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必修五-基本不等式第一课时

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人教课标版高中数学必修5《基本不等式》第一课时参考学案

人教课标版高中数学必修5《基本不等式》第一课时参考学案

§3.4基本不等式2a b ab +≤ (1)学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习过程一、课前准备看书本97、98页填空复习1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.复习2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号.二、新课导学※ 学习探究探究1：基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立. 探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2a b +看作是正数a 、b a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b +为a 、b a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ※ 典型例题例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?※ 动手试试练1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x +的值最小？最小值是多少？练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升※ 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. ※ 知识拓展两个正数,x y1．如果和x y +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .2. 如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若01a <<，01b <<且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中最大的一个是（ ）.A ．a b +B ．C ．2abD ．22a b +3. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．4. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 5. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？。

人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计

人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计

人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。

a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。

数学北师大版高中必修5北师大版数学必修五不等式《基本不等式——第一课时》doc教案

数学北师大版高中必修5北师大版数学必修五不等式《基本不等式——第一课时》doc教案

课题: §3.1基本不等式第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

高中数学必修5基本不等式精品教案

高中数学必修5基本不等式精品教案

课题： 基本不等式：2ba ab +≤（第一课时）教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节1 教材分析本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2ba ab +≤②。

这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。

本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。

2 学生分析有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。

针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。

3 教学策略（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。

（2）、利用①式，通过“换元法”练习引入定理②，引导学生从不同角度探究②的证明过程，利用“半径和半弦的关系”让学生了解②的几何意义，并强调①②的联系与区别。

（3）、巩固练习。

设置三道习题由浅到深让学生对基本不等式逐渐熟悉，应用它们去比较大小、解决生活常见问题，最后让学生通过替换定理中的字母发现更多②式有趣的变形式，为下一节课铺垫。

4 教学目标（1）、知识目标了解不等式①②的证明过程和方法；了解不等式①②的几何意义；初步应用基本不等式比较大小，熟悉其变形式。

（2）、能力目标通过探究结果的汇报以及讨论活动，提高学生语言表达能力；在对不等式①②的证明过程中培养学生发现、比较、论证、转化等分析问题和解决问题的能力；通过掌握不等式①②的结构特点和运用不等式①②的适当变形，培养学生的思维能力和创新精神。

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)

高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab

a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。

人教版高中数学必修五第三章不等式基本不等式第一课时教学课件共16张PPT

人教版高中数学必修五第三章不等式基本不等式第一课时教学课件共16张PPT

合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
法二 ：
合作探究，成果展示
c
【课堂小结】 本节课你的收获是什么？
【随堂检测 】
【作业布置 】
1.必做作业： 学案【巩固训练】
2.选作作业： 学案【拓展延伸】
（×）
反思总结: 使用基本不等式求最值应具备哪些条件?
利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数.
（2）二定：两个正数积为定值,和有最小值. 两个正数和为定值,积有最大值.
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”, 否则会出现错误.
合作探究，成果展示
【课堂探究一】运用基本不等式求最值
。
【知识梳理】 1.基本不等式 可变形为
(1)
（当且仅当
时取等号）
;
(2)
.
2.已知 x >0,y>0,
(1)若xy=p（p为定值），则当
(2)若x+y=s（s为定值），则当
时，x+y有最 值 .
时，xy有最 值.【回顾题组来自】225
3.判断下列命题正误,错误的请说明理由.
1
1
5
5
（×）
（×） （×）
人教版高中数学必修五 第三章不等式基本不等 式第一课时教学课件共
16张PPT
2020/9/19
【学习目标】
1、准确掌握应用基本不等式求最值应具备的三个条件。
2、灵活运用基本不等式求一些函数（或代数式）的最值 。
3、体会转化与化归、消元等数学思想方法的应用。
【学习重点】运用基本不等式求最值。
【学习难点】创造条件使用基本不等式求数式的最值

人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT

人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．

人教高中数学-必修五-3.4-基本不等式(第一课时)赛课一等奖(共14张PPT)

人教高中数学-必修五-3.4-基本不等式(第一课时)赛课一等奖(共14张PPT)
正数 负数
其实这样的相等关系和不相等关系还有很多，今天， 让我们一起去探索两个非常重要的不等式。
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！ 动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们 数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快 快 动 手 吧 ！
探索新知
剖析新知
比对分析、加深理解 基本不等式1： 基本不等式2： 相同点：
不同点： 两个不等式适用的范围不同
学以致用，小试牛刀
例：请判断下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用） （基本不等式的适用范围） （基本不等式的取等条件）
× ×
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
温习回顾
今天你学到了什么？
3. 教材 98页习题3 再来欣赏另一种利用几何图形来证明 定理2的方法吧！
数无形不直观 形无数难入微
—华罗庚
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度： 两正数的 算术平均数 大于或等于它们的 几何平均数 2.从数列的角度： 两正数的 等差中项 大于或等于它们的 等比中项
生活背景、引入新课
10元钱吃早饭，你会怎么选？
A.两个肉松面包 + 一杯牛奶 （8元） B.一份米粉 （6元） C.麦当劳的一份早餐套餐 （10元）
比较：价钱谁贵谁便宜？营养谁多谁少？
同学们：比较事物间的相等关系和不相等关系是我们一种天生的非常重要的 逻辑思维能力，在我们的数学中存在许许多多的相等关系和不相等的关系， 例如：
1.两个非常重要的基本不等式

高中数学必修五课件基本不等式(1)

高中数学必修五课件基本不等式(1)
利用基本不等式进行变形和化简。
利用基本不等式求最值的步骤和技巧
通过代换、拆分、配凑等方法简化计算过程。 求解不等式，得出最值。
利用基本不等式求最值的步骤和技巧
01
技巧
02
03
04
灵活运用基本不等式及其变形 形式。
善于观察不等式特点，选择合 适的求解方法。
注意求解过程中的等价变换， 确保解的正确性。
解析
基本不等式的证明通常可以采用以下方法之一
1. 综合法
利用已知的不等式和基本不等式性质进行推导；
2. 分析法
从结论出发，分析使结论成立的条件，逐步推导出 已知条件；
3. 放缩法
通过适当的放大或缩小，将不等式转化为易于证 明的形式。
总结
证明基本不等式时，需要灵活运用已知的不等式和基本 不等式性质，选择合适的证明方法。
05
典型例题解析
典型例题一：一元二次不等式的解法
题目：解不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（$a neq 0$）。
解析：一元二次不等式的解法通常包 括以下几个步骤
1. 判断 $a$ 的符a = b^2 - 4ac$ ，判断不等式对应方程的根的情况；
一元二次不等式具有对称性、周期性 等性质，这些性质在解题过程中具有 重要作用。
一元二次不等式的图像
一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集 对应的图像是抛物线在 $x$ 轴上方或 下方的部分。
一元二次不等式在实际问题中的应用
面积、体积问题
练习题三：利用基本不等式求最值
题目
求函数 $y = x + frac{4}{x}$ 在 $x > 0$ 的最小值。

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式

ab+ 1 ≥2 ab 1 =2,故(3)正确;由基本不等式可知,当 y >0, x >0 时,有
ab
ab
xy
y + x ≥2 y x =2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故(4)错误.
xy
xy
答案:(3)
方法技能 应用基本不等式时,第一根据题目的特征,确定“a”和“b”. 它们可以是数字也可以是复杂的代数式.其次,注意“a”和“b”的符号,必 须都是正数,最后看“=”号能否成立.
(D) b + a ≥2 ab
解析:因为 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立,所以 A 错误;对于 D,因为
ab>0,所以 b + a ≥2 b a =2.
ab
ab
对于 B,C,当 a<0,b<0 时,明显错误.
故选 D.
2.不等式 a2+ 4 ≥4 中,等号成立的条件是( D ) a2
2
2
课堂探究
题型一 对基本不等式的理解
【例 1】 给出下列命题:(1)若 x∈R,则 x+ 1 ≥2;(2)若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥ x
2 lg a lgb ;(3)若 a<0,b<0,则 ab+ 1 ≥2;(4)不等式 y + x ≥2 成立的条件是
ab
xy
x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是
ab > ab > 2
ab .而 y= log1 x 为减函数,故 Q>P>M.故选 B.
2
题型三 利用基本不等式证明不等式 【例 3】 已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c.

【优质文档】必修5教案3.4基本不等式

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能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗
?
提问 1: 我们把“风车”造型抽象成图 3.4-2. 在正方形 ABCD中有 4 个全等的直角三角形 . 设
直角三角形的长为 a 、 b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答： a2 b 2 ， a 2 b 2
提问 2：那 4 个直角三角形的面积和呢？
② 如果和 x 3、 课堂练习
y 是定值 S，那么当 x=y 时，积 xy 有最大值 1 S 2 4
课本第 113 页练习第 1 题
4、 归纳总结
比较两个重要不等式的联系和区别
（5）评价设计
1、 课本第 113 页习题 3.4 第 1 题
2、思考题：若 x 0,求 x 1 的最大值 x
2
生答： 2ab
提问 3：好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等
式， a2 b 2 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢？
Hale Waihona Puke 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即
a b 时，正方形 EFGH变成一个点，这时有
a 2 b 2 2ab
2、新课讲授
（1）（板书）一般地，对于任意实数
①
2
即证
ab
②
要证② , 只要证
ab
0
③
要证③ , 只要证
(-)
20
④
显然 , ④是成立的 , 当且仅当 a b 时 , ④的等号成立
(3) 观察图形 3.4-3, 得到不等式①的几何解释 (4) 变式练习：
已知 x 、 y都是正数，求证：
① 如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 p

高中数学必修五基本不等式人教A版必修市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx

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C．a>a＋2 b>b> ab
D．a>
a＋b ab> 2 >b
第12页
[解析] 本题的关键在于比较a＋2 b，b， ab的大小，因 为 ab> b2， ab>b，又由推论知a＋2 b> ab，∴a>a＋2 b > ab>b，故选 B. [答案] B
第13页
迁移变式 1 以下结论中，错用基本不等式作依据的是 ()
a2＋2 b2时，可
先证平方成立，然后开方．
第20页
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
a1b＝ 1ab>0，
∴1a＋2 1b≤ ab，∴1a＋1 1b≤ 2ab≤ ab.
又a＋4 b2＝a2＋b42＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，∴a＋2 b
，
∴lga＋2 lgb<lg(a＋2 b)，即 Q<R，∴P<Q<R.
第16页
[点评] 依据均值不等式与对数运算法则， 利用不等式传递性，即可得到三个式子大 小关系．
第17页
迁移变式 2 设 m＝12logax，n＝loga1＋2 x，p＝loga12＋xx，其
中 0<a<1，x>0 且 x≠1，则下列结论正确的是( )
A．x，y 均为正数，则yx＋xy≥2 B．a∈R，则(1＋a)(1＋1a)≥4 C．若 x>1，则 lgx＋logx10≥2 D. xx2＋2＋21≥2
第14页
解析：A、C符合基本不等式，能够利用基
本不等式作理论依据．D拆项后为
，
符合基本不等式，只有B，因给出a∈R，

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式第1课时课件

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式第1课时课件

课堂小结
1.基本不等式的推导及其意义 2.利用基本不等式证明简单不等式
小试牛刀
1.“a ＞ 0 且 b ＞ 0” 是 “
”成立的
(A ) (A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一 半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速 度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若 a≠b，则两车到达B地的情况是( A )
3.4 基本不等式
第1课时 基本不等式的推导及其证明
合作探究
如图是在北京召开的第24界国 际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像一个风车， 代表中国人民热情好客. 你能在这 个图案中找出一些相等关系或不等 关系吗？
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD中有4个全等的直角三角形. zxxk
证明：(1)由于a R , a 1 2 a 1 2.
a
a
当且仅当a= 1 即a=1时，等号成立.
a
(2)由于a、b R , b a 2 b a 2.
ab
ab
当且仅当 b = a 即a=b时，等号成立.
ab
例2.已知x、y 都是正数，求证： （x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
证明：由于x、y都是正数，根据基本不等式得
x y 2 xy 0 x2 y2 2xy 0
x3 y3 2 x3y3 0
三式相乘得
（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 当且仅当x=y时等号成立.
例3 设a>0,b>0,且a+b=1,求证：

高二数学必修五基本不等式第一课时18页PPT

高二数学必修五基本不等式第一课时18页PPT
高二数学必修五基本不 等式第一课时
26、机遇 对 于 有 准 备 的 头 脑 有 特 别 的 亲 和 力 。 27、自信 是 人 格 的 核 心 。
28、目标 的 坚 定 是 性 格 中 最 必 要 的 力 量 泉 源 之 一 ， 也 是 成 功 的 利 器 之 一 。 没 有 它 ， 天 才 也 会 在 矛 盾 无 定 的 迷 径 中 ， 徒 劳 无 功 。 - - 查 士 德 斐 尔 爵 士 。 29、困难 就 是 机 遇 。- - 温 斯 顿 ． 丘 吉 尔 。 30、我奋 斗 ， 所 以 我 快 乐 。- - 格 林 斯 潘 。
（A）x，y 均为正数，则xy＋xy≥2 （B）a∈R，则(1＋a)(1＋1a)≥4
（C）若 x>1，则 lgx＋logx10≥2 （D） xx2＋2＋21≥2
类型二 利用基本不等式比较大小
例 2. 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
ed w[解ith] A∵sa>pbo>1s，e∴.SlglEai>dvlgeabs>lu0f，ao∴trio.lNngaE·olgTnb<lly3g.a.＋52 lCgb，lie即nPt<PQ.rofile 5.2 又 aCbo< ap＋2ybri，g两ht边2取00常4用-2对0数11，A得slpgoasbe<lgP(at＋y2 bL)t，d.
C．a>a＋2 b>b> ab
D．a>
a＋b ab> 2 >b
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（2）如果和 x
y 是定值S，积 xy 若有，那么当 x y 时，最大值为
是否有最大值？
1 2 S 4
例1：（1）用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
a b ab 2
(a 0, b 0)
在北京举行的第24届国际数学家大会会标
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b， 为S=———— 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2abA D 形，它们的面积和是S＇=——— 问3：S与S＇有什么样的关系？
和定积最大
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
1. 两个不等式 （1）
a, b R, 那么a 2 b 2 2ab
(当且仅当a b时取" "号)
ab （2） ab (a>0,b>0) 当且仅当a=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业
教材：P100：习题3.4A组
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
a与b为正实数
积定和最小
和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
2 求f ( x) sin x , ( x (0, ))的最值。 sin x
a与b为正实数 积定和最小 若等号成立， a与b必须能 够相等
x y xy x y 2 100, 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
强调：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
问题2：当 a,b为任意实数时，a + b 2ab 成
2 2
立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2a b
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
类 （特别的）如果 a＞0 ,b＞0 , 比 联 用 a和 b代替a、b, 可得 a b 2 想 也可写成 推 理 论 证
ab
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立, 此不等式称为基本不等式
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
对基本不等式的几何意义作进 一步探究:
P
A
a
o
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xy
得 xy
m2

x y xy =18/2=9 2
81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大， 最大面积是81m2
强调：两个正变量和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
H
从图形中易得，
s > S＇即
a +b
2
2
E F
G
a + b > 2ab
2
2
B
C
问题1： S, S＇有相等的情况 吗？何时相等？
形的角度

图片说明：当直角三角形 变为等腰直角三角形，即 a=b时，正方形EFGH缩为一 个点，这时有
a b =2ab
2 2
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
Q b
B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,
ab 则PQ=____,
ab 半径PO=_____ 2
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
已知 x, y 都是正数，试探究： （1）如果积
xy 是定值P，和 x y 是否有最小值？ 若有，那么当 x y 时，最小值为： 2 P