在侧棱 上，∠（ ）证明： 是侧棱 的中点；（ ）求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 局中，甲、乙各胜 局．（ ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（ ）设 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望．．（ 分）在数列 中， ， （ ） ．（ ）设 ，求数列 的通项公式；（ ）求数列 的前 项和 ．．（ 分）如图，已知抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点．（ ）求 的取值范围；（ ）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 的坐标．．（ 分）设函数 （ ） 在两个极值点 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ， ．（ ）求 、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ ， ）的区域；（ ）证明：．年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷 ）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）设集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，全集 ∪ ，则集合∁ （ ∩ ）中的元素共有（） ． 个 ． 个 ． 个 ． 个【分析】根据交集含义取 、 的公共元素写出 ∩ ，再根据补集的含义求解．【解答】解： ∪ ， ， ， ， ， ，∩ ， ， ∴∁ （ ∩ ） ， ， 故选 ．也可用摩根律：∁ （ ∩ ） （∁ ）∪（∁ ）故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知 ，则复数 （） ．﹣ ． ﹣ ． ． ﹣【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求 ．【解答】解：，∴故选．（ 分）（ 全国卷 ）不等式＜ 的解集为（） ． ＜ ＜ ∪ ＞ ． ＜ ＜ ． ﹣ ＜ ＜ ． ＜【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜ ，∴ ＜ ﹣ ，∴ ＜ ﹣ ．∴ ＜ ．∴不等式的解集为 ＜ ．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为（） ． ． ． ．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 ，找到 和 的关系，从而推断出 和 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得 ﹣ ，因渐近线与抛物线相切，所以 ﹣ ，即，故选择 ．．（ 分）（ 全国卷 ）甲组有 名男同学， 名女同学；乙组有 名男同学、 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 名同学，则选出的 人中恰有 名女同学的不同选法共有（）． 种 ． 种 ． 种 ． 种【分析】选出的 人中恰有 名女同学的不同选法， 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（ ）甲组中选出一名女生有种选法；（ ）乙组中选出一名女生有 种选法．故共有 种选法．故选．（ 分）（ 全国卷 ）设、、是单位向量，且，则 的最小值为（）．﹣ ．﹣ ．﹣ ． ﹣【分析】由题意可得 ，故要求的式子即 ﹣（） ﹣ ﹣ ，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， ．∴ ﹣（） ﹣（） ﹣﹣ ≥．故选项为．（ 分）（ 全国卷 ）已知三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）． ． ． ．【分析】首先找到异面直线 与 所成的角（如∠ ）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出 的长度即可；不妨设三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长为 ，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设 的中点为 ，连接 、 、 ，易知 ∠ 即为异面直线 与 所成的角；并设三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面边长为 ，则 ， ， ，由余弦定理，得 ．故选 ．．（ 分）（ 全国卷 ）如果函数 （ ）的图象关于点（， ）中心对称，那么 的最小值为（）． ． ． ．【分析】先根据函数 （ ）的图象关于点中心对称，令 代入函数使其等于 ，求出 的值，进而可得 的最小值．【解答】解：∵函数 （ ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知直线 与曲线 （ ）相切，则 的值为（）． ． ．﹣ ．﹣【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点 （ ， ），则 ， （ ），又∵∴∴ ， ﹣∴ ．故选项为．（ 分）（ 全国卷 ）已知二面角 ﹣ ﹣ 为 ，动点 、 分别在面 、 内， 到 的距离为， 到 的距离为，则 、 两点之间距离的最小值为（）． ． ． ．【分析】分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连 ， 则∠ ∠ ，在三角形 中将 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，连 ， 则∠ ∠ ，，∴又∵当且仅当 ，即点 与点 重合时取最小值．故答案选 ．．（ 分）（ 全国卷 ）函数 （ ）的定义域为 ，若 （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，则（）． （ ）是偶函数 ． （ ）是奇函数 ． （ ） （ ） ． （ ）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求 （ ）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵ （ ）与 （ ﹣ ）都是奇函数，∴函数 （ ）关于点（ ， ）及点（﹣ ， ）对称，∴ （ ） （ ﹣ ） ， （ ） （﹣ ﹣ ） ，故有 （ ﹣ ） （﹣ ﹣ ），函数 （ ）是周期 ﹣（﹣ ） 的周期函数．∴ （﹣ ﹣ ） ﹣ （ ﹣ ），（﹣ ） ﹣ （ ），（ ）是奇函数．故选．（ 分）（ 全国卷 ）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，右准线为 ，点 ∈ ，线段 交 于点 ，若 ，则（）． ． ． ．【分析】过点 作 ⊥ 轴于 ，设右准线 与 轴的交点为 ，根据椭圆的性质可知 ，进而根据，求出 ， ，进而可得 ．【解答】解：过点 作 ⊥ 轴于 ，并设右准线 与 轴的交点为 ，易知 ．由题意，故 ，故 点的横坐标为，纵坐标为±即 ，故 ，∴．故选二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）（ ﹣ ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于﹣ ．【分析】首先要了解二项式定理：（ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，各项的通项公式为： ﹣ ．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（ ﹣ ） 的展开式中含 的项为 ﹣ （﹣ ） ﹣ ，含 的项为 ﹣ （﹣ ） ﹣ ．由 知， 与 的系数之和为﹣ ．故答案为﹣ ．．（ 分）（ 全国卷 ）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．【分析】由 解得 即可．【解答】解：∵∴∴故答案是．（ 分）（ 全国卷 ）直三棱柱 ﹣ 的各顶点都在同一球面上，若 ，∠ ，则此球的表面积等于 ．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 △ 中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ 中 ，∠ ，可得由正弦定理，可得△ 外接圆半径 ，设此圆圆心为 ，球心为 ，在 △ 中，易得球半径，故此球的表面积为故答案为：．（ 分）（ 全国卷 ）若，则函数 的最大值为﹣ ．【分析】见到二倍角 就想到用二倍角公式，之后转化成关于 的函数，将 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令 ，∵，∴故填：﹣ ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）（ 全国卷 ）在△ 中，内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，已知 ﹣ ，且 ，求 ．【分析】根据正弦定理和余弦定理将 化成边的关系，再根据 ﹣ 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ 中∵ ，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得： （ ﹣ ） ．又由已知 ﹣ ∴ ．解得 或 （舍）；法二：由余弦定理得： ﹣ ﹣ ．又 ﹣ ， ≠ ．所以 ①又 ，∴ （ ） ，即 由正弦定理得，故 ②由①，②解得 ．．（ 分）（ 全国卷 ）如图，四棱锥 ﹣ 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， ， ，点 在侧棱 上，∠（ ）证明： 是侧棱 的中点；（ ）求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．【分析】（ ）法一：要证明 是侧棱 的中点，作 ∥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于 ，连 、 ，则 ⊥面 ， ⊥ ，设 ，则 ，解 △ 即可得 的值，进而得到 为侧棱 的中点；法二：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，并求出 点的坐标、 点的坐标和 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（ ）我们可以以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，我们可以利用向量法求二面角 ﹣ ﹣ 的大小．【解答】证明：（ ）作 ∥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于 ，连 、 ，则 ⊥面 ， ⊥ ，设 ，则 ，在 △ 中，∵∠ ∴．在 △ 中由 ∴解得 ，从而∴ 为侧棱 的中点 ．（ ）证法二：分别以 、 、 为 、 、 轴如图建立空间直角坐标系 ﹣ ，则．设 （ ， ， ）（ ＞ ， ＞ ），则，，由题得，即解之个方程组得 ， 即 （ ， ， ）所以 是侧棱 的中点．（ ）证法三：设，则又故，即，解得 ，所以 是侧棱 的中点．（ ）由（ ）得，又，，设分别是平面 、 的法向量，则且，即且分别令得 ， ， ， ，即，∴二面角 ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）（ 全国卷 ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 局中，甲、乙各胜 局．（ ）求甲获得这次比赛胜利的概率；（ ）设 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望．【分析】（ ）由题意知前 局中，甲、乙各胜 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（ ）由题意知 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 、 ，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记 表示事件：第 局甲获胜，（ 、 、 ）表示第 局乙获胜， 、（ ）记 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前 局中，甲、乙各胜 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴由于各局比赛结果相互独立，∴ （ ） （ ） （ ） （ ）× × × × ×（ ） 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知 的可能取值是 、由于各局相互独立，得到 的分布列（ ） （ ）（ ） ﹣ （ ） ﹣∴ × × ．．（ 分）（ 全国卷 ）在数列 中， ， （ ） ．（ ）设 ，求数列 的通项公式；（ ）求数列 的前 项和 ．【分析】（ ）由已知得 ，即 ，由此能够推导出所求的通项公式．（ ）由题设知 ﹣，故 （ ）﹣（ ），设 ，由错位相减法能求出 ﹣．从而导出数列 的前 项和 ．【解答】解：（ ）由已知得 ，且 ，即 ，从而 ，，﹣ （ ≥ ）．于是 ﹣（ ≥ ）．又 ，故所求的通项公式为 ﹣．（ ）由（ ）知 ﹣，故 （ ）﹣（ ），设 ，①，②①﹣②得，﹣﹣ ﹣﹣，∴ ﹣．∴ （ ） ﹣ ．．（ 分）（ 全国卷 ）如图，已知抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点．（ ）求 的取值范围；（ ）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 的坐标．【分析】（ ）先联立抛物线与圆的方程消去 ，得到 的二次方程，根据抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 的范围．（ ）先设出四点 ， ， ， 的坐标再由（ ）中的 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 的坐标．【解答】解：（ ）将抛物线 ： 代入圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）的方程，消去 ，整理得 ﹣ ﹣ （ ）抛物线 ： 与圆 ：（ ﹣ ） （ ＞ ）相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（ ）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（ ）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线 、 的方程分别为 ﹣ （ ﹣ ）， （ ﹣ ），解得点 的坐标为（， ），则由（ ）根据韦达定理有 ， ﹣ ，则∴令，则 （ ） （ ﹣ ）下面求 的最大值．由三次均值有：当且仅当 ﹣ ，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点 的坐标为．．（ 分）（ 全国卷 ）设函数 （ ） 在两个极值点 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ， ．（ ）求 、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（ ， ）的区域；（ ）证明：．【分析】（ ）根据极值的意义可知，极值点 、 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（ ）先用消元法消去参数 ，利用参数 表示出 （ ）的值域，再利用参数 的范围求出 （ ）的范围即可．【解答】解：（ ） （ ） ，（ 分）依题意知，方程 （ ） 有两个根 、 ，且 ∈ ﹣ ， ， ∈ ，等价于 （﹣ ）≥ ， （ ）≤ ， （ ）≤ ， （ ）≥ ．由此得 ， 满足的约束条件为（ 分）满足这些条件的点（ ， ）的区域为图中阴影部分．（ 分）（ ）由题设知 （ ） ，则，故．（ 分）由于 ∈ ， ，而由（ ）知 ≤ ，故．又由（ ）知﹣ ≤ ≤ ，（ 分）所以．。

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。

《建筑工程》一、单项选择题（共20分题，每题1分，每题的备选项中，只有1个最符合题意）1.普通钢筋混凝土结构用钢的主要品种是（）。

A．热轧钢筋B．热处理钢筋C．钢丝D．钢绞线【答案】A【解析】钢筋混凝土结构用钢主要品种有热轧钢筋、预应力混凝土用热处理钢筋、预应力混凝土用钢丝和钢绞线等热轧钢筋是建筑工程中用量最大的钢材品种之一，主要用于钢筋混凝土结构和预应力钢筋混凝土结构的配筋。

2.在钢筋混凝土梁中，箍筋的主要作用是（）。

A．承受由于弯矩作用而产生的拉力B．承受由于弯矩作用而产生的压力C．承受剪力D．承受因混凝土收缩和温度变化产生的压力【答案】C【解析】箍筋主要是承担剪力的，在结构还能固定受力钢筋的位置，以便绑扎成钢筋骨架。

3.某住宅建筑，地上层数为八层，建筑高度为24.300m,该住宅属（）。

A．低层住宅B．多层住宅C．中高层住宅D．高层住宅【答案】C【解析】住宅建筑按层数分类：一层至三层为低层住宅，四层至六层为多层住宅，七层至九层为中高层住宅，十层及十层以上为高层住宅，除住宅建筑之外的民用建筑高度不大于24m者为单层和多层建筑。

大于24m者为高层建筑（不包括高度大于24m的单层公共建筑）。

4.某实行建筑高度控制区内房层，室外地面标高为-0.300m，屋面面层标高为18.00m，女儿墙顶点标高为19.100m，突出屋面的冰箱间顶面为该建筑的最高点，其标高为21.300m，该房屋的建筑高度是（）m。

A．18.300B．19.100C．19.400D．21.600【答案】D【解析】实行建筑高度控制区内建筑高度，应按建筑物室外地面至建筑物和构筑物最高点的高度计算。

则该房屋的建筑高度为＝21.30-(-0.300)＝21.600m5.建筑钢材拉伸试验测的各项指标中，不包括（）。

A．屈服强度B．疲劳强度C．抗拉强度D．伸长率【答案】B【解析】反映建筑钢材拉伸性能的指标包括屈服强度，抗拉强度和伸长率。

屈服强度是结构设计中钢材强度的取值依据。

2009年高考安徽数学(理科)试题及参考答案(估分)总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本卷共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)i是虚数单位，若，则乘积ab的值是：（）A. -15B. -3C. 3D. 15(2)若集合，则A∩B是（）A.B.C.D.(3)下列曲线中离心率为的是（）A.B.C.D.(4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A. p:a+&gt;b+d，q:a&gt;b且c&gt;dB. p:a&gt;1，b&gt;1q:的图像不过第二象限C. p:x=1，q:x<SUP>2</SUP>=x<SUP>D. </SUP>p:a&gt;1，q:在（0，+∞）上为增函数(5)已知{a<SUB>n</SUB>}为等差数列，a<SUB>1</SUB>+a<SUB>2</SUB>+a<SUB>5</SUB>=105，a<SUB>2</SUB>+a<SUB>4</SUB>+a<SUB>6</SUB>=99，以S<SUB>n</SUB>表示{a<SUB>n</SUB>}的前n项和，则使得S<SUB>n</SUB>达到最大值的n是（）A. 21B. 20C. 19D. 18(6)设a<B，函数Y=（X-A）<SUP>2</SUP>（x-b）的图像可能是（）A.B.C.D.(7)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A. 7/3B. 3/7C. 4/3D. 3/4(8)已知函数的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调区间是（）A.B.C.D.(9)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x<SUP>2</SUP>+x-8，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是（）A. y=2x-1B. y=xC. y=3x-2D. y=-2x+3(10)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A. 1/75B. 2/75C. 3/75D. 4/75二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（新课标）2009年高考理科数学试题一、选择题（1）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I （ ）(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3 (2) 复数32322323i ii i+--=-+（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）-2i (D)2（3）对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关（4）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 （5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（ ）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（6）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（ ）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

若1a =1，则4s =（ ） （A ）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ） （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值（9）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且P A P B P B P C P C P A ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于（ ） （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0), 则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

姓名 座位号（在此卷上答题无效）绝密 ★ 启封前2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科综合能力测试第Ⅰ卷（选择题 共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

14．原子核聚变可望给人类未来提供丰富的洁净能源。

当氘等离子体被加热到适当高温时，氘核参与的几种聚变反应可能发生，放出能量。

这几种反应总的效果可以表示为241112106243.15H k He d H n MeV →+++由平衡条件可知A ．k =1 d =4B ．k =2 d =2C ．k =1 d =6D ．k =2 d =3 答案：B15．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞。

这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。

碰撞过程中产生的 大量碎片可能会影响太空环境。

假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 A ．甲的运行周期一定比乙的长 B ．甲距地面的高度一定比乙的高 C ．甲的向心力一定比乙的小 D ．甲的加速度一定比乙的大 答案：D16．大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。

除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。

上世纪末，对1A 型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。

如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R 和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像？答案：C17．为了节省能量，某商场安装了智能化的电动扶梯。

无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转。

一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图所示。

那么下列说法中正确的是A ．顾客始终受到三个力的作用ttttABCDB ．顾客始终处于超重状态C ．顾客对扶梯作用力的方向先指向左下方，再竖直向下D ．顾客对扶梯作用的方向先指向右下方，再竖直向下 答案：C18．在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形的abcd ，顶点a 、c 处分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图所示。

2009年全国高考理科数学试题及答案2009年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式S?4πR 其中R表示球的半径2P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么球的体积公式V?43πR 3P(AB)?P(A)P(B) 一、选择题：其中R表示球的半径21. 设集合S?x|x?5,T?x|x?4x?21?0,则S????T? Ａ.?x|?7?x??5?Ｂ.?x|3?x?5? Ｃ.?x|?5?x?3?Ｄ.?x|?7?x?5? ?a?log2x(当x?2时)?２.已知函数f(x)??x2?4在点x?2处连续，则常数a的值是(当x?2时）??x?2Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５(1?2i)2３.复数的值是3?4iＡ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i 4.已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是．． A.函数f(x)的最小正周期为2? B.函数f(x)在区间?0,???上是增函数??2?1 C.函数f(x)的图像关于直线x?0对称D.函数f(x)是奇函数 5.如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC,PA?2AB，则下列结论正确的是 A. PB?AD B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所称的角为45 6.已知a,b,c,d为实数，且c?d。

则“a?b”是“a?c?b?d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件?x2y2?2?1(b?0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为y?x，7. 已知双曲线2b点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2= A. -12 B. -2C. 0D. 4 8. 如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，?球心O到平面ABC的距离是32，则B、C两点的球面距离是2A.?4? B.?C.? 3329. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 C. 1137D. 51610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

熟悉建筑结构抗震基本知识地震基本知识地震俗称地动，是一种具有突发性的自然现象。

地震按其发生的原因，主要有火山地震、陷落地震、人工诱发地震以及构造地震。

构造地震破坏作用大，影响范围广是房屋建筑抗震研究的主要对象。

在建筑抗震设计中，所指的地震是由于地壳构造运动（岩层构造状态的变动）使岩层发生断裂、错动而引起的地面振动，这种地面振动称为构造地震，简称地震。

地壳深处发生岩层断裂、错动的地方称为震源。

震源正上方的地面称为震中。

震中附近地面运动最激烈，也是破坏最严重的地区，叫震中区或极震区。

地面上某处到震源的距离叫震源距。

震源至地面的距离称为震源深度。

一般把震源深度小于60Km的地震称为浅源地震；60～300Km称为中源地震；大于300Km 成为深源地震。

中国发生的绝大部分地震均属于浅源地震。

地震波地震引起的振动以波的形式从震源向四周传播，这种波就称为地震波。

地震波按其在地壳传播的位置不同，分为体波和面波。

体波是在地球内部由震源向四周传播的波，分为纵波（P波）和横波（S波）。

纵波（P波）是由震源向四周传播的压缩波，介质质点的振动方向与波的传播方向一致，引起地面垂直振动，周期短、振幅小、波速快。

横波（S波）传播的是由震源向四周传播的剪切波，介质质点的振动方向与波的传播方向垂直，引起地面水平振动，周期长、振幅大、波速慢。

面波是体波经地层界面多次放射、折射形成的次生波。

面波的质点振动方向比较复杂，既引起地面水平振动又引起地面垂直振动。

当地震发生时，纵波首先到达，使房屋产生上下颠簸，接着横波到达，使范围产生水平摇晃，一般是当面波和横波都到达时，房屋振动最为激烈。

震级地震的震级是衡量一次地震大小的等级，用符号M表示。

地震的震级M，一般称为里氏震级。

1935年由里希特首先提出了震级的定义。

当震级相差一级，地面振动振幅增加约10倍，而能量增加近32倍。

一般说来，M＜2的地震，人们感觉不到，称为微震；M=2～4的地震称为有感地震；M＞5的地震，对建筑物就要引起不同程度的破坏，统称为破坏性地震；M＞7的地震称为强烈地震或大地震；M＞8的地震称为特大地震。

2009年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．152．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（）A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}3．（5分）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．4．（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数5．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．186．（5分）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z9．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=010．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）=．12．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=．13．（5分）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是．14．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是．15．（5分）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．17．（12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．18．（13分）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx），（a＞0），讨论f（x）的单调性．20．（13分）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．21．（13分）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．2009年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B 是（）A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x ﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即，∴﹣1＜x＜2，又∵＜0，∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即或，∴x＞3或x＜﹣，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．故选D3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p 是q的必要不充分条件，故A正确；B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；D、∵a＞1，∴f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q 的充要条件，故D错误；故选A．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．【解答】解：∵y=（a﹣x）（x﹣b）2∴当x≥a时，y≤0，故可排除A、D；又当x≤a时，y≥0，故可排除C；故选B．7．（5分）（2009•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．【解答】解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D （，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．【解答】解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3∴f′（1）=﹣2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=﹣1∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0故选A10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）=．【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．【解答】解：∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），根据正态密度曲线的对称性可得∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=选填：．12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．【解答】解：直线的极坐标方程为（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．曲线（α为参数）的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．求得弦心距d==，故弦长为2=2=，故答案为．13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：12714．（5分）（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是2．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y 的最值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）．设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）．∵=x+y=（x，0）+（﹣，y）=（cosα，sinα）；则，解得，∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：215．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【分析】①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．【解答】解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴17．（12分）（2009•安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x 就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．【分析】由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和x的均值．【解答】解：由题意知X的可能取值为1，2，3，随机变量X的分布列是X123PX的均值为EX=1×+2×+3×=．18．（13分）（2009•安徽）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．【分析】（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角，在三角形BGD 中求出此角即可；（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD 与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P•HP求解即可．为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=S菱形ABCD【解答】解：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角．由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=，OG=．由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO=．（2）解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD．过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．由+=+=1，得HP=．=AC•BD=，又因为S菱形ABCD故四棱锥H﹣ABCD的体积V=S•HP=．菱形ABCD19．（12分）（2009•安徽）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx），（a＞0），讨论f （x）的单调性．【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），．设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8．①当△=a2﹣8＜0，即时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当△=a2﹣8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即时，方程g（x）=0有两个不同的实根，，0＜x1＜x2．x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0_0+f（x）单调递增↗极大单调递减↘极小单调递增此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．20．（13分）（2009•安徽）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【分析】（Ⅰ）由，得y=，从而x=acosβ，由此能证明直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，由此得ta nαtanγ=tan2β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【解答】解：（Ⅰ）由，得y=，代入椭圆，得，将，代入上式，得x2﹣2acosβx+a2cos2β=0，从而x=acosβ，∴有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，l1的斜率为tan=，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．21．（13分）（2009•安徽）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．【分析】（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，a n 都是奇数；（2）先求出a n+1﹣a n的表达式，利用函数思想求解不等式a n+1﹣a n＞0，求出a n 取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．【解答】（1）证明：已知a1是奇数，假设a k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，a n都是奇数．（2）法一：由a n+1﹣a n=（a n﹣1）（a n﹣3）知，a n+1＞a n当且仅当a n＜1或a n ＞3．另一方面，若0＜a k＜1，则0＜a k+1＜=1；若a k＞3，则a k+1＞=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜a n＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔a n＞3，∀n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．a n+1﹣a n=﹣=，因为a1＞0，a n+1=，所以所有的a n均大于0，因此a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．根据数学归纳法，∀n∈N+，a n+1﹣a n与a2﹣a1同号．因此，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．。

2009年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（）A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【专题】综合题．【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即，∴﹣1＜x＜2，又∵＜0，∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即或，∴x＞3或x＜﹣，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．故选D【点评】此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a ＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；D、∵a＞1，∴f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；故选A．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．5．（5分）（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a 时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．【解答】解：∵y=（a﹣x）（x﹣b）2∴当x≥a时，y≤0，故可排除A、D；又当x≤a时，y≥0，故可排除C；故选B．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．7．（5分）（2009•安徽）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．【解答】解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选C．【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求法．求三角函数的周期、单调区间、最值都要把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式在进行解题．9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．【专题】压轴题．【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．【解答】解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3∴f′（1）=﹣2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=﹣1∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0故选A【点评】本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）=．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；作图题．【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．【解答】解：∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），根据正态密度曲线的对称性可得∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=选填：．【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．【解答】解：直线的极坐标方程为（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．曲线（α为参数）的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．求得弦心距d==，故弦长为2=2=，故答案为．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前1/第一圈 3 是第二圈7 是第三圈15 是第四圈31 是第五圈63 是第六圈127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是2．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）．设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）．∵=x+y=（x，0）+（﹣，y）=（cosα，sinα）.∴∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：2【点评】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是①④⑤．①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【考点】棱锥的结构特征．【专题】常规题型；压轴题．【分析】①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．【解答】解：①根据三棱锥的结构特征知正确．②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．⑤设图中CD是最长边．BC+BD＞CD，AC+AD＞CD若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾则命题成立．故答案为：①④⑤【点评】本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．17．（12分）（2009•安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和x的均值．【解答】解：由题意知X的可能取值为1，2，3，随机变量X的分布列是X 1 2 3PX的均值为EX=1×+2×+3×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和均值的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18．（13分）（2009•安徽）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=S菱形ABCD•HP求解即可．【解答】解：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角．由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=，OG=．由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO=．（2）解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD．过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．由+=+=1，得HP=．又因为S菱形ABCD=AC•BD=，故四棱锥H﹣ABCD的体积V=S菱形ABCD•HP=．【点评】本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．19．（12分）（2009•安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），．设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8．①当△=a2﹣8＜0，即时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当△=a2﹣8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即时，方程g（x）=0有两个不同的实根，，0＜x1＜x2．x （0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 _ 0 +f（x）单调递增↗极大单调递减↘极小单调递增此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（13分）（2009•安徽）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【考点】直线与圆锥曲线的关系；等比关系的确定．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由，得y=，从而x=acosβ，由此能证明直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【解答】解：（Ⅰ）由，得y=，代入椭圆，得，将，代入上式，得x2﹣2acosβx+a2cos2β=0，从而x=acosβ，∴有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P．（Ⅱ）tanα==tanβ，l1的斜率为tan=，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．【点评】本题考查直线与椭圆有唯一交点的证明，考查tanα，tanβ，tanγ构成等比数列的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（13分）（2009•安徽）首项为正数的数列{a n}满足a n+1=（a n2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，a n都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，求a1的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，a n都是奇数；（2）先求出a n+1﹣a n的表达式，利用函数思想求解不等式a n+1﹣a n＞0，求出a n取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．【解答】（1）证明：已知a1是奇数，假设a k=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a k+1==m（m﹣1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，a n都是奇数．（2）法一：由a n+1﹣a n=（a n﹣1）（a n﹣3）知，a n+1＞a n当且仅当a n＜1或a n＞3．另一方面，若0＜a k＜1，则0＜a k+1＜=1；若a k＞3，则a k+1＞=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜a n＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔a n＞3，∀n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．a n+1﹣a n=﹣=，因为a1＞0，a n+1=，所以所有的a n均大于0，因此a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．根据数学归纳法，∀n∈N+，a n+1﹣a n与a2﹣a1同号．因此，对一切n∈N+都有a n+1＞a n的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．【点评】此题主要考查数学归纳法求解有关数列的问题时的应用．。