下载文档原格式
第八章小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f x j -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
151样条小波与样条插值分段滤波方法邹小勇莫金垣摘要针对窄带锐峰并对V 和Mn 的CCD-ICP-AES 实际光谱信号进行了处理这种新的联合技术可以将其分为渐变信号和奇异突变信号. 所谓渐变信号是信号在输出过程中均匀而又平稳的变化而奇异突变信号是信号在输出过程中不平稳和突跃的变化用样条小波处理可以得到较为满意的分析结果[1¶ÔÓÚÆæÒìÍ»±äµÄº¬Ôë·ÖÎöÐźÅÈç¹ûÕâÖÖÆæÒìµÄº¬ÔëÐźŵ¥´¿ÓÃС²¨Â˲¨À´´¦ÀíÊä³ö²¨ÐÎʧÕæÑÏÖØ.针对奇异突变含噪信号峰尖以及峰周围数据点少的特点并应用于CCD-ICP-AES 实际光谱信号中.研究结果表明能提高波谱的清晰度和分析的准确度.1 数学原理假设所讨论的奇异突变分析信号y k 满足Gauss方程＋１００）区间中(-10),,,3,2,1( n k v y f k k N k L =+=(2)其中图１ （１）式理论方程曲线152./)5.0(maxNS M RND v k −=(3)RND是程度本身提供的伪随机函数对滤波工作带来极大的困难.尤其对于奇异突变信号用常规的小波滤波方法来处理会导致处理后的曲线变形.为了解决曲线畸形的问题对于这有限数据进行样条插值[5²¢ÇÒÔÚÿ¸ö×ÓÇø¼äÉ϶¼ÊÇÈý´Î¶àÏîʽÊ×ÏȶÔÁ½±ßµÄ»ùÏßÖ±½ÓÓÃС²¨´¦Àí×îºó¾ÍµÃµ½ÆæÒìÍ»±äÐźŵÄÑùÌõС²¨·Ö¶Î²åÖµÂ˲¨ÇúÏßͼ.2 结果与讨论以下计算均采用三阶B-样条函数对于突变信号中有限的数据点种边界条件内插值至29数据点.图2(a)为实验过程中钒(V)的浓度和积分时间分别为10×10-6mol/LÈçͼ1(a)一样而且峰很尖和基线噪声分布均匀. 经过放大后峰(1(d)所示309.308310.357, 310.255在峰周围所采集的相关数据点仅为16.经过详细研究（ｄ）所示.图2 CCD-ICP-AES 原始光谱信号及放大局部范围数据信号(a) 原始光谱信号;(b) 放大峰1局部范围数据信号;(c) 放大峰2局部范围数据信号;(d) 放大峰3局部范围数据信号153从处理后的结果可以看出但经过以上过程处理后得到一条基本对称的峰形曲线.然后将小波处理基线后的结果个峰单独处理后的部分叠加在一块的处理结果如图峰1~3清晰可见其中锰的浓度分别为1×10106,2×10积分时间t= 6.6 s标准曲线如图提出了样条小波分段插值滤波方法结果令人满意.致谢本工作为国家自然科学基金(批准号: 29975033)和广东省自然科学基金(批准号: 980340)资助项目.参 考 文 献1 Zou Xiaoyong, Mo Jinyuan. Spline wavelet analysis for voltammetric signals. Anal Chim Acta, 1997, 340: 1152邹小勇1996, 17(10): 1522图3 样条小波结合样条函数插值处理结果(a) 原始光谱信号(同图2(a))(c) 峰2局部范围处理后图4 CCD-ICP-AES信号样条小波处理结果图5 浓度和强度的线性关系积分时间s = 6.6 s , λ=294.920 nm1543邹小勇1997, 42(4): 3824邹小勇1999, 44(8): 8185谢天尧. 样条最小二乘法.化学学报莫金垣. 阶跃伏安法中化学计量新方法样条函数磨光法.分析试验室谢天尧等.阶跃伏安法离散数据连续化及导数卷积的方法。
第二代小波变换在旋转机械故障诊断中的应用研究摘要:不同类型的机械故障在振动信号中会反映出不同的波形特征,选用不适当的小波基函数会冲淡故障的特征信息,给故障诊断造成困难。
第二代小波变换可以通过设计预测系数和提升系数获得具有某种特性的小波基函数。
本文介绍了第二代小波变换的原理,研究了预测系数和提升系数与低通和高通滤波器系数之间的关系,根据信号的特征构造了基于插值细分方法的双正交小波,在旋转机械的轴系不对中故障诊断中取得了满意的效果。
关键词:第二代小波变换;插值细分法;预测系数;提升系数;故障诊断引言在机械设备发生故障时,其动力学特性通常表现出复杂性和非线性,所产生的振动信号也随之出现非平稳性。
小波变换通过伸缩和平移运算对信号进行多尺度分解,从而能够有效地从信号中获取各种时频信息,是分析非平稳信号的一种有效的手段,在机械设备故障诊断领域被广泛应用"。
小波分解的结果与所采用的小波基函数有关,不同类型的机械故障在振动信号中会反映出不同的波形特征,选用不适当的小波基函数会冲帧故障的特征信息,给故障诊断造成困难'},因此,寻求适当的小波基函数来表征特定的故障信息是小波技术应用于机械设备故障诊断时所面临的最大难题。
由WimSweldens提出的第二代小波变换是一种基于时域运算的信号分析方法),与经典小波变换不同的是,它不依赖Fouerier变换,但同样可以获得与经典小波变换相同的时频特性,且可通过设计预测系数和提升系数得到具有某种特性的小波基函数,为故障诊断提供了一个新的分析手段,使得针对不同类型的故障特征构造相应的小波基函数成为现实。
本文介绍了第二代小波变换的原理,研究了预测系数和提升系数与尺度函数和小波函数之间的关系,构造了基于插值细分方法的双正交小波,在旋转机械的轴系不对中故障诊断中取得了满意的效果。
1第二代小波变换的原理第二代小波变换是由WimSweldens博士提出的一种使用提升模式构造小波的方法,它不依赖Fourier变换，小波基函数不再是由某-一个函数的平移和伸缩而产生,所有的运算在时城上进行,不仅能获得与传统小波变换同样的结果,实现信号在不同频带上的分离,而且还能设计某种特定功能的小波。
第二代小波变换及在不规则测点重磁资料处理中的应用1刘天佑，史辉，吴小羊中国地质大学，湖北武汉（430074）E-mail：liuty4508@摘要：1994年swelden提出了基于提升算法的第二代小波，它继承了第一代小波的多分辨特性；不依赖傅立叶变换，小波变换后的系数是整数，运算速度快；并且可以实现不规则测网数据的小波分析。
本文实现了基于提升算法的第二代小波变换，并把它应用于不规则测点的重力数据的处理，该方法比预先将不规则测点的重力数据经过二次插值网格化，再进行第一代小波分析的方法不仅精度高，而且失真小。
它可用于1：5万～1：20万石油高精度重磁勘探中对不规则测网数据的处理。
最后利用第二代小波变换处理了江南古陆CHAMP卫星磁测数据。
关键词：第二代小波提升算法高精度重磁勘探不规则测网江南古陆 CHAMP卫星磁测中图分类号：P31．引言重磁勘探是方法理论成熟，覆盖面积广，应用领域十分广泛的两种地球物理方法。
在1：20万或更小的比例尺重磁勘探的数据采集中，通常采用不规则测网。
近年，随着人们绿色与环保理念的增强，为了在施工中不砍伐树木、破坏生态环境，在1：10万，1：5万比例尺的重磁数据采集中也常常采用不规则测网。
在石油重磁勘探中，由于被探测的目标埋深大（通常密度界面、磁性界面深度在3～10km），产生的重磁异常弱，为了探测深部构造，近年国内已开始采用“高精度三维重磁采集方法”，其做法是沿测点号观测一次，再沿测线号观测一次，通过多次观测来提高观测精度。
例如在我国南方复杂地形的石油重磁勘探，1：5万重力设计精度为0.09×10-5m/s2，而实际可达到0.065×10-5m/s2，在野外采集这一环节，目前国内已经可以达到相当高的精度。
重磁资料数据处理，如利用傅立叶变换的频率域位场转换，小波分析等，都要求观测数据是等间距的，即规则测网数据。
对于实测不规则测点数据，通常要先做网格化处理变为网格数据，由于对不规则测点重磁数据做了网格化（如采用距离平方反比、克吕金法等等），原本野外采集的数据其高精度将由于网格化过程而丧失。
基于B－样条二进小波的多尺度边缘检测陆艳飞;吐尔洪江·阿布都克力木;汪艳丽【摘要】This paper proposes a wavelet based multilevel edge detection method that exploites spline dyadic wavelets and a frame work similar that of Canny’s edge ing the recently proposed dyadic lifting schemes by Turghunjan et al, spline dyadic wavelet filters have been constructed, which are characterized by higher order of regularity and have the potential of better inherent noise filtering and detection results. Edges are determined as the local maxima in the sub-bands at different scales of the dyadic wavelet transform. Comparison reveals that ourmeth⁃od performs better than Mallat’ s and Canny’ edge detector.%文章提出了基于B－样条二进小波的多尺度边缘检测算法和与Canny边缘检测算法理论相似的框架理论，用T． Abdukirim提出的二进提升方案构造具有高阶消失矩的B－样条二进小波滤波器，此算法能较好抑制噪声和增强边缘，经过大量的仿真实验发现，二进小波变换的多尺度局部模极大值边缘检测算法优于Mallat、Canny边缘检测算法。
