怎样上出一堂好课——“方程的根与函数的零点”教学反思

- 1 - 怎样上出一堂好课

——“方程的根与函数的零点”教学反思

宋艳秋（山西省实验中学）

【《中国数学教育》杂志】

山西省教育科学“十一五”规划课题“基于问题设计的中学数学课堂教学策略研究”的中期汇报课题研讨会上，本人承担了汇报展示课“方程的根与函数的零点”的课堂实践任务。课后，与会专家进行了点评，并给予了许多宝贵意见。此次研讨后，在原有的教学设计基础上，结合课堂实践情况，以及专家的研讨意见，本人对教学设计和实施的引入、探究、辨析等各个环节进行了深刻反思，并逐步感悟到一堂好课的标准。

一、引入环节

教学片断一：

今天我们来学习第三章函数的应用的第一单元“函数与方程”。函数的应用是广泛的，函数思想在方程领域内的应用为求方程的根提供了一条简捷的途径。虽然今天我们可以从教科书中了解到各式各样的方程的解法，但这一切却在数学史上经历了很长时间。下面我们来了解一下中外历史上的方程求解。

约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法；11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法；13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。可见，我国古代数学家已经比较系统地解决了部分方程求解的问题。

国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。既然五次及五次以上的高次方程以及指数方程、对数方程等超越方程没有求根公式，那怎样才能求出方程的根呢？

通过刚才了解到的方程求解的数学史，可以感觉到如果仍然从方程角度入手研究方程求解问题，已经很困难了，或者说研究不下去了，那么这个时候该怎么办呢？我这里就有一个问题，你们看能解决吗？

（课件投影。）

问题1：方程2x+x=0有无根？若有，能否说出其中的一个根大概在哪两个整数之间？

生1：有一个根。根在-1和0之间。把x移到等号另一端，观察函数y=2x和函数y=-x的图象，发现两个函数只有一个交点，因此方程有一个根。观察图象，用-1和0代换x求出两个函数值后，发现根在-1和0之间。

生2：令y=2x+x，由于在定义域内这是个增函数，且用-1和0代换x后发现函数值一负一正，所以在-1和0之间一定有一个使y=0的值，因此方程有一个根。

师：都回答得很好。生1把求方程根的问题转化为两个函数的交点问题，生2把方程直接转换成一个函数进行求解，他们都用函数的思想解决了方程的问题。看来函数及其图象是个好帮手，就让我们系统地研究一下，方程与函数到底有怎样的联系。

【反思】本环节问题情境创设得较好。对于数学概念课，教科书中常常只有核心概念和例题，一般都略去了知识的产生和形成过程。如果教师在教学中照本宣科，让学生生硬记住概念后做题，这必然使很多学生觉得数学知识十分枯燥，既没意思又没用，从而大大降低学生学习数学的热情和积极性。本人在处理教材时，为突出学习的必要性，在教学设计的引入中常结合知识产生的背景，创设一个保留历史特征和痕迹的问题情境，通过激其情、奋其志、启其疑、引其思，呈现出学生已有的知识经验与所面临情境之间的冲突或矛盾，进而引起学生的注意、关心和探索行为，极大地调动学生学习的积极性和目的性，使学生在自然而然的情况下亲历知识的产生和形成过程，自己获得知识。

引入环节采取这样的教学设计，目的是让学生明白 “为什么要学”，只有学生明白了“为什么要学”，才能激发出他们的求知欲，进一步设计“怎样学”和“学什么”才更有效。

为使学生弄清楚“为什么要学”，本节课的引入设计了两个内容：一是介绍了古今中外方程求解的数学史，使学生先了解五次及五次以上方程没有求根公式；二是设计了问题1。关于问题1，原来的设计是：方程2008x2-2009x+0.5=0有无根？若有，能否说出其中一个根大

- 2 - 概在哪两个整数之间？试讲时发现大部分学生都是用判别式来判断，由于数值较大不好算，学生就用计算器算。接下来根据教材的内容安排启发学生：还能换个角度用别的思想方法解决吗？学生也都积极思考，然后有学生发言用函数思想判断出方程是否有根……我感觉引入环节设计得当，启发到位，学生学习得自然。没想到下课后与学生交流，发现根本不像自己预想的那样，虽然学生学习了函数的零点的概念，也清楚方程根的问题可以由函数的零点来解决，但就是不明白为什么要用函数零点解决。反思后发现：这是因为学生原有的知识结构先入为主地决定了他的解题方法。为此，在教学引入环节中重新设计了问题1。这是一个不能直接求解（即无求根公式）的超越方程。实践表明，这次真正使学生自然而然地过渡到用函数思想解决问题，也让学生感受到“利用函数思想来解决方程问题”非常必要，进一步引发学生深入思考方程与函数到底有怎样的联系，从而使学生顺利进入本节课的问题情境中，也使他们的大脑真正“动”起来。

因此我觉得在某些数学核心概念课的教学中，在引入环节中创设有价值、有效的问题情境对一堂好课来说是非常必要的。

二、探究环节

教学片断二：

（课件投影。）

问题2：完成下表并思考二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与 x 轴的交点个数、交点坐标与相应方程的根有什么联系？

Δ＞0 Δ= 0 Δ＜0

二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根

二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

交点坐标

（让学生一起填表，并请一位学生回答问题2。）

生3：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标就是相应的二次方程的根。

生4；我还发现，方程有根也就是函数图象与x轴有交点。

师：好，我们有两个重大发现。

（教师演示课件显示结论。）

二次方程与相应函数的关系：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标就是相应的二次方程的根；方程有根函数图象与x轴有交点。

师：通过对二次函数的研究，我们发现了二次函数与方程的根的关系。对于其他类型的函数，是否也有此结论呢？

（课件投影。）

问题3：上述结论是否对一般方程与相应函数也成立？你能举例说明吗？

生5：如函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴交点的坐标是,0ba，相应方程ax+b=0(a≠0)的根为x=ba；函数y=log2x的图象与x轴交点的坐标是（1，0），相应方程log2x=0的根为x=1；函数y=2x的图象与x轴没有交点，相应方程2x=0无根；函数y=1x的图象与x轴没有交点，相应方程1x=0无根。前两个方程有根，且根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标；后两个方程无根。这也说明方程有根等价于函数图象与x轴有交点。

【反思】基于学生情况，本环节在教学实施过程中临时改变了教学设计，变通得较好。对于问题3，原来的教学设计是提出问题3后，并不给学生思考的空间，不用他们举例，而是用几何画板展示出事先选好的例子：“观察函数图象与相应方程的根的关系：f(x)= x-4与x-4 =0；f(x)=(x2-1)(x+2)(2x-6)与(x2-1)(x+2)(2x-6)=0；f(x)=2x-8与2x-8 =0；f(x)=ln(x-2)与ln(x-2)=0。”接下来，先让学生求出方程的根，再用几何画板作出函数图象演示，然后让学生观察其关系。这样设计的理由是：（1）所举函数，类型比较全面：有高次的，有含指数、对数式的；（2）可以通过几何画板画出像f(x)=(x2-1)(x+2)(2x-6)这样平时画不出的函数图象让学生对照，也可以展示我的多媒体教学技能。在试讲时，提出问题3后也曾给学生一点时

- 3 - 间，追问你能举个例子吗？但学生只举出了一次函数和相应一次方程的例子，而当用几何画板演示事先举的例子后，学生既感叹，又对我熟练使用几何画板投以赞赏的目光。于是我也非常享受我的设计，坚信我的设计可以使学生收获更大。

本次公开课是异校上课，不是自己的学生，也不了解学生的情况，但是具了解学生程度很好，本着“师少说、生多说”的原则，在提出问题3后，就多问了一句：你能举些例子说明吗？没想到学生的潜力让我大吃一惊，很多学生一个人能举出好几个例子。其中一位学生的例子是：“函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴交点的坐标是,0ba，相应方程ax+b=0(a≠0)的根为x=ba；函数y=log2x的图象与x轴交点的坐标是（1，0），相应方程log2x=0的根为x=1；函数y=2x的图象与x轴没有交点，相应方程2x=0无根；函数y=1x的图象与x轴没有交点，相应方程1x=0无根。”举的例子函数类型较全面，且把方程有根与无根的情况对照出来，更恰当地说明了“方程有根等价于函数图象与x轴有交点”这一特征。

学生举例太好了，于是我临时变通，不再展示事先准备的例子。因为我想：课堂不是教师的舞台，不能只为展示个人风采，教师的角色更象是导演，学生才是演员，是课堂真正的主人。所以，即便学生举的例子不够完整，也要让学生多呈现思维、展示方法，力求让学生自己说出结论，不足之处教师再补充。最重要的是通过学生自己举例、分析得出的结论，学生学得自然、积极、印象深刻；这种氛围又能激励其他学生勇于发言、敢于发言，生生之间相互促进思考，课堂上民主、研讨气氛浓，真正把课堂还给了学生。只有使全员参与，才能切实提高教学的有效性。

因此我想：在实践过程中，当教学设计与学生认知规律发生冲突时，一定要本着“以学生为本”的原则，改变教学设计，适当增删研讨的内容。解决课堂上需要解决的即便是临时出现的未预测的源于学生的问题时，教师要“跟着”学生走，引领学生走，而不是学生被教师牵着走、控制着走。所以一堂好课不是教师完美表演的课，而应该是学生活动精彩的课。

教学片断三：

（课件投影。）

问题4：怎样判断函数存在零点呢？

师：我们还是从特殊到一般的思想，先看一个具体生活中的例子。

（课件投影。）

图1是某地0~12时的气温变化图，假设气温是连续变化的，这段时间内是否一定有某时刻的气温为0℃？为什么？

生6：有。因为气温是连续变化的，所以气温变化图是连续不断的，并且0时的气温是-4oC，12时的气温是8oC，一负一正，所以0~12时之间肯定有某时刻的气温是0oC，也就是说这个气温函数有零点。

师：好！可见这个函数图象符合某些特征，在[0，12]上就有零点。把它抽象成一般性结论，对于一般的函数f(x)，需要满足什么条件，它在某个区间上才有零点呢？

生7：我觉得有两个条件。一是函数图象是连续不断的；二是有两个自变量的值。

师：在什么范围上取这两个自变量的值呢？

生7：在定义域上。

师：在整个定义域上吗？

生7：比如[0，12]区间上。

师：[0，12]区间太特殊具体了，能不能抽象成一般的一个区间？

生7：…… -4 0 Y8 (气温)

12 X（时间）

图1