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第4讲巧解盈亏应用题方法和技巧分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。
常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。
问：小波家和体育馆相距多少米？分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。
每分钟50米少150米？分钟每分钟每分钟65米多195米比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。
时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。
按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。
做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。
问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成：如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。
每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只）猴子总数为5×24＋32＝152﹙个）答：猴山有猴24只，共买来152个桃。
课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题 难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元 【知识点】换元法解题 【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=⨯（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=⨯+⨯÷⨯（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元 【知识点】等量代换 【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷⨯-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷⨯+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
（2）甲比乙多 ，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1 ”，则甲为1 + = ，因此乙比甲少 ÷ = .分数、百分数应用题知识框架一、 知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。
在几个量中，关键也是要找准单位“ 1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a 是 b 的几分之几，就把数 b 看作单位“1”．181 9 1 9 18 8 8 8 9方法二：可设乙为 8 份，则甲为 9 份，因此乙比甲少1 ÷ 9 = 1.9二、 怎样找准分数应用题中单位“1”（一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。
有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。
在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相【解析】把各组人数都视为“1，那么有：50÷(1+ + + )=24（人）.” ， (b ≠ 0) ， 则 新 分 数 为 ，新分数比原分数减少a b 当于”谁的，“是”谁的几分之几。
1、用字母表示数2、解方程（口诀：移小不移大，移减不移加）3、列方程解应用题（设未知数；找等量关系；列方程；解答）重点（难点）：解方程、列方程解应用题1、小明今年a 岁，爸爸今年（a+b ）岁，爸爸比小明大（ ）岁。
2、如果3134=+x ，那么=-89x （ ）。
3、被除数是除数的6倍，如果除数是x ，那么被除数、除数、商的和是（）。
4、化简并求值。
（1）当a=4，b=5，c=6时，求bc －ac 的值。
（2）当a=7，b=2.5时，求5a+4b －(4a －3b)的值。
5、列方程并求解。
（1）某数的6.5倍减去这个数的4倍，结果是12，求这个数。
（2）一个数减去5的差的8倍，再除以3，等于120，求这个数。
解方程：()()35.0105.233--=-x x解方程：()()()21312724--=---x x x（盈亏问题用方程解） 建设路小学学生乘车去春游。
如果每辆车上坐45人，那么有30人没有座位；如果每辆车上多坐5人，那么可以多出1辆车。
原计划准备多少辆车？学校共有学生多少人？学校给一批新生安排宿舍。
如果每间宿舍住6人，则有26人没有床位；如果每间宿舍多住2人，则还多出一间宿舍。
一共有多少间宿舍？这批新生共有多少人？（鸡兔同笼问题用方程解）某班学生52人到公园去划船，共租船11条，每条大船坐6人，每条小船坐4人，刚好坐满。
求租用的大船、小船各多少条？一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。
小华答了18道题，得92分，小华在此次比赛中答错了_______道题。
（和差倍问题方程解）甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7。
甲、乙、丙三数各是多少？甲乙两只油桶共储油164千克，甲桶取出17千克油，乙桶倒入3千克油，这时甲桶油的千克数正好是乙桶油的2倍，原来甲乙两只桶里各储油多少千克？（位值问题方程解）一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的4倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，新数就比原数少27，求原数。
第3讲巧解平均数问题（二）I 多个部分平均与全体平均方法和技巧（1）用“总数量÷总份数=平均数”直接求平均数。
（2）借助“整体思考法”巧解题。
（3）用“移多补少法”巧解题。
（4）借助“整数化”巧解题。
例题精讲A级基础点睛一、运用平均数的概念解题【例1】小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两人的平均身高是1.60米。
问：小张、小李、小王三人的平均身高是多少米？分析与解小张+小李=1.70×2，小李+小王=1.74×2，小王+小张=1.60×2 上面三式相加得2×（小张+小李+小王）=1.70×2+1.74×2+1.60×2 即小张+小李+小王=（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2故小张、小李、小王的平均身高为[（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2] ÷3=1.68（米）答：小张、小李、小王三人的平均身高是1.68米。
做一做1 A，B，C，D四位小朋友在一次测验中，A，B，C三人的平均成绩是80分；B，C，D三人的平均成绩是85分；C，D，A三人的平均成绩是83分；D，A，B三人的平均成绩是82分。
问：A，B，C，D四人的平均成绩是多少分？二、“整体思考”巧解题【例2】赵、钱、孙、李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次，其平均体重分别是34.5、33.5、36.0、35.0、37.5、36.5（单位：千克）。
问：这四位小朋友的平均体重是多少千克？分析与解1 依照例1的解法，每一个人与其他三个人都可以配对合称。
因此，在上面6个平均数中，每个人的体重都被计算了3次，详细地说，有（赵+钱）的体重=34.5×2………………………………………①（赵+孙）的体重=33.5×2………………………………………②（赵+李）的体重=36.0×2………………………………………③（钱+孙）的体重=35.0×2………………………………………④（钱+李）的体重=37.5×2………………………………………⑤（孙+李）的体重=36.5×2………………………………………⑥将上面6个式子相加，得（赵+钱+孙+李）的体重×3=6次平均体重分别乘2的和即（赵+钱+孙+李）的体重×3为34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2（赵+钱+孙+李）的体重为（34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2）÷3 故赵、钱、孙、李四人的平均体重为[ (34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2)÷3]÷4=35.5(千克)分析与解 2 求四个小朋友的平均体重，根据“总量÷总份数=平均数”，若能找到四个小朋友的总重量，问题即迎刃而解。
定义比：两个数相除又叫做两个数的比。
如b a ÷可以记作b a b a =:。
其中“：”是比号，读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能为0），比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
如y x b a ::=，组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
性质比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变。
比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
若y x b a ::=，则ay bx =。
类型比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。
解答比和比例问题应综合运用比和比例的意义、性质，它常常同分数应用题、工程问题以及行程问题等交织在一起，使数量关系变得复杂起来。
正反比例正比例：两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，k xy =（k 一定）； 反比例：两种量中相对应的两个数的积一定，k xy =（k 一定）。
化简下列各比。
1.0:52 31:54 3米 ：5分米 【分析】知识点：化简比，可将比号变为除号，计算出一个分数形式的值，再写成比。
难度：A 出处：《从满分到培优》【解答】1:41.0:52= ，5:123154=： ，3米 ：5分米= 6:1 。
化简下列比。
0.4 ：2.4 56:6.3 1.2米 ：36厘米 【解答】0.4 ：2.4= 1:6 ，1:356:6.3= ，1.2米 ：36厘米= 10:3 。
求比值。
36 ：48 2.1:322 25.1:41 【分析】知识点：求比值，可将比号变为除号，计算出数值，不写比的形式。
难度：A 出处：《小学数学升学夺冠训练A 体系》【解答】36 ：48 =43（或0.75） ，9202.1:322= ， 5125.1:41=（或0.2） 。
求比值。
3:53 35.0:207 cm m 55:43.1 【解答】513:53=（或0.2） ，135.0:207= ，51355:43.1=cm m （或2.6） 。
小学五年级数学培优试题及答案1.将15个相同的悠悠球分装到四个相同的纸盒中，要求每个盒子中至少装一个，且每个盒子装的数量都不相同，问共有_____种装法。
【答案】因为2+3+4+5=14，所以最小两个加数只能为1和2；1和3；1和4；2和3四种情况：⑴15=1+2+3+9 (2)15=1+3+4+7 (3)无(4)15=2+3+4+6=1+2+4+8 =1+3+5+6=1+2+5+7因此15个悠悠球放在不同纸盒里共有3+2+1=6种不同的装法。
2.已知九位数2012□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？【答案】3.用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张?【答案】方法一：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸．那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5％=7．5％的纸，为1350张．所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张．方法二：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200本．当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷15=90张，那么200本需200×90=18000张．即这批纸共有18000张。
4.一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…问：这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?【答案】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数，如果再算几个数，会发现这个规律仍然成立．这个规律是不难解释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数．另一方面，一个奇数和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数．这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等．因此，偶数出现在第三、第六、第九……第九十九个位子上．所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数，它等于99/3=335.有两个三位数，构成它们的六个数码互不相同．已知这两个三位数之和等于，求这两个三位数之积的最大可能值．6.【答案】7.甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。
意义工程问题是将一般的工作问题分数化，换句话说，就是从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系的问题。
特征工程问题的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。
基本数量关系式工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作时间＝工作效率工作总量÷工作效率＝工作时间软件工程师运用某种型号的计算机若干台，可以在3天完成一项软件设计任务。
若增加同种型号的计算机3台，则2天可完成这项任务。
如果每台计算机工作速度相同，那么，只用一台计算机_______天可以完成任务。
【分析】知识点：工作总量÷工作效率＝工作时间。
先找出对应关系。
难度：A 出处：《小学数学竞赛多功能题典》【解答】设每台计算机工作效率为1，原有计算机x 台。
6)3(23=+=x x x 则总任务量为1863=⨯，∴ 1台计算机需要18118=÷（天）。
5台挖土机每天工作8小时，4天可挖长40米、宽20米、深3米的一条水沟，6台挖土机每天工作5小时，要挖长100米、宽15米、深3米的一条水沟，需要_______天。
【解答】每台挖土机的工作效率为1585432040=÷÷÷⨯⨯（立方米／时），∴ 如题需要101556315100=÷÷÷⨯⨯（天）。
工程队有一项任务，如果甲先做5天，乙接着做3天，刚好完成任务；如果乙先做9天，甲接着做3天，也刚好完成任务。
现在如果甲先做4天，再由乙接着做，那么乙还需要_______天才能完成任务。
【分析】知识点：工程问题中的等量关系，抓住工作总量不变。
难度：B 出处：《小升初数学试题汇编与训练》【解答】由题可知，甲少做2天，乙就要多做6天，即甲2天的工作量与乙6天的相等，那么甲1天的工作量就等于乙3天的工作量。
∴ 甲做4天，则乙接着需要做63)45(3=⨯-+（天）。
【备课说明】重点：掌握“火车过桥”问题的基本关系与火车过桥几个问题的分析方法。
难点：“火车过桥”的行程分析图的画法。
1、过桥问题是行程问题中的一类.我们所说的列车通过一座桥，是指从车头上桥到车尾离桥的这个过程.这时，列车行驶的总路程是桥长加上车长，这是解决问题的关键.2、火车过桥问题的基本数量关系式：路程=桥长+车长过桥时间=（桥长+车长）÷车速车速=（桥长+车长）÷过桥时间桥长=车速×过桥时间-车长车长=车速×过桥时间-桥长(北师大附小期末模拟)一列火车有18节车厢，每节车厢长45米，车厢与车厢之间相隔1米，问这列火车以30米/秒的速度过一座长103米的大桥需要多少秒？解：45×18＋(18－1)×1＋103＝930(米)930÷30＝31(秒)答：需要31秒。
【答案】31【知识点】火车行程【难度】★★火车长108米，每秒行12米，经过长48米的桥，要多少时间？解：()()秒13121561248108=÷=÷+答：经过长48米的桥，要13秒。
【答案】13【知识点】火车行程【难度】★★在铁路复线上两列火车相向而行，甲车车长172米，车速每秒16米，乙车车长128米，车速每秒24米，现两车车头相距180米，几秒钟后两车的车尾相离？解：(180＋172＋128)÷(24＋16)＝12(秒)。
答：12秒后两车的车尾相离。
【答案】12【知识点】火车行程【难度】★★客车以每秒钟21米的速度行驶，司机发现对面开来的一列货车，速度是每秒钟15米，从身边经过共用了10秒钟，问货车的车长是多少米？分析：这是一道相遇问题，路程和就是货车的车长。
解：(15＋21)×10＝360(米)。
答：货车的车长是360米。
【答案】360【知识点】火车行程【难度】★★在铁路复线上两列火车同向而行，甲车车长172米，车速每秒24米，乙车车长128米，车速每秒16米。
第5讲巧用递推方法和技巧学会实际操作、计算、观察、分析、，归纳出规律，并应用这些规律解决实际问题。
例题精讲A级基础点睛【例1】班主任需要在最短的时间内，向全班同学发出紧急通知。
假定用电话联系，每通知一个同学需要1分钟，第1分钟由班主任通知同学C，第2分钟由班主任和C同学通知其他的两位同学，以此类推，如果没有重复，那么，5分钟共通知了多少名同学？分析与解第一分钟通知1名同学：第二分钟通知2名同学；第三分钟通知4（2×2=4）名同学；第四分钟通知8（2×2×2=8）名同学；第五分钟通知16（2×2×2×2=16）名同学。
所以，共通知了1+2+4+8+16=31（名）同学。
做一做1 把一张16厘米×32厘米的纸裁去一半，再将其中的一张裁去一半……继续这样裁下去，直到得到一张1厘米×2厘米的纸为止。
那么，一共需裁多少次？【例2】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干块小纸片，如果要分成不少于50块小纸片，那么至少要画多少条直线？请说明。
分析与解我们通过列表来观察：直线条数纸片最多划分成的块数1 1+12 1+1+23 1+1+2+34 1+1+2+3+45 1+1+2+3+4+5…………不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。
我们把问题转化为：自第几行起，右边的数不小于50？我们知道1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。
答：至少要画10条直线。
做一做2 若把一个菠萝竖直切成11块，问：最少要切多少刀？【例3】如右图，在2×2的方格中画一条直线，最多可穿过3个方格，在3×3的方格中画一条直线，最多可穿过5个方格，那么在10×10的方格中画一条直线，最多可穿过多少个方格？分析与解采用递推的方法，从中找出规律和答案。
百分数的意义◆表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
◆百分数只能表示两个量之间的关系，不能表示具体的量。
◆百分数通常不写成分数形式，而是在原来分子的后面加百分号“%”，如：百分之九十90% ，百分之二十六26% ，百分之一百零八点五108.5% ……分数、小数、百分数的互相转化◆小数化成百分数：把小数点向右移2位（位数不够时用0补），同时在后面添上百分号；◆分数化成百分数：通常先把分数化成小数（如果除不尽，要么写成循环小数形式，要么默认保留三位小数），再把小数化成百分数。
百分数解决实际问题◆一般百分数问题◆百分率：如达标率、出勤率、合格率、利润率等◆折扣问题：折数= 现价÷原价◆纳税问题：总收入×税率= 应纳税额缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
◆利率问题：利息= 本金×利率×时间本金：存入银行的钱，利息：取款时银行多支付的钱，利率：利息与本金的比值。
◆浓度问题：溶液浓度= 溶质质量÷溶液质量根据题意，将下面的表格填写完整。
【分析】知识点：百分数与分数、小数的转化难度：A 出处：《从满分到培优》【解答】如下表：填空（1）)%(24)()()(625.0=÷== 。
（2）)(1)(15)%(16)(÷=== 。
（3）)()%(5415)(===÷（小数） 。
【解答】（1）)%5.62(24)15()8()5(625.0=÷== ；（2）)16(1)240(15)%25.6(16)1(÷=== ，（答案不唯一） ；（3）)8.0()%80(5415)12(===÷（小数）。
百分数填空题。
（1）春池春水满，春时春草生。
春人饮春酒，春鸟戏春风。
这首诗中“春”字占全诗总字数的_________% 。
（2）如果y x =6.0（x 不等于0），那么y 比x 少_________% 。
（3）甲数是5，乙数是2，甲数比乙数多_________% 。
（4）一个数的51是21，它的25%是_________。
（5）如果A 是B 的43，B 是C 的80%，那么A 是C 的_________% 。
【分析】知识点：百分数的简单计算，注意“甲比乙多（少）百分之几，应按乙的去算”。
难度：A 出处：《小升初数学试题汇编与训练》【解答】（1）40 ；（2）40 ；（3）150 ；（4）85 ；（5）60 。
填空（1）如果甲数是乙数的20%，那么乙数是甲数的_________倍。
（2）比28少25%的数是_________，28比20多_________%。
（3）根据下图信息计算，这个文件目前还剩下多少MB 没有复制？完成复制一共要多久？【解答】（1）5 ；（2）21 ，40 ；（3）一共有240%682.163=÷MB ，还剩8.762.163240=-MB ，完成复制一共要50%)681(16=-÷（秒）。
小明爸爸拿到一笔6000元的资金，他打算按下面的方案分配：其中10%给小明交学费，再拿出余下钱的61用来采购图书，其余的为小明存了教育储蓄。
教育储蓄定期三年，年利率5.22%，到期后，小明的爸爸可以获得利息多少元？（教育储蓄免交利息税）【分析】知识点：利息的计算，利息=本金×利率×时间。
难度：B 出处：《从满分到培优》【解答】600%106000=⨯（元），90061)6006000(=⨯-（元）， 本金为45009006006000=--（元），∴ 利息为7.7043%22.54500=⨯⨯（元）。
银行整存整取的年利率是：两年期为11.7%，三年期为12.24%，五年期为13.86% 。
如果甲、乙两人同时各存入一万元，甲先存两年期，到期后连本带利存三年期；乙直接存五年。
五年后，两人将钱同时取出，那么谁的收益多？多多少？【解答】甲的利息248.145313%24.12)2%7.111000010000(10000=⨯⨯⨯⨯++（元），乙的利息169305%86.131000010000=⨯⨯+（元）。
752.2398248.1453116930=-（元）∴ 乙的收益多，多了2398.752元。
某小学五年级上学期男生人数占总人数的55%，今年开学初，转走了3名男生，又转来了3名女生，这是女生占总人数的48%。
现在有男生多少名？【分析】知识点：百分数计算，可利用列方程解应用题。
难度：B 出处：《小学数学升学夺冠训练A 体系》【解答】方法一，设班级共有x 人，则原来女生有x %)551(-人，现在女生有x %48人。
1003%3%483%45%483%)551(===+=+-x x xx xx∴ 现在男生有52%)481(100=-⨯（人）。
方法二，由题可知，开学前后总人数不变，女生从原来的45%变为现在的48%，因为增加了3人，即3人为3%，则总人数为100人，从而求出现在男生人数。
原有男、女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5%，总人数增加16人。
那么现有男同学多少人？（小学数学奥林匹克决赛试题）【解答】设原来有男生x 人，则原来女生有)325(x -人。
1451803259)325%(516)325%(525==-=-=--x x x x∴ 现在男生有17025145=+（人）。
甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元。
甲商品的成本价是多少元？【分析】知识点：打折问题，利润=售价－成本，折数=现价÷原价。
结合列方程解应用题。
难度：B 出处：《从满分到培优》【解答】设甲商品的成本价为x 元，则乙商品成本价为)2200(x -元。
1312200)]2200%)(151(%)201[(%90=--+++x x1200=x∴ 甲的成本价为1200元。
商店同时卖出两件商品，每件售价都是300元。
其中一件赚20%，另一件亏本20% 。
这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？【解答】两件商品原价分别为 250%)201(300=+÷（元），375%)201(300=-÷（元），)375250()300300(+<+ ， ∴ 亏本。
有含糖6%的糖水900克，要使其含量加大到10%，需加糖多少克？【分析】知识点：浓度问题，溶液浓度=溶质质量÷溶液质量。
难度：C 出处：2012春季五年级竞赛底稿【解答】方法一，抓住不变量（水不变）。
水的重量846%)61(900=-⨯（克），后来的溶液重量940%)101(846=-÷（克）， 溶液重量的变化（加糖量）40900940=-（克）。
方法二，列方程。
设加糖x 克，()%10900900%6⨯+=+⨯x xx x 1090001005400+=+360090=x40=x在浓度为10%，重量为100克的盐水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的盐水？【解答】糖不变g 10%10100=⨯，后来的盐水总重g 125%810=÷，∴ 加入水的重量g 25100125=-。
在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度变为50%？【分析】知识点：浓度问题，溶液浓度=溶质质量÷溶液质量。
结合列方程解应用题。
难度：C 出处：《小学数学升学夺冠训练A 体系》【解答】设原有酒精溶液x 千克，15)5%(30%40=+=x x x 原有酒精6%4015=⨯（千克），现有酒精溶液20515=+（千克），设添加a 千克酒精，则)20%(506a a +=+，解得8=a ，∴ 再加入8千克酒精，浓度变为50% 。
有一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%，第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为多少？【解答】设第一次加入一定量水之后的盐水质量为1，每次添加a 千克水，则)1(%12%15a +=，解得41=a ， 那么第三次加入同样多的水，含盐百分比将变为%10%1004121%15=⨯⨯+。
（1）现有含盐20%的盐水500克，要把它变成含盐15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？【分析】知识点：浓度问题。
难度：C 出处：2012春季五年级竞赛底稿【解答】设加入5％的盐水x 千克()%15500%5%20500⨯+=+⨯x xx x 157500510000+=+250010=x250=x∴ 加入5%的盐水250克。
（2）在甲、乙、丙三缸酒精中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和32，已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量，三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【分析】知识点：三种溶液混合的浓度问题。
难度：C 出处：2012春季五年级竞赛底稿【解答】甲缸酒精总量为100÷2=50千克，其中酒精有24%4850=⨯千克，乙、丙两缸酒精总量为50千克，其中酒精为3224%56100=-⨯千克，设乙溶液为x 千克，则丙溶液为x -50千克，依题意，列方程得：()325032%5.62=-⨯+x x 3232310085=-+x x 34241=x 32=x ∴ 丙溶液重量为50-32=18千克，其中纯酒精为123218=⨯千克。
【教师备用】1、某工厂二月份比一月份增产10％，三月份比二月份减产10％。
三月份比一月份增产了还是减产了？分析：工厂二月份比一月份增产10％，我们就要将一月份产量看作1（标准量），二月份产量为1＋10%；三月份比二月份减产10％，那就要把二月份产量作为标准量，三月份产量为二月份产量的1－10%。
因此三月份相对一月份的产量就为（1＋10%）×（1－10%）。
解：（1＋10%）×（1－10%）=99% 1－99%=1%答：三月份比元月份减产1％．2、哥哥和弟弟共有人民币10．8元，哥哥用去自己钱数的75％，弟弟用去自己钱数的80％，两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？分析：单位“1”不统一，可以先进行转化，以哥哥的钱数为标准量，则弟弟钱数的（1－80％）相当于哥哥的（1－75％），由此可得出弟弟的钱数是哥哥的百分之几，也可利用比来分配。
此题还可列方程解答。
解：①（1－75％）÷（1－80％）=125% 10.8÷（1＋125%）=4.8（元）②1－75％＝25％， 1－80％＝20％ （1÷25％）∶（1÷20％）＝4∶510.8÷（4＋5）×4＝4.8（元）③设哥哥原来有x 元，可得方程：（1－75％）x =（10.8－x ）×（1－80％），解得x =4.8。
