优化方案(新课标)高考数学一轮复习 第四章 第4讲 数系的扩充与复数的引入课件 文

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b ) 平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎨⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]复数的有关概念1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2 C [z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iB [21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i ，故选B.] 3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．－2 [∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]复数的运算►考法1 复数的乘法运算【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.(2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝6＋14＋7i －12i5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )(－i )i (－i )＝2－i故z 的实部为2.]►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i (2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35iD.45－35i(3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z ＝i 得1－z ＝i ＋z i.即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i ＝－i ，因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎨⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.](1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.(3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.](1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i (1)A (2)C [(1)因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A (－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B. 2 C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋1i＝1－i，∴z＝2－i，故选C.]。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．(2016·洛阳模拟)设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2，故选B.答案：B2．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R)，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( )A ．(1,2)B ．(2，－1)C ．(2,1)D ．(1，－2)解析：1＋2i i ＝2－i ，其共轭复数为2＋i ，即a ＋b i ＝2＋i ，所以a ＝2，b ＝1.故选C.答案：C3．设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝－3”是“复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数z ＝(x 2＋2x －3)＋(x －1)i 为纯虚数，则x 2＋2x －3＝0且x －1≠0，解得x ＝－3，故x ＝－3⇔复数z 为纯虚数，选C.答案：C4．在复平面内，复数－2＋3i 3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－2＋3i3－4i＝－2＋3i 3＋4i 3－4i3＋4i ＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴－1825＋125i 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B.答案：B5．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.答案：C6．(2015·高考江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.答案： 57．(2015·高考重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解：设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(a －b i)＝z z ＝|z |2＝3. 答案：38．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.解析：m ＋i 1＋i －12＝m ＋i1－i 1＋i 1－i －12＝m ＋1＋1－m i 2－12＝m ＋1－m i2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i 2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋i i3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i 2＝3＋i－i3＋i 2＝－i 3＋i＝－i3－i 4＝－14－34i.10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.B 组 高考题型专练1．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：7＋i 3＋4i ＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i25＝1－i.选A.答案：A2．(2014·高考江西卷)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，又z ＋z ＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z )i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.答案：D3．(2015·高考山东卷)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.答案：B5．(2015·高考安徽卷)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限． 答案：B6．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝i －12i ＋1i －1＝i ，所以|z |＝1.答案：A7．(2015·高考四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.答案：C8．(2015·高考重庆卷)复数(1＋2i)i 的实部为________． 解析：因为(1＋2i)i ＝－2＋i ，所以实部为－2. 答案：－2。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.复数的有关概念⑴复数的概念：形如a+bi(a9方UR)的数叫复数，其中”，b 分别是它的实部和虚部.若b = 0,则a-hbi为实数；若〃工0, 贝|a+bi为虚数；若。

=0且方H0,贝|| a+bi为纯虚数・(2)复数相等：a+"i=c+〃iOa=c 且方=〃(a, b, c9〃WR).(3)共轨复数：〃+方i 与c+〃i 共辘0a=c, b = —(l(a9 b, c9 〃WR).(4)复数的模：向量庞的模厂叫做复数z=a+bi(a f b^R)的模，记作Izl或l«+MI,即lzl = l“+bil=Q/+庆.2.复数的几何意义⑴复数Z=a+bi一-复平面内的点Z(«, b)(a,方ER).(2)复数z=a+〃i(a,方WR)—~平面向量OZ・3. 复数的运算设Zi=a+"i, Z2=c+d\(a, b, c, "WR),则①加法：Zi +Z2=(a +〃i)+(c +〃i) = (a+c) + (〃 +〃)i ；②减法:习一Z2=(a+bi)—(c+〃i) = (a —c) + (〃一〃)i；Zi • Z2=(«+^i)e (c + Ji) = (ac —bd) +(ad+bc)i ；Zi_a+〃i_ (a+〃i) (c —〃i) _ac^rbd be —ad ⑴复数的加、减、乘、 除运算法则③乘法: ④除法:Zi c+〃i (c+〃i) (c—Ji) c2^rd2c2+iZ2（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2+Z3）・產D【做二做〕1.已知复数z=*则该复数的虚部为_____________ . 解析:严力（;—l） =]+i,该复数的虚部为1・52 •若a+bi=2潭是虚数单位心〃 $ R），则"= -解析：a+方2i,所以a = l f b = —2, ab = ~2.3.已知复数Zi = —l+2i, Z2=l—i，Z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,若OC=lOA+pOB^f旳，则2+“的值是].解析：由条件得荒=(3,—4),鬲=(一1, 2), OB=(l f -1),根据O C=2,OA-\-pOB得(3, —4)=2(—1, 2)+“(1, —1) = (—2 A —/z),所以2+“ = 1・4.设复数z=-l-i（i为虚数单位），z的共轨复数为s则1（1解析：依题意得(l-z)-z=(2+i)(-l+i) = -3+i, l(l-z)-zl = l-3+il=^ (-3) 2+l2=^10.5.化简:卩+f|6边+佝 (1—i 丿 \[3—\[2i 解：原式=*+ （边+価）i1.必明辨的3个易错点(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.(2)利用复数相等a+bi=c+〃i列方程时，注意a, b, c, d WR的前提条件.(3)Z2<0在复数范围内有可能成立.2.常用的3个结论(1) (l±i)2=±2i；1+i •口=1•4w + .4n _ 1 + j4n—2 9產0；、缘二绦］1.复数Z=(2—i)i在复平面内对应的点位于第_____ 象限. 解析：z=(2-i)i=2i-i2=l+2i,故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1, 2),位于第一象限.=b+i(a9 bWR)其中i为虚数单位，贝l| a+b = 解2.已知申析：根据已知可得葺2^b+i今2—ai=〃+iO即1 2\从而a+b = l.2+i3・复数爲的共轨复数是一所以其共轨复数为一i ・解析：因为Hi 4+i ) l-2i (l-2i)(l+2i) 5i (l+2i) =?4.设。

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第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i）2的虚部是________．［解析] （1＋i）2＝2i,所以该复数的虚部为2。

［答案］ 22．复数z满足（z－3）（2－i）＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数错误!为________．［解析] 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋错误!＝3＋错误!＝3＋2＋i＝5＋i,所以错误!＝5－i。

［答案］ 5－i3．设复数z的共轭复数为错误!,若z＝1－i（i为虚数单位),则错误!＋z2的值为________．[解析］依题意得错误!＋z2＝错误!＋(1－i)2＝错误!－2i＝i－2i＝－i。

［答案］－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA→和错误!，则|错误!｜＝________.［解析] 由复数的几何意义知，错误!＝（1，1），错误!＝(1，3)，则错误!＝错误!－错误!＝（1，3）－（1,1)＝(0，2），所以|错误!|＝2。

［答案］ 25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝错误!的共轭复数是错误!＝a＋b i(a,b∈R）,其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析］因为z＝错误!＝－2－i，所以错误!＝－2＋i.［答案］ (－2，1）6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R,i是虚数单位,则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析] 由已知a i＋2＝b－i，所以错误!所以点P（－1，2）到原点距离|OP｜＝错误!。

第四节数系的扩充与复数的引入知识体系必备知识1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a,b都是实数,形如a+bi的数叫复数,其中实部为a,虚部为b,i叫做虚数单位a+bi为实数⇔b=0,a+bi为虚数⇔b≠0,a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z||z|=|a+bi|=√a2+b22.复数的几何意义复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b)向量.3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 按照多项式乘法进行,并把i2换成-1除法z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).注意点:常用结论(1)(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;1-i1+i=-i.(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).(5)模的运算性质:①|z|2=|z |2=z ·z ;②|z 1·z 2|=|z 1||z 2|;③|z 1z 2|=|z 1||z 2|.基础小题1.给出下列说法:①若a ∈C,则a 2≥0;②已知z=a+bi(a,b ∈R),当a=0时,复数z 为纯虚数;③方程x 2+x+1=0没有解;④复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. 其中正确的说法的个数为 ( )【解析】选B.对于①,当a=i 时,a 2<0,故①错. 对于②,当a=b=0时,复数z 为实数,故②错. 对于③,方程x 2+x+1=0无实根,但有复数解,故③错. 对于④,根据复数的几何意义知,④正确. 2.(教材改编)已知i 是虚数单位,则复数21+i= ( )+i 【解析】选C.21+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i.3.若复数z-i=1+i,则|z|= ( ) A.√2 C.√5【解析】选C.由题意得,z=2i+1⇒|z|=√5. 4.若复数z=21-i,其中i 为虚数单位,则z = ( )+i +i 【解析】选=21-i =2(1+i )(1+i )(1-i )=2+2i 2=1+i,所以z =1-i.5.(教材改编)在复平面内,复数-2+3i 3-4i(i 是虚数单位)所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解析】选B.计算-2+3i 3-4i=(-2+3i )(3+4i )(3-4i )(3+4i )=-6-8i+9i -129+16=-18+i 25=-1825+125i,(-1825,125)位于第二象限.6.(教材改编)已知(1+2i)z =4+3i,则z=________. 【解析】z =4+3i 1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2-i,故z=2+i.答案:2+i。