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并整理,得 9x2+24x+ 16=0,即(3x+4)2=0, 解得
故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D. 答案:D
题型一
题型二
题型三
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k. 当k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点、有两个公共点、 没有公共点? 分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的 方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛 物线的位置关系.
题型一
题型二
题型三
解 :由题意 ,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ������-1 = ������(������ + 2), 由方程组 2 ������ = 4������, 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. l 与抛物线只有一个公共点
2
(* )
1 4
①
当 k=0 时 ,由方程 ①得 y=1,把 y=1 代入 y2=4x,得 x= ,这时 ,直线 当 k≠0 时 ,方程 ①的判别式为 Δ=-16(2k 2+k-1). 由 Δ=0,即 2k +k-1=0,解得 k=-1 或
(2)直线与双曲线的位置关系. ①研究直线与双曲线的位置关系,一般通过解直线方程与双曲线 方程所组成的方程组
������������ + ������������ + ������ = 0, ������ 2 ������ 2 -������2 ������ 2 = ������2 ������ 2 (������ > 0,������ > 0), 对解的个数进行讨论:有两组不同的实数解(Δ>0)时,直线与双曲 线相交;有两组相同的实数解(Δ=0)时,直线与双曲线相切;无实数解 (Δ<0)时,直线与双曲线相离. ②当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点.
A.①③ C.①②③
B.②④ D.②③④
解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分 别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排 除法. y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除 选项A,C;
将
������2 2 y=-2x-3 代入③ +y =1, 2 4 1 x=- ,y=- . 3 3
������2 【做一做2】 已知直线y=kx-1与椭圆 4
������2 + =1相切,则k,a之间 ������
【做一做3】 给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲 线是( ) ①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;
������2 2 ������2 2 ③ 2 +y =1;④ 2 -y =1.
2
1 2
1 2
1 k> 时 ,方程 ①没有实数解 ,从而方程组 (*)没有 2
1 k> . 2
这时 ,直线 l 与抛物线没有公共点. 综上可知 ,当 k=-1 或
1 共点 ;当-1<k< ,且 k ≠0 时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点;当 2 1 k> 时 ,直线 l 与抛物线没有公共点 . 2 1 k= 或 2
【做一做1】 抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,与抛物线也有一 个公共点. 答案:B
的关系式为( ) A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1 C.a-4k2=1 D.a+4k2=1 解析:联立两方程后,利用一元二次方程的判别式来判断. 答案:D
k=0 时 ,直线 l 与抛物线只有一个公 k<-1 或
1 ,1 4
;
1 k= ,于是 ,当 2
k=-1 或
方程 ①只有一个解,从而方程组 (*)只有一个解.这时 ,直线 l 与抛物线 只有一个公共点 ;
1 k= 时 , 2
题型一
题型二
题型三
由 Δ>0,即 2k2+k-1<0,解得 -1<k< . 于是 ,当-1<k< ,且 k ≠0 时 ,方程 ①有两个解 ,从而方程组(*)有两 个解 . 这时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点; 由 Δ<0,即 2k +k-1>0,解得 k<-1 或 于是 ,当 k<-1 或 解.
(3)直线与抛物线的位置关系. ①直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称 轴平行(或重合). 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于(或不 重合于)抛物线的对称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. ②判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方 程组,于是: a.方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1个公共点); b.方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2个公共点); c.方程组无解⇔直线与抛物线相离.
2.方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方 程组没有实数解,两条曲线就无交点. 说明:(1)直线与椭圆的位置关系. ①位置关系:相交、相切、相离. ②判别方法:通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,对解的 个数进行讨论.通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变 量的一元二次方程. a.Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点; b.Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点; c.Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.
4.3 直线与圆锥曲线的交点
第1课时 直线与圆锥曲线的交点1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系. 2.掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法. 3.加强数形结合思想方法的训练与应用.
1.曲线的交点 由曲线方程的定义可知,对于曲线 C1:f(x,y)=0 和曲线 C2:g(x,y)=0,M(x 0,y 0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔f(x0,y0)=0 且 g(x0,y 0)=0, ������(������0 ,������0 ) = 0, 所以求两条曲线 C1 与 C2 的交点,就是求方程组 的实数 ������(������0 ,������0 ) = 0 解.
