挑战2018中考之近年学业水平模拟试题精选优质试卷 (4)

2016年江苏省南京市六合区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在实数，0，﹣，2π中，无理数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列各式计算正确的是（）A．a6÷a3=a2 B．（a3）2=a5 C．=±2 D．=﹣23．某课外兴趣小组为了解所在地区的老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样较合理的是（）A．在公园调查了1000名老年人的健康状况B．在医院调查了1000名老年人的健康状况C．调查了100名小区内老年邻居的健康状况D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况4．如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（）A． B．C．D．5．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%6．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也可称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为______．8．不等式组的解集是______．9．小明第一次抛一枚质地均匀的硬币时反面向上，第二次抛此枚硬币时也是反面向上，则他第三次抛这枚硬币时，正面向上的概率是______．10．函数y=中，自变量x的取值范围是______．______．AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是______．13．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为______．14．将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．15．如图，点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，则当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为______．16．矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP 是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为______．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2；（2）（﹣）÷．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．19．为了增强环境保护意识，在“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，随机抽查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：dB），并将抽查得到的数据进行整理（设所测数据是正整数），得（1）频数分布表中的a=______，b=______，c=______；（2）补充完整频数分布直方图；（3）如果全市共有400个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于75dB的测量点约有多少个？20．（1）甲、乙两人用如图所示的①、②两个转盘做游戏，规则是：转动两个转盘各1次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙胜．试求出甲获胜的概率．（2）若利用除颜色外其余都相同的红、黄、白色乒乓球各一个设计一个摸球试验，试写出一个与（1）中甲获胜概率相同的事件．（友情提醒：要说明试验的方案，不需说明理由）21．如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．22．某玩具经销商用1.6万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用3.4万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？（2）若第一批玩具销售完后总利润率为25%，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？23．如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）24．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB运动，当点P运动到点B时停止．已知动点P在AD、BC上的运动速度为1cm/s，在DC上的运动速度为2cm/s．△PAB的面积y（cm2）与动点P的运动时间t（s）的函数关系图象如图②．（1）a=______，b=______；（2）用文字说明点N坐标的实际意义；（3）当t为何值时，y的值为2cm2．25．如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E 点作⊙O的切线，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．26．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为______．（填写序号即可）①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：四边形ABCD是勾股四边形．27．如图，已知二次函数y=ax2+bx﹣5（a，b是常数，a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．（1）若a＜5，试证明抛物线的对称轴一定在y轴的右侧．（2）若点B的坐标为（5，0）．①求a、b的值及t的取值范围．②求当t为何值时，∠PCQ=90°．2016年江苏省南京市六合区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在实数，0，﹣，2π中，无理数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：，0是有理数；﹣、2π是无理数，故选：C．2．下列各式计算正确的是（）A．a6÷a3=a2 B．（a3）2=a5 C．=±2 D．=﹣2【考点】同底数幂的除法；算术平方根；立方根；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘；一个正数的算术平方根只有一个；负数的立方根是负数，可得答案．【解答】解：A、同底数幂的除法底数不变指数相减，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、=2，故C错误；D、=﹣2，故D正确；故选：D．3．某课外兴趣小组为了解所在地区的老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样较合理的是（）A．在公园调查了1000名老年人的健康状况B．在医院调查了1000名老年人的健康状况C．调查了100名小区内老年邻居的健康状况D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况【考点】抽样调查的可靠性．【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．【解答】解：A、在公园调查了1000名老年人的健康状况，抽查的都是锻炼的老人，没有代表性，故A错误；B、在医院调查了1000名老年人的健康状况，抽查的都是不健康的老人，没有代表性，故B 错误；C、调查了100名小区内老年邻居的健康状况，调查没有广泛性，故C错误；D、利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况，调查由广泛性、代表性，故D正确；故选：D．4．如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（）A． B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．故选A．5．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%【考点】一元二次方程的应用．【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可列方程求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96x=0.2或1.8x=1.8不符合题意，舍去，故x=0.2答：平均每次降价的百分率是20%．故选A．6．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．【分析】由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得到AC与OD平行，故选项①正确；由CO垂直于AB，OA=OC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，得到∠CAB为45度，再由两直线平行同位角相等得到∠DOB为45度，即∠COD为45度，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠ADC为45度，得到一对角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形CED与三角形OCD相似，由相似得比例可得出CD为CE与CO的比例中项，故选项③正确；取弧AC的中点F，得到弧AF 与弧CF相等，再由弧AC=2弧CD，得到三条弧相等，利用等弧对等弦得到CF=AF=CD，即CF+AF=2CD，而CF+AF大于AC，可得出AC不等式2CD，故选项②错误．【解答】解：∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，故选项①正确；∵OC⊥AB，OA=OC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，∵∠ADC与∠AOC都对，∴∠ADC=∠AOC=45°，∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，∴△DCE∽△OCD，∴=，即CD2=CE•OC，故选项③正确；取的中点F，可得=，∵=2，∴==，∴AF=FC=CD，即AF+FC=2CD，∵AF+FC＞AC，则2CD＞AC，故选项②错误，则正确的选项有：①③．故选B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也可称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．8．不等式组的解集是x＞3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x＜6，得：x＞﹣3，解不等式﹣2+x＞1，得：x＞3，故不等式组的解集为：x＞3，故答案为：x＞3．9．小明第一次抛一枚质地均匀的硬币时反面向上，第二次抛此枚硬币时也是反面向上，则他第三次抛这枚硬币时，正面向上的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据一枚质地均匀的硬币有正反两面即可得出结论．【解答】解：∵一枚质地均匀的硬币有正反两面，∴他第三次抛这枚硬币时，正面向上的概率是．故答案为：．10．函数y=中，自变量x的取值范围是x≤3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．．我市某一周的最高气温统计如表，则这组数据的中位数是27℃．【考点】中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：处于这组数据中间位置的那个数是27℃，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是27℃．故答案为27℃．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC=1：9，AD=2，则BC的长是6．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据S△AOD：S△BOC=1：9，利用△AOD～△COB，则得出AD：BC=1：3，即可求出BC的长．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD～△COB，∵S△AOD：S△BOC=1：9，∴AD：BC=1：3，∵AD=2，∴BC=6．故答案为：6．13．如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为6．【考点】垂径定理；勾股定理；矩形的性质．【分析】作OE⊥BC于E，根据垂径定理得到BE=EC，根据勾股定理求出BE的长，得到答案．【解答】解：作OE⊥BC于E，则BE=EC，由题意得，四边形ABEO为矩形，∴OE=AB=4，由勾股定理得，BE==3，则BC=2BE=6，故答案为：6．14．将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为4．【考点】圆锥的计算．【分析】由半圆的面积求出半圆的半径，而半圆的半径等于圆锥的母线l，利用圆锥的面积公式求出圆锥的半径即可．【解答】解：设半圆的半径为R，∵S=πR2=32π，解得：R=8，即l=8，∵S侧=S=πrl=8πr=32π，则r=4．故答案为：4．15．如图，点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，则当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为（，1）或（1，）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；切线的性质．【分析】结合点P在反比例函数图象上，设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出OP的长度，由点A为OP的中点，即可找出PA的长度，再根据相切的两种不同形式分类，结合点P的坐标以及圆的半径即可得出关于P点横坐标的一元高次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵点P为函数y=（x＞0）的图象上的点，∴设点P的坐标为（n，）（n＞0）．∴OP=．∵点A为PO的中点，∴PA=OP=．⊙P与坐标轴相切分两种情况：①⊙P与x轴相切，此时有=，整理得：n2=，解得：n2=3，或n2=﹣3（舍去），解n2=3，得：n1=，n2=﹣（舍去），此时点P的坐标为（，1）；②⊙P与y轴相切，此时有=n，整理得：n2=，解得：n2=1，或n2=﹣1（舍去），解n2=1，得：n3=1，a4=﹣1（舍去），此时点P的坐标为（1，）．综上可知：点P的坐标为（，1）或（1，）．故答案为：（，1）或（1，）．16．矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP 是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为2、7或8．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先计算出QB的长，再分三种情况：①如图1，PQ=AQ=5时；②如图2，AP=AQ=5时；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时分别计算出CP的长即可．【解答】解：∵AB=10，点Q是BA的中点，∴AQ=BA=×10=5，∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，根据勾股定理，QE==3，∴BE=BQ+QE=5+3=8，∴CP=BE=8；②如图2，AP=AQ=5时，根据勾股定理，DP===3，∴CP=10﹣3=7；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，根据勾股定理：QE===3，∵BE=QB﹣EQ=5﹣3=2，∴CP=BE=2，综上所述，CP的长为2或7或8．故答案为：2、7或8．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）2cos45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2；（2）（﹣）÷．【考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2×+1﹣9=﹣8；（2）原式=（﹣）÷=×=．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系的关系x1+x2=a，x1x2=2，如何根据x1x2=x1+x2﹣2得到关于a的方程，解方程即可得到结论；（2）解方程即可得到结果．【解答】解：（1）∵x1+x2=a，x1x2=2，又x1x2=x1+x2﹣2，∴a﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，∴（x﹣2）2=2，解得：x﹣2=或x﹣2=﹣，∴x1=2+，x2=2﹣．19．为了增强环境保护意识，在“世界环境日”当天，在环保局工作人员指导下，若干名“环保小卫士”组成的“控制噪声污染”课题学习研究小组，随机抽查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级（单位：dB），并将抽查得到的数据进行整理（设所测数据是正整数），得（1）频数分布表中的a=8，b=12，c=0.3；（2）补充完整频数分布直方图；（3）如果全市共有400个测量点，那么在这一时刻噪声声级小于75dB的测量点约有多少个？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据表格可以得到a、b、c的值；（2）根据表格中的数据可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据题意可以得到全市共有400个测量点，在这一时刻噪声声级小于75dB的测量点约有多少个．【解答】解：（1）由题意可得，a=40×0.2=8，b=40﹣4﹣8﹣10﹣6=12，c=12÷40=0.3，故答案为：8，12，0.3；（2）补充完整频数分布直方图如下图所示，（3）由题意可得，400×（0.1+0.2）=400×0.3=120（个）即在这一时刻噪声声级小于75dB的测量点约有120个．20．（1）甲、乙两人用如图所示的①、②两个转盘做游戏，规则是：转动两个转盘各1次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙胜．试求出甲获胜的概率．（2）若利用除颜色外其余都相同的红、黄、白色乒乓球各一个设计一个摸球试验，试写出一个与（1）中甲获胜概率相同的事件．（友情提醒：要说明试验的方案，不需说明理由）【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）列举得出所有等可能的情况数，找出积为奇数的情况数，即可求出甲获胜的概率；（2）求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到游戏不公平，修改规则即可．【解答】解：（1）转动两个转盘各1次，所有可能出现的结果有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）、（3，7），共有9种可能．它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“积为奇数”的结果有4种，所以转动两个转盘各1次，转出的两个数字之积为奇数的概率为．（2）实验如：在一个不透明的袋子中放入除颜色外其余都相同的红、黄、白色乒乓球各1个，从袋子中取出一个球，记下颜色后放入袋中，再从袋子中取出一个球，记下颜色．事件：两次取出的球中有且只有一个球是红色球．21．如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD，得出CE=CF即可；（2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．【解答】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，∴AC=CB．∴△ABC是等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°∴∠EDC=∠FDC，在△DEC与△DFC中，，∴△DEC≌△DFC（ASA），∴DE=DF；（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．理由如下：∵AD=BD，AB=2CD，∴AD=BD=CD．∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∴四边形DECF是矩形．又∵DE=DF，∴四边形CEDF是正方形．22．某玩具经销商用1.6万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用3.4万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？（2）若第一批玩具销售完后总利润率为25%，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）设第一次购进了x套，则第二次购进了2x套，进而表示出进价，即可得出等式求出答案；（2）首先求出玩具的售价，进而求出其每件的利润，即可得出答案．【解答】解：（1）设第一次购进了x套，则第二次购进了2x套．依题意，列方程得： +10=，解得：x=100，经检验x=100是原方程的根，2x=200，答：该经销商两次共购进这种玩具300套；（2）由（1）得第一批每套玩具的进价为=160（元），又∵总利润率为25%，∴售价为160（1+25%）=200元，第二批玩具的进价为170元，售价也为200元．40×100+30×200=10000元．答：这二批玩具经销商共可获利10000元．23．如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】判断有无危险只要求出点C到AB的距离，与6海里比较大小就可以．首先过点C作CD⊥AB于点D，设BD=xkm，由三角函数的定义，即可求得CD=xkm，AD=xkm，则可方程20+x=x，解此方程即可求得CD的长，比较即可求得答案．【解答】解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由：过点C作CD⊥AB于点D，∴∠BCD=∠CBM=45°，设BD=xkm，则CD==x（km），∵∠CAN=60°，∴∠CAD=30°，在Rt△CAD中，tan∠CAB=tan30°==，∴AD=CD=x（km），∵AB=20km，AB+DB=AD，∴20+x=x，解得：x=10+10（km），∴CD=10+10≈27.3（km）＞25km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．24．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB运动，当点P运动到点B时停止．已知动点P在AD、BC上的运动速度为1cm/s，在DC上的运动速度为2cm/s．△PAB的面积y（cm2）与动点P的运动时间t（s）的函数关系图象如图②．（1）a=4，b=6；（2）用文字说明点N坐标的实际意义；（3）当t为何值时，y的值为2cm2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）从图②中根据面积和运动时间求出AD，AB，从而得到a，b；（2）从图②中点N的纵坐标和横坐标分别考虑，结合图①即可；（3）y是2cm2的话，由于AB=4，只有点P到AB的距离为1，即可．【解答】解：（1）由图②中发现，点P从开始运动到2s时运动到点D，且在AD边上速度为1，∴BC=AD=2，∵点P在DC上运动时，面积不变是4，∴4=AB×AD，∴AB=4，∵DC上的运动速度为2cm/s，∴a=2+4÷2=4，∴b=2+2+2=6，故答案为4，6；（2）P运动了4s时到达点C，此时△PAB的面积为4cm2，（3）由题意AB=DC=4，∵要y的值为2cm2，即点P到AB的距离为1，∴必须点P在AD或BC上，且PA=1cm或PB=1cm，当PA=1cm时，点P的运动时间t=1s，当PB=1cm时，点P的运动时间为t=6﹣1=5s，即当t为1s或5s时，y的值为2cm2．25．如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E 点作⊙O的切线，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连结OE．由AC=AC，OE=OC可证明∠OEC=∠ABC，从而可证得OE∥AB，由切线的性质可知∠OEF=90°，然后由平行线的性质可证明∠AFE=90°；（2）连结DE、AE．先由直径所对的圆周角等于90°可证明AE⊥BC，由等腰三角三线合一的性质可求得BC的长，然后依据圆内接四边形的性质证明∠BED=∠BAC，于是可得得到△BED∽△BAC，接下来由相似三角形对应边成比例可求得AB的长，从而得到AC的长．【解答】解：（1）证明：如图1所示：连结OE．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∵OE=OC，∴∠OEC=∠ACB，∴∠OEC=∠ABC．∴OE∥AB．∵EF与⊙O 相切，∴OE⊥EF．∴∠OEF=90°．∵OE∥AB，∴∠AFE=90°．∴OE⊥AB．（2）如图2所示：连结DE、AE．∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，∴∠DEC+∠BAC=180°．又∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠BED=∠BAC．又∵∠B=∠B，∴△BED∽△BAC．∴．∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∵在△ABC中，AB=AC，∴BE=CE=3，∴BC=6．∴，∴AB=9．即AC=AB=9．26．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为①②．（填写序号即可）①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：四边形ABCD是勾股四边形．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由勾股四边形的定义和特殊四边形的性质，则可得出；（2）①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE，从而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE 为等边三角形；②由①可得∠BCE=60°，从而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）①如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，即：矩形是勾股四边形，②如图，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，即：由一个角为直角的四边形是勾股四边形，③有一个角为60°的菱形，邻边边中没有直角，所以不满足勾股四边形的定义，故答案为①②，（2）①∵△ABC绕点B顺时针旋转了60°到△DBE，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵在△BCE中，BC=BE，∠CBE=60°∴△BCE是等边三角形．②∵△BCE是等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，在Rt△DCE中，有DC2+CE2=DE2，∵DE=AC，BC=CE，∴DC2+BC2=AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形．27．如图，已知二次函数y=ax2+bx﹣5（a，b是常数，a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．（1）若a＜5，试证明抛物线的对称轴一定在y轴的右侧．（2）若点B的坐标为（5，0）．①求a、b的值及t的取值范围．②求当t为何值时，∠PCQ=90°．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入y=ax2+bx﹣5得到b=a﹣5，再利用抛物线的对称轴方程得到x=﹣=，然后根据0＜a＜5可判断＞0，所以此时抛物线的对称轴一定在y轴的右侧；（2）①把A和B点坐标代入y=ax2+bx﹣5中可得到关于a和b的方程组，然后解方程组可得到a和b的值，从而得到二次函数关系式为y=x2﹣4x﹣5，利用配方法求出抛物线的顶点坐标为（2，﹣9），再利用图象可判断当t＞﹣9时，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点；②直线y=t交y轴于点D，连接PC、CQ，如图，设点Q的坐标为（m，t）（m＞0），利用抛物线的对称性可得点P的坐标为（﹣m+4，t），分类讨论：（Ⅰ）当t＞﹣5时，点D在点C上方，把Q（m，t）代入解析式得到t+5=m2﹣4m，则CD=t+5，DQ=m，DP=m﹣4，再证明△QCD∽△CDP，利用相似比得到=，整理得（t+5）2=m2﹣4m，则（t+5）2=t+5，解得t1=﹣5（不合，舍去），t2=﹣4；（Ⅱ）当t=﹣5时，动直线y=t经过点C，不合题意；（Ⅲ）当t＜﹣5时，点D在C下方，∠PCQ＜∠DCQ＜90°．【解答】（1）证明：∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴a﹣b﹣5=0，∴b=a﹣5，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∵0＜a＜5，∴2a＞0，5﹣a＞0，∴＞0，。