人教版高中数学A版必修4《向量加法及其几何意义》教案

课题：向量加法及其几何意义教材: 人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修4第二章第2节一、教学内容分析本节课选自人教版《高中课程标准实验教科书》（A版）必修4第二章第二节在学习平面向量基本概念之后,考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正使数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。

向量加法运算是平面向量线性运算最基本、最重要的运算，减法运算和数乘运算都可以归结为加法运算，这一节内容掌握程度关系到能否进一步领会和掌握后续内容.教学重点为向量加法的三角形法则和平行四边形法则.教学难点是向量加法意义的理解。

二、教学目标的确定学情分析从心理特征来说，高一学生的逻辑思维从经验型初步向理论型发展，动手操作能力强,勇于创新, 敢于发表自己的见解。

但同时，这一阶段的学生逻辑不够缜密容易进入误区，形成思维定势，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们对知识产生兴趣，形成初步认识；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，并充分利用学生已有的物理学知识,结合实际操作探究突破难点；从认知状况来说，通过上一节的学习和已有的物理知识，学生对向量有了初步认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于向量加法的准确理解，学生会产生一定的困难，所以教学中予以简单明白，深入浅出的分析、归纳和总结，帮助学生上升到理性认识的层面.根据教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求及以上分析，我确定了以下教学目标：知识与技能目标：通过物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验，了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的规则，在此基础上理解向量加法意义，体验数学知识发生、发展的过程；过程与方法目标：在学生探究向量加法感性认识的基础上，引导学生理解向量加法遵循的“规则”，即三角形法则和平行四边形法则，切实掌握两个向量加法运算律；情感态度与价值观目标：通过由实例到概念，由具体到抽象的学习过程，培养学生的探究能力，使学生能用数学方法思考问题，用数学方法解决问题.三、教学方法与手段结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我借助多媒体、几何画板软件及flash动画，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，循序渐进层层深入，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。

四、教学过程设计(一) 设置情景：1.复习回顾：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.2.情景设置：（1）小明先向东走2米，接着向西走3米，那么他所走的路程是，位移是 ;（2）某年春节期间由于广州到台北没有直航，乘飞机要先从广州到香港，再从香港到台北，这两次位移合成的结果是什么？通过现实的例子，引导学生对向量加法初步的直观认识。

(二) 探索研究：1.探究活动一（课本P80实验）图a表示橡皮条在两个力F1 、F2的作用下沿GO伸长了EO，图b表示橡皮条在力F的作用下沿GO伸长了相同的长度EO，则F与F1 、F2之间的关系如何？同时，引导学生交流讨论，交流结果：(1）力F对橡皮条产生的效果，与力F1 、F2 共同作用产生的效果相同；(2)力F在以F1、F2为邻边的平行四边形对角线上，并且大小等于平行四边形的对角线长;(3)力F可以认为是F1 、F2的和，即力的合成也可以看作是向量的加法.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.思考1：如何求出两个向量的和？（引导和提示学生类比联系力的合成） 2.平行四边形法则（起点相同）已知向量a 、b 有相同的起点，且 OA ＝a ，OB ＝b ，作, AC OB BC OA则向量OC叫做与的和，记作＋，即 ＋OA AC OC =+= .练习1：求下列向量的和向量，并叙述作法作法：已知向量、.在平面内任取一点O ，作 OA ＝，OB ＝，作, AC OB BC OA 则向量OC 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋=+=.3.三角形法则（“首尾相接，首尾连”）问题1：画出已知两个向量的和向量，出平行四边形法则外是否有其他的方法？（提示：位移是怎样合成的？）位移的合成是两个向量首尾相接的到的第三个向量，从而得到向量加法的三角形法则：已知向量a ＝ OA ， b ＝ AB ，则向量OB叫做a 与b 的和，记作a ＋，即 ＋OA AB OB =+=.练习2：已知向量、，用三角形法则作出a b +.思考2:两个共线向量如何求和?共线向量包括同向和反向,而两向量 AB 、BC 同向或反向时,把两个向量首尾相接,得到和向量AC AB BC =+.所以，对于共线向量，加法的三角形法则同样适用。

思考3：三角形法则和平行四边形法则有什么区别？（学生先思考，教师总结）A BBCA BBCa→b→a→b→b→a→b→a→几何画板演示，当两个向量改变时，用两种法则求出的和向量是相同的。

即：不同法则效果相同。

（三）巩固练习例1. 已知向量、、c ，求作向量a b c ++. 作法：在平面内任取一点A ， 作,,AB a BC b CD c === 作++AD,AD a b c = 则.练习2:用两种方法求向量、的和.练习4(1)用两种方法画出三个非零向量,使它们的和为零.(2)已知,⊥a b c 0a b |a|=3,|b|4|c|,.++==,且求 ,∴⊥∴a b c 0|c ||a b|,a b |c |=5解：如右图又 ++==+ 探究活动二:数的加法满足加法的交换律和结合律,类似的向a→b→a b→→+ABCABDCa→b→a b→→+特点：（通过平移）首尾相接 特点：（通过平移）起点相同a→b→c→ABCBDOCAa→b→a b→→+c→abca→b→c→ABDCa→b→a→b→a b→→+a b→→+OA BCACB量加法是否也满足交换律和结合律?即对任意向量a 、b 、c，是否有：(1)a b b a +=+：；交换律(2)()()a b c a b c ++=++：；结合律通过演示验证向量加法满足交换律和结合律，且规定00.a a a +=+= （四）应用提高：例2、如图一船从A 点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小和方向。

（用与流速间的夹角表示)(用flash 动画演示，引导学生分析这一物理过程中的向量 以及求向量和的过程,把实际问题转化成向量问题)解：设 表示船向垂直对岸方向行驶的速度， 表示水流的速度，则平行四边形的对角线 就表示船实际航行的速度,答：船实际航行的速度为大小为4km ／h ，方向与河水流速间的夹角为60°五、课堂小结1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ２.向量运算的交换律和结合律；六、课后作业：1.基础巩固求出下列向量的和向量:2.提高练习求出下列三个向量的和并写出做法:abbaab 2/km h AC||2||||4tan CAB<9060Rt ABC AB BC AC CAB CAB ===∠=∠∴∠=在△中，∵且/h A CD BAD AB3.能力培养|a||b||a b|与“”++探究的大小关系，并指出何时成立.=七、板书设计八、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形“向量加法及其几何意义”教案说明abc本课选自人教版《高中课程标准实验教科书》（A版）必修4第二章第二节，为了更好的把握本课时内容，对本节课的教案给与以下说明.一、授课内容的内容本质在学习平面向量基本概念之后,考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题,类比数的运算,向量是否能够进行运算呢? 向量的工具作用如何发挥呢? 这是学生认知冲突的地方,这一冲突正使数学建模思想应运而生,也是激发学生进一步探究数学新知的契机.向量加法运算是平面向量的线性运算最基本、最重要的运算，减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算,同时向量运算又是以后学习空间向量等其他知识的重要基础,这一节内容掌握程度关系到能否进一步领会和掌握后续内容.所以,本节课的本质就是使学生领会数学的工具作用，向学生渗透数形结合思想、建模思想等数学中重要的思想方法。

二、教学目标定位通过上一节的学习和已有的物理知识，学生对向量有了初步认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于向量加法的准确理解和三角形法则与四边形法则的区别与联系，学生会产生一定的困难。

根据教材的要求和学生的实际情况，我将本课的教学目标设定如下：知识与技能目标——通过对物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验,了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的新规则，在此基础上理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程；过程与方法目标——在学生探究向量加法感性认识的基础上,引导学生理解向量加法遵循的“规则”,即三角形法则和平行四边形法则,切实掌握两个向量加法运算律；情感态度与价值观目标——通过由实例到概念,由具体到抽象的学习过程,培养学生的探究能力,使学生能用数学方法思考问题,用数学方法解决问题.三、本课内容的地位和作用向量加法是在学习了向量基本概念之后的继续学习，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，所以，向量加法是上节课内容的自然延伸。

向量减法、向量数乘运算等知识都可以看成是向量加法的变形应用，所以向量加法是学习向量线性运算的基础，同时也为下学期空间向量的学习埋下伏笔，向量的加法是学习向量线性运算及空间向量的准备和前奏。