高中数学 1.2.1平面的基本性质与推论 新人教B版必修2

1.2.1 平面的基本性质与推论示范教案整体设计教学分析教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．三维目标1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．推进新课新知探究提出问题1在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？2把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？3在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？4长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？讨论结果：(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．(3)基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(4)基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．提出问题1经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？4在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？5阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．图(1) 图(2) 图(3)事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作Aα；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作lα；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线AB⊂α.应用示例思路1例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．2．根据下列条件，画出图形．(1)α∩β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如下图．点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．思路2例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行 B．相交且垂直C．异面直线 D．相交成60°解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．变式训练1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．答案：三2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．拓展提升求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，bα.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、dα，即a、b、c、d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．课堂小结本节课学习了：1．平面的基本性质与推论；2．异面直线；3．用符号表示空间位置关系．作业本节练习A 2,3,4,5题．设计感想由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．备课资料备选习题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如下图．求证：C1、O、M三点共线．证明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．2．已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面．证明：如下图，∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.同理，b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．3．α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：如下图，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．。

1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义. 平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用.平面的基本性质的推论用以确定平面的依据.(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具.是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用.通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换.难点是平面的基本性质的理解与应用.课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系.知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究.对于证明学生可能感觉难度较大.二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义.2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；三、评价设计目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示.能说出两个平面的位置关系.目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示.目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；四、教学方法学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程.通过这个过程可培养学生的抽象能力.要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景.学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理.五、教学过程温故知新，导入新课.1.平面有哪些性质呢？2.一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？教学重点、难点的学习与完成过程师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）【设计意图】：形象直观，学生易于接受.这就是基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示．【设计意图】：学生学会符号语言.这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据基本性质1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉师：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.【设计意图】：形象直观，学生易于接受.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合这就是基本性质3其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示基本性质3判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？【设计意图】：以问题串的形式引出基本性质2.（教师演示给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即基本性质2其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．基本性质2是确定平面位置的依据之一.推论师：确定一个平面的依据，除基本性质2外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论并证明.生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面．∉已知：A l求证：经过点A和直线l有且只有一个平面.【设计意图】：学生学会将文字叙述改写为数学语言.证明：①存在性：如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线，根据基本性质2，经过不共线的三点A、B、C有一个平面αα∈B ，α∈C ∴α⊂l （基本性质1）所以平面α就是经过直线l 和点A 的平面.②唯一性： B l ∈ ，C l ∈ ，∴ 任何经过点A 和l 的平面一定经过点A 、B 、C ，三点A 、B 、C 不共线，根据基本性质2，这样的平面只有一个，由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）已知：a ∩b =A求证：经过a 和b 有且只有一个平面.证明：①存在性： 如图（2）在a 上任取一点B ，且B ∉b,根据推论1， 经过一条直线b 和直线外一点B 有一个平面α∵A ∈a ,B ∈a ∴a α⊂所以平面α就是经过相交直线a 和b 的平面.②唯一性：∵B ∈a∴任何经过直线a 和b 的平面一定经过点B 和直线b ，∵根据推论1，这样的平面只有一个，由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.已知：a∥b求证：经过a和b有且只有一个平面.证明：①存在性：如图（3）∵a∥b∴根据平行线的定义，a和b在同一平面α内.②唯一性：在a上任取一点A,在b上任取一点B,连接点A,B作直线c，∵A∈α，B∈α,∴c在α内，∵a∩c=A,b∩c=B,∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.又a和b在同一平面内，则a，b，c在唯一的一个平面内.由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面.证明线共面例题：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．证明线共点例题. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．又∵α∩β＝点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．当堂检测：1、下列命题是否正确.1.不共线的三点确定一个平面.（√）2.有三个公共点的两个平面重合.（√）3.三角形一定是平面图形.（√）4.平行四边形一定是平面图形.（√）5.四边形一定是平面图形.（×）6.不共线的四点确定一个平面.（×）2、P38练习B组第6题用符号语言表示.3、P38练习B组第2题.【设计意图】：检测基本性质及推论的理解及应用.归纳总结：请同学将3个平面基本性质及3个推论用图形语言及符号语言表述. 【设计意图】：学生会将自然语言、数学语言和符号语言相互转化.。

人教版高中必修2(B版)1.2.1平面的基本性质与推论课程设计一、教材简介《人教版高中数学必修2（B版）》是由人民教育出版社编写的高中数学教材。

本教材较好地体现出了素质教育的理念，强调数学知识在实际生活和各学科中的应用和综合应用能力培养。

其中1.2.1节《平面的基本性质与推论》是初学平面几何的基础，是学好初中数学和高中数学重要的一环。

二、教学目标看完本节课后，学生应该能够：1.掌握平面几何中的各种基本概念；2.熟练掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；3.了解射线和线段的概念及其基本性质；4.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。

三、教学内容（一）平面几何基本概念1.区分平面和空间；2.点、直线和角的概念；3.“相交”、“平行”概念及其性质。

（二）平面内的直线和角1.直线的分类及性质，包括垂直、平行、相交的直线性质；2.角的基本概念和性质，特别是对顶角、平行线夹角和同旁内角、反向角的研究；3.五线定理、角平分线定理、中垂线定理等基本定理的探究。

（三）线段和射线1.线段和射线的概念及相关性质，包括延长线及其相关性质、异面直线的关系等。

（四）平面几何的基本性质探究1.角的外延：定义、性质、本质；2.端点与线段的关系：交叉性、重叠性、并列性等；3.线段的中点；4.垂足点：定义、性质。

（五）平面几何的实际应用1.利用平面几何的知识解决一些测量问题；2.利用平面几何的知识理解衣服尺码的相关知识；3.平面几何在建筑、设计和美术中的应用。

四、教学重点1.掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；2.了解射线和线段的概念及其基本性质；3.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。

五、教学建议1.建立直观感受：通过学生自身的经验，探究点、直线、角和平面以及它们之间的关系；2.图象教学法：在教学中使用动态图象或幻灯片，通过图象去描绘这些点、线段、射线、任意线和角的相互关系，从而加深学生的理解；3.创设问题：通过贴近实际的问题，让学生去运用所掌握的知识，培养学生的问题解决能力；4.课后扩展：提供丰富的课外资料，引导学生去了解平面几何知识在各个领域中的实际应用。

1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图1-2-1①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图1-2-1②.①②图1-2-13.平面的表示法上图中图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.平面无厚薄，但有边界线C.任何一个平面图形都是一个平面D.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项A、B错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项C错误；选项D正确.【答案】 D教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材P35～P37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图1-2-2推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-2①).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-2②).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-2③).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理3共面与异面直线阅读教材P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-32.空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[再练一题]1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图1-2-4(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题内.【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内.由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.[再练一题]2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.[再练一题]3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】 D[探究共研型]点共线与线共点问题探究1如图1-2-6，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线.如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.图1-2-7【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.[再练一题]4.如图1-2-8，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC 分别与平面α相交于点E，G，H，F.图1-2-8求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】 B2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.【答案】 C3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【导学号：45722038】【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】 C4.有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中正确的序号是________.【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.【答案】①③5.如图1-2-9，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.图1-2-9求证：a，b，c三条直线必过同一点.【证明】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交.设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点.。

课题：空间中的位置关系——面面平行一、教学目标1.知识与技能目标（1）理解并掌握两个平面的位置关系以及不同位置关系的画法；（2）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能够进行简单应用；（3）培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及用数学的符号语言严谨表述几何问题的能力；（4）培养学生的发散思维能力和抽象、概括能力；2.过程与方法目标（1）学生与线线关系、线面关系相联系给出两个平面的位置关系的分类，在此过程中加深学生对类比与转化的数学思想的理解；（2）探究两个平面平行的判定定理，培养学生的探究能力；（3）在证明判定定理的过程中，培养学生的逻辑思维能力和用符号语言严谨表述数学问题的能力，加深对反证法的理解；（4）通过对判定定理的推论和性质定理的探究，使学生关注几何命题的转化与化归；3.情感态度与价值观目标通过探究、讨论与交流，使学生理解数学探究的过程，在解决问题的过程中获得成就感，增强数学学习兴趣，促进他们在数学学习中养成主动思考、主动探究的好习惯；通过对定理、题目的讲解，培养学生运用不同“语言”描述数学问题的能力，使学生体会到图形语言的简洁、直观，体会到符号语言的严谨与准确.二、教学重、难点分析教学重点两个平面平行的判定教学难点两个平面平行的判定定理的证明过程三、学生情况分析在本节前面的学习中，学生已经学习了线线平行、线面平行，学生可以联系这两部分知识进行类比，分析得出平面与平面之间的位置关系；这是一个数学A班，学生的数学基础较好，思维能力和逻辑推理能力都相对较强，所以对判定定理的证明提高要求，要求学生在老师的指导下能够较为严谨的用符号语言进行表述.四、设计思路在学习线线平行、线面平行的基础上，本课主要研究面面平行.根据前面的研究经验，引导学生构建研究框架：定义位置关系——探索、归纳判定定理——证明判定定理——推导性质定理.在学生自由讨论的基础上，全班共同探讨，先定义两个平面的位置关系，然后归纳得出面面平行的判定定理.引导学生说理，分析同学猜想的判定定理的合理性，教师带领学生进一步提炼，用严谨的数学语言表述判定定理.并指导学生用反证法证明判定定理.最后，让学生联系已有知识通过几何命题间的转化得出面面平行的判定定理的其它形式和性质定理.通过例题，对两个平面平行的判定定理进行简单应用.五、教学过程六、板书设计七、教学反思。

高中数学1.2.1平面的基本性质与推论人教版必修二【学习目标】1、平面的基本性质与推论以及他们的应用.2、文字语言、数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用.【自主学习】一、平面的基本性质：1．公理1：①文字语言：②图形语言：③符号语言：公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，在学习公理1之前，判断直线是否在平面内，要看直线上所有的点是否在平面内，公理1则简化了判断证明过程，只需要看是否有两个点在平面内就可以了；（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。

2．公理2：①文字语言：②图形语言：③符号语言：推广引申：不共线的三点确定平面，那么两点呢？不共线的四点呢，更多的点呢？如何理解公理2？深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面，“只有”是说平面，“有且只有”强调平面这两方面.3. 公理3：①文字语言：②图形语言：③符号语言：.如何理解公理3？1. 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有2. 公理3的作用其一判定两个平面是否相交，其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上，因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.二、平面基本性质的推论（1）推论1：（2）推论2：（3）推论3：这三个推论的图形语言和符号语言是怎样的？同学们：我们刚刚学的内容中，哪些是可以用来确定平面的条件？三、直线和平面位置关系的符号表示1、共面的定义：2、异面直线：3、空间中两直线的位置关系有：4、、直线和平面位置关系的符号表示.（1）点A在平面α内，记作，点B不在平面α内，记作，（2）直线l在平面α内，记作，直线m不在平面α内，记作，（3）平面α与平面β相交于直线l，记作，（4）直线l和m相交于点A，记作，简记为.跟踪1．数学语言的互译问题例：如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：（1）A∈α，Bα，Eα，Cα，Dα；（2）A∈β，Bβ，Cβ，Dβ，Eβ，Fβ；（3）α∩β= ；（4）ABα，ABβ，CDα，CDβ，AEα，AEβ练：用符号语言表示下列语句（1）直线l经过平面α内两点A、B；（2）直线l在平面α外，且过平面α内一点P；（3）直线l在平面α内，又在平面β内；（4）直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行跟踪2 考查平面的基本性质1．公理1的应用例：△ABC，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内？2．公理2及推论的应用：（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？3．公理3的应用：例：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线’几何体截面时确定交线经常用到的方法.练：平面α、β的公共点多于2个，则（）（A）α、β可能只有2个公共点（B）α、β可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在同一直线上（C）α、β一定有无数个公共点（D）除选项A、B、C外还有其他可能【快乐体验】1、下面给出了四个条件：①空间三点；②一条直线和一个点；③和直线l都相交的两条直线；④两两相交的三条直线，其中，能确定一个平面的条件有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2、有空间四点A、B、C、D，若四个点不共线，则经过其中三个点的平面有（）（A）一个或两个（B）一个或三个（C）一个或四个（D）两个或三个3、若直线上有两个点在平面外，则（）（A）直线上至少有一个点在平面内（B）直线上有无穷多个点在平面内（C）直线上所有点都在平面外（D）直线上至多有一个点在平面内4、如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，且C∉l，则平面ABC与平面α的交线为（）（A）直线AC（B）直线AB（C）直线CD（D）直线BD5、有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号l⊆α表示；③若平面α内的一条直线l与平面β内的一条直线相交，则α与β相交。

课题§1.2.1平面的基本性质与推论教学目标知识与技能1理解并掌握平面的基本性质和推论并能运用它们解释生活中的某些现象；2.掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4.通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

过程与方法通过观察实验，直观感知，操作确认理解与掌握平面的基本性质与推论。

情感态度与价值观通过从实际生活中抽象出数学模型，利用一些数学理论去诠释生活中的现象。

使学生感悟数学源于生活，增强学习兴趣。

教学重点平面的基本性质与推论，以及它们的应用教学难点文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化与应用教学环境及资源准备多媒体教室 PPT教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课给出四幅图片，联系生活实际导入新课以上生活经验都应用了哪些数学知识？教师提出问题，学生认真思考，带着问题进入到新课的学习中。

通过生活中常见的事物引发学生学习的兴趣。

初步体会数学与实际生活的联系。

新课教学一、空间中点、直线、平面之间的位置关系空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把点看做元素，直线、平面看成是点的集合，教师引导发现可以借助集合符号表示空间中点、线、面的位置关系。

学生动手填表格，明确如何用符号语言和图形语言表示点线面位置关系。

首先明确点线面位置关系的符号语言，为学习性质及推论的三种语言的相互转化做铺垫。

所以可以借助集合符号来描述点、线、面的位置关系。

即点在线上或在面内都要用“∈”符号。

线在面内要用“⊂”符号。

数学实验1：如果把书看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：(1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？二、平面的基本性质及推论1.基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图形语言：符号语言：若A∈l；B∈l，A∈α，B∈α，则AB⊂α或若A∈α，B∈α，则直线AB⊂α作用：判断或证明直线在平面内（只需证线上两点在平面内）举例：把一把尺子放在桌面上，如果尺子是直的，能判断桌面是否是平的，检验是否完全贴合即可。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.1平面的基本性质与推论【目标要求】1.了解平面的概念，掌握平面的表示方法.2.掌握平面的基本性质和它们的作用.3.掌握平面的基本性质的推论，并能够简单的应用.【巩固教材——稳扎马步】1.下列几种说法中，正确的是（）A．四边形一定是面面图形 B.空间三点确定一个平面C.桌面是一个平面D.三角形一定是平面图形2.下列说法中正确的个数是（）①两点确定一个平面②三点确定一个平面③四点确定一个平面A.0B.1C.2D.33.已知直线l上的一点在平面内，另一个点不在α内，则（）A. l在平面α内B. l不在平面α内C.平面α可以经过lD.以上都不对4.两个平面公共点的个数可能是（）A.0B.1C.2D.0或无数【重难突破——重拳出击】5.空间三个平面两两相交，那么（）A.必相交于一点B.必相交于一条直线C.必相交于三条平行直线D.不可能有且只有两条直线6.如果经过三点有无数个平面，则这三点（）Ａ.不共线Ｂ.不共面Ｃ.共线Ｄ.以上均不对７．三条直线相交于一点，能确定几个平面（）A.1个B.2个C.无数个D.1个或3个8.在空间，下列说法错误的是（）A.圆上三点可确定一个平面B.圆心和圆上两点可以确定一个平面C.四条平行线不能确定五个平面D.不共面的四点中任意三点不共线9.下列说法中正确的是（）A.两个相交平面可以没有公共点B. 10个平面重叠在一起比一个平面厚C.平面ABCD就是四边形ABCD围起来的部分D.平面是向四周无限延展的10.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（）A.P⊂l⊂αB. P∈l∈αC. P⊂l∈αD. P∈l⊂α11.已知三条直线a、b c、两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则（）A.m=2 n=2B.m=2 n=6C.m=3 n=7D.m=3 n=812.空间三个平面把空间分成几个部分（）A.4个或7个B.4个或6个C.4个、6个或7个D.4个、6个、7个或8个【巩固提高——登峰揽月】13.如图，αβ＝BC,A∈α,D∈β,E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，求证：若EF GH＝P,则P点必在直线BC上.14.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【课外拓展——超越自我】15．已知αβ、是两个平面，且n个点P1、P2、…、P n既在平面α内又在平面β内求证：P1、P2、…、P n在一条直线上.1.2.1平面的基本性质与推论【巩固教材——稳扎马步】1.D2.B3.B4.D【重难突破——重拳出击】5.D6.C7.D8.B9.D 10.D 11.C 12.D【巩固提高——登峰揽月】13.证明：∵E∈AB,F∈AC ∴E∈α ,F∈α∴EF⊂α同理：GH⊂β又∵EF GH=P ∴αβ=P ∵αβ=AB ∴P∈AB即P点必在AB上。

第一章立体几何初步第节平面的基本性质与推论教学方法师生共同讨论法探索新知3．平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）基本性质1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）基本性质1的作用：判断直线是否在平面内.基本性质2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）基本性质2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lPP lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）基本性质3作用：判断两个平面是否相交.师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，l αβ=，a A α=，a B β=.在（2）中，l αβ=，a α⊂，b β⊂，a l P =，b l P =.随堂练习1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. （ ）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ）4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，但学生独立完成 答案： 1．D 2．（1）不共面的四点可确定4个平面. （2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈.（3）a α⊂，a β⊂.巩固所学知识新课导入例题练习探索新知归纳总结作业。

求
证：a ∥α 。

你们会用什么方法证明呢？
证明：∵ a ∥b ∴经过a ,b 确定一个平面β
∵a ⊄α，b ⊂α∴α与β是两个不同的平面
∵b ⊂α，且b ⊂β∴α∩β=b 假设a 与α有公共点P ，则P ∈α∩β＝b,
点P 是a 、b 的公共点这与a ∥b 矛盾，∴a ∥α 抽
象
概
括
：
直线与平面平行的判定定理 ：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简述：线线平行 ，线面平行。

关键在平面内找一条直线与平面外的直线平行。

例2：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

借没说
补充
1）如图，长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）与AB 平行的平面是 ； （2）与 AA 1
平行的平面是 ； （3）与AD 平行的平面是 ； 2
）
如
图
,
正
方
体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 为DD 1的中点，求证: BD 1//平面AEC 证明:连结BD 交AC 于O,连结EO
∵O 为矩形ABCD 对角线的交点 ∴DO=OB 又∵DE=ED 1 ∴BD 1∥EO （四）小结归纳
1．证明直线与平面平行的方法： （1）利用定义：直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理．线线平行
线面平行
a ⊄α ,
b ⊂α , a ∥b
a ∥α
2．数学思想方法：转化的思想
线线平行
线面平行
平面问题
空间问题
（五）布置作业
1．必做题：习题2.2 A组T1、T3；选做题：B组T1
2. 预习平面与平面平行的判定。

1.2 点线面之间的关系1.2.1 平面的基本性质与推论一、教材分析重点：掌握平面的基本性质并且会加以运用二、预习导学1.点和直线的基本性质：①②2.平面的特征性质①②③3.平面基本性质的推论推论1：推论2：推论3：4.共面与异面直线①如果空间几个点或几条直线都在同一平面内，那么就说它们。

②如果两条直线共面，那么它们。

③我们把既不平行也不相交的直线叫做。

④我们把空间看作的集合，直线和平面都是空间的，直线是例1.求证：两两相交且不共点的三条直线共面。

例2.已知E、F、G、H分别是四面体，ABCD的边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于一点P。

求证：点B、D、P在同一条直线上。

例3.在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别为AB，AA1的中点。

求证：CD、D1F，DA三线共点。

四、检测与反馈：1.两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（）A.2个B.有无数个且在一条直线上C.1个或无数个D.1个2.已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，下列推理中，错误的是（）A.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且A、B、C不共线错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

重合3.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个4.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分5.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体6.已知直线错误！未找到引用源。

1.2.1 平面的基本性质与推论课堂探究探究一文字语言、图形语言和符号语言的转换我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异．首先是结合集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系：(1)“∈，∉，⊂，∩”等符号来源于集合符号，但在读法上用几何语言，例如，A∈α，读作“点A在平面α内”，a⊂α读作“直线a在平面α内”，α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α，l⊄α”中“A”视为平面α(集合)内的点(元素)，直线l(集合)视为平面α(集合)的子集．明确这一点，才能正确使用集合符号．【典型例题1】如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．图(1)可以用几何符号表示为________________．图(2)可以用几何符号表示为________________．解析：图(1)可以用几何符号表示为α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB．即平面α与平面β相交于直线AB，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a 平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图(2)可以用几何符号表示为α∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN．即平面α与平面β相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在α内但不在直线MN上，点C在平面β内但不在直线MN上．答案：α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥ABα∩β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN探究二点线共面问题(1)证明点线共面的主要依据：①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(基本性质1)；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(基本性质2及推论)．(2)证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．【典型例题2】 (1)有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误的序号是( )A．①和② B．①和③ C．②和④ D．②和③解析：不共线的三点确定一个平面，故①错；三条直线两两相交，交于三点时，确定一个平面，交于一点时，可确定一个或三个平面，故③错．答案：B(2)如图所示，已知直线a与两平行直线b，c都相交．求证：a，b，c三线共面．思路分析：有两种方法．①先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；②先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．证法一：因为b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．证法二：因为a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，因为c∥b，c′∥b，所以c∥c′．又因为c与c′相交于点A，所以c与c′重合．所以a，b，c三线共面．点评本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路都是先用部分对象确定一个平面，再证明剩余对象都在这个平面内．探究三点共线、线共点问题证明多点共线，通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据基本性质3就得到这些点在两个平面的交线上．证明三线共点问题，可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看做某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得到三线共点．【典型例题3】 (1)如图，α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：如图，在梯形ABCD中，设AB∩CD＝E，因为AB⊂α，CD⊂β，所以E∈α，E∈β．又α∩β＝l，所以E∈l，即AB，CD，l共点(相交于一点)．(2)如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R．求证：点P，Q，R在同一条直线上．证明：已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本性质3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l．因为P∈直线AB，所以P∈平面ABC．又直线AB∩α＝P，所以P∈α．所以P是平面ABC与平面α的公共点．因为平面ABC∩平面α＝l，所以P∈l．同理，Q∈l，R∈l．所以点P，Q，R在同一条直线l上．探究四交线问题画两平面的交线时，关键是找到这两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线即是．在找公共点的过程中往往要借助于基本性质1和基本性质3，一般是用基本性质1找到，再用基本性质3证明．【典型例题4】如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及直线AC；(2)过三点E，F，D1．思路分析：找出两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．点评(1)在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线．(2)在立体几何中，被遮挡的部分画成虚线，没被遮挡的部分则画成实线．在学习时，一定要正确添加辅助线，否则将影响空间立体感的形成，不利于空间想象力的培养．。