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操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。
鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
1. 常见操作类问题2. 计数技巧与操作【例1】 （2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。
问能把餐巾纸： ⑴剪成2块吗？ ⑵剪成3块吗？ ⑶剪成4块吗？ ⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：操作与计数技巧第九讲⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。
【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。
求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷= ，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。
三年级奥数01讲我会算一算：加法与减法02讲我会算一算：乘法与除法03讲归一归总问题04讲数字迷之加减法竖式05讲周期问题（一）06讲等量代换之常用解题方法07讲枚举法（二）08讲和差问题（二）09讲多笔画问题10讲图形数列找规律11讲平均数问题（秋季课程）12讲巧求周长（二）第13讲和差倍问题（一）第14讲图形面积第15讲逻辑推理之对应型、真假型问题第16讲多位数除法第17讲乘除法巧算第18讲巧填算符（二）第19讲年龄问题第20讲周期问题（二）第21讲奇偶性分析第22讲最短路线第23讲操作类智巧趣题第24讲：认识分数小数第25讲：方阵问题（寒假课程敬请期待）第26讲：巧填幻方第27讲：速算与巧算第28讲：图形分割（二）第29讲：角度问题第30讲：植树问题第31讲：和差倍问题（二）第32讲：数字谜之乘除法竖式第33讲：三角形面积第34讲：图表类统计问题第35讲：鸡兔同笼第36讲：等差数列初步（一）第37讲：等差数列初步（二）第38讲：图形计数之有序枚举第39讲：数阵图第40讲：还原问题之图表法第41讲：认识方程第42讲：盈亏问题（一）第43讲：盈亏问题（二）第44讲：整数的分拆第45讲：平行四边形与梯形第46讲：页码问题第47讲：简单行程第48讲：基本应用题第49讲：点线排布四年级奥数第01讲：定义新运算(一)（暑期课程）第02讲：等差数列进阶第03讲：列方程解应用题第04讲：加法原理和乘法原理第05讲：相遇和追及（一）第06讲：相遇和追及（二）第07讲：逻辑推理之列表法，假设法第08讲：火车过桥（一）第09讲：火车过桥（二）第10讲：体育比赛中的数学问题第11讲：四边形中的基本图形（一）第12讲：四边形中的基本图形（二）第13讲：位值原理第14讲：整数与数列（一）（秋季课程）第15讲：整数与数列（二）第16讲：游戏与对策（一）第17讲：三角形的边角关系第18讲：巧求面积（一）第19讲：巧求面积（二）第20讲：图形的分割与剪拼第21讲：简单抽屉原理与最不利原则（一）第22讲：简单抽屉原理与最不利原则（二）第23讲：环形跑道（一）第24讲：环形跑道（二）第25讲：加乘原理与归纳递推第26讲：操作问题第27讲：流水行船初步第28讲：构造与论证之奇偶分析（一）第29讲：构造与论证之奇偶分析（二）第30讲：多位数计算（寒假课程）第31讲：容斥原理初步（一）第32讲：容斥原理初步（二）第33讲：应用题综合第34讲：数列与数表（一）第35讲：排列（一）第36讲：排列（二）第37讲：组合（一）第38讲：组合（二）第39讲：统筹与最优化第40讲：小数计算（春季课程）第41讲：几何计数第42讲：格点与割补第43讲：等积变形（一）第44讲：等积变形（二）第45讲：最值问题第46讲：电梯与发车间隔问题第47讲：排列组合综合应用（一）第48讲：排列组合综合应用（二）第49讲：列二元一次方程组解应用题第50讲：破解横式与竖式数字谜第51讲：数的整除特征（一）第52讲：数的整除特征（二）第53讲：勾股定理与弦图第54讲：长度与角度综合五年级奥数第01讲分数加减（暑期课程）第02讲分数乘除第03讲比例初步第04讲循环小数第05讲共边模型第06讲共角模型第07讲牛吃草问题第08讲数的整除的综合运用（一）第09讲数的整除的综合运用（二）第10讲多次相遇与追及（一）第11讲多次相遇与追及（二）第12讲复杂抽屉原理第13讲质数与合数第14讲蝴蝶模型第15讲分数应用题第16讲燕尾模型（一）第17讲燕尾模型（二）第18讲分数小数混合运算（秋季课程）第19讲圆和扇形（一）第20讲圆和扇形（二）第21讲工程问题（一）第22讲工程问题（二）第23讲因数与倍数（一）第24讲列分数系数方程解应用题第25讲流水行船第26讲游戏与对策之数论类游戏第27讲比例应用题第28讲完全平方数（一）第29讲完全平方数（二）第30讲立体几何（一）第31讲立体几何（二）第32讲分数裂项初步（寒假课程）第33讲分数计算之换元、通项归纳第34讲数列与数表（二）第35讲时钟问题（一）第36讲时钟问题（二）第37讲带余除法第38讲余数定理第39讲因数与倍数（二）第40讲容斥原理（一）第41讲容斥原理（二）第42讲：（等待官网更新）综合型逻辑推理第43讲多人相遇与追及（一）第44讲多人相遇与追及（二）第45讲特殊图形第46讲：【等待更新】棋盘中的数第47讲进制问题第48讲比例法解行程问题第49讲方程法解行程问题第50讲复合图形的分拆（一）第51讲复合图形的分拆（二）第52讲多元一次方程组（一）第53讲多元一次方程组（二）第54讲同余问题（一）第55讲同余问题（二）第56讲比较与估算（一）第57讲比较与估算（二）第58讲定义新运算（二）第59讲不定方程第60讲电梯、发车间隔与接送问题六年级奥数第1讲分数裂项综合（暑期课程）第2讲分数计算题型综合第3讲常用计算公式第4讲计数原理之加乘原理第5讲计数原理之容斥原理第6讲计数方法之标数法、递推法第7讲概率与统计第8讲经济利润问题第9讲浓度问题第10讲曲线型面积问题第11讲立体几何——表面积与体积第12讲因数与倍数综合第13讲质数与合数（二）第14讲公式类行程问题之流水行船、扶梯问题、环形跑道第15讲比例类行程问题之比例法与设数法第16讲分数四则混合运算（秋季课程敬请期待敬请期待）第17讲初中基本功之解方程第18讲计数方法之枚举法第19讲计数方法之捆绑法、插空法、插板法第20讲分数、比例应用题精讲第21讲工程问题精讲第22讲牛吃草问题精讲第23讲五大模型——共边模型、鸟头模型第24讲五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型第25讲平面几何常用技巧第26讲立体几何常用技巧第27讲整除综合之整除判别方法第28讲余数综合之余数问题解题技巧第29讲数论综合之代数思想与枚举验证第30讲比例类行程问题之柳卡图第1讲小升初热点应用题盘点————复杂工程、比例应用题（寒假课程）第2讲小升初热点应用题盘点————经济问题、浓度问题第3讲数论之质合、因倍、余数综合第4讲数论之最值、计数、行程综合（一）第5讲数论之最值、计数、行程综合（二）第6讲曲线型面积解题思路第7讲行程问题常用思想之图解法、综合分析第8讲行程问题常用思想之比例思想、代数思想第01讲小升初计算高频考点汇总与方法总结（春季课程）第02讲小升初计数高频考点汇总与方法总结第03讲小升初数论高频考点汇总与方法总结（一）第04讲小升初数论高频考点汇总与方法总结（二）第05讲小升初行程高频考点汇总与方法总结（一）第06讲小升初行程高频考点汇总与方法总结（二）第07讲小升初应用题高频考点汇总与方法总结（一）第08讲小升初应用题高频考点汇总与方法总结（二）第09讲小升初几何高频考点汇总与方法总结（一）第10讲小升初几何高频考点汇总与方法总结（二）第11讲小升初重点中学模拟试卷名师点评（一）第12讲小升初重点中学模拟试卷名师点评（二）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
竞赛类教案7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一年级奥数讲座（二）目录第一讲认识图形（一）第二讲认识图形（二）第三讲认识图形（三）第四讲数一数（一）第五讲数一数（二）第六讲动手画画第七讲摆摆看看第八讲做做想想第九讲区分图形第十讲立体平面展开第十一讲做立体模型第十二讲图形的整体与部分第十三讲折叠描痕法第十四讲多个图形的组拼第十五讲一个图形的等积变换第十六讲一个图形的等份分划第十七讲发现图形的变化规律第一讲认识图形（一）1．这叫什么？这叫“点”。
用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。
点在纸上占一个位置。
2．这叫什么？这叫“线段”。
沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。
线段有两个端点。
3．这叫什么？这叫“射线”。
从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。
射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。
4．这叫什么？这叫“直线”。
沿着直尺用笔可以画出直线。
直线没有端点，可以向两边无限延伸。
5．这两条直线相交。
两条直线相交，只有一个交点。
6．这两条直线平行。
两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。
7．这叫什么？这叫“角”。
角是由从一点引出的两条射线构成的。
这点叫角的顶点，射线叫角的边。
角分锐角、直角和钝角三种。
直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。
教室里天花板上的角都是直角。
锐角比直角小，钝角比直角大。
习题一看看想想1．点（1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。
2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。
可以横着摆，也可以竖着摆。
（2）两根小棍。
可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。
（3）三根小棍。
可以像下面这样摆。
3．两条直线哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？4．你能在自己的周围发现这样的角吗？第二讲认识图形（二）一、认识三角形1．这叫“三角形”。
三角形有三条边，三个角，三个顶点。
2．这叫“直角三角形”。
直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。
《华数奥赛教材(3年级)》目录
上册
第一讲速算与巧算
第二讲火柴棒游戏
第三讲消元问题
第四讲填运算符号
第五讲找规律
第六讲等差数列及其应用
第七讲平均数
第八讲和倍问题
第九讲差倍问题
第十讲和差问题
第十一讲逆推问题
第十二讲植树问题
第十三讲方阵问题
第十四讲年龄问题
综合练习
《华数奥赛教材(3年级)》目录
下册
第一讲算式谜（一）
第二讲算式谜（二）
第三讲一笔画
第四讲奇偶分析
第五讲除法与余数（一）
第六讲除法与余数（二）
第七讲巧求周长
第八讲数图形
第九讲格点与面积
第十讲归一问题
第十一讲鸡兔同笼问题
第十二讲盈亏问题（一）
第十三讲盈亏问题（二）
第十四讲数字问题
综合练习。
尧旭教育个性化辅导第（九）讲教师版学员姓名：年级：五上课时数：2学科教师：宋老师辅导科目：数学课题期中复习一授课时间：教学目标1．掌握小数的乘除法综合运算及应用题的解答；2．理解平均数的概念及平均数的熟练应用教学内容（此环节设计时间在10-15分钟）教学设计：教师根据以下有理数章节的思维导图引导学生对本章节内容进行复习回顾，可以通过设置问题进行抢答（或点名提问）。
通过对小数乘除法章节内容的回顾完成相关的练习题。
1、小数乘以整数。
小数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
如：3.14×4表示求4个3.14或3.14的4倍是多少。
2、一个数乘以小数。
一个数乘以小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
如：2.4×0.5表示求2.4的十分之五。
37×0.16表示求37的百分之十六。
8.39×0.308表示求8.39的千分之三百零八。
3、理解小数乘法计算方法的关键——把小数乘法转化成整数乘法的道理。
四、判断（1）两个数的积不是小数，所以这两个因数一定不是小数。
（ ）（2）小数不一定比整数小。
（ ）（3）8825.14.65.12⨯⨯=⨯ （ ）五、应用题（1）师傅每分钟加工40个零件，徒弟每分钟加工25个零件，师傅每分钟加工的零件的数量是徒弟每分钟加工零件的多少倍？（2）长为9.8米的绳子可以分成多少根长为0.05米的短绳？（3）长颈鹿的身高是5.7米，小兔子的身高是0.15米，长颈鹿的身高是小兔子的多少倍？答案：一： 4.6 9.84 184 2952 二： 2.08 4.002 6.04三： 100 390 2.038 730 10 220 4.8 16.3 48 1.63 4.8 1.63 0.48 16.3 0.5 0.0625 四： × × √ 五： 1.6 196 38（此环节设计时间在20-30分钟）【例1】 小东参加一分钟跳绳选拔赛.前3次平均每次跳102个,后面2次分别跳了115个和124个,小东平均每次跳多少次?【例2】 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？试一试： 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验答案：109 39 8此环节设计时间在60分钟左右（40分钟练习+20分钟互动讲解）。
高中数学竞赛培训教材[全套](共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
基础班答案* 练习一 *【详解】两人每合走1圈相遇1次，用时480(5565)4÷+=(分钟)，到第10次相遇共用40分钟，所以王老师共走了55402200⨯=(米)，要走到出发点还需走48052200200⨯-=(米)．* 练习二 *【详解】右图中C 表示甲、乙第一次相遇的地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点1809090-=(米)．可见相同时间内甲走的路程是乙的2倍，所以甲的速度也是乙的2倍，那么乙的速度为每分钟10米．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A 、B 出发相向而行，相遇需要90(2010)3÷+=(分钟)．* 练习三 *【详解】第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A 经过C 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3倍，即A 到D 是803240⨯=(米)．那么圆周上A 到B 的距离是24060180-=(米)．圆的周长为1802360⨯=(米)．* 练习四 *【详解】在3点10分10秒时分针与时针之间的度数是111190106100.529534661212-⨯+⨯=+=(度)，那么两针第一次重合需要的时间为()1133460.561266÷-=(分钟)．* 练习五 *【详解】可以想象，这道题的答案应该有2个．8点的时候，时针在分针前240度，而到时针与分针的夹角是60度时，时针在分针前或后60度，所以分针应该比时针多运动180度或300度，而一个小时分针比时针多运动36030330-=度，所以要构成符合条件的角度，要经过618033011÷=小时，即83211分钟，或1030033011÷=小时，即65411分钟，所以在8点83211分或8点65411分时分针和时针成一直线．提高班答案* 练习一 *【详解】右图中C 表示甲、乙第一次相遇的地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点1809090-=(米)．可见相同时间内甲走的路程是乙的2倍，所以甲的速度也是乙的2倍，那么乙的速度为每分钟10米．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A 、B 出发相向而行，相遇需要90(2010)3÷+=(分钟)．* 练习二 *【详解】两人每合走1圈相遇1次，用时480(5565)4÷+=(分钟)，到第10次相遇共用40分钟，所以王老师共走了55402200⨯=(米)，要走到出发点还需走48052200200⨯-=(米)．* 练习三 *【详解】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为8:6:5，所以，当它们首次同时回到出发点时，甲运动了8圈，乙运动了6圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙多运动了2圈．而蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动1圈，就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次．* 练习四 *【详解】在3点10分10秒时分针与时针之间的度数是111190106100.529534661212-⨯+⨯=+=(度)，那么两针第一次重合需要的时间为()1133460.561266÷-=(分钟)．* 练习五 *【详解】可以想象，这道题的答案应该有2个．8点的时候，时针在分针前240度，而到时针与分针的夹角是60度时，时针在分针前或后60度，所以分针应该比时针多运动180度或300度，而一个小时分针比时针多运动36030330-=度，所以要构成符合条件的角度，要经过618033011÷=小时，即83211分钟，或1030033011÷=小时，即65411分钟，所以在8点83211分或8点65411分时分针和时针成一直线．尖子班答案* 练习一 *【详解】右图中C 表示甲、乙第一次相遇的地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点1809090-=(米)．可见相同时间内甲走的路程是乙的2倍，所以甲的速度也是乙的2倍，那么乙的速度为每分钟10米．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A 、B 出发相向而行，相遇需要90(2010)3÷+=(分钟)．* 练习二 *【详解】由题意可知甲每分钟比乙多跑6米．第三次相遇时两人共跑了34001200⨯=米，所以两人速度和为12008150÷=(米/秒)，所以乙的速度为()1506272-÷=(米/秒)．两人第2次相遇时共走了800米，乙走了()72800150384⨯÷=(米)，所以两人第2次相遇的地点与A 点沿跑道上的最短距离是40038416-=(米)．* 练习三 *【详解】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为8:6:5，所以，当它们首次同时回到出发点时，甲运动了8圈，乙运动了6圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙多运动了2圈．而蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动1圈，就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次．* 练习四 *【详解】在3点10分10秒时分针与时针之间的度数是111190106100.529534661212-⨯+⨯=+=(度)，那么两针第一次重合需要的时间为()1133460.561266÷-=(分钟)．* 练习五 *【详解】可以想象，这道题的答案应该有2个．8点的时候，时针在分针前240度，而到时针与分针的夹角是60度时，时针在分针前或后60度，所以分针应该比时针多运动180度或300度，而一个小时分针比时针多运动36030330-=度，所以要构成符合条件的角度，要经过618033011÷=小时，即83211分钟，或1030033011÷=小时，即65411分钟，所以在8点83211分或8点65411分时分针和时针成一直线．* 练习六 *【详解】标准钟的时针和分针重合的周期，为在钟面上分针追上时针一圈所花的时间，由于时针每小时走112圈，分针每小时走1圈，所以该周期为112111112=-小时． 本题中这面钟的周期为65分钟，即1312小时，所以这面钟和标准钟的运行速度比为1213144:1112143=，所以这面钟分针运行24周(即按该钟的24小时)相当于标准钟的分针运行143524231446⨯=周，即23小时50分．竞赛班答案* 练习一 *【详解】由题意可知甲每分钟比乙多跑6米．第三次相遇时两人共跑了34001200⨯=米，所以两人速度和为12008150÷=(米/分)，所以乙的速度为()1506272-÷=(米/分)．两人第2次相遇时共走了800米，乙走了()72800150384⨯÷=(米)，所以两人第2次相遇的地点与A 点沿跑道上的最短距离是40038416-=(米)．* 练习二 *【详解】设A 点是起始点，甲、乙二虫一开始都是顺时针爬行，乙爬行到B 点后开始反向爬行，与甲虫在C 点相遇。
操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。
鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
1.常见操作类问题2.计数技巧与操作【例1】（2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。
问能把餐巾纸：⑴剪成2块吗？⑵剪成3块吗？⑶剪成4块吗？⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：常见操作类问题经典精讲教学目标操作与计数技巧第九讲⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。
【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。
求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷=L L，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。
【例3】（2006年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。
如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有______个。
【分析】首先圆圈上是不可能有5个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有4个。
实际操作得到：【拓展】经过2008次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？【分析】如图进行操作，当第7此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。
所以第2008次操作时圆圈上的棋子颜色与第4次操作后的圆圈情况相同。
【例4】50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_______。
【分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为()12n n+,报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道3612345678=+++++++，所以报2008的同学第一次报8。
【例5】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99。
一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。
例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。
这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数。
纸上出现的所有数的总和是。
【分析】每一次操作都少了3个数，所以只剩下一个数的话，要经过49步操作，即后面要写49个数，注意到每一次操作后数和不变。
前33步操作将99个数3个3个加和放在后边，和等于L，接着11步操作将写的33个数3个3个加和在后边,和等于++++=123994950+++=L，L，101118126 L，这11个数分别是12945123994950+++=++++=+++=L。
相邻两个相差9981⨯=，L，L，919299855192027207+++=之后还有5个数，第一个数是45126207378++=。
最后一个数12994950L，=+++=而之间三个数的和等于最后一个数即4950，所以这些数的总和等于4950495049503784950495025128+++++=。
【前铺】将前100个正整数顺次写下得到多位数12345699100L，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是______。
【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字第二次操作后，剩下的全是4的倍数位上的数字；……………直到第六次操作后，剩下的全是64的倍数位上的数字，原多位数一共有92903192+⨯+=位，所以此时剩下的是第64位、128位和192位上的数字。
-=,1192591÷=L L，-=,55227164955÷=L L，所以第64位上的是“37”的“3”；1289119所以第128位上的是“69”的“6”，所以剩下的三位数是360。
【例6】有一叠300张卡片，从上到下依次编号为1~300，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。
那么剩下的这张卡片是原来300张卡片的第几张？【分析】88张。
当有8=（张）卡片时，第一轮过后剩下的是2的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是22 2562的倍数号卡片……第8轮过后，剩下的是82的倍数号卡片，即就剩下1张卡片，是第256号卡片。
现在有300张卡片，如果拿掉30025644-=（张）卡片，剩下256张卡片，那么就变为上述的情况了。
拿掉的第44张卡片是编号为442187⨯-=（号）的卡片，此时剩下256张卡片，下一个要拿掉的是第89号卡片，第88号是最后一张。
所以，剩下的这张卡片是原来的第88张。
【点评】关键是从模型2n中找到规律，这种规律的前提是2n个数，这就要考量怎么转换条件的问题。
【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让N个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。
对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。
老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为推导过程较为复杂，不好理解。
根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。
方法和例子这里列举这类问题的两种情形。
对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。
这两种情形都是基于如下前提：从1到N编号的N个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。
并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。
设老鼠的总个数为N，最后幸存的老鼠编号为X。
情形1：1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。
当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m＝2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。
情形2：1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。
当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m ＝3；每3只中吃掉两只，因此，2n =。
结论通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N 的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列A 。
该数列的首项1a m =，公差d n =（m 和n 都是正整数）。
而与N 对应的X 的取值则构成了若干个等差数列1B ，2B ，L ，K B 。
这些等差数列的公差都为m ，首项都为1。
还发现，构成的这些等差数列有这样一个规律：每逢N 的值为mk 时（m 和k 都是正整数），对应X 的取值就是1。
也就是说，当N 的取值范围从k m 到1k m n +- 之间时，对应的X 的取值就构成了一个d m =，11a =的等差数列，项数就是从k N m =到1k N m n +=-之间数的个数（包括k m 和1k m n +-这两个数）。
那么现在来看看一般情形：如果猫要从m 个老鼠中吃掉n 个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤：1、 首先找到小于N 的一个最大的数k m （k 是正整数，并假设k N m ≠）；2、 这样就构成一个首项1a k m =，末项n a N =，公差d n =的等差数列A ，利用公式求出项数b ; （即，()1k b N m n =+-÷ ）3、 因为X 的每个取值也构成了一个与A 对应的等差数列K B ，其中，公差为m ，首项为1，项数为b 。
利用等差数列求末项公式，求出末项n a ； （即，()11n a b m =+-⨯）4、n a 就是与N 对应的X 的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。
【例7】 （2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○X 1 4 7 1 4 7 10 13 16 19 22 25 1 4 7 10 ... 1 4 ...计数技巧与操作位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。
如果“马”在88⨯的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条。
