人教版高中数学必修四1.4.3《正切函数的图像与性质》导学案

1.4.3正切函数的图像与性质【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；3、进一步研究正切函数的综合运用.【重点难点】正切函数的图像与性质【学习过程】一、复习旧知1.画出下列各角的正切线：2.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？3.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？二、自主学习预习教材P42~ P45思考以下问题：知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法,利用正切线在下图中作正切函数tan ((,))22y x x ππ=∈-图象，具体应如何操作？思考2：上图中,直线2π-=x 和2π=x 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？A 思考4：正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象叫做正切曲线.它是由被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支完成相同的曲线组成的。

因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 知识探究（二）：正切函数的性质观察正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，完成下列思考：思考1：正切函数的定义域是 , 用区间表示为 思考2：根据诱导公式与周期函数的定义结合正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期是什么？思考3：根据图像你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考4：观察右图中的正切线,当角x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时, 正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?思考5：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考7：正切函数的值域是什么?三、典型例题例1:比较下列两个三角函数值的大小．（1）710tan 72tan)1(ππ与（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan 413tan )2(ππ与变式练习1：比较下列两个三角函数值的大小．（1）815tanπ 914tan π （2）ο240tan ο260tan例2：根据正切函数图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）0tan >x （2）tan x >（3）0tan 1≥+x变式练习2：（1）函数1tan 2-=x y 的定义域是（2）函数)tan 1lg(x y -=的定义域是 例3：研究函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的基本性质变式训练3：（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的基本性质 （2）求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间.课后思考：研究函数x y tan =的相关性质课后练习与提高1. 下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tan tan 77ππ>B ．23tan tan 55ππ<{}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭ C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-2. 若,则（ ）.A ．B ．C ．D ．3.函数y = ）.A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈4. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π5. 函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）A ．31B ．32C ．π6D ．π36. 函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a πB ．2a πC ．a πD ．a πtan 0x ≤22,2k x k k Z πππ-<<∈2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈,2k x k k Z πππ-<≤∈,2k x k k Z πππ-≤≤∈7. 直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.A ．πB ．2πω C ．πω D ．与a 值有关8. 函数)4tan(x y -=π的定义域是（ ）A. {R x x ∈|且4π-≠x } B. {R x x ∈|且43π≠x }C. {R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}D. {R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ}9. 在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（）.A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan 2xy = D ．tan y x =-10. 3tan ,2tan ,1tan 的大小关系是 .11. 函数)42tan(1π-=x y 的定义域为 .12. 函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有 个交点。

课题：1.4.3正切函数的性质与图象编制：钱丽娟
【学习目标】
1.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，并掌握其应用。

2.能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图象。

【教学重难点】
教学重点：用单位圆中的正切线画出正切函数图象。

教学难点：正切函数的性质。

【授课类型】新授课
【复习、预习思考】
2、思考：回忆正弦函数与余弦函数的图象与性质的学习过程，想一想如何研究正切函数的图象与性质？
【探究性质、图象】
1、 探究正切函数tan y x =的性质、图象
问题1、定义域
1、利用正切函数的定义，给出正切函数的定义域。

问题2、周期性
2、正切函数 tan y x = 是否是周期函数？
3、探究正切函数tan y x =的图象
问题3、奇偶性
问题4、单调性
3、能否利用正切线帮助理解正切函数 tan y x 的单调性？
问题5、值域
【例题讲解】
例1． 求函数 的定义域、周期、单调区间．
方法归纳：___________________________________________________________ 【本节小结】
1、正切曲线是先利用平移正切线得tan ()22
y x x =∈-ππ
，，的图象，再利用周期性
把该段图象向左、右拓展得到。

2、正切函数的性质。

【思考：周期公式推导】
1、正切型函数 y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期
一般结论：_____________________________
【作业】
1、课本P46 A 组第6、7题
2、练习册P29-30。

1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助． （3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？ 学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”． 思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？ 教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象． 类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？ 学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？ 学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间． 设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？ 通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴． 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间． 教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤． 设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。

二、讲解新课：1.4.3正切函数的性质与图像所以：y=
教学设计文字资料要求
1．指导思想与理论依据
本节课教学指导思想与理论依据。

2．教学背景分析
包括学习内容分析、学生情况分析、教学方式与教学手段说明、技术准备，以及前期教学状况、问题、对策等研究说明。

3．本课教学目标设计
包括知识、能力、情感态度与价值观三维教学目标。

4．教学过程
本部分是教学设计的核心，应把教学内容、教学进程、学生活动、及教学指导策略表达清楚，可附教学流程图。

5. 教学资源建议
列出本节课参考的主要教学资源
6．学习效果评价设计
对本节课学生学习效果以及教师自身教学效果的评价分析要具体、实事求是，评价方式应尽可能做到目的性和可操作性强，灵活多样。

（含教学反思）。

正切函数的图象与性质撰稿：游斌 修订：高一备课组 学生姓名：__________第___小组一、学习目标，心中有数：1、了解用单位圆中的正切线作正切函数图象的方法；2、掌握正切函数的有关性质；3、能用正切函数图象和性质解决有关问题。

二．自主学习，体验成功：（一）、知识梳理 形成体系问题1、正切函数x y tan =的定义域是什么？是不是周期函数？若是，探索它的最小正周期是多少？问题2、如何利用正弦线画正弦曲线的？请用这种方法画出正切函数在)2,2(ππ-的图像。

1、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 x y tan =， )(,2Z k k x ∉+≠ππ的图象，称“正切曲线”。

由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线)(,2Z k k x ∈+=ππ所隔开的无穷多支曲线组成的。

2、观察正切函数的图像，可以得到x y tan =有以下性质：（1）定义域： ；（2）值域：观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 函数；（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。

问题4、正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？π-32π-（二）、课前热身 自我检测1、比较大小（1）0138tan 0143tan （2）)43tan(π- )52tan π 2、观察正切曲线，满足0tan >x 的x 的取值的集合是 。

三、合作探究，共同进步例1、求函数)4tan(π+=x y 的定义域、值域、单调区间及对称中心。

例2、求x y 3tan =的周期小结：函数)tan(ϕω+=x y 的最小正周期ωπ=T 。

例3、解不等式3tan ≥x 。

四、过手训练，步步为营1、函数)0)(6tan(≠+=a ax y π的周期为（ ） A 、a π2 B 、a π2 C 、aπ D 、a π 2、若0tan ≤x ，则x 的取值范围是（ ）A 、πππk x k 222<<-，Z k ∈ B 、πππ)12(22+<≤+k x k ，Z k ∈ C 、πππk x k ≤<-2 ，Z k ∈ D 、πππk x k <≤-2，Z k ∈3、若)4tan()(π+=x x f ，则（ ）A 、)1()1()0(f f f >->B 、)1()1()0(->>f f fC 、)1()0()1(->>f f fD 、)1()0()1(f f f >>-4、函数)4tan(ππ+=x y 的最小正周期是 。

高一数学导学案课题： 1.4.3正切函数的性质与图象课型设置：新授课学习目标 : 1. 理解利用正切线画出正切函数图象的方法。

2.理解并掌握正切函数的性质和图象，并利用图象和性质解题。

学习重难点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；研究函数性质的方法。

一 . 自主学习复习： 1、研究正余弦函数的性质的方法及正弦函数的性质。

2、练习：画出下列各角的正切线：（预习教材 P42~ P45，完成下列内容）探究任务：正切函数的性质与图象.问题 1．正切函数的定义其定义域。

问题 2．正切函数是不是周期函数？若是，有最小正周期吗？问题 3．正切函数是不是奇偶函数？你能证明吗？问题 4. 当角 x在,内增加时，正切值发生什么变化?正切函数的单调性如何？22问题 5. 正切函数的值域是什么？下面请在坐标纸上作出正切函数 y tan x( x (, ) 的图象。

22根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数y tan x x R x k k z 的图象，我们把它叫正切曲线。

2请在坐标纸上画正切曲线。

问题 6. 正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？问题 7. 正切函数的对称轴，对称中心是什么？1二、重点难点探究例 1：求函数y tan( x) 的定义域、周期、单调区间和对称中心。

23动手试试：1、利用正切函数的图象，解下列不等式。

(1) tan x3;(2) tan x 1 0.3π2、 y ＝ tan 2x ＋ 3 的周期；二、总结与反思 ：正切函数的性质→正切函数的图象→正切函数的性质与图象的应用（ 1）作正切曲线简图的方法： “三点两线”法，即(0,0), (4, 1),(,1) 和直线 x及 x，然422后根据周期性左右两边扩展 .应用性质解题（ 2）数形结合思想：由数到形与由形到数的研究数学问题的视角。

类比、换元思想。

四、基础技能检测1、 ytan x( x k, k Z ) 在定义域上的单调性为（） .2A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(2 k, k )(k Z ) 上为增函数2 D ．在每一个开区间( 2 2k , 2k )(k Z ) 上为增函数22、下列各式正确的是（ ）. A ． tan(13) tan( 17 ) B ． tan( 13 )tan(17) C ． tan( 13 ) tan(17 )4 5 4 545D ．大小关系不确定π π3、y ＝3tan( ＋πx)，－ <x ≤ 的值域为 ________．4 64、 y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．五、课后作业 ----教科书 46 页习题 1.4A 组 —6、 7、 8、923。

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；2.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：（2）值域：（3）周期性：=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 。

（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。

5.讲解范例：例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，思考1：你能判断它的奇偶性吗？练习1：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。

练习2：教材P45 2、3、4、5、6题思考2：你能用图象求函数y =的定义域吗？例3.要得到)32tan()(π-=x x f 的图象，只须将f(x)=tan2x 的图象 （）A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位四、小结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ，所以它的图象被, (2)3,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

1.4.3 正切函数的性质与图象1．能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象．2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，并掌握其应用．正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．正切函数y ＝tan x 的图象叫做________． (2)性质：如下表所示．(1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴． (2)正切曲线无限接近直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π|ω|.【做一做1－1】 y ＝tan x ( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数D ．在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 【做一做1－2】 f (x )＝tan 2x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【做一做1－3】 函数y ＝3tan x －1的定义域是__________．答案：正切曲线 π2＋k π R π 奇 －π2＋k π【做一做1－1】 C【做一做1－2】 B【做一做1－3】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z画正切函数的简图剖析：我们知道“五点法”可以快速画出正、余弦函数的图象的草图，正切函数的图象不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图象，需从正切函数的图象和性质上来分析，找出画简图的方法．由于正切函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以正切函数的图象被垂直于x 轴的无数条平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开．画正切函数的图象时，也是先画一个周期的图象，即函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，再把这一图象向左、右平移(每次平移π个单位长度)，从而得到正切函数的图象．通过函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的作图发现：函数的图象过⎝⎛⎭⎫－π4，－1，⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)三点，被直线x ＝±π2隔开，这样，根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的简图．题型一 求定义域和单调区间【例1】 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的定义域，并指出它的单调性． 分析：把3x －π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．反思：求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，A ≠0，ω＞0的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是把“ωx ＋φ(ω＞0)”看作一个整体．令ωx ＋φ≠k π＋π2(k ∈Z )可解得该函数的定义域．题型二 比较大小【例2】 比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－17π5的大小． 分析：先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值，再比较大小． 反思：运用正切函数单调性比较tan α与tan β大小的步骤：①运用诱导公式将角α，β化到同一单调区间内，通常是化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内；②运用单调性比较大小．题型三 求周期【例3】 求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋35； (2)y ＝|tan x |.分析：(1)利用T ＝π|ω|求解；(2)画出函数图象利用图象法求解．反思：函数y ＝A tan(ωx ＋φ)与函数y ＝|A tan(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期均为T ＝π|ω|. 题型四 解不等式【例4】 观察正切曲线，解不等式tan x ＞1.分析：先确定在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的x 值的范围，再写出不等式的解集． 题型五 易错辨析易错点 忽视正切函数的定义域【例5】 求y ＝11＋tan x的定义域．错解：∵1＋tan x ≠0，即tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4(k ∈Z )，即y ＝11＋tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z . 错因分析：错解忽略了tan x 本身对x 的限制．答案：【例1】 解：要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 令k π－π2＜3x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18＜x ＜k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，不存在单调递减区间． 【例2】 解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－17π5＝－tan 2π5. ∵0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5.∴－tan π4＞－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－17π5. 【例3】 解：(1)∵ω＝π3，∴最小正周期T ＝ππ3＝3.(2)函数y ＝|tan x |的图象是将函数y ＝tan x 图象x 轴下方的图象沿x 轴翻折上去，其余不变，如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.【例4】 解：函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的图象如图所示．作直线y ＝1，则在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当tan x ＞1时，有π4＜x ＜π2.又函数y ＝tan x 的周期为π， 则tan x ＞1的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫π4＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例5】 正解：要使函数y ＝11＋tan x有意义，则应有⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z.1．函数y＝π2tan34x⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期是()A.π6B.π3C.π3D.2π32．函数f(x)＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的单调增区间为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.3πππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z D.π3ππ,π44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z3．函数f(x)的定义域为()A.πππ,π22k k⎛⎫-+⎪⎝⎭(k∈Z) B.πππ,π24k k⎛⎤-+⎥⎝⎦(k∈Z)C.πππ,π42k k⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k∈Z) D.πππ,π42k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k∈Z)4．函数y＝πtan4x⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域为__________．5．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．答案：1．B2．C利用整体思想，令kπ－π2＜x＋π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π4＜x＜kπ＋π4.3．B要使函数有意义，自变量x的取值应满足1tan0,ππ(Z),2xx k k-⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩≥解得kπ－π2＜x≤kπ＋π4(k∈Z)．4.π|π,Z4x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭要使函数有意义，自变量x的取值应满足x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)，解得x≠kπ＋π4 .5．解：∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又π2＜2＜π，∴π2-＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴π2-＜3－π＜0，∴π2-＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y＝tan x在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.。

正切函数的图像和性质 （导学案）一、教学目标1、了解正切函数的定义及自变量的取值范围2、学会类比正弦函数用正切线画正切函数图像3、通过观察图像理解正切函数的性质 二、教学重难点重点：1、正切函数的定义及定义域 2、会画正切函数的图像 3、正切函数的性质 难点：1、正切函数的定义域2、正切函数的图像和性质的应用 三、教学过程（一）新课引入 在高中阶段，我们借用单位圆来定义三角函数（二）新课讲授 1、正切函数（1）定义：（2）正切线是正弦线 是余弦线 是正切线讨论1：学生自己画出角α在各个象限的正切线，并讨论其正切值的符号？3、图像学生自己讨论，动手画出正切函数的图像4、画图： 性质讨论2：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(三) 例题讲解例1 求函数 的定义域。

例2观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围。

（1） tan x >0 （2）tanx <1变式：tan x < 0 tanx < -1定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 =αsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y =αcoso x y α()v u P ,=αtan o x yα()v u P , o x y o x y o x y αo x y例3比较下列各组中两个正切函数数值的大小（2）tan890与tan910例4 求下列函数的单调区间（四）、练习1比较下列各组中两个正切函数数值的大小（1）tan1380与tan14302.函数 的定义域是____ _____, 对称中心是____ _____ .（五）、课堂小结 （1）正切函数的定义 （2）正切函数的图像 （3）正切函数的性质 （六）、作业布置x y 3tan =1(1)y =3tan(+);24x π(1）tan()与tan 34ππ-1317(2)tan()与tan();45ππ--。

第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0， ∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2， 即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。

高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案1.4.3正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42----44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性：y=sinx在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；y=cosx在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；4.最值：当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=_______时，y=sinx取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____，当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx()的最小正周期为_____.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________. （3）奇偶性：正切函数是______函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________. 2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,xR且的图象，称“正切曲线”.探究：1.正切函数图象是被平行直线y=所隔开的无穷多支曲线组成。

能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？2.正切曲线的对称中心是什么？对点练习：1.函数的周期是（）A.B.C.D.2.函数的定义域为()A.B.C.D.3.下列函数中,同时满足(1)在(0,)上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是()A.B.C.D.4.求函数y＝的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域.变式1.求函数的定义域.题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x-)的周期及单调区间.（2）比较tan与tan的大小.变式2.(1)求函数y=tan(-x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan与tan(－). 【课堂小结】【当堂达标】1.下列各式正确的是（）A．B．C．D．大小关系不确定2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．3.函数y＝tan的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个上为增函数D．在每一个上为增函数2、若,则（）.A．B．C．D．3.与函数的图象不相交的一条直线是（）4.已知函数的图象过点，则可以是5．tan1,tan2,tan3的大小关系是_________________________________.6.下列四个命题：①函数y＝tanx在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tanx的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tanx的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．7.求函数y=3tan(2x+),()的值域、单调区间。

章节1.4.3 课题正切函数的性质与图象教学目标1.会用“三点两线”法作tany x=的简图，并能借助图像得出正切函数的性质；2.熟练掌握正切函数的性质，进一步巩固用整体代换法处理有关复合函数的问题。

教学重点正切函数的图象与性质教学难点复合函数A tan()y xωϕ=+的性质【复习回顾】设P(,)x y是角α终边上的一点，则tanα=，习惯上，我们用x表示自变量，用y表示因变量，所以正切函数通常写成tany x=的形式，定义域是。

【新知探究】一、正切函数的性质：1．根据诱导公式tan()tanx xπ+=与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？最小正周期是多少？2．根据诱导公式tan()tanx x-=与奇偶函数的定义，你能判断正切函数具有奇偶性吗？3．如图，正切线AT是正切函数的几何表示，当角x从2π-增大到0再从0增大2π时，正切线AT变化情况如何？结合周期性你能得到正切函数的单调性吗？新知1：完成下表性质定义域值域周期性奇偶性单调性tany x=二、正切函数的图象4．类比正弦函数图象的作法，你能利用正切线作出函数xy tan=在(,)22ππ-上的图像吗？5．结合正切函数的周期性，如何画出正切函数在整个定义域内的图象?新知2：从上图中可以看出，（1）正切曲线是被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的；（2）正切曲线是中心对称图形，对称中心是 。

【典型例题】类型一：正切函数的图像及应用例1.作出函数|tan |y x =的简图，并根据图像写出最小正周期及单调区间.类型二：与正切函数相关的奇偶性的判断 例2.判断函数xxy tan 1tan 1lg -+=的奇偶性。

必修四 第一章 1.4.3 正切函数的性质与图像教学目的：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。

教学过程： 一、导入新课问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：下面我们来作正切函数的图象． 二、新知探究与解题研究1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象比π说明：（1）正切函数的最小正周期不能小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

（34．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间zk k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

三、例题讲解 例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 y例2讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且 值域： R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移4π单位例3求函数y ＝tan2x 的定义域 解：由2x ≠k π＋2π，(k ∈Z )得x ≠2πk ＋4π，(k ∈Z ) ∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠2πk ＋4π，k ∈Z ｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小解：∵90°＜135°＜138°＜270°又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138° 四、巩固与练习1．“tan 0x >”是“0x >”的 既不充分也不必要 条件。

1.4.3 正切函数的性质与图象学习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点) 1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质 解析式 y ＝tan x图象定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，k π＋π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z C [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为 ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z.] 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是 ． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→ 求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．[跟进训练]1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的周期为 ．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为 ．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出． (3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上→ 根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4， tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”，结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的单调递增区间，令kπ＜2x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2＋π8＜x＜kπ2＋3π8(k∈Z)，故y＝lg tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2＋π8，kπ2＋3π8，k∈Z.1．求函数y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为 ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.- 11 - ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。

课题:1.4.3正切函数的性质与图像【学习目标】了解任意角的正切函数概念，能熟练掌握正切函数的图像与性质； 【重点难点】重点：正切函数的概念、诱导公式、图像与性质； 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题； 【自主学习】1. 在直角坐标系中，如果角α满足：R ∈α且 （Z k ∈），那么，角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值 ，根据函数的定义，比值 是角α的函数，我们把它叫做角α的 ，记做 ，其中R ∈α且2ππα+≠k ，Z k ∈。

根据正切函数与正，余弦函数的定义，不难得到：=αtan ；由此可知，正弦，余弦，正切都是以 为自变量，以 为函数值的函数，我们统称他们为三角函数。

2. 各象限三角函数值的正负：P ，过点A （1,0）作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点，我们称线段 为角α的 。

做出角的终边分别在四个象限时的正切线。

4. 由正余弦的诱导公式可得：=+)tan(πk x ==x tan ，（R ∈x 且2ππ+≠k x ，Z k ∈），所以)0,(≠∈k Z k 是正切函数的周期， 是它的最小正周期。

5. 正切函数x y tan =（R ∈x 且2ππ+≠k x ，Z k ∈）的图像：6. 正切函数x y tan =（R ∈x 且2ππ+≠k x ，Z k ∈）的性质：①定义域： ；②值域： ；③周期性：周期是 )0,(≠∈k Z k ，最小正周期是 ； ④奇偶性：正切函数是 ，正切曲线关于 对称； ⑤单调性：正切函数在每一个开区间 内都是递 的。

7.试一试：①角α的终边经过点P （0，1），则下列函数不存在的是（ ）A . cos α B. cos α C. αtan D. 以上都不对②角α的终边与单位圆交于点P )22,22(-，则角α的正切值为（ ） A . 22-B. 22 C. 1 D. -1 ③函数x y tan = )33(ππ≤≤-x 的值域为（ ） A .]3,3[- B. ),3()3,(+∞⋃--∞ C. )3,(--∞ D. ),3(+∞ 【合作探究】例1 、求函数tan()4y x π=+ 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．例2、观察正切曲线写出满足1-3x tan >0的x 的取值范围：例3、比较大小：⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π ；例4、求函数⎪⎭⎫⎝⎛≠≤≤-=0,44tan 1x x x y 且ππ的值域。

高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的图象与性质导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的图象与性质导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的图象与性质导学案新人教A版必修4的全部内容。

1。

4。

3正切函数的图象与性质【学习目标】1。

理解利用正切线作出的正切函数图象.2。

通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质. 3。

掌握正切函数的基本性质.【学习重点】正切函数图像与性质 【基础知识】正切函数图像:1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象： 2。

把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线"正切函数性质:1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，2。

值域:R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2ππ+−→−k x 时,∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈,2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan 。

3.周期性：π=T . 结论：)tan(ϕω+=x y 的周期为||ωπ=T 4.奇偶性:()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性:在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增.【例题讲解】例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小；(2)比较⎪⎭⎫⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 例2 讨论函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的性质。