江西省崇仁县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题文

江西省崇仁县第二中学2017—2018学年度下学期第一次月考高二数学文试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线的离心率为，则实数的值为（）A． B． C． D．2.若复数满足（为虚数单位），则（）A． B．1 C． D．3.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（）A．结论不正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确4.甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为,乙射中目标的概率为，两人各射击1次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为( )A．B．C． D.5. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D．46.①已知，求证，用反正法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确7．在数列中，，，则的值为（）A．B．5 C．D．8.已知抛物线的准线经过点，过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交该抛物线于、两点，则（）A. 4B.C. 2D. 19．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点（单位：升）则输入的值为（）A. B. C. D.10．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（）A. B. C. D.11. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A． B．2 C． D．12．过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于( )A. B． C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是．14．求曲线在点处的切线方程是___________________．15.若点在曲线（为参数，）上，则的最大值是 ． 16. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ． 三、解答题: （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知复数，（，为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.18．（本小题满分12分）证明下列不等式： （1）当时，求证：2220a a a ---+>；（2）设，，若，求证：.19.（本小题满分12分）某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（1）根据该等高条形图，完成右侧列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？ （2）从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点的极坐标为，求的面积.喜欢节目不喜欢节目总计 男性观众女性观众总计6021.（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是，点在短轴上，且=-1.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数1()ln(0)f x a x ax=+≠.（1）求函数的单调区间；（2）若，求实数的取值范围.一．选择题：CBCDAD BABDAC二．填空题： 13. 14. 15. 16. 99 三．解答题：17.解：（1）依据12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-...............2分 根据题意是纯虚数，..............4分 ；..............5分（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得3808346032a a a +>⎧⇒-<<⎨-<⎩ 所以，实数的取值范围为..............10分18.解：（1）要证0><..............1分只要证22<，..............2分 只要证，..............3分只要证，由于，只要证，..............4分最后一个不等式显然成立，所以0>...............6分 （2）方法1.因为，，，所以..............8分 ..............10分当且仅当，即时，等号成立，所以..............12分方法2 因为，，所以，又因为，所以2()44()a b ab a b +≥=+， 又因为，，所以，即.（当且仅当时，等号成立）. 19.解：（1分假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，则的观测值260(2415156)5405.934 3.8413921303091k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，..............5分 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．..........6分(2)利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为．..............8分被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，..............10分其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种, ............11分所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．..12分20.解：（1）直线的参数方程为 ，①+②得， 故的普通方程为.............2分又曲线的极坐标方程为22254(2cos 1)9ρρθ--=，即9，222,cos x y x ρρθ=+=. 2229()89x y x ∴+-=，即，............5分（3）点的极坐标为，的直角坐标为（-1，1）.............6分 点到直线的距离.............7分 将，代入中得.............8分设交点、对应的参数值分别为，则，.............9分5AB ∴===............10分的面积12S ==............12分 另解：点的极坐标为，的直角坐标为（-1，1）.............6分点到直线的距离.............7分，设，由得 ，∴，，............9分则||5AB ==............10分∴11||22PAB S AB d ∆===分 21.解：（ 1）由已知，点的坐标分别为，.又点的坐标为，且=-1，于是，，，解得，.............3分 所以椭圆方程为.............4分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，.联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=.其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>，所以，.............7分12121212[(1)(1)]x x y y x x y y λ=+++--21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22(24)(21)21k k λλ--+--=+.............9分 所以，当时，.此时，=-3为定值.............10分当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时=，............11分 故存在常数，使得为定值.............12分22.解：（1）.............1分当时，，的递减区间为；............2分 当时，由得，列表得：所以，函数的递减区间为，递增区间为；............4分综上可知，当时，的递减区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为；...........5分（3）当时，函数是内的减函数，因为1111 ()ln()a aaf e a ee---=+，而，不符合题意；............7分当时，由（1）知的最小值为.............8分若即时，，所以符合题意；............9分若即时，，所以符合题意；............10分若即时，，而，函数在内递增，所以当时，，又因为的定义域为，所以，符合题意.............11分综上，实数的取值范围为.............12分。

全国名校第一次月考试卷数学高二示例文章篇一：《我的高二数学第一次月考之旅》哎呀呀，说起这次高二的第一次月考数学试卷，那可真是一场“惊心动魄”的旅程！考试前的那几天，我感觉自己就像个上紧了发条的小机器人，不停地转动着大脑，拼命复习那些数学公式和定理。

我心里一直在想：“这次月考可千万不能考砸了，不然怎么对得起我每天埋头苦读的那些时光呢？”终于到了考试那天，我紧张得手心都出汗了。

走进考场的时候，我看到同学们有的一脸轻松，好像胜券在握；有的则眉头紧锁，跟我一样紧张得不行。

我忍不住在心里问自己：“他们是不是都复习得特别好啊？我会不会比不过他们？”试卷发下来的那一刻，我的心都提到了嗓子眼儿。

我快速地浏览了一遍题目，心里稍微松了一口气，还好，大部分题目看起来不算太难。

我开始认真地答题，就像在战场上冲锋陷阵的战士，每一道题都是我的敌人。

遇到简单的题目，我心里乐开了花，“这题也太容易了吧，简直就是送分题嘛！”可是碰到难题的时候，我就像被一块大石头挡住了去路，怎么也绕不过去。

我抓耳挠腮，绞尽脑汁地想啊想，“这道题到底该怎么做呢？老师好像讲过类似的，可我怎么就想不起来了呢？”就在我苦思冥想的时候，我听到旁边的同学轻轻地叹了口气，我心想：“难道他也被这道题难住了？”我偷偷地瞟了一眼他的试卷，发现他还空着一大片没写呢，我心里突然又有了点信心，“哼，我可不能比他差！”时间一分一秒地过去，我的笔在试卷上不停地写着。

写到后面的大题时，我感觉自己的脑袋都要炸了，那些复杂的图形和密密麻麻的数字，就像一群调皮的小猴子在我眼前上蹿下跳，让我眼花缭乱。

“哎呀，这道题怎么这么难啊！我怎么就这么笨呢！”我忍不住在心里抱怨着。

就在我快要绝望的时候，我突然想起了老师讲过的一个解题方法，“哈哈，有办法啦！”我兴奋得差点叫出声来。

终于，考试结束的铃声响了，我长长地舒了一口气，把试卷交了上去。

走出考场的时候，我感觉自己整个人都虚脱了。

和同学们对答案的时候，我发现自己有好几道题都做错了，心情一下子又变得低落起来，“完了完了，这次肯定考砸了！”现在，我就等着成绩出来了，真希望能有个好结果啊！我觉得这次考试就像一次冒险，有惊喜，也有惊吓。

2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一个选项是符合题目要求的.）1．（5分）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．102．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠03．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．＜D．ac2＞bc24．（5分）数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8 B．4 C．2 D．15．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知命题p：∀x＜1，；命题q：∃x0∈R，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q7．（5分）如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且=，=，=，则=（）A．++B．﹣+C．+﹣D．﹣++8．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ9．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？10．（5分）数列{a n}满足a n+a n+1=（n∈N*），a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为（）A．5 B．C．D．11．（5分）正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜212．（5分）设a＞0，若关于x，y的不等式组，表示的可行域与圆（x﹣2）2+y2=9存在公共点，则z=x+2y的最大值的取值范围为（）A．[8，10] B．（6，+∞）C．（6，8]D．[8，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．（5分）在正方形内有一扇形（见阴影部分），点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为．14．（5分）由下表格数据得到的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表格中的实数m为．15．（5分）若命题“∃x0∈R，使得（a﹣2）x+2（a﹣2）x0﹣4≥0”为假命题，则实数a的取值范围是．16．（5分）若三棱锥V﹣ABC侧棱相等，底面是正三角形，三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA=4，AC=2，则该三棱锥的侧视图的面积为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10分）把一颗骰子连续投掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（1）求投掷两次出现点数至少一个偶数的概率；（2）设向量=（x，y），=（2，﹣1），求⊥的概率．18．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中m的值；（2）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（3）试估计该校学生平均成绩．19．（12分）已知函数f（x）=（1+cosx）﹣sinx，在△ABC中，AB=，f（C）=，且△ABC的面积为．（1）求角C的值；（2）求sinA+sinB的值．20．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0．（1）若命题p的解集为P，命题q的解集为Q，当a=1时，求P∩Q；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB ﹣D的余弦值．22．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9，直线l1：y=kx与圆C交于P、Q 两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知A（3，0），若，求实数k的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线l1与l2：x+y+1=0的交点为N，求证：|OM|•|ON|为定值．2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一个选项是符合题目要求的.）1．（5分）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选：D．2．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，故选：D．3．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．＞C．＜D．ac2＞bc2【解答】解：a，b，c∈R，且a＞b，比如a=2，b=﹣3，则a2＜b2，A不正确；由c2+1＞0，可得＞，B正确；由a=2，b=﹣3，＞，C不正确；c=0，ac2=bc2，D不正确．故选：B．4．（5分）数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：这组数据的平均数=（5+7+7+8+10+11）÷6=8，方差=[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]=4，标准差=2．故选：C．5．（5分）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩==88.4+当X=8或9时，≤即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1﹣=故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x＜1，；命题q：∃x0∈R，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧q【解答】解：命题p：∀x＜1，，是假命题，例如x≤0时无意义；命题q：∃x0∈R，，是真命题，例如取x0=2时成立．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：A．7．（5分）如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且=，=，=，则=（）A．++B．﹣+C．+﹣D．﹣++【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D是面BB1C1C的中心，且=，=，=，∴==+（）=+﹣（）=+﹣+=．故选：A．8．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ【解答】解：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若α∥β，m⊄β，m∥α，则由直线与平面平行的判定定理得m∥β，故B正确；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行．故D错误．故选：B．9．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．10．（5分）数列{a n}满足a n+a n+1=（n∈N*），a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为（）A．5 B．C．D．【解答】解：由a n+a n=（n∈N*），a2=2，得+1，…，∴数列{a n}的所有奇数项项为，所有偶数项为2，∴．故选：B．11．（5分）正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【解答】解：∵正数x、y满足，∴x+2y=（x+2y）=4+=8，当且仅当，即x=2y=4时取等号．∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2．故实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．故选：D．12．（5分）设a＞0，若关于x，y的不等式组，表示的可行域与圆（x﹣2）2+y2=9存在公共点，则z=x+2y的最大值的取值范围为（）A．[8，10] B．（6，+∞）C．（6，8]D．[8，+∞）【解答】解：如图，作出不等式组大致表示的可行域．圆（x﹣2）2+y2=9是以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，而直线ax﹣y+2=0恒过定点（0，2），当直线ax﹣y+2=0过（2，3）时，a=．数形结合可得a．化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当目标函数过点（2，2a+2）时，z取得最大值为4a+6，∵a，∴z≥8．∴z=x+2y的最大值的取值范围为[8，+∞）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．（5分）在正方形内有一扇形（见阴影部分），点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为．【解答】解：令正方形的边长为a，则S=a2，正方形=πa2则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形则黄豆落在阴影区域内的概率P=1﹣=．故答案为：．14．（5分）由下表格数据得到的线性回归方程为y=0.7x+0.35，那么表格中的实数m为3．【解答】解：由表格数据计算=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+m+4+4.5）=+，线性回归方程为y=0.7x+0.35，∴+=0.7×4.5+0.35，解得m=3．故答案为：3．15．（5分）若命题“∃x0∈R，使得（a﹣2）x+2（a﹣2）x0﹣4≥0”为假命题，则实数a的取值范围是（﹣2，2] ．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得（a﹣2）x+2（a﹣2）x0﹣4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x，使得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0成立”是真命题，当a=2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立；当a≠2时，则，解得﹣2＜a＜2．综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故答案为：（﹣2，2]．16．（5分）若三棱锥V﹣ABC侧棱相等，底面是正三角形，三棱锥V﹣ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA=4，AC=2，则该三棱锥的侧视图的面积为6．【解答】解：正三棱锥V﹣ABC的侧面是等腰三角形，底面是正三角形，底面上的高是3，所以V到底面的距离：；该三棱锥的侧视图的面积：．故答案为：6三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10分）把一颗骰子连续投掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（1）求投掷两次出现点数至少一个偶数的概率；（2）设向量=（x，y），=（2，﹣1），求⊥的概率．【解答】解：（1）把一颗骰子连续投掷两次，基本事件总数n=6×6=36，设“投掷两次所得点数至少一个偶数”为事件A，∴事件A包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（1，1），（3，3），（1，5），（3，5），（5，3），（5，5），（5，1），共9个，∴投掷两次所得点数至少一个偶数的概率为：P（A）=1﹣．（2）∵把一颗骰子连续投掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y，向量=（x，y），=（2，﹣1），⊥．∴=2x﹣y=0，∴y=2x，设“⊥”为事件B，则事件B中包含的基本事件有（1，2），（2，4），（3，6），共3个，∴⊥的概率P（B）==．18．（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中m的值；（2）分别求出成绩落在[70，80），[80，90），[90，100]中的学生人数；（3）试估计该校学生平均成绩．【解答】解：（1）由题意，10×（2m+3m+4m+5m+6m）=1，解得m=0.005；（2）成绩落在[70，80）中的学生人数为20×10×0.03=6，成绩落在[80，90）中的学生人数为20×10×0.02=4，成绩落在[90，100]中的学生人数为20×10×0.01=2；（3）计算平均成绩为：=55×0.15+65×0.25+75×0.30+85×0.20+95×0.10=73.5（分），答：估计该校学生平均成绩73.5分．19．（12分）已知函数f（x）=（1+cosx）﹣sinx，在△ABC中，AB=，f（C）=，且△ABC的面积为．（1）求角C的值；（2）求sinA+sinB的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）=（1+cosx）﹣sinx=2cos（x+）+，由f（C）=，得2cos（C+）+=，得：2cos（C+）=0，∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+=，∴C=，…（6分）（2）由（1）知C=，=absinC，又∵S△ABC∴=absin，∴ab=2，由余弦定理得：3=a2+b2﹣2abcos=a2+b2﹣2，∴a2+b2=5，∴a+b=3，由正弦定理得，∴sinA+sinB=（a+b）=．…（12分）20．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≤0．（1）若命题p的解集为P，命题q的解集为Q，当a=1时，求P∩Q；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，由x2﹣4x+3＜0得：1＜x＜3，∴P=（1，3）﹣由≤0得：2＜x≤3；∴Q=（2，3]，∴P∩Q=（2，3），（2）￢q为：实数x满足x≤2，或x＞3；￢p为：实数x满足x2﹣4ax+3a2≥0，并解x2﹣4ax+3a2≥0得x≤a，或x≥3a，￢p是￢q的充分不必要条件，所以a应满足：a≤2，且3a＞3，解得1＜a≤2，∴a的取值范围为：（1，2]．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB ﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．22．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9，直线l1：y=kx与圆C交于P、Q 两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知A（3，0），若，求实数k的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线l1与l2：x+y+1=0的交点为N，求证：|OM|•|ON|为定值．【解答】解：（Ⅰ）即，因为点A在圆C上故直线l1过圆心C（3，3），解得：k=1；（Ⅱ）设M（x，y），则OM⊥CM，即①所以：，，坐标代入①解得：（x，y）•（x﹣3，y﹣3）=0，化简得：x2﹣3x+y2﹣3y=0（x＞0，y＞0）．（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）将y=kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2=9并整理得：（k2+1）x2﹣6（k+1）x+9=0 则x，x2为方程的两根，利用根和系1数的关系：∴所以：=直线l1与l2：x+y+1=0的交点为N，解得：N所以：|ON|==所以：|ON|•|OM|==3（定值）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点第21页（共22页）3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第22页（共22页）。

2017-2018学年高二下学期第一次数学月考试卷（理科卷）一、选择题（每小题5分，共60分）1．为了抽查某城市自行车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的自行车检查，这种抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．抽签法D ．分层抽样2．我市对上下班交通情况作抽样调查，在上下班时间各抽取12辆机动车，车辆行驶时速(单位：km/h)的茎叶图所示：则上下班时间车辆行驶时速的中位数分别为( )A ．28、28.5B ．28、27.5C ．29、27.5D ．29、28.53． 3.阅读下列流程图,说明输出结果（ ）结束A.1B.2C.3D.44.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 ( ).A. 2105B. 3 C ．3D.855．底面边长为2的正四棱锥V-ABCD 中，侧棱长为，则二面角V-AB-C 的度数为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°6.用系统抽样法要从140名学生中抽取容量为20的样本，将140名学生从1～140编号．按编号顺序平均分成20组(1～7号，8～14号，…，134～140号)，若第17组抽出的号码为117，则第一组中按此抽样方法确定的号码是( )A.7B.5C.4D.37. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最 短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．8.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )．A ．－3B ．0.5C ． 3D ．3.5 9.根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为y =6.5x +17.5，那么表中t 的值为( ) A ．40 B ．50 C ．60 D ．7010.“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件11.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．③④12.如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ）A 、12B C D 、3二、填空题（每小题5分，共20分）13． 某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为___ __ ___．14．求某函数值的流程图，则满足该流程图的函数是 。

2017－2018学年度上学期第一次月考高二数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．过点(－4和点(－1,0)的直线的倾斜角是( )A.30°B.150°C.60°D.120°2．已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆G 的方程为（ ）A ．1922=+y xB ．14922=+y xC ．13622=+y x D ．143622=+y x 3．直线l 1：3kx ＋(2－k )y －3＝0和l 2：(k －2)x ＋(k ＋2)y －2＝0互相垂直，则实数k 的值是( )A ．－2或－1B ．2或1C ．－2或1D ．2或－14．已知椭圆12822=-+-m y m x ,长轴在y 轴上,若焦距为4,则实数m 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．135．直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与l 2：3x ＋(a －2)y ＋a 2－4＝0平行，则实数a 的值是( ) A ．－1或3 B ．－1 C ．－3或1 D ．36．点)1,1(-P 为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（ ）A ．02=+-y xB ．02=--y xC ．032=+-y xD ．032=--y x7．对于a R ∈，直线012)1(=-++-a y x a 恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A ．012422=++-+y x y xB ．032422=++-+y x y x C ．012422=+-++y x y xD ．032422=+-++y x y x8．经过点(3,1)且被圆8)3()1(22=++-y x 截得的弦长为4的直线方程是（ ） A. 0934=--y x B. 3x =或0934=--y x C. 0543=--y xD. 3x =或0543=--y x9．已知M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，F 1、F 2、A 分别是椭圆的左、右焦点和右顶点，N 是MF 1的中点，2||b ON =且4||||4||||22122OF OA OF MF ⋅=+，则该椭圆的离心率是( ) A ．21 B ．32或21C ．32D ．32或2 10．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则ab 的最大值为( ) A ．5 B ．29C ．4D ．23 11．已知圆0962:22=+--+y x y x C ，P 是x 轴上的动点，PA 、PB 分别切圆C 于A 、B 两点，则四边形CAPB 的面积的最小值是（ ）A ．33B ．3C ．22D ．212．若圆24)3()3(22=-+-y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为6,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．]4,12[ππB ．]125,12[ππ C ．),1211[]12,0[πππ⋃D ．),1211[]125,0[πππ⋃二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．直线l 过点P (2,0)且与直线6+=x y 有相同的纵截距，则直线l 的方程为_____________．14．已知椭圆1422=+m y x 的离心率23=e ，则m 的值为 . 15．若点A （2,0）关于直线082=+-y x 的对称点为B ，则点B 的坐标为________． 16．当曲线xy 291-+=与直线b x y +=有交点时，实数b 的取值范围是_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17.（本小题10分）已知直线0:1=-y x l ，032:2=-+y x l ，042:3=+-y ax l . （1）若点P 在1l 上，且到直线2l 的距离为53，求点P 的坐标； （2）若2l //3l ，求2l 与3l 的距离.18.（本小题12分）圆C 满足下列条件：圆心C 在直线26y x =-上，与直线:10l x y +-=相切于点P (3,2)-,求圆C 的方程.19.（本小题12分）已知直线:2220l x y m -+-=不过原点. （1）求过点)3,1(-且与直线l 垂直的直线的方程；（2）直线l 与两坐标轴相交于A 、B 两点，若直线1l 与点A 、B 的距离相等，且过原点，求直线1l 的方程．20.（本小题12分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为1的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)点M 为该椭圆上任意一点，求|MA |的取值范围．21．（本小题12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝3相交于M 、N 两点． (1)求实数k 的取值范围；(2)若点B (2,0)，且⋅＝14，求实数k 的值．22．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中,点)3,2(--A ,直线5:-=x y l ,设圆C 的半径为1且关于直线l 对称.(1)若圆心C 在直线62-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； (2)点A 关于点)1,23(--P 的对称点为B ，若圆C 上存在点M ,使||2||MO MB =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.南昌二中2017－2018学年度上学期第一次月考高二数学（文）试卷参考答案一、选择题：1-12：BABCD CADCB CD 二、填空题：13.3x ＋y －6＝0 14．1或16 15. )8,2(- 16. ]231,2[+- 三、解答题：17.解：(1)设P （t ,t ）,由535|32|=-+t t ，得5|1|=-t∴4-=t 或6 ∴P 的坐标为)4,4(--或)6,6( （2）法1. 由2l //3l 得4-=a∴032:2=-+y x l ，0424:3=+--y x l 即022=-+y x ∴2l 与3l 的距离555|)2(3|=---=d 法2. 032:2=-+y x l 即0624=+--y x ，042:3=+-y ax l ∵2l //3l ∴2l 与3l 的距离55)2()4(|46|22=-+--=d18.解：可设圆C 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，则根据题意可得：22226213(3)(2)b a b a r a b =-⎧⎪+⎪=⎨-⎪=-++⎪⎩，解方程组可得14a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩， 即得圆方程为22(1)(+4)8x y -+=.19.解：（1)与直线l 垂直的直线的斜率为2-，因为点)3,1(-在该直线上，所以所求直线方程为)1(23+-=-x y ，故所求的直线方程为012=-+y x .（2）直线l 与两坐标轴的交点B A ,分别为()()22,0,0,1m m -+-，∴则有1l ∥AB 或1l 过AB 的中点，当1l ∥AB 时，1l 的斜率为21，当1l 过AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1m m 时，由于1l 过原点，则斜率为21-，所以直线1l 的方程为x y 21±=。

2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（）A．只有一次投中B．两次都不中C．两次都投中D．至少投中一次2．（5分）已知角α的终边上一点P（﹣4，3），则cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．3．（5分）某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a4=8，S8=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下能推出“α⊥β”的是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m⊥α，α∩β=n D．m∥n，m⊥α，n⊂β6．（5分）圆心为（2，﹣2）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y=2）2=4 C．（x+2）2+（y﹣2）2=8 D．（x﹣2）2+（y+2）2=87．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，c=4，，则a等于（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球，2个白球．从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣310．（5分）某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．1311．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．312．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a10+a9=6a8，若存在两项a m，a n使得，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是．14．（5分）若样本x1+1，x2+1，…x n+1，的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…x n+2其平均数和方差的和为．15．（5分）圆（x﹣1）2+（y+2）2=1上的点到直线3x﹣4y+4=0的距离的最小值为．16．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为=﹣2x+60．不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知2c+d=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．18．（12分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{a n+b n}的前n项和T n．19．（12分）国庆期间，高速公路堵车现象经常发生．某调查公司为了了解车速，在赣州西收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h））分成六段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后，得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从这40辆车速在[60，70）的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P‒ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；（3）求多面体PB﹣AEC的体积．21．（12分）随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中第一组的频数为20．（1）求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数，（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数，（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．22．（12分）已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（）A．只有一次投中B．两次都不中C．两次都投中D．至少投中一次【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是：两次都投中．故选：C．【点评】本题考查互斥事件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件定义的合理运用．2．（5分）已知角α的终边上一点P（﹣4，3），则cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边上一点P（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r=|OP|=5，则cosα==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．（5分）某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】抽样间隔为：=15，从31到45这15个编号中抽到的编号是36，由此能求出在1到15中随机抽到的编号．【解答】解：某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，∴抽样间隔为：=15，现将300名职工从1到300进行编号，从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是：36﹣15×2=6．故选：C．【点评】本题考查样本编号的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a4=8，S8=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，可得首项和公差的方程组，解方程即可得到所求公差．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a4=8，S8=48，可得a1+2d+a1+3d=8，8a1+×8×7d=48，即2a1+5d=8，2a1+7d=12，解得d=2，a1=﹣1，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．（5分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下能推出“α⊥β”的是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m⊥α，α∩β=n D．m∥n，m⊥α，n⊂β【分析】据面面垂直的判定定理逐一判定，从而得到答案．【解答】解：对于A，平面α，β可能平行或者相交但是不一定垂直；故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α得到n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，得不到α⊥β；故B 错误对于C，m⊥n，m⊥α，α∩β=n，由此无法得到m与β的位置关系，因此α，β不一定垂直；故C错误；对于D，由m∥n，m⊥α得到n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了面面垂直的判定，可以首先得到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理判断．6．（5分）圆心为（2，﹣2）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y=2）2=4 C．（x+2）2+（y﹣2）2=8 D．（x﹣2）2+（y+2）2=8【分析】直接求出圆的半径，进一步求出圆的方程．【解答】解：已知圆心为（2，﹣2）且过原点，则：r=，故圆的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=8．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的应用及相关的运算．7．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，c=4，，则a等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用余弦定理列方程求出a的值．【解答】解：△ABC中，，c=4，，∴b2=a2+c2﹣2accosB，∴7=a2+16﹣2a•4×，整理得a2﹣6a+9=0，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．8．（5分）袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球，2个白球．从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==6，再求出这2个球中至少有1个白球的对立事件是这2个球中都是红球，由此能求出这2个球中至少有1个白球的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球，2个白球．从中随机一次摸出2个球，基本事件总数n==6，这2个球中至少有1个白球的对立事件是这2个球中都是红球，∴这2个球中至少有1个白球的概率p=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查排列组合、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=2S=﹣3不满足条件k≥2019，执行循环体，k=2，S=﹣不满足条件k≥2019，执行循环体，k=3，S=不满足条件k≥2019，执行循环体，k=4，S=2不满足条件k≥2019，执行循环体，k=5，S=﹣3不满足条件k≥2019，执行循环体，k=6，S=﹣…观察规律可知S的取值周期为4，且2019=4×504+3，可得：不满足条件k≥2019，执行循环体，k=2019，S=，此时，满足条件k≥2019，退出循环，输出S的值为．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故选：C．【点评】本题考查数据的平均数公式与茎叶图，考查计算能力，基础题．11．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（1，2）．将A（1，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=1﹣3×2=﹣5．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣5．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．12．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a10+a9=6a8，若存在两项a m，a n使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，由a10+a9=6a8，可得a8（q2+q）=6a 8，解得q=2．根据存在两项a m，a n使得，化为：m+n=6．则==，令=t∈{1，2，5}，（m，n∈N*），即可得出．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a10+a9=6a8，∴a8（q2+q）=6a8，解得q=2．∵存在两项a m，a n使得，∴=4a1，化为：m+n=6．则==，令=t∈{1，2，5}，（m，n∈N*）．则f（t）=2t+，f（1）=3，f（2）=，f（5）=．∴最大值为=．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、指数运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是．【分析】先求出基本事件总数n=，再用列举法求出数字3是这三个不同数字的中位数包含的基本事件的个数，由此能求出数字3是这三个不同数字的中位数的概率．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数n=，数字3是这三个不同数字的中位数包含的基本事件有：（1，3，6），（2，3，6），∴数字3是这三个不同数字的中位数的概率是p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14．（5分）若样本x1+1，x2+1，…x n+1，的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，…x n+2其平均数和方差的和为13．【分析】利用求平均数公式和方差公式，再根据已知条件样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+x n，的平均数为10，方差为2，利用整体代入法进行求解．【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+x n，的平均数为10，方差为2，∴==10，∴1+=10，∴=9，s2===2，∵样本2+x1，2+x2，2+x3，…2+x n，∴=2+=2+9=11，∴s2===2，∴样本2+x1，2+x2，2+x3，…..2+x n，其平均数和方差的和为：11+2=13；故答案为：13．【点评】此题主要考查方差的定义及其运算，用到了整体法，此题是一道基础题．15．（5分）圆（x﹣1）2+（y+2）2=1上的点到直线3x﹣4y+4=0的距离的最小值为2．【分析】圆心C（1，﹣2）到直线直线3x﹣4y+4=0的距离d=3＞r=1，由此能求出圆（x﹣1）2+（y+2）2=1上的点到直线3x﹣4y+4=0的距离的最小值．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=1的圆心C（1，﹣2），半径r=1，圆心C（1，﹣2）到直线直线3x﹣4y+4=0的距离：d==3＞r=1，∴圆（x﹣1）2+（y+2）2=1上的点到直线3x﹣4y+4=0的距离的最小值为：d﹣r=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】本题考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16．（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为=﹣2x+60．不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知2c+d=100．【分析】将样本中心代入回归方程整理即可即可得出答案．【解答】解：=，=，∴，即96+d+2c=﹣44+240，∴2c+d=100．故答案为100．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．【分析】（1）由题意首先求得样本中心点，然后求解回归方程即可；（2）利用（1）的结论结合题意得到不等式，求解不等式即可求得最终结果．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．【点评】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．18．（12分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，a n+1=2S n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n+1，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用a n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1（n≥2）两式相减推出{a n}是以3为公+1比的等比数列．然后求解通项公式；（2）化简，得到，利用拆项法求解数列的和即可．=2S n+1，a n=2S n﹣1+1（n≥2）【解答】解：（1）由题意得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n⇒a n+1=3a n（n≥2），两式相减得a n+1所以当n≥2时，{a n}是以3为公比的等比数列．因为，所以，，{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以得．（2），所以，T n=（30+1）+（31+2）+（32+3）+…+（3n﹣2+n﹣1）+（3n﹣1+n）=（30+31+32+…+3n﹣2+3n﹣1）+（1+2+3+…+（n﹣1）+n）==．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，通项公式求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）国庆期间，高速公路堵车现象经常发生．某调查公司为了了解车速，在赣州西收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h））分成六段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后，得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从这40辆车速在[60，70）的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率．【分析】（1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为A，B，C，D，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为77.5…（2分）由题图可知，中位数应该在75～80之间，设为m，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（m﹣75）=0.5，解得：m=77.5即中位数的估计值为77.5…（6分）（2）这40辆车中，车速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6（辆），其中车速在[65，70）的有5×0.02×40=4（辆），记为A，B，C，D车速在[60，65）的有5×0.01×40=2（辆），记为a，b…（8分）从车速在[60，70）的这6辆汽车中任意抽取2辆的可能结果有15种不同的结果，其中抽出的2辆车车速都在[65，70）的结果有6种…（10分）因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这40辆车速在[60，70）的汽车中任意抽取2辆，抽出的2辆车车速都在[65，70）的概率为…（12分）【点评】解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P‒ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；（3）求多面体PB﹣AEC的体积．【分析】（1）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，由此能证明平面PDC⊥平面PAD．（2）连结BD交AC于O，连结OE，推导出PB∥EO，由此能证明PB∥平面EAC．（3）由AB=2，BC=4，且底面是矩形，点E到平面ACD的高为1，能求出三棱锥E﹣ACD的体积．可得V PB﹣EAC=V P﹣ABCD﹣V E﹣ADC=即可【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点G，连接EG，因为E为PD的中点，G为BD的中点，所以PB∥EG，又因为EG⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC．…（4分）（2）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，∴PA⊥CD．∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．而PA∩CD=A，PA，AD⊂面PAD∴CD⊥面PAD．CD⊂面PDC∴平面PDC⊥平面PAD；．…（8分）（3）V PB=V P﹣ABCD﹣V E﹣ADC，因为E为PD的中点，PA⊥平面ABCD，﹣EAC所以点E到平面ADC的距离是，即=，所以V PB=V P﹣ABCD﹣V E﹣ADC===4…（12分）﹣EAC【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三椎锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中第一组的频数为20．（1）求n和x的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数，（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数，（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率．【分析】（1）由频率分布直方图求出第1组[15，25）的频率为0.2，再由第一组的频数为20，能求出n，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x的值，并能求出众数．（2）由频率分布直方图得第1组的人数为20，第3组的人数为30，第4组的人数为10，从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出第1，3，4组抽取的人数．（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，基本事件总数n==15，所抽取的2人来自同一个组包含的基本事件m==4，由此能求出所抽取的2人来自同一个组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得第1组[15，25）的频率为0.020×10=0.2，∵第一组的频数为20，∴n==100．∴0.020+0.036+x+0.010+0.004=，解得x=0.030．众数为：=30．（2）由频率分布直方图得第1组的人数为0.020×10×100=20，第3组的人数为0.030×10×100=30，第4组的人数为0.010×10×100=10，从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1组抽取6×=2人，第3组抽取6×=3人，第4组抽取6×=1人．（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，基本事件总数n==15，所抽取的2人来自同一个组包含的基本事件m==4，∴所抽取的2人来自同一个组的概率p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用、考查众数、分层抽样、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．22．（12分）已知圆O：x2+y2=4和圆C：x2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系．（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．（Ⅲ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，由此得到圆O是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此求出存在以AB为直径的圆P满足题意．从而能求出在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4﹣0|＞r1+r2=3，所以圆O与圆C相离．…（3分）（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，即kx﹣y+4=0，所以O到l的距离，解得．所以切线l的方程为或…（7分）（Ⅲ）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，即圆O也是满足题意的圆…（8分）ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有…①…（9分）由①得，…②，…③若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则MA⊥MB，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…（10分）则，所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．此时以AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，即，亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…（12分）综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）…（14分）【点评】本题考查两圆位置关系的判断，考查圆的切线方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．。

崇仁县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13B ．15C ．12D ．112． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.63． 已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a ＜1＜bB ．a ＜b ＜1C ．1＜a ＜bD ．b ＜1＜a4． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．5． 幂函数y=f （x ）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f （x ）=27的x 的值是（ ）A ．B ．﹣C ．3D ．﹣36． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞17． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）A ．35B ．C ．D ．538． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．9． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．310．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°11．若复数（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．4 C ．﹣6 D ．612．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24C ．30D ．36二、填空题13．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．14．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）； ②g （x ）≠0；③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；若，则a=．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．17．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是．18．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为．三、解答题19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．22．19．已知函数f（x）=ln．23．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．24．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．崇仁县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，∵双曲线上一点P到左焦点的距离为5，∴|x﹣5|=2×4∵x＞0，∴x=13故选A．2．【答案】A【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．3．【答案】A【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，由图象知a＜1＜b，故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．4．【答案】D5．【答案】A【解析】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有=（﹣2）α，解得：α=﹣3所以幂函数解析式为y=x﹣3，由f（x）=27，得：x﹣3=27，所以x=．故选A．6．【答案】D【解析】解：∵f（1）=lg1=0，∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，故a＞1或a≤0；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．7．【答案】D【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，故选：D．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．8．【答案】B9．【答案】B【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，所以f（9）=log33=1．故选：B．【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．10．【答案】C【解析】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．【答案】C【解析】解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．12．【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，故展开式中含x 3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，不含x 3项的系数之和为20，故选：A ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．二、填空题13．【答案】2-【解析】由题意，得336160C m =-，即38m =-，所以2m =-．14．【答案】 甲 ．【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，方差是= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．【解法二】根据茎叶图中的数据知，甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．15．【答案】 ．【解析】解：由得，所以．又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是，说明函数是减函数，即，故．故答案为【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．16．【答案】3+．【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，即为3+．故答案为：3+．17．【答案】[]．【解析】解：由题设知C41p（1﹣p）3≤C42p2（1﹣p）2，解得p，∵0≤p≤1，∴，故答案为：[]．18．【答案】63．【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7第二圈长为：2+3+4+4+2=15第三圈长为：3+5+6+6+3=23…第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1故n=8时，第8圈的长为63，故答案为：63．【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）作出散点图如下：…（3分）（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）=54，x i y i=52.5∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a===3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．21．【答案】【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，直线y=x+与圆相切，则有=1=b，即有a=，则椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，即有+=0，即+=0，即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，即为t2﹣2k2＜1②x1+x2=，x1x2=，③y1=kx1+t，y2=kx2+t，代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，将③代入，化简可得t=2k，则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．即有直线l恒过定点（﹣2，0）．将t=2k代入②，可得2k2＜1，解得﹣＜k＜0或0＜k＜．则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．22．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）从而m=2．（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1≤a﹣2≤1∴1≤a≤3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g（x）==2x+1+﹣8设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，从而有，所以a=．24．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品
C．3个都是次品D．至少有1个是正品
2．（5分）如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（）
A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题
3．（5分）下列命题中，真命题的是（）
A．∃x0∈R，使得
B．命题∀x∈R，2x＞x2的否定是真命题
C．{x|x﹣1＜0}∩{x|x2﹣4＞0}=（﹣2，0）
D．a＞1，b＞1的充分不必要条件是ab＞1
4．（5分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）
A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？
5．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）。

2019届高二第一学期第一次月考数学试卷一、选择题1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =（）A ．{11}x x -<<B ．{1}x x >C ．{11}x x -≤<D ．{1}x x ≥-2．函数21)(--=x x x f 的定义域为（） （A ）[1，2）∪（2，+∞）（B ）（1，+∞） （C ）[1，2）（D ）[1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的T =（）（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）624．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23x y+的最小值为（ ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．2565．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．3π+ B．23π+ C．π D．2π6．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数值为（） （A ）13-（B ）119（C ）（D ）7．已知函数()()cos (0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D. 函数()f x 的最小值为8．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，22221234n S a a a a =-+-+…22212n n a a -+-等于（）A.()1213n - B. ()41125n - C. ()1413n - D. ()1123n - 9．若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（）A ．B ．C ．D ．10.已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（）A ．10B ．12C ．14D ．1511.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，，是线段11B D 上的两个动点，且2EF =，则下列结论错误．．的是（） A. AC BF ⊥B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值12．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||OA OB AB+≥，那么的取值范围是（） A.)+∞B.C.)+∞D. 二、填空题13．在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，若60C ∠=，2b =，c =，则__________． 14．数列{}n a 的前项和*23()n n S a n N =-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 16．在底面边长为2 的正三棱锥V-ABC 中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则该正三棱锥的体积为__________________三、解答题 17．化简或求值： （1）1242--（2）2(lg 2)lg 2lg5+ 18．xx x f 1)(+=已知 (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； (2) 证明f(x)在),1[+∞的单调性。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。

2017－2018学年度上学期第一次月考高二数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．过点(－4，3)和点(－1,0)的直线的倾斜角是()A.30°B.150°C.60°D.120°2．已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆G的方程为（）x x y2222xA．y1B．C．1D．21y299436x236y2413．直线l1：3kx＋(2－k)y－3＝0和l2：(k－2)x＋(k＋2)y－2＝0互相垂直，则实数k的值是()A．－2或－1 B．2或1 C．－2或1 D．2或－1x y224．已知椭圆1,长轴在y轴上,若焦距为4,则实数m的值是()8m m 2A．3 B．5 C．7 D．135．直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：3x＋(a－2)y＋a2－4＝0平行，则实数a的值是()A．－1或3B．－1C．－3或1D．36．点为圆P (1,1)x 1y 25的弦AB的中点,则直线AB的方程为（）22A．x y 20B．x y 2C．2x y 30D．2x y 37．对于a R，直线(1a)x y 2a 10恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2y24x 2y 10B．x2y24x 2y 3C．x2y24x 2y 10D．x2y24x 2y 38．经过点(3,1)且被圆(x 1)2(y 3)28截得的弦长为4的直线方程是（）A. 4x 3y 9 0B. x 3或 4x 3y 9 0C. 3x4y 5 0D. x3或3x 4y 5 0- 1 -xy229．已知 M 是椭圆1(a b 0) 上一点，F 1、F 2、A 分别是椭圆的左、右焦点和右顶ab22ON| MF |2| |2 4 | | |2|b点，N 是 MF 1的中点，且 42OFOA OF ，则该椭圆的离心率是|| 12( )12 1 22A ．B ． 或C ．D ． 或 22 323 310．两个圆 C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与 C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条 公切线，则 ab 的最大值为( ) 9 A ．5 B ．C ．4D ．23 211．已知圆C : x 2 y 2 2x 6y 9 0 ，P 是 x 轴上的动点，PA 、PB 分别切圆 C 于 A 、B 两点，则四边形 CAPB 的面积的最小值是（ ）A ．3 3B ．3C ． 2 2D ． 212．若圆 (x3)2 (y 3)2 24 上至少有三个不同的点到直线 l : ax by0的距离为6l,则直线 的倾斜角的取值范围是（）A ．[ , ]B ．[12 4 12, 5 12] [, ) 11[5 11 C ． 0,] [ , )D ． 0, ] [12 1212 12 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．） 13．直线 l 过点 P (2,0)且与直线 yx 6 有相同的纵截距，则直线 l 的方程为_____________．xy314．已知椭圆 1的离心率 e，则 m 的值为 .4m22215．若点A（2,0）关于直线x2y80的对称点为B，则点B的坐标为________．x与直线有交点时，实数b的取值范围是16．当曲线y19y x b2_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）- 2 -17.（本小题10分）已知直线1:x y0，2x y，3ax y.l l:230l:240（1）若点P在l上，且到直线l的距离为35，求点P的坐标；12（2）若// ，求与的距离.l l l l232318.（本小题12分）圆C满足下列条件：圆心C在直线y2x6上，与直线l:x y10相切于点P(3,2),求圆C的方程.- 3 -19.（本小题12分）已知直线l:x2y2m20不过原点.（1）求过点(1,3)且与直线l垂直的直线的方程；（2）直线l与两坐标轴相交于A、B两点，若直线l与点A、B的距离相等，且过原点，求1直线的方程．l120.（本小题12分）设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)点M为该椭圆上任意一点，求|MA|的取值范围．- 4 -21．（本小题12分）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝3相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)若点B(2,0)，且BM BN＝14，求实数k的值．22．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中,点A(2,3),直线l:y x5,设圆C的半径为1且关于直线l对称.(1)若圆心C在直线y2x6上,过点A作圆C的切线,求切线的方程；3(2)点A关于点P(,1)的对称点为B，若圆C上存在点M,使|MB|2|MO|,求圆2心C的横坐标a的取值范围.- 5 -南昌二中2017－2018学年度上学期第一次月考高二数学（文）试卷参考答案一、选择题：1-12：BABCD CADCB CD二、填空题：13.3x＋y－6＝0 14．1或16 15. (2,8)16. [2,132]三、解答题：|t t|t 1|523|17.解：(1)设P（t,t）,由35，得5∴t4或6 ∴P的坐标为(4,4)或(6,6)（2）法1. 由// 得l l a423∴2:2x y 30，l3x y即2x y 2l:4240∴与的距离l l d23|)|3(2555法2. 2:2x y 30即，3ax yl 4x 2y 60l:240∵// ∴与的距离l l l l d2323|6(4)25518.解：可设圆C的标准方程为：(x a)2(y b)2r2，则根据题意可得：b 2a 6b21a3222r(a3)(b2)a1，解方程组可得，b 4r22即得圆方程为(x1)2(y+4)28.19.解：（1)与直线l垂直的直线的斜率为2，因为点(1,3)在该直线上，所以所求直线方程为y32(x1)，- 6 -故所求的直线方程为 2x y 1 0 .（2）直线l 与两坐标轴的交点 A , B 分别为2m 2, 0,0,m 1，ll则有 ∥AB 或 过 AB 的中点，111m 1当 ∥AB 时， 的斜率为 ，当 过 AB 的中点时，由于 过原点，则斜率为lll1 m ,l1111221 21 ，所以直线 的方程为 。

2017—2018学年上学期第一次月考高二数学试卷命题人： 校对人：考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．已知ABC ∆中4,30a b A === ，则B 等于（ ）A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150° 2．正项等比数列{}n a 中，312a =，23S =，则公比q 的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．1或12- D ．-1或12- 3．已知△ABC 中，，则等于（ ）．C ．D ．4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且7218a a -=，=8S （ ）A ．18B ．36C ．54D ．72 5．已知，α∈（0，π），则sin2α=（ ） A ．﹣1 B ． C ．D ．16．△ABC 中，若，则△ABC 的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形7．数列{}n a 满足1111,12n na a a +==-，则2010a 等于（ ）A 、12B 、-1C 、2D 、3 8．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sinA=4sinB=3sinC ，则cosB=（ ）A. B. C.D.9．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里 10．已知1322152,41,2,}{++++==n n n a a a a a a a a a 则是等比数列（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n -- 11．要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度, 在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°, CD=40m, 则电视塔的高度为（ ）A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m 12．已知数列{}n a 满足：11a =，1(*)2n n n a a n N a +=∈+，若11()(1)(*)n nb n n N a λ+=-+∈，1b λ=-，且数列{}n b 的单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<ABD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。

2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}，B={x∈N|log2（x+1）≥2}，则A∩B 等于（）A．{2，3}B．{3，4}C．{4，5}D．{5，6}2．（5分）某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28 B．23 C．18 D．133．（5分）等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）4．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R5．（5分）计算机执行如图所示的程序段后，输出的结果是（）A．2 B．3 C．5 D．66．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，77．（5分）直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l 的方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y+3=08．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1409．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．10．（5分）若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的方差为（）A．0.19 B．0.20 C．0.21 D．0.2211．（5分）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其它位置任取一点A′，则弦AA′的长度大于等于半径长度的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，直线l：3x﹣4y+k=0圆上存在两点到直线l的距离为1，则k的取值范围是（）A．（﹣17，﹣7）B．（3，13）C．（﹣17，﹣7）∪（3，13）D．[﹣17，﹣7]∪[3，13]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，则数列{a n}前9项的和为．14．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最大值与最小值的和．15．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．16．（5分）如图所示的流程图表示一函数，记作y=f（x），若x0满足f（x0）＜0，且f（f（x0））=1，则x0=．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球．（Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．18．（12分）假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：（参考数据：参考公式：=，）．如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：（1），；（2）线性回归方程y=bx+a．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0（1）求两个圆公共弦所在的直线方程；（2）求两个圆公共弦的长．（3）直线l过点（3，﹣1）与圆C1相交于A，B两点，且|AB|=6，求直线l的方程．20．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数）．21．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}，B={x∈N|log2（x+1）≥2}，则A∩B 等于（）A．{2，3}B．{3，4}C．{4，5}D．{5，6}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}={x∈N|0≤x≤4}={0，1，2，3，4}，B={x∈N|log2（x+1）≥2}={x∈N|x≥3}={3，4，5，6，7，…}，∴A∩B={x∈N|3≤x≤4}={3，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28 B．23 C．18 D．13【分析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号．【解答】解：抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．3．（5分）等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【分析】由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．即可得出．【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）不等式≥0的解集为（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|x＞﹣1}D．R【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解：由得，即，解得﹣1＜x≤2，所以不等式的解集是{x|﹣1＜x≤2}，故选：B．【点评】本题考查分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于基础题．5．（5分）计算机执行如图所示的程序段后，输出的结果是（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】根据赋值语句的功能，模拟程序的运行即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1a=1+2=3a=3+3=6输出a的值为6．故选：D．【点评】本题主要考查了赋值语句的功能，赋值语句是先计算赋值号右边的表达式的值，再把求得的值赋值给左边的变量，使该变量的值等于表达式的值，本题属于基础题．6．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．7．（5分）直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l 的方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+2y﹣3=0 D．x﹣2y+3=0【分析】设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．【解答】解：设与直线l：x+2y=0垂直的直线方程：2x﹣y+b=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标（1，2）．因为直线平分圆，圆心在直线2x﹣y+b=0上，所以2×1﹣1×2+b=0，解得b=0，故所求直线方程为2x﹣y=0．故选：A．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，考查计算能力．8．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200=140，故选：D．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．9．（5分）若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．【分析】直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得=，解得m=﹣1 或﹣7．当m=﹣1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=﹣7满足条件，故选：A．【点评】本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．10．（5分）若a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的方差为（）A．0.19 B．0.20 C．0.21 D．0.22【分析】根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．【解答】解：a1，a2，a3，…a20这20个数据的平均数为，方差为0.21，∴s2=×[+++…+]=0.21∴+++…+=4.2∴则a1，a2，a3，…a20，这21个数据的，方差为s′2=×[+++…++]=×4.2=0.20．故选：B．【点评】本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．11．（5分）如图所示，A是圆上一定点，在圆上其它位置任取一点A′，则弦AA′的长度大于等于半径长度的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出A′点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AA′长大于半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．【解答】解：设圆半径为R，则A′点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AA′的长度大于等于半径长度的对应的弧长为•2πR，所以AA′弦的长度大于等于半径长度的概率P=．故选：A．【点评】几何概型的测度可以为线段长度、面积、体积等，而且这个测度只与“大小”有关，而与形状和位置无关．12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，直线l：3x﹣4y+k=0圆上存在两点到直线l的距离为1，则k的取值范围是（）A．（﹣17，﹣7）B．（3，13）C．（﹣17，﹣7）∪（3，13）D．[﹣17，﹣7]∪[3，13]【分析】先求出圆心和半径，再设过圆心C（2，1）且平行于直线l：3x﹣4y+k=0的直径所在的直线方程是3x﹣4y﹣2=0，直线3x﹣4y﹣2=0与直线l：3x﹣4y+k=0的距离是d=，由题设条件知，由此可知k的取值范围．【解答】解：由题设知圆心C（2，1），半径r=，过圆心C（2，1）且平行于直线l：3x﹣4y+k=0的直径所在的直线方程是3x﹣4y ﹣2=0，直线3x﹣4y﹣2=0与直线l：3x﹣4y+k=0的距离是d=，由题设条件知，解得k∈（﹣17，﹣7）∪（3，13）．故选：C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解题时要注意两条平行线的距离公式的合理运用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，则数列{a n}前9项的和为99．【分析】等差数列{a n}中，公差d≠0，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，可得a1+3d=10，=a3•a10，即=（a1+2d）（a1+9d），联立解出即可得出．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d≠0，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，∴a1+3d=10，=a3•a10，即=（a1+2d）（a1+9d），联立解得a1=7，d=1．则数列{a n}前9项的和==99．故答案为：99．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最大值与最小值的和6．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（5，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×5﹣1=9．即目标函数z=2x+y的最大值为9．当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=﹣1×2﹣1=﹣3．即目标函数z=2x+y的最小值为﹣3．则最大值与最小值的和为9﹣3=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件．【分析】根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数，乙设备生产的产品总数=．【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．故答案为：1800．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．16．（5分）如图所示的流程图表示一函数，记作y=f（x），若x0满足f（x0）＜0，且f（f（x0））=1，则x0=．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，进而结合x0满足f（x0）＜0，且f（f（x0））=1，分类讨论可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y=的值，∵x0满足f（x0）＜0，∴x0∈（，π]，此时f（f（x0））=f2（x0）=1，即f（x0）=2cosx0=﹣1，即cosx0=﹣，解得x0=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（10分）袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球．（Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．【分析】（Ⅰ）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．（Ⅱ）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，任取2个小球的基本事件有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，A}，{1，B}，{2，3}，{2，4}，{2，A}，{2，B}，{3，4}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，{A，B}，共15个，用M表示“所取取2个小球都是红球”，则M包含的基本事件有：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，∴所取取2个小球都是红球的概率：P（M）==．（Ⅱ）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，则N包含的基本事件有：{1，A}，{1，B}，{2，A}，{2，B}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，共8个，∴所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）=．【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．18．（12分）假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：（参考数据：参考公式：=，）．如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：（1），；（2）线性回归方程y=bx+a．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？【分析】（1）根据表中所给数据，带入平均数公式，易求出，；（2）根据最小二乘法，结合（1）中结论，及已知中参考数据，代入回归系数求解公式，求出两个回归系数，可得回归方程；（3）根据（2）中回归方程，将X=10代入，可得到一个维修费用的预报值．【解答】解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：===1.23．于是=﹣=5﹣1.23×4=0.08．所求线性回归方程为：=1.23x+0.08．（3）由（2）可得，当x=10时，=1.23x+0.08=1.23×10+0.08=12.38（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．【点评】本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错19．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0（1）求两个圆公共弦所在的直线方程；（2）求两个圆公共弦的长．（3）直线l过点（3，﹣1）与圆C1相交于A，B两点，且|AB|=6，求直线l的方程．【分析】（1）直接利用两圆的位置关系，求出公共弦的直线方程．（2）利用垂径定理求出公共弦长．（3）利用分类讨论的思想①直线斜率不存在②直线斜率存在再利用垂径定理求出结果．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0，∴两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：x+2y﹣1=0；（2）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r=5，圆心C1（﹣1，﹣4）到直线x+2y﹣1=0的距离d=，∴公共弦长|AB|=2=2．（3）①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=3成立；②当直线的斜率存在时，设过点（3，﹣1）的直线斜率为k，所以所求直线方程为：y+1=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k﹣1=0．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r=5，因为圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，所以弦心距为：d=；所以，解得：k=﹣所以直线方程为：7x+24y+3=0所以所求直线方程为：x=3或7x+24y+3=0．【点评】本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系的应用，垂径定理的应用，点和直线的位置关系的应用及相关的运算问题．20．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数）．【分析】（1）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（2）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（3）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（1）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（3）众数是2.25，根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，解得x=0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．21．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．【分析】（1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A 的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin（2x ﹣）+m﹣，∴g（x）=sin[2（x+）﹣]+m﹣=sin（2x+）+m﹣，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m﹣=m，∴m=．（2）∵g（）=sin（C+）+﹣=﹣+，∴sin（C+）=，∵C∈（0，），∴C+∈（，），∴C+=，即C=．∴sinA+cosB=sinA+cos（﹣A）=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）．∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，∴A﹣∈（，），∴＜sin（A﹣）＜，∴＜sin（A﹣）＜．∴sinA+cosB的取值范围是（，）．【点评】本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．22．（12分）若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；（2）b n==（﹣），利用“裂项求和”即可得出数列{b n}的前n项和为T n；（3）先确定≤T n＜，再根据使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；﹣T n=﹣=＞0，（3）T n+1∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m＜∵m是自然数，∴m=2．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键．。

崇仁二中2017—2018学年高二上学期期中考试文科数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)．1。

命题“20,0x x x∀>+>”的否定是（)A．20,0x x x∃>+>B。

20,0x x x∃>+≤C。

20,0x x x∀>+≤D.20,0x x x∀≤+>2．某人在打靶时，连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A．2次都不中靶B．2次都中靶C．至多有1次中靶D．只有1次中靶3．执行如图所示的程序框图,则输出的结果是（）A．16B．2524C．34D．11124。

在某次测量中得到的A样本数据如下：72，74,74，76,76，76，77,77，77，77。

若B样本数据恰好是A样本数据每个都减2后所得数据,则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ) A ．众数 B ．标准差 C ．中位数D ．平均数5．从1,2，3，4，5中任取两个不同的数字,构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（ ）A ． 45B ．35C ．25D ．156．抛物线24xy =-的焦点坐标为 （ )A ．(0,1)- B ．(0,1) C ．(0,2)- D ．(0,2) 7。

在区间[]4,4-上随机的取一个数x ,则x 满足260x x +-<的概率为（ )A ．12B ．38C ．49D ．588．下列命题中的假命题是（ ）A ．0xR ∃∈，0lg 0x = B ．0xR ∃∈，0tan x =C ．3,0x R x ∀∈> D ．(,),tan sin 2x x x ππ∀∈<9．设,R x ∈则-+>x x x 2221”是““”01> 的( ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)P m 到焦点的距离为5，则抛物线方程为( ）A ．yx 82= B ．yx 82-= C ．y x 162=D ．y x 162-=11．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,以线段12F F 为一边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D112，右焦点为()0,c F ，方程022=++c bx ax 的两个实数根分别是21,xx ,则点()21,x x P 到原点的距离为( ）A ．2B ．C ．D二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上）13．某校有学生2000人，其中高二学生630人,高三学生720人．为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为14。

崇仁二中2017-2018学年高二上学期期中考试文科数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)．1.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是 ( ) A ．20,0x x x ∃>+> B.20,0x x x ∃>+≤ C.20,0x x x ∀>+≤D.20,0x x x ∀≤+>2．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 ( ) A ．2次都不中靶 B ．2次都中靶C ．至多有1次中靶D ．只有1次中靶3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．2524 C ．34D ．1112 4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：72，74，74，76，76，76，77，77，77，77.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．标准差C ．中位数D ．平均数5．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是( ) A ．45 B ．35 C ．25D ．156．抛物线24x y =-的焦点坐标为 ( )A ．(0,1)-B ．(0,1)C ．(0,2)-D ．(0,2) 7.在区间[]4,4-上随机的取一个数x ，则x 满足260x x +-<的概率为（ ） A ．12B ．38C ．49D ．588．下列命题中的假命题是( )A ．0x R ∃∈，0lg 0x =B ．0x R ∃∈，0tan xC ．3,0x R x ∀∈> D ．(,),tan sin 2x x x ππ∀∈<9．设,R x ∈则-+>x x x 2221”是““”01> 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)P m 到焦点的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为一边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D 112．右焦点为()0,c F ，方程022=++c bx ax 的两个实数根分别是21,x x ，则点()21,x x P 到原点的距离为（ ）A ．2BCD 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为14.在ABC ∆中，060A =，2AB =，且ABC ∆的面则边BC 的长为____________15.若抛物线22y px =的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为___________16.下列四个命题:①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ②抛物线2(0)x ay a =≠的准线方程是 ③若命题“p ”与命题“p 或 q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④若命题“x R ∃∈,2(2)10x m x +-+<”是假命题，则实数m 的取值范围是04m <<．其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都填上)． 三.解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分）根据统计某种改良土豆亩产增加量y （百斤）与每亩使用农夫1号肥料x （千克）之间有如下的对应数据：（1）依据表中数据，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=；（2）根据所求线性回归方程，估计如果每亩使用农夫1号肥料10千克，则这种改良土豆亩产增加量y 是多少斤？ 回归方程系数参考公式：18. （本小题满分12分）某中学为了解某次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图解决下列问题：（1）求出,,,a b x y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加座谈，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．19．（本小题满分12分）给出命题p y 轴上的椭圆； 命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点． （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ；数列{}n b 为等比数列，11b =，且226b S =，238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 为菱形，602BAD AB PD ∠===，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若PD//平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2，且长轴长是倍.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设(2,0)P ,过椭圆C 左焦点F 的直线l 交C 于A 、B 两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式PA PB λ⋅≤uu r uu r(λ∈R )恒成立,求λ的最小值.崇仁二中2017-2018学年高二上学期期中考试文科数学试卷答案一．选择题：BADBCA DCACDB二．填空题： 13. 65 14．． 4 16． ②③三．解答题： 17．解：（1）5586542=++++=x----------------1分4554443=++++=y --------------- 2分106584645443251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=ii iy x ----------------------3分1458654222222512=++++=∑=i ix ----------------------------------------4分3.055145455106ˆ2=⨯-⨯⨯-=b----------------------------------------5分 5.253.04ˆˆ=⨯-=-=x by a -------------------------------------------6分 所以y 关于x 的线性回归方程：5.23.0ˆ+=x y ------------------------------------7分(2)当x=10时,5.55.2103.0ˆ=+⨯=y --------------------------------------------------------9分答:估计如果每亩使用农夫1号肥料10千克,则这种改良土豆亩产增加量y 是550斤 --10分 18.19. 解：（1）若命题p 为真，则有．．．．．．．．． 3分解之得0＜a ＜1，即实数a 的取值范围为（0，1）；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）若命题q 为真，则有 2(23)40a ∆=-->，．．．．．．．．．．．．．．．5分解之得12a<或 52a > ．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ∵命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题，．．．．．．．．．． 7分①当p 真q 假时，011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，得112a ≤<； ．．．．．．．．． 9分 ②当p 假q 真时，105122a a a a ≥≤⎧⎪⎨><⎪⎩或或，得502a a >≤或．．．．．．．．． 11分 所以a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞⋃⋃+∞．．．．．．．．．． 12分 20. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，d ＞0，{b n }的公比为q ，则a n =1+（n -1）d ，b n =q n -1． 由b 2S 2=6，b 2+S 3=8， 有q （2+d ）=6，q +3+3d =8， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得d =1，q =2，或q =9，d=-（舍去）， ．．．．．．．．．．．．．． 4分故a n =n ，b n =2n -1． ．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）a n •b n =n •2n -1． ．．．．．．．．．．．．．． 7分前n 项和为T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n -1， ．．．．．．．．．．．．．． 8分 2T n =1•21+2•22+3•23+…+n •2n ． ．．．．．．．．．．．．9分 两式相减可得-T n =1+21+22+…+2n -1-n •2n=-n •2n ．．．．．．．．．．．．．．． 11分化简可得T n =1+（n -1）•2n． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分21. （Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PD ⊥．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥…………………………3分又因为PDBD D =，AC ⊥面PBD而AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBD …………………………5分（Ⅱ）因为//PD 平面EAC ，平面EAC 平面PBD OE =，所以//PD OE …………………………7分 因为O 是BD 中点， 所以E 是PB 中点． 取AD 中点H ，连结BH ，因为四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 所以BH AD ⊥，又BH PD ⊥，AD PD D =，所以BD ⊥平面PAD ，BH AB ==．…………………………10分 所以111223P EAD E PAD B PAD PAD V E V S BH ---∆===⨯⨯⨯11262=⨯⨯=…………………………12分22. 解(Ⅰ)依题意,a =,1c =, ………………………………1分解得22a =,21b =,所以椭圆Γ的标准方程为2212x y +=.…………………3分 (Ⅱ)设()()1122,,,A x y B x y ,所以()()11222,2,PA PB x y x y ⋅=-⋅-uu r uu r= ()()121222x x y y --+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时()13,PA y =-uu r ,()()213,3,PB y y =-=--uu r,所以()2211732PA PB y ⋅=--=uu r uu r .………………………………6分当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :()1y k x =+, 由()22122y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得()2222124220k x k x k +++-=, 所以2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+,………………………………8分所以()()()21212122411PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++uu r uu r()()()2221212124k x x k x x k =++-+++()()22222222241241212k k k k k k k-=+⋅--⋅++++ 2217221k k +==+()217131722221k -<+.…………………………11分 要使不等式PA PB λ⋅≤uu r uu r (λ∈R )恒成立,只需()max172PA PBλ≥⋅=uu r uu r , 即λ的最小值为172.………………………………12分。