《算法案例-辗转相除法与更相减损术》(一)

《算法案例-辗转相除法与更相减损术》(一)

算法案例-辗转相除法与更相减损术

算法，是指在确定性有限时间内，解决特定问题的一系列清晰指令。辗转相除法和更相减损术，均为求解最大公约数问题的算法。下面将分别介绍这两种算法的基本思想和实现方式。

一、辗转相除法

辗转相除法，也叫欧几里得算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。其基本思想是：设两个正整数为 a 和 b （a > b），如果

a%b = 0，则 b 即为两数的最大公约数；否则，a 和 b 的最大公约数就是 b 和 a%b 的最大公约数，即 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。

这一思想可以用代码实现：

```

int gcd(int a, int b)

{

return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);

}

```

辗转相除法的优点在于其计算量比较小，并且只用到了简单的加减操作，适用于大数据处理的场景。同时，其时间复杂度为 O(log a +

log b)，在实际使用中速度较快。

二、更相减损术

更相减损术，也是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法。其基本思想是：设两个正整数为 a 和 b （a > b），则 a-b 可以得到一个差值，而这个差值与 b 的最大公约数，也是 a 和 b 的最大公约数。

但是，由于上面的操作导致了数字的不停减少，如果两个数字差距较大，会导致较长的计算时间且容易出现递归调用栈溢出。

因此，更相减损术需要进行优化。这时，我们可以使用辗转相除法来缩小数字差距。当 a 和 b 中有一个数大于等于另一个数的两倍时，我们可以使用辗转相除法把两个数尽可能的靠近，再进行更相减损术的操作。

更相减损术的代码实现如下：

```

int gcd(int a, int b)

{

if (a == b) return a;

if (a < b) return gcd(b, a);

if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) return gcd(a >> 1, b >>

1) << 1;

else if ((a & 1) == 0) return gcd(a >> 1, b);

else if ((b & 1) == 0) return gcd(a, b >> 1);

else return gcd(b, a - b);

}

```

三、总结

辗转相除法和更相减损术，都是基于整除法和减法的扩展，通过不停地迭代缩小数字大小，最终得到两个数字的最大公约数。辗转相除法计算量小，适合处理大数据。更相减损术则可以通过辗转相除法优化减少计算时间。在实际使用中，应该根据具体需求选择最适合的算法，以达到高效的计算。