当前位置：文档之家 › 圆定理证明

圆定理证明

  • 格式：docx
  • 大小：159.62 KB
  • 文档页数：10

圆幂定理

定义

圆幂=PO^2-R^2 (该结论为欧拉公式)

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与

圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于A、B;C、D, 则有

PA ·PB=PC ·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2,L1 与圆交于

A、B(可重合，即切线),L2 与圆交于C、D(可重合),则有 PA ·PB=PC ·PD。

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条

弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)

相交弦说明

几何语言：

若弦AB 、CD 交于点P

则 PA ·PB=PC ·PD (相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分

直径所成的两条线段的例中项

几何语言：

若AB 是直径， CD 垂直AB 于点P, 则PC^2=PA ·PB (相交弦定理推论)

相交

弦定

理

C A

D

P

o°

B ⊙O中，AB、CD 为弦，交于P PA ·PB=PC ·PD 连结AC、BD,证： △APC△DPB

切割线定理

定义

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段

长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT 切⊙O 于点T,PBA 是⊙O 的割线 ∴PT 的平方=PA ·PB (切割线定理)推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线

段长的积相等

几何语言：

∵PT是⊙O 切线， PBA,PDC 是⊙O 的割线

∴PD ·PC=PA ·PB (切割线定理推论)(割线定理)

由上可知：PTA2 (平方)=PA ·PB=PC ·PD 证明

切割线定理证明：

设 ABP 是 ⊙O 的一条割线， PT 是⊙O 的一条切线，切点为T, 则

PT^2=PA ·PB

证明：连接 AT,BT

∵∠PTB=∠PAT (弦切角定理)

∠P=∠P (公共角)

∴△PBTO△PTA (两角对应相等，两三角形相似)

则 PB:PT=PT:AP

即：PT^2=PB ·PA

割线定理

定 义

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线

与圆交点的距离的积相等。

从圆外一点L 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则 有 LA ·LB=LC ·LD。

如下图所示。 (LT 是切线)

证明

如图直线ABP 和 CDP 是自点P 引的⑨O 的两条割线，则PA ·PB=PC ·PD

证明：连接 AD、BC

∵ ∠A 和∠C 都对弧BD

∴由圆周角定理，得∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP △CBP

∴AP:CP=DP:BP,也就是AP ·BP=CP ·DP

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言： ∵1⊥ OA, 点A 在⊙O 上

∴直线1是⊙O 的切线(切线判定定理)

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言： ∵ OA 是⊙O 的半径，直线1切⑨O 于点A

∴1 ⊥OA (切线性质定理)

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线平分两条切线的夹角

几何语言： ∵直线PA、PB 分别切⊙O 于 A、B两点

∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO ( 切线长定理)

证明：连结OA、OB

∵直线PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点

∴OA ⊥AP、OB ⊥PB

∴∠OAP= ∠OBP=90°

在 △OPA 和 △OPB 中 ：

∠OAP= ∠OBP

OP=0P OA=0B=r ∴△OPA ≌△OPB(HL)

∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO

弦切角定理

弦切角(即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧 AC)对的圆周角等于所夹的

弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是

很完整，图中没有连结OC]

几何语言：∵∠ACD 所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧

AC 的度数(弦切角定理)

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几 何 语 言 ： ∵ ∠ 1 所 夹 的 是 弧 MN,∠2 所 夹 的 是 PQ , 弧 MN = 弧

PQ

∴∠1=∠2

证 明 ： 作 AD⊥EC

∵∠ADC=90°

∴∠ACD+ ∠CAD=90°

∵ED 与 ◎O 切 于 点C

∴OC ⊥ED

∴∠OCD= ∠OCA+ ∠ACD=90°

∴∠OCA= ∠CAD

∵OC=0A=r

∴∠OCA= ∠OAC

∴∠COA=180°- ∠OCA- ∠OAC=180°-2 ∠CAD

又 ∵ ∠ACD=90°- ∠CAD

∴∠ACDC=1/2 ∠COA

∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2 AC 的 度 数

垂 径 定 理

如图 DC 为直径 AB 垂直于 DC 则 AE=EB 弧 AC 等于弧 B C

圆周角定理：

图 7-139

(1)

定义

(2)

图 2 (3)

:顶点在圆上 ， 且两边与圆还有另一个交点 。

圆 周 角 定 理

:同弧所对圆周角是圆心角的一半.

证明略(分类思想，3种，半径相等)

圆幂

定理 ⊙O中，割线PB 交⊙O于A,CD

为弦 P℃ ·P'D=r²-op² PA

·PB=Op²-r²

r为⊙O的半径 延长PO交⊙O于

M,延长OP'交⊙O

于N,用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证

8. 圆幂定理：过一定点P 向 ⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条

线段之积为常数[OP²-R² | (R 为圆半径),因为Op²-R² 叫做点对于OO 的幂，所以将

上述定理统称为圆幂定理。 D

P°

B C

0

A

合集下载

圆中平行弦定理

圆中平行弦定理

圆中平行弦定理

圆中平行弦定理是指，当在圆上找到两条平行的弦时，这两条弦所对应的弧长

必然相等。这个定理可以通过多种不同的方法来证明，其中最常用的方法是利用圆

心角和割线角的性质。

具体来说，在圆的内部找到一对相交的割线，将它们分别延长至圆的外部，使

得它们分别与弦 AC 和 BD 平行。这样，由于割线与弦的交点所对应的圆心角相等，

而圆心角所对应的弧长也相等，所以弦 AC 所对应的弧长与弦 BD 所对应的弧长也

必须相等。换句话说，如果两条弦平行，它们所对应的弧长也必须相等。

除此之外，这个定理还有很多其他的应用。例如，在解决与圆相关的几何问题

时，我们常常需要用到圆的切线和弦的关系，而这个定理也可以帮助我们解决这类

问题。同时，通过类似的方法，我们还可以得到圆外切线定理、圆内切线定理等一

系列定理，从而更好地理解圆的性质与几何意义。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

托勒密定理

定理图

定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角 线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的 面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一 系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理的提出

一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷 (Hipparchus)之手，托勒密只 是从他的书中摘出。

证明

一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)

在任意四边形 ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△

ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC, 即 BE·AC=AB·CD (1)

而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE

所以△ ABC∽△AED 相似.

BC/ED=AC/AD 即 ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2), 得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为 BE+ED≥BD

(仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)

所以命题得证

复数证明

用 a、 b、c、d 分别表示四边形顶点 A、 B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数恒等式： (a

- b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模， 运用三角不等式得。 等号成立的条件是 (a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、 B、C、D 四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。 二、设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上，圆周角∠ BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。 在 AC 上取一点 K，使得∠ ABK = ∠ CBD； 因为∠ ABK + ∠CBK =

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理

圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质

1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理

1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。 3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例

1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：

本文介绍了圆的基本性质和相关定理。通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

圆幂定理及其证明

圆幂定理及其证明

,.

;.. 圆幂的定义

假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；

若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；

综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。

圆幂恒大于或等于零。

圆幂的由来

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。

圆幂定理

定理内容

过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有

。[1]

圆幂定理的所有情况

考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有 ,.

;..

圆幂定理的证明

图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以

。所以有：

，即：

图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有

，同上证得

图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有

易证 ,.

;..

图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此

所以PA=PC，所以

综上可知，