积分变换模拟试题(A).

华南理工大学 广州汽车学院 2007——2008学年度第一学期期末考试 《积分变换》 试卷A 考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚； 2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟； 3．所有答案应直接写在试卷上。

一．利用定义求下列函数的Fourier 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．4,02,()0,t f t ≤≤⎧=⎨⎩其它； 2．sin ,,()0,.t t f t t ππ⎧<⎪=⎨>⎪⎩二．利用性质求下列函数的Fourier 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．()();n f t u t t = 2．()()sin 2;t f t u t e t -=3．2()sin ;f t t t = 4．()()sin().4t f t t e t πδ=+三．证明（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 设()[()]F F f t ω=，证明：0001[()cos ](()()).2F f t t F F ωωωωω=-++四．求下列函数的卷积（本大题共1小题，每小题8分，共8分）sin ,02,()(),()0,.t t t f t e u t g t π-≤≤⎧==⎨⎩其它五．利用Fourier 变换解下列积分方程（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 0sin ()cos .t g td t ωωω+∞=⎰ 六．利用定义求下列函数的Laplace 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．1,03,()0,3t t f t t +≤≤⎧=⎨>⎩； 2．sin ,0,(),.t t f t t t ππ≤≤⎧=⎨>⎩七．利用性质求下列函数的Laplace 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．4()3()2;t f t u t e =- 2．2()();t f t e t δ-=+3．()1;at f t e -=- 4．2()sin 2.f t t t =八．求下列像函数的Laplace 逆变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．41();F s ω= 2．1().(2)F s s ω=+九．求解下列微分方程（本大题共1小题，每小题8分， 共8分）'sin ,(0) 1.x x t x +==-。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

河南理工大学 2010-2011学年第 一 学期《复变函数与积分变换》试卷（A 卷）为 。

2. 设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数，则实数.l = m = n = 。

3.21sin z z zdz ==⎰ 521(2)zz e dz z -==-⎰4. 函数2w z =把z 平面上的曲线21xy =映射成w 平面上曲线方程为5. 0z =是函数1()sin f z z z=的 级极点。

6. 函数sin ()zf z z=的孤立奇点是0z = 类型 其留数为 。

7. 积分30sin 2t te dt +∞-=⎰ 。

8. 已知21[()](),[()]j t F u t F u t e j πδωω=+=则 9. 45L t t ⎡⎤*=⎣⎦根据卷积定理10. 11z e -函数在复数域内的所有奇点为（1）33()23f z x y i =+函数在何处可导？何处解析？并求在可导点处的导数值。

()(2)1ii +求的值。

（3）计算积分2(),Cx iy dz +⎰其中C 为从原点到1i +的直线段。

（4）设2cos4(),(12),(1),'(1).f z d f i f f zζπζζζ==--⎰求（1）已知2(1)u x y =-为调和函数，求解析函数()f z u iv =+，并使得(2).f i =-（2）将函数1()23f z z =-在点01z =展开为泰勒级数，并指出展开式成立的范围。

…………………………密………………………………封………………………………线…………………………（3）设21()sin ,f z z z =写出()f z 在0z =的去心邻域内的洛朗级数展开式；根据洛朗级数的特点求Re [(),0];s f z 然后利用留数定理计算积分211sin .z z dz z=⎰（4）计算积分2222.(1)z z dz z z =+-⎰（1）设11()0t f t ⎧<=⎨⎩，其它求()f t 的Fourier 变换及()f t 的Fourier 积分。

积分变换第一章练习题（100分）一、填空题（每空4分，共60分）1.()sin t tdt δ+∞-∞⎰= .2.设[()]()F f t F w =，则()F w 与()f t 有 （相同，不同） 的奇偶性.3.[sin2]F t = .4.[(3)]F u t = .5.函数0()sin3()f t t t t =δ-的傅立叶变换6．傅立叶积分公式的三角形式为： 00()()cos ()sin f t a td b td +∞+∞=ωωω+ωωω⎰⎰这里=)(ωa ；=)(ωb7.函数0()()j t f t e t u t ω=⋅⋅的傅立叶变换 。

8.已知函数()f t 的傅立叶变换为()F ω，则函数()f at b + 的傅立叶变换为 。

9.0[()]t t δ-=F[1]=F0[]jw t e =F0[()sin ]u t w t =F[(23)()]t f t -=F10.设50,0(),0t t f t e t -<⎧=⎨≥⎩，则[()]f t =F二、综合题（每题10分，共40分）1.若10,0()1,010,1t f t t t t <⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，20,0()1,020,2t f t t t <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩， 求：12()*()f t f t （10分） 2.求函数()sin cos f t t t =的傅立叶变换)(ωF 。

（10分）3.证明在傅氏变换下123123f f f f f f **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦成立。

（10分） 4.求余弦函数0()cos f t t =ω的傅氏变换。

（10分）答案：一、填空题1.02.相同3.[(2)(2)]j w w πδ+-δ- 4.1()3w jw +πδ 5.00sin 3jwt t e -⋅ 6.11()()cos ,()()sin a w f w d b w f w d +∞+∞-∞-∞=τττ=τττππ⎰⎰ 7.0201()()j w w w w '-+πδ-- 8.1()b jw a w e F a a9.0000001)2)2()3)2(),1114)[()()]2()()5)2()3()jwt e w w w w w w w j w w j w w jF w F w -πδπδ-+πδ---πδ+-+'- 10.2525jw w-+ 1、解：1212()*()()()f t f t f f t d +∞-∞=τ-ττ⎰10,0()1,010,1f τ<⎧⎪τ=-τ≤τ≤⎨⎪τ>⎩， 220,0()1,020,20,()1,20,2t f t t t t f t t tt -τ<⎧⎪-τ=≤-τ≤⎨⎪-τ>⎩τ>⎧⎪⇔-τ=-≤τ≤⎨⎪τ<-⎩非零积分域为：012t t≤τ≤⎧⎨-≤τ≤⎩1)0t ≤无公共非零积分域⇔12(),()f f t τ-τ至少有一个为零 即：当0t ≤时，12()()0f t f t *= （2分） 202)0101t t t -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩公共非零积分域为0t ≤τ≤ 即：当01t <≤时2120()()(1)2t t f t f t dt t *=-τ=-⎰ （2分） 203)121t t t -≤⎧⇒<≤⎨>⎩公共非零积分域为01≤τ≤ 即：当12t <≤时，11201()()(1)2f t f t dt *=-τ=⎰ （2分） 0214)01t t <-<⎧⇒Φ⎨<<⎩不存在该情况 0215)231t t t <-≤⎧⇔<≤⎨>⎩公共非零积分域为21t -≤τ≤ 即：当23t <≤时，211229()()(1)322t t f t f t dt t -*=-τ=-+⎰ （2分） 6)213t t ->⇔> 无公共非零积分域⇔12(),()f f t τ-τ至少有一个为零 即：当3t >时，12()()0f t f t *= （2分）。

2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期: 2008年11月24日 考试时间: 晚上7:00~9:30一、填空题 (每空2分，共20分)1．复数ii2332++-的主辐角为 ．2．函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？ ， 何处解析？ ．3．)43(Ln i +-的值为 ． 4．级数∑∞+=1n nni 是否收敛？ ；是否绝对收敛？ ． 5．函数1e)(-=z z z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径为 ．6．区域}0Im :{<<-=z z D π在映射z w e =下的像为． 7．映射2332)(z z z f +=在i z =处的旋转角为 ． 8．函数t t t t f cos )2()1()(2--=δ的Fourier 变换为 ．解答内容不得超过装订线二、计算题 (每题5分，共20分)1．⎰=++3||342215d )1()1(z z z z z2．⎰=3||d 1cosz z zz3．)1(20>+⎰a a πcos d θθ4．x x xd cos 0⎰∞++52三、(14分)已知y x y a x y x u ++=22),(，求常数a以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件i i f +-=1)(．解答内容不得超过装订线四、(14分)将函数211)(z z f +=分别在0=z 点和i z -=点展开为洛朗(Laurent )级数．五、(6分)求区域}0Im ,0Re :{>>=z z z D 在映射iz i z w -+=22下的像．六、(10分)求把区域}23arg 0,1||:{π<<<=z z z D 映射到上半平面的共形映射．解答内容不得超过装订线七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程：0)(4)(2)(=-'-''t x t x t x ，1)0(,0)0(='=x x ．八、( 6 分) 已知幂级数∑+∞=0n nn z a 的系数满足：110==a a ，)2(,21≥+=--n a a a n n n ，该级数在251||+-<z 内收敛到函数)(z f ，证明： )(d )1()()(1216.0||2z f z f i=--+⎰=ξξξξξπξ，)6.0||(<z ．。

天津工业大学（2008—2009学年第二学期）《积分变换》期末试卷2009 .6 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。

本试卷共有三张（除白纸外），六页，六道大题,一选择题(每小题3分)1.积分公式是 ( B )A dw edt e t f jwtjwt])([21-+∞∞-+∞∞-⎰⎰B dw edt e t f jwtjwt])([21-+∞∞-+∞∞-⎰⎰π Cdw edt et f jwtjwt-+∞∞-+∞∞-⎰⎰])([21 Ddw edt et f jwtjwt-+∞∞-+∞∞-⎰⎰])([21π2.设L )]([t f )(s F =，则L )]([t tf -＝ ( B )A )('s F -B )('s FC )('s jFD )('s jF - 3.积分dt et t⎰+∞-022cos = ( A )A14B 1C 81 D 2-e4. 设L )()]([s F t f =，则下列公式中，正确的是 ( C )-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名装订线装订线装订线A =t a e t f )( L -1)]([a s F +B L [=⎰tdt t f 0])()(s sFC =)('t f L -1)]0()([f s sF -D L )]([a t f - =)(s F e as二填空题(每空3分)1. ()(),()f t t f t δ=已知则的傅氏变换为___1_________________; 的傅氏变换为t t f sin )(=_____{(1)(1)}j w w πδδ+--_________;2. F()[]01ωωδ+-=_____012jw teπ-_____,F()[]ωπδ21-=___1_______;3. L [20sin ttetdt -⎰]=_21((2)1)s s ++ _，L 0sin []t dt t+∞⎰= ___4π_______;4. L1-22[](1)ss +=1sin 2t t, L1-]1[22-s s= ()())2t te e t shtt δδ--++（或者；5. L [sin ]t δ（t ）=_______0_______;6. L 1-[)1arctan(+s ]=______sin tet t--_________。

积分变换模拟试题A一.填空题（每题3分，共18分） 1.F -1()[]0w w -δ= ， F [])(0t u etj ω-=2.F ][cos 2t = ， L )]([t u = 3.F [)(t δ]= ，L -1[31s ]= , L -1[122++s s ]= 4.设⎩⎨⎧><=-0,0,0)(t e t t f t则=)(*)(t f t u 5.若⎩⎨⎧<=其它,01,1)(t t f 的Fourier 积分表达式为dw w wtw ⎰+∞cos sin 2π，则积分=⎰+∞dw ww w 0cos sin6. 设221)(s e s F s-+=，则)(t f =二.单项选择题（每题3分，共12分）1.设)()(t u t f =，则 F )]([t f =( )A.)()(1w w j πδ+ B.π C.0jwt eD.12.已知F [)(t f ]=)(w F ，则 F )]([0t t tf -=( ) A.)(w F j '- B.)(00w F e t jwt --C.))((00w F j t ejwt '+D.)()(000w F je w F et jwt jwt '+--3.积分dt e t t ⎰+∞-03)(δ=( )A.0B.1C.0.1D.3-e4.设 )()]([s F t f =，则下列公式中，不正确的是( ) A.=)('t f -1)]0()([f s sF - B.=⎰tdt t f 0)( -1])([ss F C.=ta e t f )( -1)]([a s F +D.nn t t f )1()(-= -1)]([)(s F n三.计算下列各题(每题6分，共30分) 1．已知 t e t u t f tsin )()(-= ，求F [)(t f ]； 2. 已知dt t te t f tt ⎰-=022sin )(，求L )]([t f ;3. 已知ss s F 2)1(1)(-=，求)(s F 的拉氏逆变换。

习题一一、填空题（每空3分，共30分） 1.1211,,2z i z i =+=+则12z z ⋅= ，12arg()z z ⋅= ． 2.3. ()exp(2/2z π'+=4. (2)Ln i = ，cos i =5．.沿圆周C 的正向积分:1211z C z ze dz z -=+=-⎰Ñ ． 6. 级数(1)(1)nn n i z ∞=--∑的收敛半径R = ．7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是 ８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为 二、选择题（每题3分，共15分）1.方程52z -=所表示的曲线是 （ ）（A ）椭圆 （B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周2. 已知1()z e f z z-=，则]0),([Re z f s （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为4sin z zz-的( ) （A ）一级极点 （B ）二级极点 （C ）三级极点 （D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0[()]tf t dt ⎰的值是（ ）（A ）()F s js （B ）()(0)F s f s- （C ）()F s s （D ）()F s5. w 1F()=F 1[()]f t ，w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（ ） （A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=⋅（C ）F 12121[()()]()()2f t f t F w F w π⋅=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ⋅=* 三．1.（本题5分）24,12C dz z z i ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰Ñ其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算221,1Cz dz C z +-⎰Ñ为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1sin z zdz ⎰.四．假设1. （本题8分）假设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.2.（本题8分）将函数2z ze e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数21()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数2(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

工程数学积分变换试题题1：计算以下不定积分：(1) ∫(2x+3)dx(2) ∫(3sinx+4cosx)dx(3) ∫(e^x/x)dx(4) ∫(lnx/x)dx解答：(1) ∫(2x+3)dx = x^2 + 3x + C （其中C为常数）(2) ∫(3sinx+4cosx)dx = -3cosx + 4sinx + C(3) ∫(e^x/x)dx = Ei(x) + C （其中Ei(x)为指数积分函数，C为常数）(4) ∫(lnx/x)dx = (lnx)^2/2 + C题2：计算以下定积分：(1) ∫[0,1] x^2 dx(2) ∫[π/2,π] sinx dx(3) ∫[0, ∞] e^(-x) dx解答：(1) ∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3 |[0,1] = 1/3(2) ∫[π/2,π] sinx dx = -cosx |[π/2,π] = -cosπ + cos(π/2) = 1(3) ∫[0, ∞] e^(-x) dx = -e^(-x) |[0,∞] = 0 - (-1) = 1题3：使用积分变换计算下列不定积分：(1) ∫(xsinx + cosx)dx(2) ∫(x^2e^x + xe^x)dx解答：(1) 针对∫(xsinx + cosx)dx，我们可以进行分部积分法：设u = x, dv = sinx + cosx dx则du = dx, v = -cosx + sinx根据分部积分法，有∫(xsinx + cosx)dx = uv - ∫vdu= -xcosx + xsinx - ∫(-cosx + sinx)dx= -xcosx + xsinx + sinx - cosx + C= xsinx - xcosx + sinx - cosx + C(2) 针对∫(x^2e^x + xe^x)dx，我们可以进行再次分部积分法：设u = x^2, dv = e^x dx则du = 2xdx, v = e^x根据分部积分法，有∫(x^2e^x + xe^x)dx = uv - ∫vdu= x^2e^x - 2∫x*e^x dx再次应用分部积分法，设u = x, dv = e^x dx则du = dx, v = e^x根据分部积分法，有2∫x*e^xdx = 2(xe^x - ∫e^xdx)= 2xe^x - 2e^x + C将此结果代入前一步骤的求解中，有∫(x^2e^x + xe^x)dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x - C= x^2e^x - 2xe^x + (2e^x - C)= x^2e^x - 2xe^x + Ce^x （其中C为常数）本文为工程数学积分变换试题，涵盖了不定积分和定积分的计算，以及使用分部积分法求解积分变换等内容。