2020版数学习题：第二篇 函数及其应用(必修1) 第2节 函数的单调性与最值

第二章函数第2.3节函数的单调性一．选择题（共12小题）1．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（）A．m＞B．m＜C．m＞﹣D．m＜﹣【答案】B【解析】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，则有2m﹣1＜0，解可得m＜，故选：B．2．函数f（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据题意，由已知，所以函数在上为增函数，故选：D．3．函数f（x）＝x|x﹣2|的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）【答案】C【解析】解：当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，此时f（x）为增函数，当x＜2时，f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数，即函数f（x）的单调递减区间为（1，2），故选：C．4．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．D．f（x）＝﹣|x|【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．5．函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，则a的范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1] C．[0，1] D．（﹣∞，1]【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，分2种情况讨论：①，若a＝0，则f（x）＝x，在R上为增函数，符合题意；②，若a≠0，则有，解可得0＜a≤1，综合可得：a的取值范围为[0，1]；故选：C．6．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＜0”的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝（x﹣1）2C．f（x）＝D．f（x）＝【答案】A【解析】解：根据题意，若函数f（x）满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，据此分析选项：对于A，f（x）＝，在（﹣1，+∞）上为减函数，符合题意；对于B，f（x）＝（x﹣1）2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣，其定义域为{x|x≠1}，不符合题意；对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠2}，不符合题意；故选：A．7．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]，+∞）B．[]C．（﹣∞，3]∪[4，+∞）D．[3，4]【答案】A【解析】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝，若其在（1，3）是单调函数，则≤1或≥3，解可得：x≤或x≥，即实数a的取值范围是（﹣∞，]，+∞）；故选：A．8．函数f（x）＝x2+ax+2在（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a＝﹣6 B．a≥﹣6 C．a＞﹣6 D．a≤﹣6【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2为二次函数，其对称轴为x＝﹣，若f（x）在（3，+∞）上单调递增，则有﹣≤3，解可得a≥﹣6；故选：B．9．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【解析】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．故选：C．10．函数y＝f（x）的图象如图所示，其减区间是（）A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]C．[﹣3，1] D．[﹣4，﹣3]，[1，4] 【答案】D【解析】解：由图象知函数在[﹣4，﹣3]以及[1，4]上图象递减，则对应的减区间为[﹣4，﹣3]，[1，4]，故选：D．11．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝﹣x+1 D．f（x）＝|x|【答案】D【解析】解：由一次函数的单调性可知，f（x）＝3﹣x，f（x）＝1﹣x在区间（0，+∞）上是减函数，由二次函数的单调性可知，y＝x2﹣3x在区间（0，+∞）上先减后增，y＝|x|在（0，+∞）上为增函数．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【答案】A【解析】解：由题意，可知：∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，∴函数f（x）在定义域R上为增函数．又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，∴x2+1＞m2﹣m﹣1，∴m2﹣m﹣1＜1，即：m2﹣m﹣2＜0．解得﹣1＜m＜2．故选：A．二．填空题（共4小题）13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥4．【答案】m≤0或m≥4【解析】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4；故答案为：m≤0或m≥4．14．已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是（0，1）．【答案】（0，1）【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣2，在区间[1，+∞）上是减函数，不符合题意；当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣2，若f（x）在区间[1，+∞）上不单调，必有＞1，解可得：0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）；故答案为：（0，1）．15．若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≥2．【答案】a≥2【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，a﹣2＝0，即a＝2，f（x）＝x+3，在[2，+∞）上是增函数，符合题意；②，a﹣2≠0，若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，必有，解可得：a＞2，综合可得：a的取值范围为：a≥2；故答案为：a≥2．16．已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【答案】[4，+∞）【解析】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝，若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则≥2，解可得a≥4；即实数a的取值范围为[4，+∞）；故答案为：[4，+∞）．三．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）的图象如图所示：（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围【解析】（1）由图象知，函数的单调递减区间为[﹣1，2]，递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，得a≥3或a≤﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．18．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象；（2）写出该函数在R上的单调区间．【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|；（列表，描点，作图）x0 1 2 3 4y 3 0 1 0 3（2）根据函数f（x）的图象，不难发现，函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减；函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增；函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增．19．试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（﹣1，1）上的单调性．【解析】解：f（x）＝a+，f（x）图象是由反比例函数y＝，向右平移1个单位在向上或下平移|a|单位得到的，∵a＜0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为增函数，a＞0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为减函数，∴a＜0时，f（x）在（﹣1，1）上为增函数，a＞0时，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．20．已知（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的最大值和最小值．【解析】解：（1）∵f（x）＝，作出其图象如下：（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．（3）由f（x）的图象可得，当x＝3时，f（x）取得最大值为4，当x＝6时，f（x）取得最小值﹣5．。

第2节函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x3.(必修1P31例4改编)函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.4.(2018·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数5.(2019·石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A. f(m)>f(1)B. f(m)<f(1)C. f(m)≥f(1)D. f(m)≤f(1)6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)【例1】(1)(2019·东北三省四校质检)若函数y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为()A.(－∞，－4)∪[2，＋∞)B.(－4，4]C.[－4，4)D.[－4，4](2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.考点二求函数的最值＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________.规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)(2019·郑州调研)函数f (x )＝x －1x 2在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( ) A.3116B.2C.94D.114(2)(2018·邵阳质检)定义max{a ，b ，c ，}为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2 B.3C.4D.6考点三 函数单调性的应用 多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________.规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1] C.(0，1)D.(0，1][思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).[易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1 x.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32B.－83C.－2D.22.(2019·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)3.(2019·兰州一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]4.函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( ) A.2 B.4C.6D.8二、填空题6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.7.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________.8.(一题多解)(2019·成都诊断)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______.三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1). (1)求方程f (x )＝0的解.(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3]12.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数D.是增函数13.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x <0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.14.已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围.。

课后训练 千里之行 始于足下1．下列函数为单调增函数的序号是________．①2()f x x = （x >0）；②()f x x =-；③1()f x x x=-+；④()1f x x =+. 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是________，最小值是________．3．下列命题正确的序号是________．①定义在（a ，b ）上的函数f （x ），若存在x 1，x 2∈（a ，b ），使得x 1<x 2时，有f （x 1）<f （x 2），则f （x ）在（a ，b ）上递增．②定义在（a ，b ）上的函数f （x ），若有无穷多对x 1，x 2∈（a ，b ），使得x 1<x 2时，有f （x 1）<f （x 2），则f （x ）在（a ，b ）上递增．③若f （x ）在区间I 1上是单调增函数，在区间I 2上也是单调增函数，则f （x ）在I 1∪I 2上也一定是单调增函数．④若f （x ）在区间I 上单调递增，g （x ）在区间I 上单调递减，则f （x ）－g （x ）在区间I 上单调递增．4．已知函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）的图象如图：则函数y ＝f （x ）的单调增区间是________；函数y ＝g （x ）的单调减区间是________．5．小军遇到这样一道题目：写出满足在（－∞，0）上递减，在[0，＋∞）上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.6．有下列四个命题：①函数y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是单调增函数；②函数11y x =+在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是单调减函数；③函数21y x =-∞，＋∞）；④已知f （x ）在R 上为单调增函数，若a ＋b >0，则有f （a ）＋f （b ）>f （－a ）＋f （－b ）．其中正确命题的序号是________．7．已知函数f （x ）＝x 2＋2（1－2a ）x ＋6在（－∞，－1）上是单调减函数．（1）求f （2）的取值范围；（2）比较f （2a －1）与f （0）的大小．8．已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．（1）当a ＝－1时，求函数f （x ）的最大值与最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[－5,5]上是单调函数．百尺竿头 更进一步已知函数21y x =-，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．参考答案与解析千里之行1．④ 解析：2()f x x=在（0，＋∞）上是单调减函数()f x =[0，＋∞）上是单调减函数，1()f x x x =-+.在（0，＋∞）上也是单调减函数， ()1f x =+[0，＋∞）上为单调增函数．2．3(,)2-∞ 14-解析：函数的对称轴为32，且开口向上，所以单调减区间为3(,)2-∞．2231132()244y x x x =-+=--≥-，∴当32x =时，14y =-.所以函数的最小值为min 14y =-. 3．④ 解析：由单调增函数的定义，知x 1，x 2必须是区间（a ，b ）上的任意两个值且x 1<x 2，所以“存在”，“有无穷多对”都不对，因此①②错；③反例1()f x x=-在（－∞，0）上是单调增函数，在（0，＋∞）上也是单调增函数，但不能说在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是单调增函数，故③错；对④设x 1，x 2∈I, 且x 1<x 2，则f （x 1）<f （x 2），g （x 1）>g （x 2），∴－g （x 2）>－g （x 1），∴f （x 2）－g （x 2）>f （x 1）－g （x 1），故f （x ）－g （x ）在I 上单调递增，∴④正确．4．（－∞，－2]，[0，＋∞） （－∞，0]，（0，＋∞）5．y ＝x 2＋2或y ＝|x |＋2 解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y ＝ax 2＋2，y ＝a |x |＋2（a >0）．6．④ 解析：①因为函数在1(,)4-+∞上为单调增函数，所以在（0，＋∞）上也是单调增函数，故①错．②函数11y x =+在区间（－∞，－1）和（－1，＋∞）上各自是单调减函数，但不能说函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上为单调减函数，因为当取x 1＝－2，x 2＝0时，x 1<x 2，但11()121f x ==--+，21()101f x ==+，f （x 1）<f （x 2），显然不满足单调减函数定义，所以要把这两个区间分开写，不能取并集写成一个区间．③∵函数y =1[,)2+∞, 故③错．④∵f （x ）在R 上为单调增函数，又a ＋b >0，∴有a >－b ，或b >－a ，则有f （a ）>f （－b ），或f （b ）>f （－a ）．两式相加得f （a ）＋f （b ）>f （－a ）＋f （－b ），故④正确．7．解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2＋2（1－2a ）x ＋6的图象的对称轴为x ＝2a －1，且开口向上，∴此函数在区间（－∞，2a －1]上是单调减函数．若使f （x ）在（－∞，－1）上为单调减函数，其对称轴x ＝2a －1必须在x ＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a －1，∴a ≥0.∴f （2）＝22＋2（1－2a ）×2＋6＝－8a ＋14≤14，即f （2）∈（－∞，14]．（2）∵当x ＝2a －1时，二次函数f （x ）取得最小值，∴f （2a －1）≤f （0）．8．解：（1）当a ＝－1时，f （x ）＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1，x ∈[－5,5]．∵f （x ）的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时f （x ）取得最小值为1；当x ＝－5时，f （x ）取得最大值，且f （x ）max ＝f （－5）＝37.（2）f （x ）＝x 2＋2ax ＋2＝（x ＋a ）2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a .∵f （x ）在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5，∴a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}．百尺竿头解：假设存在，先判定函数的单调性．设x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，则()()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x ---⎡⎤-⎣⎦-=-==------.由2≤x 1<x 2≤6，得x 1－1>0，x 2－1>0，∴（x 1－1）（x 2－1）>0，又∵x 1<x 2，∵x 2－x 1>0，∵f （x 1）>f （x 2），∴函数21y x =-在区间[2,6]上是单调减函数． ∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x ＝2时，取最大值，且最大值为2；在x ＝6时，取最小值，最小值为0.4.。

课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是非奇非偶函数，B不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C3．(2019·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确； 对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C4．(2019·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：∵⎩⎨⎧0＜a ＜13a ≥1，∴13≤a ＜1.答案：B5．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)B ．f (log 25)＜f (20.3)＜f (0.32)C ．f (log 25)＜f (0.32)＜f (20.3)D ．f (0.32)＜f (log 25)＜f (20.3)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∵0＜0.32＜20.3＜log 25，∴f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)．故选A. 答案：AB 组 能力提升练7．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，2) B ．[0，2) C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2，2]上单调递增，∴⎩⎨⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎨⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C. 答案：C8．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．[－4，2]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，所以根据题意得|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选A. 答案：A9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B10．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D11．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6.答案：－612．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R )，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝（x1－x2）（x1x2－a）x1x2.因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝（x1－x2）（x1x2－a）x1x2<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a<x1x2恒成立．因为x1<x2≤－2，所以x1x2>4，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]。

高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____.（2）函数123)(－＝x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____. 2、利用单调性的定义证明函数21)(xx f ＝在（－∞，0）上是增函数. 3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)； (2)f (2)f (15)与6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1(－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围. 7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||（4）2012－－＝x x y 8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．9、【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 10、求函数xx x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值. 二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1）11)1()(－＋－＝x x x x f ；（2）a x f ＝)( （R x ∈）； （3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f 12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________．13、已知函数c bx ax x f ＋＋＝2)( （0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ＋＋＝23)(是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数b a bx ax x f ＋＋＋＝3)(2是偶函数，且其定义域为[1－a ,a 2]，则 （ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2－＝，则)(x f 在R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若)(x ϕ，)(x g 都是奇函数，2)()()(＋＋＝x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则)(x f 在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．19、判断函数＝)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧0130132323＜，－＋＞，＋－x x x x x x 的奇偶性.20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．21、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式为_______，)(x g 的解析式为_______.22、已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0.试证f （x ）是偶函数．23、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证f （x ）是偶函数．高中数学必修1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习答案1、【答案】（1）2 （2）3，31 2、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为0≥x 和0＜x 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]； 单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ； （2）∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)6、【答案】实数a 的取值范围是（31，43） 7、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)； 减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，21）；减区间是[21，5)和（5，＋∞） 8、【答案】a 的取值范围是0≤a ≤1．9、【答案】当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得)2(f ＝4是最小值，)1(f ＝5是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）0＝a ，)(x f 既是奇函数又是偶函数；0≠a ，)(x f 是偶函数；（3）)(x f 是奇函数.12、【答案】 013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】 选C18【答案】 奇函数19、【答案】 奇函数【提示】分x ＞0和x ＜0两种情况，分别证明)()(x f x f ＝－－即可.20、【答案】解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5． 因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减， 所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．21、【答案】11)(2-=x x f ，1)(2－＝x x x g 22、证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ）， 故f （x ）为偶函数．23、证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴f （－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．。

第二节 函数的单调性与最值(答案)一、基础知识考点一 确定函数的单调性(区间) [典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值) [典例] (1)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________． [题组训练] 1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小 [典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] 已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______．[题组训练] 1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1 [课时跟踪检测] 1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为_______．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．第二节 函数的单调性与最值一、基础知识 1．增函数、减函数 定义：设函数f (x )的定义域为I ：(1)增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．增(减)函数定义中的x 1，x 2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x 1<x 2(x 1>x 2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间.有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M 或f (x )≥M .(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值或最小值． 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论 在公共定义域内：(1)函数f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )＋g (x )是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数；(3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数；(4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法 f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a (x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域(最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示． 根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．(2)单调性法 ∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2. 即⎩⎨⎧ －2a ＋b ＝12，－a 2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52. (3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4. [答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4 [提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练] 1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2取等号， 所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减， 所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9.答案：6 －9 3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减，∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1.答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．[答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]．[答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． [解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1.∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] [－1，＋∞)[解题技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1 解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测] 1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0.而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . 因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23. 4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4.答案：4 10．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1所以0＜a ≤1.a 的范围为(0,1]．。

教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。

第2讲函数的单调性与最值[考纲解读] 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1．函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)□06单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的□07单调区间．2．函数的最值1．概念辨析(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f(x 1)－f (x 2)]>0.( )(3)函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则函数y ＝f (x )的增区间为[0，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－3x 2答案 A解析 y ＝|x |在(0,1)上是增函数，y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－3x 2在(0,1)上都是减函数．(2)设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案 [－1,1]，[5,7]解析 由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．(3)函数f (x )＝2－x 2，x ∈[－1,2]的最大值为________，最小值为________． 答案 2 －2解析 f (x )＝2－x 2在[－1,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，f (－1)＝1，f (0)＝2，f (2)＝－2，所以最大值为2，最小值为－2.(4)函数y ＝2k ＋1x在(0，＋∞)上是增函数，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析 因为函数y ＝2k ＋1x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2k ＋1<0，解得k <－12.题型 一 确定函数的单调性(区间)1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，x ≥2，－x x ，x <2.作出此函数的图象如下．观察图象可知，f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是[1,2]．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8在定义域内的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 3．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 解法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ·x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．解法二：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－ax －2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．条件探究 将举例说明1中“f (x )＝|x －2|x ”改为“f (x )＝x 2－2|x |”，试写出其单调区间．解 f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.作出此函数的图象如右：观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递增区间是(－1,0]，(1，＋∞)．1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．如举例说明3解法一．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明1.(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．如举例说明3解法二． 2．熟记函数单调性的三个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明2.1．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)答案 B解析 因为函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，所以a <0，所以g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a [(x －2)2－1]的增区间是(－∞，2)．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.判断f (x )的单调性．解 设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，∵当x >1时，f (x )>0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数． 题型 二 求函数的最值(值域)1．(2018·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83 C ．－2 D ．2 答案 A解析 因为函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上是减函数，所以f (x )max ＝f (－2)＝2－12＝32.2．函数y ＝x －x －1的最小值为________． 答案 34解析 令t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝t 2＋1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34，t ≥0，所以当t ＝12时，y min ＝34.3．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤2，103解析 y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝x 2－x ＋＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1， 由x ∈R 得x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，所以1x 2－x ＋1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43，所以y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.4．(2018·石家庄模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 解法一：在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.解法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.条件探究1 将举例说明1中“f (x )＝－x ＋1x”改为“f (x )＝－x －1x”，其他条件不变，如何解答？解 f (x )＝－x －1x 在[－2，－1]上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13上是增函数，且f (－2)＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103，所以f (x )max ＝103.条件探究2 将举例说明2中“y ＝x －x －1”改为“y ＝x ＋1－x 2”，其他条件不变，如何解答？解 由1－x 2≥0可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故所求函数的最小值是－1.条件探究3 将举例说明3中“y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1”改为“y ＝1－x21＋x 2”，其他条件不变，如何解答？解 由y ＝1－x 21＋x 2得x 2＝1－y 1＋y ， 由x 2≥0知1－y 1＋y ≥0，解得－1<y ≤1，故所求函数的值域为(－1,1]．求函数的最值(或值域)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．如举例说明1. (2)有界性法：利用代数式的有界性(如x 2≥0，x ≥0，2x>0，－1≤sin x ≤1等)确定函数的值域．(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明4.(4)换元法：形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明2.(5)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明3.另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．1．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上为单调函数，所以由题意可得f (1)＋f (2)＝a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，所以a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，所以a ＝2.2．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．答案 9解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.题型 三 函数单调性的应用角度1 比较函数值的大小1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c .角度2 解不等式2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(－1，2＋1)C ．(0，2＋1)D ．(－1，2－1) 答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图所示．则不等式f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x >0，1－x 2>2x ，解得－1<x <2－1.角度3 求参数的值或取值范围3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋5，x ≤1，2a －log a x ，x >1，对于任意x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(1,2]D ．(1,2) 答案 C解析 根据题意，由f x 1－f x 2x 1－x 2<0，易知函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >1，a －＋5≥2a ，解得1<a ≤2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．如举例说明1.(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．如举例说明2.(3)利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意：若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如举例说明3.1．(2019·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3答案 C 解析 y ＝x －5x －a －2＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋，所以当a －3<0时，y ＝x －5x －a －2的单调递增区间是(－∞，a ＋2)，(a ＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又因为y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)≤(a＋2，＋∞)，所以a ＋2≤－1，即a ≤－3，综上知，a 的取值范围是(－∞，－3]．2．(2018·河南百校联盟质检)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－ 14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15 ，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 答案 B解析 a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－ 14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 >1，c ＝log 279<0，所以c <b <a .因为f (x )＝2x －2－x ＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递增，所以f (c )<f (b )<f (a )．3．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2，且f (－3)＝－4，则不等式f (log 12 |3x－1|)>log 12|3x－1|－1的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(－∞，0)∪(0,2)答案 D解析 由对任意x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2，得f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2.令g (x )＝f (x )－x ，则有对任意x 1<x 2，都有g (x 1)<g (x 2)，所以g (x )在R 上单调递增，因为f (－3)＝－4，所以g (－3)＝f (－3)－(－3)＝－1，所以f (log 12 |3x－1|)>log 12|3x－1|－1等价于g (log 12 |3x－1|>g (－3)，所以log 12 |3x－1|>－3＝log 12 8，所以0<|3x－1|<8，解得x <2且x ≠0，故所求不等式的解集是(－∞，0)∪(0,2)．。

函数的最值练习 1．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是__________．①y ＝－3x ＋1；②y ＝|x ＋2|；③4y x ＝；④y ＝x 2－4x ＋3．2．函数f (x )＝|x －2|－2在区间［0,3］上有最小值__________，最大值__________．3．设f (x )＞0是定义在区间D 上的单调递减函数，则下列函数：①y ＝3－f (x )；②2=1+()y f x ；③y ＝［f (x )］2；④=1()y f x -中单调增函数的个数为__________． 4．若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在区间［1,3］上有最小值－1，则a 的值为__________．5．函数f (x )＝x 4＋2x 2－1的最小值是__________．6．函数2()=k f x x-在区间［1,3］上有最大值3，则k ＝__________． 7．已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )＝ax 2＋1(a ＜0)，求满足f (x )＜f (2－x )的x 的取值范围是__________．8．对任意函数f (x )，g (x )在公共定义域内，规定f (x )g (x )＝min{f (x )，g (x )}，若f (x )＝3－x ，g (x )＝23x -，则f (x )g (x )的最大值为______． 9．求证：函数y ＝f (x )＝x 2＋21x 在(0，＋∞)上的最小值为2． 10．设x ∈R ，求函数y ＝2|x －1|－3|x |的最大值．11．设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |．(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值．12．对于定义域为D 的函数y ＝f (x )，若同时满足下列条件：①f (x )在D 内单调递增或单调递减；②存在区间［a ，b ］D ，使f (x )在［a ，b ］上的值域为［a ，b ］，那么把y ＝f (x )(x ∈D )叫闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间［a ，b ］．(2)判断函数31()=4f x x x+(x ＞0)是否为闭函数？并说明理由．参考答案1．答案：②2．答案：－2 03．答案：34．答案：45．答案：－16．答案：57．答案：(1,2)8．答案：19．证明：任取x 1，x 2∈(0,1］，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，x 1＋x 2＞0,0＜2212x x ＜1，22121x x ＞1， ∴1－22121x x ＜0． 2121()()f x f x x x --＝1x 2－x 12221222111()x x x x -+- ＝211x x -2221()x x -22211(1)x x - ＝(x 2＋x 1)22211(1)x x -＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )在(0,1］上是单调减函数．同理可得f (x )在［1，＋∞)上是单调增函数．故f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝2．10．解法一：去掉绝对值符号后可得：2,1,52,01,2,0,x x y x x x x --≥⎧⎪=-+≤<⎨⎪+<⎩故可得图象如下图．由图可知当x ＝0时，y ma x ＝2．解法二：当x ≥1时，y ≤－3；当0≤x ＜1时，－3＜y ≤2；当x ＜0时，y ＜2．从而可得当x ＝0时，y ma x ＝2．11．解：(1)若f (0)≥1，则－a|a|≥1⇒20, 1a a <⎧⎨≥⎩⇒a≤－1．(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝(),0,03f a aaf a≥⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩＝222,0,2,0,3a aaa⎧≥⎪⎨<⎪⎩当x＜a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝(),0()0f a af a a-≥⎧⎨<⎩＝222,0,2,0,a aa a⎧-≥⎨<⎩综上，f(x)min＝222,0,2,0.3a aaa⎧-≥⎪⎨<⎪⎩12．解：(1)由题意，y＝－x3在［a，b］上递减，则33,,,b aa bb a⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1.ab=-⎧⎨=⎩所以，所求的区间为［－1,1］．(2)取x1＝1，x2＝10，则f(x1)＝74＜7610＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的减函数．取x1＝110，x2＝1100，f(x1)＝340＋10＜3400＋100＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的增函数．所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．。

第2节函数的单调性与最值基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·山西太原二模)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( D )(A)y=e x+e-x(B)y=ln(|x|+1)(C)y= (D)y=x-解析:f(x)=e x+e-x,f(-x)=e-x+e x,h(x)=ln(|x|+1)=ln(|-x|+1)=h(-x),因此选项A,B均为偶函数,C选项是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.D中由于y′=1+>0,因此函数y=x-满足题意.故选D.2.(2018·河北武邑中学高三上学期五调)已知函数f(x)=lo(x2-2x-3),规定区间E,对任意x1,x2∈E,当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2),则下列区间可作为E的是( D )(A)(3,6) (B)(-1,0)(C)(1,2) (D)(-3,-1)解析:由题意知函数f(x)=lo(x2-2x-3)在区间E上单调递增,由x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,当x∈(-∞,-1)时,函数y=x2-2x-3是减函数,结合复合函数的单调性可知函数f(x)=lo(x2-2x-3)是增函数,即(-∞,-1)为函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间,而(-3,-1)⊆(-∞,-1),所以(-3,-1)可作为E.故选D.3.(2018·黑龙江齐齐哈尔市高三上学期检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有<0.则( B )(A)f(3)<f(-2)<f(1) (B)f(1)<f(-2)<f(3)(C)f(-2)<f(1)<f(3) (D)f(3)<f(1)<f(-2)解析:由于函数f(x)对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-2)=f(2),所以有f(1)<f(2)<f(3),从而得f(1)<f(-2)<f(3).故选B.4.(2018·湖北省鄂东南省级示范高中联考)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( D )(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(0,1](C)(0,1) (D)(0,1]解析:根据f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,因为f(x)的对称轴为x=a,则由题意应有a≤1,且a>0,即0<a≤1,故选D.5.(2018·广州二模)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( C )(A)y=在R上为减函数(B)y=|f(x)|在R上为增函数(C)y=2-f(x)在R上为减函数(D)y=-[f(x)]3在R上为增函数解析:对于A,对于函数f(x)=x,y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,对于函数f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,令t=f(x),则y=2-f(x)=()f(x)=()t,t=f(x)在R上为增函数,y=()t在R上为减函数,则y=2-f(x)在R上为减函数,C正确;对于D,对于函数f(x)=x,y=-[f(x)]3=-x3,在R上是减函数,D错误;故选C.6.(2018·华大新高考联盟高三1月联考)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a 的取值范围是( B )(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,1]解析:函数f(x)=2|x-a|+3的增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a>1.故选B.7.定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b=a2;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)在区间[-2,2]上的最大值等于( C )(A)-1 (B)1 (C)4 (D)12解析:由已知得当-2≤x≤1时,f(x)=x-4,当1<x≤2时,f(x)=x3-4.因为f(x)=x-4,f(x)=x3-4在定义域内都为增函数.所以f(x)的最大值为f(2)=23-4=4.故选C.8.(2014·杭州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= .解析:作出函数f(x)=|2x+a|=的大致图象,根据图象可得函数的单调递增区间为[-,+∞),即-=3,a=-6.答案:-69.(2018·甘肃会宁县一中)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是.解析:因为函数f(x)对任意x1≠x2,都有<0成立,则函数f(x)为减函数,故需满足解得0<a≤.答案:(0,]能力提升(建议用时:25分钟)10.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( B )(A)(8,+∞) (B)(8,9](C)[8,9] (D)(0,8)解析:2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有解得8<x≤9.故选B.11.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0, 解得-2<a<1.12.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定( D )(A)有最小值 (B)有最大值(C)是减函数 (D)是增函数解析:由题意知a<1,所以g(x)==x+-2a,当a<0时,g(x)在(1,+∞)上是增函数,当a>0时,g(x)在[,+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,所以g(x)在(1,+∞)上一定是增函数.13.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.解析:由题意知g(x)=函数的图象如图所示的实线部分,根据图象,g(x)的减区间是[0,1).答案:[0,1)14.已知函数f(x)=若f(m)<f(2-m2),则实数m的取值范围是. 解析:函数f(x)图象如图所示:由图象可知函数f(x)连续且在R上单调递增,所以f(m)<f(2-m2)转化为m<2-m2,即m2+m-2<0,解得m∈(-2,1).答案:(-2,1)。

第二节 函数的单调性与最值2019考纲考题考情1．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。

2．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间。

3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值。

(2)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值。

4．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则 (1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(或()x 1－x 2[]f (x 1)－f (x 2)>0)⇔f (x )在D 上单调递增。

(2)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0(或()x 1－x 2[]f (x 1)－f (x 2)<0)⇔f (x )在D 上单调递减。

5．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋a x(a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数。

6．函数单调性常用结论函数单调性的常用结论 1．若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数。

第2讲 函数的单调性与最值[基础达标]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A.选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：选B.使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.3．若函数f (x )＝a ＋log 2x 在区间[1，a ]上的最大值为6，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由题得函数f (x )＝a ＋log 2x 在区间[1，a ]上是增函数，所以当x ＝a 时，函数取最大值6，即a ＋log 2a ＝6，解之得a ＝4，故答案为B.4．(2019·金华质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.故选A.5．(2019·台州高三模拟)下列函数y ＝f (x )的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (3)>f (2)的只可能是( )解析：选D.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (3)>f (2)，所以函数y ＝f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f (0)，f (3)>f (0)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f (3)，排除C ，故选D. 6．(2019·瑞安四校联考)已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则y ＝f (|x －3|)的单调递减区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：选B.因为函数y ＝f (|x －3|)是由y ＝f (μ)，μ＝|x －3|复合而成的，而函数y ＝f (x )在R 上是减函数，y ＝f (|x －3|)的单调递减区间即为μ＝|x －3|的单调递增区间，结合函数μ＝|x －3|的图象可得，应有x －3≥0，解得x ≥3，所以函数y ＝f (|x －3|)的单调递减区间是[3，＋∞)，故选B.7．(2019·衢州市高三联考)函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1.作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调递增区间是 (－∞，1]． 答案：(－∞，1]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：因为 f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：0 22－39．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：函数y ＝x 3在(－∞，0]上是增函数，函数y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x >0时，ln(x ＋1)>0，所以f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)10．定义max{a ，b }为a ，b 中的最大值，函数f (x )＝max{log 2(x ＋1)，2－x }(x ＞－1)的最小值为c ，如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2m －1）x ＋34，x ≥c m x ，x ＜c 在R 上单调递减，则实数m 的范围为________．解析：根据题意，f (x )＝max{log 2(x ＋1)，2－x }(x ＞－1)，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＜1log 2（x ＋1），x ≥1，分析可得，当x ＝1时，f (x )取得最小值1，则有c ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2m －1）x ＋34，x ≥1m x ，x ＜1，若g (x )为减函数，必有⎩⎪⎨⎪⎧（2m －1）＜0，0＜m ＜1，（2m －1）＋34≤m ，解可得：0＜m ≤14，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1411．(2019·杭州学军中学高三模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3，5]． (1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )在[3，5]上为增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[3，5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.12．(2019·金丽衢十二校联考)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1， 所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．[能力提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2（12）x －1，x <2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(0，2)D ．[138，2)解析：选B.因为函数为递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<02（a －2）≤（12）2－1，解得a ≤138，故选B.2．(2019·丽水质检)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋|f 1（x ）－f 2（x ）|2，若a ，b ∈[－1，5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 1（x ）－f 2（x ）2＝f 1(x )；当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 2（x ）－f 1（x ）2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ），f 1（x ）≥f 2（x ），f 2（x ），f 1（x ）<f 2（x ）.即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0，5]，则b －a 的最大值为5.3．已知m 为实数，要使函数f (x )＝|x 2－4x ＋9－2m |＋2m 在区间[0，4]上的最大值是9，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝|x 2－4x ＋9－2m |＋2m ＝|(x －2)2＋5－2m |＋2m ， 其对称轴为x ＝2，且f (0)＝f (4)＝|9－2m |＋2m ，f (2)＝|5－2m |＋2m ，若f (x )max ＝f (2)＝9，即|5－2m |＋2m ＝9，解得m ＝72，此时，f (x )＝|(x －2)2－2|＋7， 且f (0)＝f (4)＝9也成立；若f (x )max ＝f (0)＝f (4)＝|9－2m |＋2m ＝9， 则9－2m ≥0，即m ≤92，由f (2)＝|5－2m |＋2m ≤9，得m ≤72，综上所述，m ≤72.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72 4．对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时，f (x )的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数，下列函数为2倍值函数的是________(填上所有正确的序号)．①f (x )＝x 2②f (x )＝x 3＋2x 2＋2x ③f (x )＝x ＋ln x ④f (x )＝xex解析：y ＝f (x )为2倍值函数等价于，y ＝f (x )的图象与y ＝2x 有两个交点，且在[a ，b ]上递增．对于①，y ＝2x 与y ＝x 2，有两个交点(0，0)，(2，2)， 在[0，2]上f (x )递增，值域为[0，4]，①符合题意．对于②，y ＝2x 与y ＝x 3＋2x 2＋2x ，有两个交点(0，0)，(－2，－4)， 在[－2，0]上f (x )递增，值域为[－4，0]，②符合题意．对于③，y ＝2x 与y ＝x ＋ln x ，没有交点，不存在x ∈[a ，b ]，值域为[2a ，2b ]，③不合题意．对于④，y ＝2x 与y ＝xex 有两个交点(0，0)，(－ln 2，－2ln 2)，f (x )在[－ln 2，0]上递增，值域为[－2ln 2，0]，④合题意，故答案为①②④. 答案：①②④5．(2019·浙江新高考联盟第三次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋a 2＋1，x ≤0，x 2＋2x －a ，x ＞0.(1)若对于任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)成立，求实数a 的取值范围； (2)记函数f (x )的最小值为M (a )，解关于实数a 的不等式M (a －2)＜M (a )． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2＋1，因为f (x )≥f (0)，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以a ≥0，当x ＞0时，f ′(x )＝2x －2x2，令2x －2x2＝0得x ＝1，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，当x ＞1时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f min (x )＝f (1)＝3－a ， 因为f (x )≥f (0)＝a 2＋1， 所以3－a ≥a 2＋1，解得－2≤a ≤1. 又a ≥0，所以a 的取值范围是[0，1]．(2)由(1)可知当a ≥0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (0)＝a 2＋1， 当a ＜0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (a )＝1，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝3－a ，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≤3－aa ≥0得0≤a ≤1，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤3－aa ＜0得a ＜0，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，0≤a ≤11，a ＜03－a ，a ≥1.所以M (a )在(－∞，0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 作出M (a )的函数图象如图所示：令3－a ＝1得a ＝2， 因为M (a －2)＜M (a )， 所以0＜a ＜2.6．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)·(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)；当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.。