二重积分复习题

习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。

2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分，在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。

3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰＝ 。

4、设{}222(,)D x y x y a =+≤，若Dπ=，则a = 。

5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成，则()51Dx y dxdy -⎰⎰＝ 。

二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则（ ）。

A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数，则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰（ ）。

A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。

3、设D 是第一象限中由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰（ ）。

A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成：（ ） A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。

第八章 多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ） 则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分 记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质 （1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

第九章 二重积分一、单项选择题 1.dy xy dx 110⎰⎰=（ ）A. 0B.41 C.21 D. 12.设区域（σ）由x 轴，y 轴和直线1=-x y 所围成，则⎰⎰σ=)(4dxdy （ ）A.1B.2C.3D.4 3.设积分区域B:x 2+y 22R ≤，则⎰⎰=σ+B22d )y x (x ( )A.2R πB.0C.22R πD.1 4.设D=｛(x,y)|1≤x 2+(y -2)2≤4｝,则⎰⎰σDd =( ).A.πB.2πC.3πD.4π5.设区域(σ)为：10y ,0x ,4y x 22≥≥≤+≤,则=σ+⎰⎰σ+d yx e22y x 22（ ）A. )e e (22-πB. )e e (2-πC. )e e (22-πD. )e e (42-π6.设区域（σ）是圆环域a 2≤x 2+y 2≤b 2，则⎰⎰σ=σ+)(22d )y x (（ ）A.4b 2πB.)a b (244-π C. )a b (3233-πD.3b 32π7.(σ)是圆环域：1≤x 2+y 2≤4,则⎰⎰σσ)(kd =( )A.4k πB.3k πC.3πD.4π8.交换积分次序后，⎰⎰=xln 0e 1dy )y ,x (f dx （ ） A. ⎰⎰ye e10dx )y ,x (f dyB. ⎰⎰eedx )y ,x (f dyC.⎰⎰ee10ydx )y ,x (f dyD.⎰⎰eee 0ydx )y ,x (f dy9.交换积分次序，⎰⎰⎰⎰-=+yy20211dx )y ,x (f dydx )y ,x (f dy( ).A.⎰⎰⎰⎰-+xx20211dy )y ,x (f dxdy )y ,x (f dxB.⎰⎰-xx221dy )y ,x (f dxC.⎰⎰-x2x10dy )y ,x (f dx D.⎰⎰-y2y10dx )y ,x (f dy10.设平面区域（σ）由x 轴，y 轴及直线x+y=1围成，则二重积分⎰⎰σσ)(d )y ,x (f 化为累次积分后为（ ） A.⎰10dx ⎰-x10dy )y ,x (fB. ⎰-xdy 10⎰10dx )y ,x (fC.⎰1dx ⎰1dy )y ,x (fD.⎰1dy ⎰10dx )y ,x (f11.二重积分⎰⎰a x dy y x f dx 0),(，等于 ( )A. ⎰⎰a y dx y x f dy 00),(； B.⎰⎰a y dx y x f dy 00),(；C.⎰⎰a yadx y x f dy 0),(； D.⎰⎰aa ydx y x f dy 0),(；12.二重积分⎰⎰≤≤≤≤σ1y 02x 1xd ln y =( ).A.-21B.ln2C.ln2+21D.ln2-21 13.交换二次积分⎰⎰y ydx y x f dy ),(1的积分次序，它等于 ( )A. ⎰⎰xx dy y x f dx ),(1B.⎰⎰xx dy y x f dx 2),(1C. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(10 D.⎰⎰2),(10x xdy y x f dx二、填空题 1.二次积分⎰⎰-1022),(x x dy y x f dx 在极坐标下的二次积分是 . 2.二次积分⎰⎰-+a x a dy y x f dx 02222)(化为极坐标下的二次积分是 ⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.3.设积分区域B 是由x=1,x=e,y=2和y=3所围成的，则二重积分⎰⎰=Bdxdy xxln ___________. 4设B 是由x=1,x=0,y=1和y=0所围成的区域，则⎰⎰+Bdxdy )x 1(=_________.5.设B 是由y=1，y=-1，x=0及x=4π所围成的区域，则⎰⎰=+B2dxdy x1y.6.设B ：22224y x π≤+≤π,则⎰⎰=B._____________dxdy三、解答题 1.求⎰⎰Ddxdy yx 22，其中区域D 由曲线2=x ,1,==xy x y 所围成。

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=·（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) ](3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)111(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy⎰⎰可化累次积分为 '(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)21(,)y dy f x y dx ⎰答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰。

经济数学（二重积分习题及答案）第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1，且此区域面积为π，则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3．试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9－2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??，:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??，:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??，:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==（3）因0102x y ≤≤??≤≤?，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9－3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9－ 3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ?求证：()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9－9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得d (,)d rI y f x y x=? 图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??（4）因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=??+=?，解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9－183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 x y u yv x ==??，解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=??=?，解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21 其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9－22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.（4）积分区域D 如图9－23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?，解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9－24(2) 令33y u x x v y ?==?，解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9－251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9－26所示.令x y vx y u +=??-=?，解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9－27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9－31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9－33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9－34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9－3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9－35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9－26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9－36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9－37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9－37 3．用极坐标计算下列各题：22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成；(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分；224 , :.DD x y Rx σ+≤（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9－382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9－41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??，由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??，、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??，由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??，解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9－43（3）令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=（4）令x y u y v x +==??，得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解（1）积分区域D 如图9－46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。

重积分复习题一.二重积分1.交换积分顺序2111d (,)d x x f x y y --⎰⎰(011d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰)2.交换积分顺序2113(3)201d (,)d d (,)d xx x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰(1320d (,)d y y f x y x -=⎰)3.计算112111224d d d d y y xxyy e x y e x +⎰⎰⎰⎰(=3182e -)4.求二重积分66cos d d yx y x x ππ⎰⎰(=12) 5.计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰,D由221x y -=,0y =,1y =围成(21)15-.6.计算d d D yx y x⎰⎰，D 由2,,4,2y x y x x x ====围成(=9).7.计算22d d D xx y y⎰⎰，D 由2,,1x y x xy ===围成(=94). 二.极坐标下的二重积分1.化二重积分为极坐标形式20d (,)d Ry f x y x⎰⎰（2sin 20d (cos ,sin )d R f πρθρθρθρρ=⎰⎰）2.化二重积分为极坐标形式22d ()d Rx f x y y +⎰⎰(20()dRf πρρρ=⎰)3.利用极坐标计算sin d Dx y ⎰⎰，D ：22224x y ππ≤+≤(26π-)，4.利用极坐标计算(123)d d Dx y x y --⎰⎰，D 为圆222x y R +=围成(2R π)5.利用极坐标计算d Dx y ⎰⎰，D 由22x y Rx +=围成.三.二重积分的应用1.计算由曲面24z x =-、坐标面及平面24x y +=所围的立体的体积(403=).2.计算由221,0z x y z =--=所围立体的体积(13π=)3.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积(=)4.求球面2221x y z ++=为平面11,42z z ==所夹部分的面积(2π=)5.设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问R 为何值时,∑在定球面内部的那部分的面积最大?四.三重积分1.利用直角坐标计算3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰,Ω是0,0,0,1x y z x y z ===++=所围成的四面体(=15(ln 2)28- 2.利用直角坐标计算3d d d ()x y zx y z Ω++⎰⎰⎰,Ω:12,12,12x y z ≤≤≤≤≤≤(=73ln 2ln522-) 3.用柱面坐标计算22d d d 1x y zx y Ω++⎰⎰,Ω由222x y z +=及1z =围成(=(ln 22)2ππ-+.4.用柱坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由222x y z +=,2z =围成(=163π).5.计算22()dV x y z Ω++⎰⎰⎰,Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与4z =所围成.(2563π)6.利用球面坐标计算d d d xyz x y z Ω⎰⎰⎰,Ω由0x =,0y =,0z =及2221x y z ++=所围在第一卦限内的区域.(=148)7. 利用球面坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z z ==及0z =所围成.(=12415π)8.计算()dV x z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z =与z =围成(=8π)（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

二重积分练习题一、定义和性质在微积分中，二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。

它可以看作是对一个平面区域上的函数进行求和。

1. 定义设函数 f(x,y) 在闭区域 D 上有界，将 D 分成若干个小区域ΔDi(i=1,2,...,n)，其中ΔDi 的面积为ΔSi，选定任意一点(xi*, yi*) 属于ΔDi，作数值ΔZi= f(xi*, yi*)ΔSi，当ΔSi 的最大值趋于 0 时，如果和 I 的极限存在，则称 I 为 f(x,y) 在区域 D 上的二重积分，记作：∬ D f(x,y)dS = limΣΔZi2. 性质二重积分具有以下性质：（1）线性性质：对于常数 a 和 b，有∬ D (af(x,y) + bf(x,y))dS = a∬D f(x,y)dS + b∬ D f(x,y)dS（2）可加性：若 D = D1 ∪ D2，则有∬ D f(x,y)dS = ∬ D1 f(x,y)dS + ∬ D2 f(x,y)dS（3）保号性：若f(x,y)≥0，那么∬ D f(x,y)dS ≥ 0二、计算方法1. 求解一般二重积分对于一般的二重积分∬D f(x,y)dS，可以根据具体情况使用极坐标、直角坐标或变量代换等方法进行计算。

下面以几个实例为例进行说明。

例1：计算二重积分∬ D (x^2 + y)dS，其中 D 的边界由直线 y = x和 y = 2 - x 所确定。

解：根据题意，D 的边界可以表示为D = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2- x}。

使用直角坐标系计算时，可以将 f(x,y) 中的 x 和 y 分别看作是自变量，然后将 D 投影到 xy 平面得到关于 x 和 y 的积分限。

在本例中，可以先固定 y，让 x 遍历从 0 到 1 的范围，再让 y 遍历从 x 到 2 - x 的范围。

因此，二重积分可以表示为：∫(0,1)∫(x,2-x)(x^2 + y)dydx接下来按照一定的顺序进行积分运算，最终得到结果。

题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。

第九章 二重积分复习题一、 选择题 1.设}4|),{(22≤+=y x y x D，则二重积分⎰⎰=Ddxdy （ ）（A ） π （B ）π2 （C ） π3 （D ） π4 3. 设区域D 是单位圆122≤+y x在第一象限的部分，则二重积分⎰⎰=Dxydxdy （ ）(A)⎰⎰--221 01 0x x dy dx (B) ⎰⎰-10 1 02y xydx dy(C)⎰⎰-11 02y xydy dx (D) ⎰⎰2 02yxydx dy4. 设圆222a y x=+ (a>0) 所围成区域的面积为S ，则dx x a a⎰- 022 =（ ） (A) S (B)S 2 1 (C) S 3 1 (D) S4 15. 交换二次积分顺序后，⎰⎰-xdy y x f dx 1 01),( =（ ）(A)⎰⎰11y)dx f(x , dy (B) ⎰⎰-xdx y x f dy 1 0 1),( (C)⎰⎰1x-1 0y)dx f(x , dy (D) ⎰⎰-ydx y x f dy 1 01),(6.=⎰⎰Ddxdy （ ），其中D 由直线1y 2x,y x,y ===所围. (A)21 (B) 41 (C) 1 (D) 237. 设D 由2x ,1y ==及x y =所围成，则=⎰⎰Ddy dx )y ,x (f （ ）(A) dy )y ,x (f dx 21x1⎰⎰(B)dy )y ,x (f dx 211x⎰⎰(C)dx )y ,x (f dy 22 y⎰⎰ (D) dx )y ,x (f dy 2 0y2⎰⎰8. 设dxdy x ,1y x:D D22⎰⎰≤+则＝（ ）(A)π (B)1 (C)0 (D) π29. 设区域D 为43,21≤≤≤≤y x ，积分⎰⎰-Dy x dxdy 2)(的值为（ ）(A) 34ln(B) 43ln(C) 0 (D) ln210. 二次积分⎰⎰=1),(yydx y x f dy （ ）（A ）⎰⎰12),(xx dy y x f dx （B ） ⎰⎰12),(x xdy y x f dx（C ）⎰⎰yydy y x f dx 1),(（D ）⎰⎰12),(yy dy y x f dx11. 若区域D 为122≤+y x，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为累次积分为（ ）（A ） ⎰⎰----11 1 1 22),(x x dy y x f dx （B ） ⎰⎰--1112 02),(x dy y x f dx（C ）⎰⎰---11 1 22),(x x dy y x f dx（D ）⎰⎰----111 1 22),(x x dx y x f dy14. 设区域Ｄ是由x 轴 y 轴和直线x+y=1所围成,则⎰⎰Ddxdy 2＝（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 15. 设),(y x f 连续，则 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ=⎰⎰( )(A)1arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰(B)1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(C)1arcsin 0(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰(D)1arcsin 0(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰16. 设区域D 由2,1==x y 和x y =围成，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(（）(A) dx y x f dy x ⎰⎰21),((B) dx y x f dx ⎰⎰1x 21),((C)dx y x f dy ⎰⎰2 y21),((D)dx y x f dx ⎰⎰2 x21),(18. 设D 是由1|y |,1||≤≤x 围成的平面区域，则二重积分=⎰⎰Dxd σ（ ）(A) 1 (B) 2 (C) π(D) 020. 设D 由0,==y x y 及122=+y x 所围 ,则=⎰⎰Dd σ( ).(A) π (B)2π (C) 4π (D) 8π 21. 设}4|),{(22≤+=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=+Ddxdy y x )(22（ ）(A)π2 (B) π4 (C)π6 (D) π8 二、填空题 1.⎰⎰Dydxdy xe = （D 由x y =、x 轴和1=x 所围）2.1(,)dy f x y dx ⎰⎰在交换积分次序后的累次积分为_____________.3．改变二次积分⎰⎰e x dy y xf dx 1ln 0),(的积分次序得.4. 设),(y x f 为连续函数，则交换二次积分211(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序为 .5. 交换⎰⎰1x -1 x -1- 22),(dy y x f dx 的积分次序后为 .6. 设D 为矩形 11 , 10≤≤-≤≤y x ，=⎰⎰dxdy D3 则二重积分 .7. 设22:149x y D +≤,则(,)d d Df x y x y ⎰⎰化为二次积分为 . 9. 交换二次积分顺序后，⎰⎰-xdy y x f dx 1 01),( =______________.10.222 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰在交换积分次序后的累次积分为_____________.12. 改变二次积分⎰⎰11),(xdy y x f dx 的顺序13. 交换积分次序⎰⎰212),(ydx y x f dy = .14. 变换积分顺序后，=⎰⎰11x),(dy y x f dx .15．二次积分⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换次序后所成的二次积分是18. 交换二次积分的次序_________________dy y)f(x ,dx 10x10=⎰⎰-19.__________________dxdy D=⎰⎰，其中D 由1y x22≤+所围.20. 交换积分⎰⎰⎰⎰-+2 12 01),(),(xx dy y x f dx dy y x f dx 的次序得.21. 交换⎰⎰1x-1 0),(dy y x f dx 的积分顺序为 .22. 交换积分顺序后 122-(,)xdx f x y dy =⎰⎰.23. 交换积分⎰⎰22xx ),(dy y x f dx 的次序得.24. 二次积分⎰⎰1),(xdy y x f dx 交换次序后所成的二次积分是 .三、解答题 1. 计算⎰⎰D2ydxdy x，其中D 由1x x,y 0,y ===所围2.⎰⎰D dxdy xy 2)(,其中D 由2,1,===x x y x y 所围 3. 求⎰⎰Ddxdy x xsin ,其中D 由2,x y x y ==所围4. 计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ，其中216:y x y D -≤≤5. 求⎰⎰Ddxdy x xsin ，D 由y x x y 2,2==与2=x 围成的第一象限中的区域 9. 设D 由2,,1===y x y x y 围成，求二重积分(1)Dx dxdy +⎰⎰ 10. 计算二重积分⎰⎰+Dyx dxdy e ，其中Ｄ是闭区域：｜x ｜＋｜y ｜≤１ 12. 设D 是以)1,1(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形区域，求⎰⎰+Ddxdy y x x )cos(.13、计算积分(1),Dx dxdy D +⎰⎰由1y x ==及x 轴围成.15、求⎰⎰-Dydxdy e 2,其中}1,10|),{(≤≤≤≤=y x x y x D ． 16. 求.⎰⎰D xydxdy xeD 是矩形:.31 , 21≤≤≤≤y x17. 求⎰⎰+Ddxdy y x )2(2 20,10:≤≤≤≤y x D18. 计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ye ，其中D 是由y =ln2,y =ln3,x =2,x =4所围成的区域. 19. 计算D dxdy y x D,)6(⎰⎰+由1,3,===x x y x y 围成20. 计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由2x 1,y x,y ===所围.21、利用二重积分求由平面12=++z y x 和三个坐标面围成的体积.22. 计算⎰⎰+Dy)dxdy (x ，其中D 由2x 1,y x,y ===所围.23. 求⎰⎰+Ddxdy y x )2( D ：由0,2,===y x x y 所围.26. 求⎰⎰-Dx dxdy e2,其中D 由0,==y x y 及1=x 所围27. 交换积分顺序并计算⎰⎰11y2dx e dy x。

2023数学二二重积分大题题目一：计算以下定积分：(1) $$\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} (x+y) \, dx \, dy$$(2) $$\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2} (x^2-y^2) \, dx \, dy$$(3) $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} (x^3+y) \, dy \, dx$$解答一：(1) 首先计算被积函数在积分区域上的积分顺序，即由内向外。

内积分为对$x$积分，外积分为对$y$积分。

被积函数为$(x+y)$，所以先对$x$积分：$$\int(x+y) \, dx = \frac{1}{2}x^2+xy+C$$将积分结果代入外积分，得到：$$\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{2}x^2+xy+C\right) \, dy$$对$y$积分后，得到：$$(\frac{1}{2}x^2+xy+C)y\Bigg|_{0}^{1}=(\frac{1}{2}x^2+x+C)-(0+0+C)=\frac{1}{2}x^2+x$$继续对$x$积分：$$\int_{0}^{2}\frac{1}{2}x^2+x \,dx=\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\Bigg|_{0}^{2}=\frac{1}{6}(2^3)+\frac {1}{2}(2^2)=\frac{8}{6}+\frac{4}{2}=\frac{16}{6}=2\frac{2}{3}$$所以，定积分的结果为$2\frac{2}{3}$。

(2) 同样，先计算被积函数在积分区域上的积分顺序，即由内向外。

内积分为对$x$积分，外积分为对$y$积分。

被积函数为$(x^2-y^2)$，所以先对$x$积分：$$\int(x^2-y^2) \, dx = \frac{1}{3}x^3-y^2x+C$$将积分结果代入外积分，得到：$$\int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{3}x^3-y^2x+C\right) \, dy$$对$y$积分后，得到：$$(\frac{1}{3}x^3-y^2x+C)y\Bigg|_{-1}^{1}=(\frac{1}{3}x^3-x+C)-(0+0+C)=\frac{1}{3}x^3-x$$继续对$x$积分：$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{3}x^3-x \, dx=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{2}x^2\Bigg|_{-1}^{1}=\frac{1}{12}(1^4)-\frac{1}{2}(1^2)-\left(\frac{1}{12}(-1^4)-\frac{1}{2}(-1^2)\right)=0$$所以，定积分的结果为$0$。

第七章二重积分部分习题解答.d cos d 660x xxy y⎰⎰ππ计算积分.21|sin d cos d )|(cos 6/066 0 0===⋅=⎰⎰πππx x x x y xx x ,}0,60|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=π【习题7.2Ex1(17) 】解：由积分式得积分区域D 由曲线y =0, y=π/6, x =y , x = π/6 所围成. 若D 该选为X -型区域，则6.d cos d d cos d 06066y x x x x xxy x y ⎰⎰⎰⎰=πππ(改变积分次序：)⎰⎰⎰⎰-+yydxy x f dy dx y x f dy 3 0312 01) ,() ,(后对分析由于二次积分是先对,故应按框图中线路2x y 的方法计算。

首先将二次积分与⎰⎰=ydx y x f dy I 2 0 1 0 1) ,(⎰⎰-=y dx y x f dy I 3 031 2) ,(还原成二重积分，由此找出积分区域最后便可将给定的二次积分转化为先对后对的二次积分。

21D D D +=用另一种形式的不等式组表示，与然后再将解: 设⎰⎰⎰⎰==1) ,() ,(2 0 10 1D ydxdyy x f dx y x f dy I ⎰⎰⎰⎰==-2) ,() ,(3 03 12D ydxdyy x f dx y x f dy I 【习题7.2Ex2(2)】则;10 ,20 :1≤≤≤≤y y x D 31 ,30 :2≤≤-≤≤y y x D 令，则21D D D +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+DD D dxdyy x f dxdy y x f ) ,() ,()(21画出的图形如图所示. D .20 ,32:≤≤-≤≤x x y xD 再把二重积分转化为先对后对的二次积分，有y x ⎰⎰⎰⎰-+yydxy x f dy dx y x f dy 3 03 12 01) ,() ,(⎰⎰-=x xdyy x f dx 3 22) ,(可知为型区域; 且D -Xx1习题7.3Ex1(2)（书P216）.}|),{(d d )(22y x y x y x D y x y x D+≤+=+⎰⎰，其中求⎰⎰⎰⎰⋅+=+DDr r r yx y x θθθd d )sin (cos d d )(,y x .3,则圆周幅角的变化范围为所以积分区域可表为.}434,sin cos |),{(πθπθθθ≤≤+==r r D sin ,cos θθr y r x ==解：令yx +=+2244πθπ≤≤sin cos θθ+=r 在极坐标下的方程为故.2)4sin 812cos 23(31)4cos 212sin 223(31)2sin 2sin 21(31)2sin 1(31)sin (cos 3131)sin (cos )sin (cos 434434434434434434434224cos sin 03cos sin 02πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθππππππππππππππθθθθ=--=-+=++=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=------+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d r drr d ⎰⎰⎰⎰⋅+=+DDr r r y x y x θθθd d )sin (cos d d )(,0|),({,d d )1()(22y x y x D y x eDy x ≥=⎰⎰+-习题7.4Ex2(1)计算无界域上的广义积分：()().21121lim 21lim d limlimd d lim d d lim d d ,,},0|),({,0220)(20)(20()(0)()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-= ⎝⎛-===−−→−≤≤≤≤=>∀---+∞→+--+∞→+--+∞→-+∞→+-+∞→+-+∞→+-+∞→⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰R R R R RR x x RR R x xR Rx R Rx y x RR D y x R Dy x R R R e e e e e x eee y ex y x e y x e D D R y x R x y x D R R于是则设解：.}1|),({,d d )(1)2(22222≥+=+⎰⎰y x y x D y x y x D习题7.4Ex2(2)计算无界域上的广义积分：Rr =.11lim d 21limd 1d lim d d )(1lim d d )(1,}1|),({,sin ,cos .,}1|),({,1220122013222222222ππθθθθθππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+=+≤≤===−−→−≤+≤=>∀+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰R r r r y x y x y x y x R r r D r y r x D D R y x y x D R R RR R R D R DR R R R R于是有令则设解：第七章二重积分复习题（解答）Ex1.估计二重积分之值10:cos cos 100d d 22≤+++=⎰⎰y x D y x yx I D解: D 的面积为.200)210(2==σ由于≤++≤yx 22cos cos 1001根据积分性质6,100200102200≤≤I 即: 1.96 ≤I ≤2 .10011021-xEx2. 计算二重积分,d d )43sin 2(43212222I I I I y x y x x I a y x +++=++-=⎰⎰≤+.d d )43sin 2(2222y x y x x I a y x ⎰⎰≤+++-=解：.4d d 4,d d 3,d d sin 2,d d 243221222222222222a y x I y x y I y x x I y x x I a y x ay x a y x a y x π===-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤+≤+其中.0d d 3,0d d sin 222222232===-=⎰⎰⎰⎰≤+≤+y x y I y x x I a y x a y x 因为I 1 的被积函数关于x 为奇函数，I 2的被积函数关于y 为奇函数，所以根据二重积分定义附注4有.4sin24141d cos22141d 2cos2141d d cos d cos d d d 4204204200403202232021222a a a r rr r r y x x I a aaa y x πθπθθπθθθθθθπππππ=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 最后得下面将I 1 化为极坐标下的二次积分:.44d d )43sin 2(242222a a y x y x x I a y x ππ+=++-=⎰⎰≤+于是，在区间D 1, max{x,y }=y ；在区间D 2, max{x,y }=x , 由此将I 化为两区间积分的和，.d d sin sin },max{y x y x y x I D⎰⎰=,0,0 :1y x y D ≤≤≤≤πEx3.，计算}设0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，分为两个区域解：为简化积分，将21D D D D ⋃=x,0,0 :2x y x D ≤≤≤≤π,d d sin sin d d sin sin 21y x y x x y x y x y I D D ⎰⎰⎰⎰+=,d 2sin d sin 2)d cos -(1sin 2)d cos -(1sin )d cos -(1sin d sin d sin d sin d sin d d sin sin d d sin sin 021x x x x x x x x x x xx x x y y y y yy x x x x x y y y yx y x x y x y x y I xy D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+=+=+=πππππππ根据书P114例1，－x cos x + sin x 是x sin x 的一个原函数，所以.25)2sin 2cos 2(41)sin cos (200πππ=+--+-=x x x x x x I 并化为二次积分：解: 根据积分中值定理，∀r >0, ∃(s , t )∈D 使得yx y x erDy x r d d )cos(1lim 2220⎰⎰+-→πEx4.设D 是由中心在原点，半径为r 的闭圆盘，计算极限.1)]sin (cos cos e[lim )]cos(e[lim d d )cos(e1lim )sin (cos 0202222222=+=+=+-→-→-→⎰⎰θθρπθθρρt s y x y x rt s r Dy x r .)cos(ed d )cos(e122222t s y x y xr t s Dyx +=+--⎰⎰π.10cos )sin (cos cos lim )cos(lim ,0)sin (cos lim )(lim 02220220==+=+=-=-→→→→θθρθθρr r r r t s t s 在极坐标下，)0(sin ,cos r t s <<==ρθρθρEx5设函数f (x,y ) 在区域D 内连续，且满足(,)d d ,(,)12d d d ,33().32(,)1.2d d d 3DDDa D A f u v u v f x y =A x y A x y A f x dx A f x y =x y x y ππππππ=-=-=-==+-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解： 令原式化为 两边积分得故得所以这里和都用几何意义解得。