高中数学必修5精品课件2.2.等差数列3

2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提示： d=an+1- an=-4
3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
提示： 300<
83+5×（n-1）<500
44
2 5
n
84
2 5
n=45，46，…，84
典例解析
备例已知数列an的通项公式为an pn q
其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等差
数列吗?若是，首项与公差分别是什么？
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等 于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
概念辨析
它们是等差数列吗？
(5) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(6) 5，5，5，5，5，5，…
公差 d=0 常数列 (7) x, 3x, 5x, 7 x, 9x,
8844.43米
高度(km) 1
2
3
45
…
减少6.5
9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
…
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062. (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. (3) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… (4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…

an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3

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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3 2021/8/ 38/3/2 021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021 年8月3 日星期 二2021/ 8/3202 1/8/320 21/8/3
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月2021 /8/320 21/8/32 021/8/ 38/3/20 21
a1,an,n,d 知三求一
例2 、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,
求{an}的通项公式 解：由题意可得 a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
求通项公式的关键:
求基本量a1和d
方程思想
等差数列的通项公式为：
通项公式应用
例1（1）求等差数列7，4，1，-2，…的第100项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…
的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
变式：《九章算术•均输章》——等差数列问题 今有金箠(chui)，长五尺。斩本一尺，重四斤； 斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何。
a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
…
归纳： an=a1+(n-1)d
当n=1时，上式也成立。
观察归纳
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d

或
跟踪练习
1. 在等差数列{an}中； (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.
解
5×4 S5＝5a1＋ d＝5， 2 (1) a6＝a1＋5d＝10，
解得 a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16. 10×9 S10＝10a1＋ d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2 17×a1＋a17 17×a3＋a15 17×40 (2)S17＝ ＝ ＝ ＝340. 2 2 2
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
(2)法一
an＋12 (消 Sn)；由 Sn＝ (n∈N*)，得 4an＋1＝4(Sn＋ 4
2
1－Sn)＝(an＋1＋1)
－(an＋1)2
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an＞0，∴an＋1－an＝2， 又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1， 故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.
法二
(消 an)：由上可知
2 Sn＝an＋1，∴2 Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)， 化简可得( Sn－1)2＝Sn－1， ( Sn＋ Sn－1－1)( Sn－ Sn－1－1)＝0， 又 S1＝1，{an}的各项都为正数， 所以 Sn－ Sn－1＝1. 所以 Sn＝n，从而 Sn＝n2， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1 也适合，故 an ＝2n－1.
4S n 4S1 4S 2 ... Sn 3． 已知数列{an}中， a1＝2，a1 2 a2 2 an 2
,
求 an.