地图投影复习资料
基本概念
地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。 任务
（1）研究将地球面上的地理坐标描写到平面上，建立地图数学基础的各种可能的方法； （2）讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。 大地水准面与大地体（Geoid ）
大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做。由它所包围的球体，叫做大地体。
地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)
地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称为或地球椭球。 地球椭球体的形状和大小
扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity)
第二偏心率(Second Eccentricity)
地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
点
两极 (pole) 线
经线(meridian) 纬线(parallel) 面
平行圈(parallel)
子午圈(meridian) : 长半径为ae ，短半径为
be 的椭圆 地理坐标
地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)
子午圈：通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。
卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。
子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径
卯酉圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径
子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）之间的关系：M ≤N 在赤道上：
在极点上：
子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。 曲率和曲率半径
，且f(x )具有二阶导数。则该曲线的曲率为：
地球球半径的三种表达
等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积
等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积
经线弧长：
纬线弧长：
地球椭球面上的梯形面积：
地图投影的基本概念
地图投影就是将地球椭球面（或球面）上确定的点，通过一定的数学法则表示到投影面(Projection Surface)
上，建立两面之间点的一一对应关系。 地图投影的基本方法
几何透视法：利用透视线的关系，将地球面上的点描写到投影面上。
数学分析法：在原面与投影面之间建立点与点的函数关系。 一般表达式：
经线方程：
纬线方程：
201(1)e M a e =-0e
N a =⎰=2
1
φφφ
Md s m cos n s r N λφλ=⋅∆=⋅∆)
,()
,(21λϕλϕf y f x ==0
),,(1=λy x F
地图投影变形的基本概念
ds ' 与它原有的长度ds 之比，以μ 表示，
即
dF '与它原有的长度dF 之比，以P 表示，即
长度变形：
面积变形：
角度变形：某一角度投影后的角值 'β 与它在地面上固有的角值 β 之差，即
主比例尺
计算地图投影或制作地图时，必须将地球（椭球或球）按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率称为地图的主比例尺或普通比例尺。 局部比例尺
地图上除保持主比例尺的点或线以外其它部分上的比例尺。 变形与比例尺之间的关系：变形大小与主比例尺无关。 地图投影的基本公式
地球椭球面上的线段、角度、面积[表达](PPT) 椭球面上线素在平面上的表象
平面上的线段 经纬线交角的关系
微分线段 ds 的方位角 α 在平面上的表象 微分面积在平面上的表象 保持某一投影性质的条件 等角投影条件：
等面积投影条件：
等距离投影条件：
长度比公式
一般公式：
经线长度比 (m ) :
纬线长度比(n ) ：0),,(2=ϕy x F 1
-=μμV 1-=P V P m n
=H Mr
=1
m = sin 1
m n θ'⋅⋅=
不同点上长度比都不相同；同一点上不同方向的长度比也不相同。 任意方向长度比(μ) 与经、纬线长度比(m 、n )之间的关系式：
主方向：极大、极小长度比所在的两个方向线，它们在椭球面上正交。 主方向的特点：在椭球面上相互垂直，投影到平面上仍保持垂直。 主方向线与经纬线的关系：
地球表面上的经纬线投影到平面上不一定保持正交。 若保持正交（'θ=90︒），则经纬线方向为主方向。 经纬线长度比(m ,n )
与极值长度比的关系：
面积比公式 一般公式：
微分椭圆
椭圆方程式：
对于不同性质的投影，微分椭圆表现为不同的形状，并且随区域位置不同而变化。由于
它能显示出变形特征，所以称为变形椭圆。它是法国数学家底索于1881年提出的，所以又称为底索曲线（指线）（Tissot Indicatrix ）。 变形椭圆的方位角
变形椭圆方位角α0'：
角度变形公式
对称方向夹角最大角度变形：
一点上的最大角度变形ω：
变形的近似式
'
sin 2222θmn b a n m b a =⋅+=+ab P =v μ
+≈a b
v v ω=-
