数值分析 知识点总结

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）

为 的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为： 即：

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。

科学计数法：记有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令

1. x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和

2. x-y近似值为

3. xy近似值为

4.

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量

第二章 非线性方程求根

1.逐步搜索法

设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)>0(而f(xk-1)<0),则有根区间缩小为[xk-1,xk] (若f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xk-xk-1|

2.二分法

设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。

3.比例法

一般地，设 [ak,bk]为有根区间，过(ak, f(ak))、 (bk, f(bk))作直线，与x轴交于一点xk,则：

1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

知识点

1有效数字，稳定性

2非线性方程求解：不动点法、牛顿法应用

3 Lagrange、牛顿插值及其余项、插商表的构造；样条概念；线性最小二乘拟合

4 代数精度、高斯型求积公式；龙贝格积分

5向量、矩阵范数；线性方程组的收敛性、J，GS方法求解；线性方程组的一般求解方法。

6 微分方程的改进欧拉法求解。

注：请同学们根据所列知识点，在教材上找到相应的例题或者习题认真进行练习。

下文所列习题仅备做题模式所用，请同学们补齐所有知识点例题。

1.1.412写出有效数字的概念，并计算近似有几位有效数字。**k12ni1xxx0.aa...a10x012...9a0解：设是的近似数，可表示为，每个均为，，，，中的数字，且，

*kn*1x-x10,xxn2.43如果则称近似具有位有效数字。11近似2有位有效数字。

0n1n0nn-1*08 x2.Idxx51 I5In1,2,...n I0.2 I求积分可得递推公式给定初始近似值，计算，计算到时，误差是多少？分析该递推式的稳定性。 0nn-1n-1n-1n-21*0000***nnn-12*n*nn-2000n8881Idx=0.1823 II0.0177x511II5I5I5IInn5II5II550.017750.0177=6914.0625I6914.06258390625解：，，因此计算到时误差为，利用递推公式步计算误差扩大了倍，故该公式数值计算不稳定。

3k1k2k631c3.cx2x,3x6510证明计算的牛顿迭代公式为并用此迭代公式计算，要求精确到。

33k3'2k1k'kk1k2k0k1k2k0123xcxc0fxfxxc,fx3xxxfx1cx2x3x165c65f40f50,x45x4x2x3xx4,x4.020833333,x4.020725761,x4.020725759x=4.02072解：令，则它是方程的根，取则，代入牛顿迭代公式-得，。=时，由于，故，，选代入故5。

数据的分析

数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差

1．解统计学的几个基本概念

总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。

2.平均数

当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;•当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数[公式有n个数,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c.z,z,z,z,加权平均数=(a×a的个数+b×b的个数.+z×z的个数）/n。]

3.众数与中位数

平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。

4.极差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

5.方差与标准差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是

s2=[(x1-)2+(x2-)2+„+(xn-)2]；

方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。

第一章 绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

ε(x)=|x−x∗|是x∗的绝对误差，e=x∗−x是x∗的误差，ε(x)=|x−x∗|≤ε，ε为x∗的绝对误差限（或误差限）

er=ex=x∗−xx为x∗ 的相对误差，当|er|较小时，令 er=ex∗=x∗−xx∗

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|er|=|x∗−x||x∗|≤ε|x∗|=εr

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值x∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x∗的第一位非零数字共有n位，则称近似值 x∗有n位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x∗=3,ε1(x)=0.1415926…≤0.5×100,则x∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x∗=±0.a1a2⋯an×10m(其中a1≠0),若|x−x∗|≤0.5×10m−n，则x∗有n位有效数字，精确到10m−n。

由有效数字求相对误差限：设近似值x∗=±0.a1a2⋯an×10m（a1≠0）有n位有效数字，则其相对误差限为12a1×101−n

由相对误差限求有效数字：设近似值x∗=±0.a1a2⋯an×10m（a1≠0）的相对误差限为为12（a1+1）×101−n则它有n位有效数字

令x∗、y∗是x、y的近似值，且|x∗−x|≤η(x)、|y∗−y|≤η(y)

1. x+y近似值为x∗+y∗,且η(x+y)=η(x)+η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和

2. x-y近似值为x∗−y∗,且η(x+y)=η(x)+η（y）

3. xy近似值为x∗y∗,η(xy)≈|x∗|∗η(y)+|y∗|∗η(x)

4. η(xy)≈|x∗|∗η(y)+|y∗|∗η(x)|y∗|2

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数