江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题 Word版含答案

【关键字】试题高三年级全真模拟考试数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1.已知集合，，则.2.命题:若，则.其否命题是.3.已知直线过点，且与直线笔直，则直线的方程为.4.一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是.5.根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为.6.有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为.7.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为.8.已知函数若，则实数.9.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为.10.在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则.11.如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为.12在中，，且，为所在平面内的一点，则的最小值是.13.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是.14.已知数列的首项，.若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点.(I)求证: 平面；(l)若，求证:平面平面.16.在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.17.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，分别为其左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，直线的斜率为-1.(I)若直线与椭圆的右准线交于点且，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若，求的取值范围.18.某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(I)请计算小径的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.19.已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证: 是等差数列.20.已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证: ；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，井在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，过点的圆与切于点，且与分别交于点.已知为的平分.求证:B.选修4-2：矩阵与变换直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.(I)求矩阵的逆矩阵；(Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程. C.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐 标方程为，直线的参数方程为(为参数). (I)求曲线C 的直角坐标方程;(I)若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数. D.选修4-5:不等式选讲 已知0a b >>，且1()m a a b b=+-.(I)试利用基本不等式求m 的最小值t ；(Ⅱ)若实数,,x y z 满足2224x y z t ++=，求证：|2|3x y z ++≤.[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内. 22.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PA ⊥面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在 ,PD PC ， 12PN NC =，PM MD =. (I)求证：PC ⊥面AMN ；(Ⅱ)求二面角B AN M --的余弦值.23.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n 次后，袋中红球的个数记为n X . (I)求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； (Ⅱ)求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式.试卷答案 数学Ⅰ一、填空题 1. {1,2}- 2.若2a <，则24a <.3. 310x y -+=4.235. 96. 317. 4-8.23或 -1 9. 6π 10. 312. 658-13. [1,)+∞ 14. 21a -≤≤ 二、解答题15.解：(1)取AB 中点为R ，连接PR ，1B R . 由已知点P 是CD 中点， Q 是11A B 的中点可以证得， 四边形1AQB R ，11PRB C 都为平行四边形， 所以111,AQ B R B R PC ∥∥，所以1AQ PC ∥. 因为AQ ⊄平面1PBC ，1PC ⊂平面1PBC ， 所以AQ ∥平面1PBC .(Ⅱ)因为四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 1BC CC =，所以11B C BC ⊥. 因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以111A B BC ⊥. 因为1111A B B C B =，11A B ⊂平面11A B C ，1B C ⊂平面11A B C ，所以1BC ⊥平面11A B C ， 1BC ⊂平面1PBC ，所以平面11A B C ⊥平面1PBC . 16. 解:(1)由于角4πα+其终边经过点(2,1)P -，故cos()4πα+=，sin()4πα+=.cos cos()44ππαα∴=+-cos()cos sin 44ππα=++()sin 4410ππα+=-.(2) sin sin()44ππαα=+-sin()cos cos 44ππα=+-()sin 4410ππα+=. 则sin22sin cos ααα==23cos2cos 5αα-=-24sin 5α=-，55cos(2)cos66ππα-=5cos2sin sin 26παα+=. 17. 解:(1) 22(,1)C a a -，2222()1(1)24a a -+-=，所以24a =，椭圆的标准方程为22143x y +=. (2)设:(1)l y k x =-， 11(,)A x y ， 22(,)B x yAOB ∴∠为钝角联立直线与椭圆方程222222(1)y x b x a y a b=--⎧⇒⎨+=⎩222222(1)b x a x a b +-=，其中1c =整理可得: 212222a x x a b ∴+=+，2221222a ab x x a b -=+.1212122x x y y x x ∴+=-12()12x x ++=2222222221a a b a a b a b --+++代入1c = 1212x x y y ∴+=24224221021a a a a --+<-，422410a a ∴-+>解得：2a >2(1a <<舍去）. 18.解:(I)以O 为坐标原点， AO 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AO 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由OB = 34AOB π∠=，可知(40,40)B ，直线OB 的方程为y x =，(0,20)Q .所以直线AB 的方程为1202y x =+，令0y =，得(40,0)A -，所以，AB =(Ⅱ) O A B 、、三点共圆，可求圆的方程为22(20)(60)4000x y ++-=，(20,40)C -，则OC 距离最小值为20- (此时点O 为直线20x =-与点A 及坐标原点之间劣弧的交点)； (Ⅲ)因为C 在B 的正西方向，且60CB =千米，所以(20,40)C -.人从A 行驶到B 所需要的4= (分钟)，假设在(04)t t <<时刻人所在的位置为M ，则AM =千米，所以(2040,10)M t t -，则22(2020)CM t =-+2(1040)100t -=2(51620)t t -+.又在(04)t t <<时， 2100r at =，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在(0,4)t ∈，使得22r CM ≥，即2100100(51620)at t t ≥-+成立，所以存在(0,4)t ∈，使得45()16a t t≥+-成立，当(0,4)t ∈时， 45()1652t t+-≥⨯164-=，当且仅当4t t=，即2t =时取等号. 所以4a ≥，即实数a 的最小值为4.19.解:(1)根据题意，有+6+λμλμ=⎪⎩，解得=4=2λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故21=28n n S a +()，当*2,n n N ≥∈时有2111=28n n S a --+()， 两式相减得11()()n n n n a a a a --+-14()n n a a -=+， 又0n a >恒成立，则14n n a a --=， 所以数列{}n a 是等差数列，故42n a n =-，(2)根据题意，有()()()211212221233()1()23()a a a a a a a a a λμλμλμ⎧=+⎪+=+⎨⎪++=+⎩，因为1322a a a +=，所以可设3221a a a a d -=-=， (2)-(1)得212(2)a a a d λλμλ=++⋅ (4)， (3)-(2)得323(2)a a a d λλμλ=++⋅ (5)(5)-(4)得222d d λ=，当0d =时20a =故舍，则有212dλ=， 代入(4)式得41λμ=， 代入(1)式得12d a =，所以2222n n n S a a λλμμ=++211228n n d a a d =++， 当*2,n n N ≥∈时有211111228n n n d S a a d ---=++.两式相减得2211()2n n n a a a d -=-11()2n n a a -+-，整理得11()()0n n n n a a a a d --+--=. 又0n a >恒成立，则1n n a a d --=，所以{}n a 是等差数列.20. 解:(1) 0a >，21()(1)(1)h x ax ax x'=-++所以()h x 的单调减区间为1(0,)a 单调增区间为1(,)a+∞；(2) 22()1f x a x '=-，()f x 存在极小值点0x ，则2201a x =. 10()()f x f x =，则232311001133a x x a x x -=-，所以221011()[(x x a x x -+⋅200)3]0x x +-=代入2201a x =所以21011()(x x x x -+⋅2002)0x x +=，则21010()(2)0x x x x -+=，又10x x ≠，所以1020x x +=；(3) 0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线. 设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即000111n 2a x a x x +-=-，化简得：0021n 20a x a x +--= 设2()1n 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数.①当0a =时， 2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ②当0a <时， 22()0ax F x x-'=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-<故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时， ()F x 在(0,)+∞上恰有个零点；③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数1n y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使021n a x a+>，此时 由于21a a+>， 函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； 先证明当0a >时， 112(2)a ae a ++≥+，即证1121n(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而21n(2)21n4a +≤，由于21n41n163=< 若[2)a ∈+∞，构建函数1()1x x x ϕ=++21n(2)x -+，212()12x x x ϕ'=--=+322(2)x x x x --=+22(1)20(2)x x x x -->+ ()x ϕ在[2)+∞为增函数， ()(2)3a ϕϕ≥=121n402+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以112222(2)a aea a ++≥+=223(25)a a a +++++223a a >++，故1(1)()0a aF e-++>又(1)0F <，1(1)1a ae -++<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点.∴当0a >时， ()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线.数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲 证明:如图，连接ED .因为圆与BC 切于D ，所以BDE BAD ∠=∠. 因为AD 平分BAC ∠.所以BAD DAC ∠=∠.又DAC DEF ∠=∠，所以BDE DEF ∠=∠. 所以EF BC ∥. B.选修4-2:矩阵与变换解：（Ⅰ） 222 22M -⎢⎥=⎢⎥⎥⎣⎦，||1M =，11||M M -∴= 2222⎤⎥⎢⎢-⎢⎣⎦2222⎤⎥⎢=⎢-⎢⎣⎦.（Ⅱ）2 0N ⎡⎤=⎢⎢⎣， 22 22M -⎥=⎥⎥⎣⎦，1 11 1NM -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x y y x y '=-⎧∴⇒⎨'=+⎩22x y x x y y ''+⎧=⎪⎪⎨''-+⎪=⎪⎩代入1xy =中得：224y x ''-=. 故所求的曲线方程为: 224y x -=. C.选修4-4:坐标系与参数方程解:(I)由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=， 即22(2)4x y-+=；(Ⅱ)由直线l 的参数方程消去参数t得1)y x +=-，即40x --=. 因为圆心(2,0)C 到直线l 的距离为1d ==，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个. D.选修45:不等式选讲解:(I)由三个数的均值不等式得： (当且仅当1a b b a b-==-即1,2b a ==时取“=”号)，故有3t =. （Ⅱ）3x y z ++=，由柯西不等式得：（当且仅当2111x y z ==即63,55x z y ===时取“=”号）整理得：2(2)9x y z ++≤，即|2|3x y z ++≤. 22. 解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又2PA AD ==，(0,0,2)P ∴ ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B(0,1,1)M ∴，(2,2,0)C .(2,2,2)PC ∴=-，(0,1,1)AM =.0220PC AM ⋅=+-=，PC AM ∴⊥.设(,,)N x y z12PN NC =，求得224(,,)333N . 4480333PC AN ⋅=+-= ，AN PC ∴⊥.又PC AM ⊥且AM AN A =，PC ∴⊥面AMN .(Ⅱ)设平面BAN 的法向量为(,,)n x y z =，n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(0,2,1)n ∴=- (2,2,2)PC =-是平面AMN 的法向量， cos n ∴<，15=5||||n PC PC n PC ⋅>=. ∴二面角B AN M --的余弦值为5-. 23. 解:(1)由题意可知23,4,5X =.当23X =时，即二次摸球均摸到红球，其概率是2133211889(3)64C C P X C C ==⨯=；当24X =时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率2(4)P X ==11113554111188883564C C C C C C C C +=； 当25X =时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是1154211885(5)16C C P X C C ===. 所以随机变量2X 的概率分布如下表： (一个概率得一分不列表不扣分) 数学期望29()3464E X =⨯+3552675641664⨯+⨯=. (Ⅱ)设(3)n P X k pk =+=，0,1,2,3,4,5k =.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.- 11 -文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 则0123p p p p +++451p p ++=，012()345n E X p p p =++345678p p p +++. 103(3)8n P X p +==，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+，12336(6)88n P X p p +==+， 13427(7)88n P X p p +==+，14518(8)88n P X p p +==+. 所以，+1()n E X .7()18n E X =+. 由此可知，+17()8(()8)8n n E X E X -=-. 又135()88E X -=-，所以1357()8()88n n E X -=-.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高三年级全真模拟考试数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡．．．上相应位置上．．．．．．.1. 已知集合，，则___________.【答案】【解析】分析：根据集合交集运算法则即可得出结论.解析：集合，，.故答案为：.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2. 命题:若，则.其否命题是___________.【答案】若，则.【解析】分析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.即可得出答案.解析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.原命题为：若，则.否命题为：若，则.故答案为：若，则.点睛：写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．3. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】【解析】分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：.故答案为：.点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.4. 一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是___________.【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，再求出有1只黑球包含的基本事件个数，由此能求出有1只黑球的概率.解析：一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，基本事件的总数为，有1只黑球包含的基本事件个数，有1只黑球的概率是.故答案为：.5. 根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环，得到S的值即可.解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环.此时.故输出的S值为9.故答案为：9.点睛：解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．6. 有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为___________.【答案】31【解析】分析：根据系统抽样原理的抽样间隔相等，求出第1组抽取的数据，再求第2组抽取的产品编号.解析：据系统抽样原理，抽样间隔为.设第1组抽取数据为，则第5组抽取的产品编号为，解得.第2组抽取的产品编号为.故答案为：31.点睛：（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．7. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为___________.【答案】【解析】试题分析：设最小边为，所以另外两边为考点：余弦定理解三角形8. 已知函数若，则实数___________.【答案】或-1【解析】试题分析：由题意可将，转化为或，解得或考点：函数求值9. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为考点：圆柱的侧面积10. 在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则___________.【答案】3【解析】试题分析：不等式组所围成的区域如图所示，∵其面积为2，∴，∴C的坐标为，代入，得．考点：1．线性规划；2．基本不等式．11. 如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案即可得到.解析：已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，，即.故答案为：.点睛：双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．12. 在中，，且，为所在平面内的一点，则的最小值是___________.【答案】【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．13. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而确定m 的具体范围即可.解析：，，.①当时，恒成立，即在R上递增，若时，则.若时，则.故函数在递增，在递减，故在处取得极小值，符合题意；②当时，恒成立，即在R上递减，若时，则.若时，则.故函数在递减，在递增，故在处取得极大值，不符合题意；③当时，使得，即，但当时，即，在递减，故，即在递减，不符合题意.综上所述：m的范围是.故答案为：.点睛：求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．14. 已知数列的首项，.若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：，可得，即可得到数列为等比数列，公比为，首项为a，而不等式恒成立化为：，由，不等式化为：，分类讨论即可得出答案.解析：，，数列为等比数列，公比为，首项为a，即，不等式等式恒成立可化为：，即：当n为奇数时，，，即对且恒成立.，解得：.当n为偶数时，，，即对且恒成立.，解得：.综上所述：.故答案为：.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力.二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点.(I)求证:平面；(l)若，求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）取中点为，连接，，从而可得四边形，都为平行四边形，所以，从而即可证明；（2）因为四棱柱为长方体，，所以；因为平面，所以，从而可得所以平面，所以即可证明平面平面.解析：(1)取中点为，连接，.由已知点是中点，是的中点可以证得，四边形，都为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.(Ⅱ)因为四棱柱为长方体，，所以.因为平面，所以.因为，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面.点睛：面面垂直的证明的两种思路（1）用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．16. 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；（2）直接利用公式即可.解析：(1)由于角其终边经过点，故，..(2).则，.点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．17. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，分别为其左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，直线的斜率为-1.(I)若直线与椭圆的右准线交于点且，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（1）设，结合的坐标，代入，即可求出答案；（2）设，，，，，为钝角，，再联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到，，从而表示出，然后代入式子即可得到答案.解析：(1)，，所以，椭圆的标准方程为.(2)设，，为钝角联立直线与椭圆方程，其中整理可得:，.代入，解得：舍去）.点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．18. 某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(I)请计算小径的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.【答案】(Ⅰ)千米；(Ⅱ)；(Ⅲ)4.【解析】分析：(I) 以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，，则AB所在直线即可表示，即可求出A 点坐标，从而得出答案；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径；(Ⅲ) 因为在的正西方向，且千米，所以. 假设在时刻人所在的位置为，所以，则可表示，又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，化简即可得出答案.解析：(I)以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由千米，，可知，直线的方程为，.所以直线的方程为，令，得，所以，千米；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为 (此时点为直线与点及坐标原点之间劣弧的交点)；(Ⅲ)因为在的正西方向，且千米，所以.人从行驶到所需要的时间为(分钟)，假设在时刻人所在的位置为，则千米，所以，则.又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，即成立，所以存在，使得成立，当时，，当且仅当，即时取等号.所以，即实数的最小值为4.点睛：解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；②在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．19. 已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证:是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）根据题意，有，解得，故，再利用与之间的关系式即可求出；（2）根据题意，有，设，通过求解可得，再利用与之间的关系式即可证明.解析：(1)根据题意，有，解得，故，当时有，两式相减得，又恒成立，则，所以数列是等差数列，故，(2)根据题意，有，因为，所以可设，(2)-(1)得 (4)，(3)-(2)得 (5)(5)-(4)得，当时故舍，则有，代入(4)式得，代入(1)式得，所以，当时有.两式相减得，整理得.又恒成立，则，所以是等差数列.点睛：已知S n求a n的一般步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．20. 已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证:；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析. 【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；（2）设切点坐标是，依题意：，化简得：设，，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，接下来对a进行分析讨论即可.解析：(1)，所以的单调减区间为单调增区间为；(2)，存在极小值点，则.，则，所以代入所以，则，又，所以；(3)时，有1条切线；时，有2条切线.设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，①当时，，在上恰有一个零点1；②当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有个零点；③时，在上递减，在上递增，故在至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，函数在上必有一零点；先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，，所以在必有一零点.当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线.点睛：导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，井在答题卡指．．．．．．．．．．．．．．定区域内作答，．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21. 如图，过点的圆与切于点，且与分别交于点.已知为的平分.求证:【答案】证明见解析【解析】分析：由切线的性质知，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出.解析：证明:如图，连接.因为圆与切于，所以.因为平分.所以.又，所以.所以.点睛：主要考查的是相似三角形判定及有关性质的应用，切线的性质，比较简单.B.选修4-2：矩阵与变换22. 直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.(I)求矩阵的逆矩阵；(Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（I）求出，，即可求矩阵的逆矩阵；（Ⅱ）求出，可得坐标之间的关系，代入方程整理，即可求曲线的方程.解析：（Ⅰ），，.（Ⅱ），，代入中得：.故所求的曲线方程为:.点睛：本题给出矩阵变换，求曲线在矩阵对应变换作用下得到新的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识.C.选修4-4:坐标系与参数方程23. 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数).(I)求曲线的直角坐标方程;(I)若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3个.【解析】分析：（I）利用直角坐标与极坐标间的互化关系，进行代换即可；（Ⅱ）求出圆心坐标到直线l的距离，即可得出结论.解析：(I)由得，故曲线的直角坐标方程为：，即；(Ⅱ)由直线的参数方程消去参数得，即.因为圆心到直线的距离为，恰为圆半径的，所以满足这样条件的点的个数为3个.点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．D.选修4-5:不等式选讲24. 已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满足，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（I）由条件根据，利用基本不等式求得m的最小值t；（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得当且仅当时，，从而证得结论. 解析：(I)由三个数的均值不等式得：(当且仅当即时取“=”号)，故有.（Ⅱ），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即.点睛：利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法（1）在运用基本不等式求函数的最大(小)值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内.25. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，面，且，点分别在，，.(I)求证：面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】分析：（I）建立空间直角坐标系，用向量法解决；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值借助于面的法向量来做，即分别要找出面ABN和面AMN 的法向量.解析：(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又，，，，.，.，.设，求得.，.又且，面.(Ⅱ)设平面的法向量为，，二面角的余弦值为.点睛：运用空间向量解决立体几何问题的步骤（1）建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；（2）定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；（3）向量运算：进行相关的空间向量的运算；（4）翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解．26. 袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.(I)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；（2）设，，则则，，再把、……、用表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案.解析：(1)由题意可知.当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率；当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.所以随机变量的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望.(Ⅱ)设，.则，.，，，，，.所以，..由此可知，.又，所以.点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．。

开始 k ←0 S ←0S ＜20k ←k ＋2 S ←S ＋2kYN 输出S 结束第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ． 7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．函数()ln(13)f x x =-的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．10．已知函数()3sin()cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则(8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．A12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值 为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点． （1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A B CD D 1A 1B 1C 1M N第15题图17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． AO BCPα第17题图O P F 1 F 2 yx 第18题图（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为21222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． A BCDO· 第21（A ）图23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明； （2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 758．(2,3] 9．23102 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11AC ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//AC AC ． ……2分 又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分 又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱， 所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111AC B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分 而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分 16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理， 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以6c = ……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分 则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而2002sin()4AP α=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分 所以()l α＝400sin 200222sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++， ABCDDABCM N故所求函数为2sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分 （2）记2sin 22sin 3()(0,)8sin()4f ααπααα++==∈+， 因为22(sin cos )(22)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+-+-'=+2)24(sin cos )πααα-+=+， ……10分 由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分 列表如下：α(0,)12π12π 3(,)128ππ()f α' － 0 ＋ ()f α递减极小递增所以，当12πα=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =， 由22221c y a b+=，得2b y a =±，所以2243b a a a -==， ……2分 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以303021m --⋅=-，解得98m =-， ……8分 所以229315(0)(0)828MQ =--+-=，故221517()188r =+=. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得21r k =+，即229r k r -=±，……12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），023x =-03y = ……14分 所以(23,3)G -，(23,3)H -，所以333223PG k -==-+， 所以26731()2r ==+ 故存在满足条件的r ，且67r =……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-， 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =. 因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分 则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分 2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)022225n e ---=-≈⨯-=<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e +=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22x xx x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分 （2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分 两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k k a a d +-=-， ……6分 所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++， 依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分 当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分 由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， ……14分 当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=． 同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以25,45AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以224CD AC AD =-=． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分 矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分 此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =， 所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以1222d -==l 被曲线C 截得的弦长为22222()142-= ……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分A BCDO·22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：X0 1 2 3 P18 38 38 18…………8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22222112211212121222a b a b a b a b b b a a a a +≥⨯=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分 推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++． ……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立， 即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分 （注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++ 2222012135(21)35(21)nn n nn n C C C n C +=+++++[]212135(21)35(21)nn nn nn C C C n C +++++≥+++++ ①， …8分记01235(21)nn n n n nS C C C n C =+++++， 则1(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++， 两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n nS n C n C n C n C =++++++++， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。

盐城市2018/2018学年度高三年级第三次调研考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数2z i =，则13iz+的虚部为 ▲ . 2．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中，用分层抽样方法抽取n 名志愿者，若在A 高校恰好抽出了6名志愿者，那么n = ▲ .3．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .4．已知向量()()2,1,3,a b λ== ，若()2a b b -⊥，则λ= ▲ .5．已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ .6．在等比数列{}n a 中，若22a =-，632a =-，则4a = ▲ .7．已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 12x x f x x x =+-，则()8f π的值为 ▲ . 8．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ .9．由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为r . 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为,,a b c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .10．已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e = ▲ .11．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前20项的和为 ▲ .12．已知直线10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM OA OB =+（O 为坐标原点），则实数k = ▲ .13．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为 ▲ .第8题14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1111AC B D ⊥，,E F 分别是,AB BC 的中点.（Ⅰ）求证：//EF 平面11A BC ； （Ⅱ）求证：平面11D DBB ⊥平面11A BC .16．(本小题满分14分)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值.17．(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足*()nn n a b m N a m=∈+.（Ⅰ）若128,,b b b 成等比数列，试求m 的值；（Ⅱ）是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由.A 1B 11ABC D 1 DEF第15题18．(本小题满分16分)某广告公司为2018年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，,DE DF 是两根支杆，其中2AB =米，2(0)4EOA FOB x x π∠=∠=<<. 现在弧EF 、线段DE与线段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为(0)k k >，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. （Ⅰ）试将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？19．(本小题满分16分)已知椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，⊙M 是以2PF 为直径的圆.（Ⅰ）当⊙M 的面积为8π时，求PA 所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M 与直线1AF 相切时，求⊙M 的方程； （Ⅲ）求证：⊙M 总与某个定圆相切.D第18题·第19题20．(本小题满分16分)已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若|()|()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；（Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.盐城市2018/2018学年度高三年级第三次调研考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．（选修4—2：矩阵与变换）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2cos()3πρθ=+，它们相交于,A B 两点，求线段AB 的长．GFEDCB A （第21—A 题）D.（选修4—5：不等式选讲）求函数y .[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）已知动圆P 过点1(0,)4F 且与直线14y =-相切.（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作一条直线交轨迹C 于,A B 两点，轨迹C 在,A B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN x ⊥轴.23．（本小题满分10分）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为1P ，正面向上的次数为偶数的概率为2P . （Ⅰ）若该硬币均匀，试求1P 与2P ；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为1(0)2p p <<，试比较1P 与2P 的大小.盐城市2018/2018学年度高三年级第三次调研数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.12-2.303.13a -≤≤4.3或1-5.496.8-7.8.209.10.2 11.2101 12.0 13.414.a ≥二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．解：（Ⅰ）连接AC ，则AC ∥11AC ，而,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF ∥AC ， 则EF ∥11AC ，故//EF 平面11A BC ………………………………………………………………第22题7分（Ⅱ）因为1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥，又1111AC B D ⊥，则11AC ⊥平面11D DBB …………………………………………………………………………12分 又11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11D DBB ⊥平面11A BC ………………………………………14分16．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， 即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2s i n s i n )c o s s i n c o s 0A C B B C ++=………………4分所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1co s 2B =-，所以23B π=…………………………8分（Ⅱ）因为22222cos 3b ac ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤…………12分所以AB CB ⋅ =21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅ 的最小值为2-………………………14分17．解：（Ⅰ）因为2n S n =，所以当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-…………………………3分又当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-（*n N ∈）…………………………4分 所以2121n n b n m -=-+，则1281315,,1315b b b m m m ===+++，由2218b b b =，得23115()3115m m m=⨯+++，解得0m =（舍）或9m =，所以9m =………………………7分（Ⅱ）假设存在m ，使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列，即412t b b b =+，则712127121t m m t m -⨯=+++-+，化简得3675t m =+-…………………………………………12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时，分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意，即存在这样m ，且符合题意的m 共有9个 ……………………………………………………14分18．解：（Ⅰ）因为2EOA FOB x ∠=∠=,所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为4,2,2x x x π-…3分连接OD ，则由OD=OE=OF=1，22FOD EOD x π∠=∠=+，所以cos )DE DF x x ====+ (6)分所以2cos )4)4)y k x x x k x π=++-+2cos )2)k x x x π=+-………………………………………………9分（Ⅱ）因为由4sin )1)0y k x x '=--=………………………………………………11分解得1cos()42x π+=，即12x π= ………………………………………………………………13分又当(0,)12x π∈时，0y '>，所以此时y 在(0,)12π上单调递增；当(,)124x ππ∈时，0y '<，所以此时y 在(,)124ππ上单调递减. 故当12x π=时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………………………………16分19．解：（Ⅰ）易得())1,0(),0,1(,0,121--A F F ，设点P ()11,y x ，则212121212122)2(2121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ，所以12222x PF -=………3分又⊙M 的面积为8π，∴21)2(88-=x ππ，解得11=x ，∴)22,1()22,1(-或P ，∴PA 所在直线方程为1)221(-+=x y 或1)221(--=x y ………………………………5分（Ⅱ）因为直线1AF 的方程为01=++y x ，且)2,21(11y x M +到直线1AF 的距离为11142222|1221|x y x -=+++…………………………………………………………7分 化简，得1121x y --=，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1221212111y x x y ，解得01=x 或981-=x …………10分∴当01=x 时，可得)21,21(-M ，∴⊙M 的方程为21)21()21(22=++-y x ；当981-=x 时，可得17(,)1818M ，∴⊙M 的方程为2217169()()1818162x y -+-=………12分（Ⅲ）⊙M 始终和以原点为圆心，半径为=1r 2（长半轴）的圆（记作⊙O ）相切……13分证明：因为=++=44)1(2121y x OM 1212142228414)1(x x x +=-++，又⊙M 的半径=2r =2MF 14222x -，∴21r r OM -=，∴⊙M 和⊙O 相内切……16分（说明：结合椭圆定义用几何方法证明亦可）20．解：（Ⅰ）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=， 显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a +=“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ………………3分结合图形，得0a =或2a =………………………………………………………………………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立，即2(1)|1|x a x -≥-（*）对x R ∈恒成立， ①当x=1时，（*）显然成立，此时a R ∈ ………………………………………………………6分②当x ≠1时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21(1)1()(1)(1)|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩， 因为当x>1时，()2x ϕ>；而当x<1时，()2x ϕ>-. 所以(g x >-，故此时2a ≤-…………………………………………………………………9分综合①②，得所求a 的取值范围是2a ≤- ……………………………………………………10分（Ⅲ）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221(1)1(11)1(1)x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩,① 当1,22aa >>即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增， 且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为33a +………11分 ② 当01,22a a ≤≤≤≤即0时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +……………………………………12分 ③ 当10,02a a -≤<≤<即-2时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +……………………………………13分 ④ 当31,222a a -≤<-≤<-即-3时，结合图形可知h(x)在[2,]2a -，[1,]2a-上递减，在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且h(-2)=3a+30<, h(2)=a+30≥， 经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +……………………………………14分 ⑤ 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增， 故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0……………………………………………15分综上所述，当0a ≥时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为33a +； 当30a -≤<时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为3a +； 当3a <-时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………………………16分数学附加题部分21．A 、解：证明：连结EF ，∵B C F E ,,,四点共圆，∴ABC EFD ∠=∠………………………2分∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°，∴BAD EFD ∠+∠=180° …………………6分∴A D F E ,,,四点共圆…………8分 ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅……10分B.解：设m n M p q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2 42 0103 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦……………………5分则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪-=⎩1235m n p q =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=-⎩，即1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………………………………………………10分C.解：由，得………2分 又因为2c o s (c o s 3s i n3πρθθ=+=-，所以，2cos sin ρρθθ=，……… ……………4分由，得………8分，则AB =10分D.解：因为22y =≤22[1][12]33x x +-++=⨯… …6分∴ y ≤3 (8)=时取“=”号，即当0x =时，max 3y =…10分22.解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y =……………………4分（Ⅱ）证明：设221122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率分别为122,2x x ，故AN 的方程为21112()y x x x x -=-，BN 的方程为22222()y x x x x -=- …7分即21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减，得122x x x +=， ∴ ,M N的横坐标相等，于是M N⊥轴……………………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为12P =，所以正面向上的次数为奇数次的概率为 151515(1)(3)(15)P P P P =+++ 111143312155151515111111()()()()()222222C C C =+++= ……3分故112P P =-=21 …………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为111433121515151515(1)(1)P C p p C p p C p =-+-++ 1，0015221314141151515(1)(1)(1)P C p p C p p C p p =-+-++- 2……………………………………7分 则001511142213151515(1)(1)(1)P P C p p C p p C p p -=---+-211414115151515(1)C p p C p ++--1515[(1)](12)p p p =--=-，而102p <<，∴ 120p ->，∴ P P >21…………10分。

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅uuu r uuu r的最大值为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ． 14．设ABC ∆的面积为2，若角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ； （2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=uu u r uuu r ，求角B 的大小．17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的长度之和表示为α的函数()f α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()f α最小．A B CD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 818．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r，且2AB =，求r的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（均异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，并满足:111221222,,,,k k k k a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,k k N ≥∈），且当k 为奇数时，公差为d ；当k 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于点D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为A BCD O ·第21（A ）图极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n n n n n n N C C C C ++++++≥∈L ．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 10． 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =I ， 所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以c = (6)分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r221111cos 2222AB AB AC c cb A=+⋅=+uuu r uu u r uuu r ，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以ABCDD 1 A 1B 1C 1M N90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠， 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分 （2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+，……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a=±，所以2243b a a a-==， ……2分 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r ，所以2MA MP MF MB -=-uuu r uuu r uuu u r uuu r ，即2PA BF =uu r uuu r，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k = ……12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y = ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01xa e -==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =； ……12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022xx e +=， 此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分 20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a L 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d+=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k=时，同理可得2222222k kk a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++L ，所以21222(21)3k k a d λ+=+-， (10)分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----L ，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， (14)分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分 方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2nn n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--． ……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC == 由射影定理，得2AC AD AB=⋅，解得2AD =，所以A BPCDO·4CD =． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分 （C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=，……5分所以d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=． ……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分 22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=．……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：……8分所以，X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+． 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++L 21212()n nb b b a a a +++≥+++L L ．……4分 证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++L 21212()k kb b b a a a +++≥+++L L 成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++L L L ， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++L L L L ， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++L 2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++L L ， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521n n n n nn C C C C +++++L 2222012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +=+++++L []2012135(21)35(21)n nnnnn C C C n C+++++≥+++++LL①， ……8分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++L ，则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++L ，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++L ， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯L ，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦L ③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++L ， 所以，301213521(1)2n nn n n n n n C C C C ++++++≥L ，证毕． ……10分。

江苏省盐城市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集，集合，则___________．【答案】【解析】因为，所以2. 设复数满足（为虚数单位），则___________．【答案】2【解析】3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为___________．【答案】35【解析】由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为. 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)＝；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．4. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】为真命题，所以5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___________．【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.6. 执行如图所示的伪代码，输出的值为___________．【答案】77. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则___________．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，在双曲线中：.8. 设满足，则的最大值为___________．【答案】1【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示，由目标函数的几何意义可得，目标函数在线段AB上取得最大值，考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9. 将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为___________．【答案】【解析】由题意可得：，由诱导公式的结论可知：，取可得：.点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．10. 已知直三棱柱的所有棱长都为2，点分别为棱的中点，则四面体的体积为___________．【答案】【解析】解：，当作为三棱锥的底面时，三棱锥的高是边长为2的等边三角形的边上的高，四面体的体积为.11. 设数列的首项，且满足，与，则___________．【答案】2056【解析】由递推关系可知该数列的奇数项构成一个首项为1，公比为2的等比数列，偶数项由其前项加1而得，前20项和中：.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．12. 若均为非负实数，且，则的最小值为___________．【答案】3...【解析】由题意可知：，故：当且仅当时等号成立.13. 已知四点共面，，，，则的最大值为__________．【答案】10【解析】解：设，由题意可得：，则：，ABC构成三角形，则：，解得：，由余弦定理：，当时，取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．14. 若实数满足，则__________．【答案】二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在四棱柱中，平面底面，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意由可得平面.(2)由面面平行的判断定理，平面，则平面.试题解析：证明：（1）在四棱柱中，有.又平面，平面，所以平面. ... （2）因为平面底面ABCD，交线为，底面ABCD，且，所以平面.又平面，所以平面平面.16. 设面积的大小为，且.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合数量积的定义可得；(2) 利用(1)的结论有：，结合题意和正弦定理可得：.试题解析：解：（1）设的三边长分别为，由，得，得. 即，所以. 又，所以，故.（2）由和，得，又，所以，得①. 又，所以.在△中，由正弦定理，得，即，得②. 联立①②，解得，即.17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实践所示，是等腰梯形，米，（在的延长线上，为锐角），圆与都相切，且其半径长为100-80米，是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？【答案】当时，立柱最矮.【解析】试题分析：利用题意建立直角坐标系，得到关于的函数：，求导之后讨论函数的单调性可知时取得最值.试题解析：解：方法一：如图所示，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以直线的方程为，即.设圆心，由圆与直线相切，得，...所以.令，，则，设，. 列表如下：所以当，即时，取最小值. 答：当时，立柱最矮.方法二：如图所示，延长交于点，过点作于，则，.在中，. 在中，.所以.（以下同方法一）点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．18. 已知分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，.（1）求椭圆的离心率；...（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为，直线的横、纵截距分别为，求证：为定值. 【答案】（1）（2）（3）49【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率；(2) 由题意，，，则，结合(1)的结论可得.(3) 由（1）知椭圆方程为，圆的方程为.四边形的外接圆方程为，所以，因为点在椭圆上，则.试题解析：解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，得，解得.又，所以，解得. （2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，所以，代入椭圆的方程，解得，因为点在第一象限，所以，同理可得，，所以，由（1）知，得，所以.（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，圆的方程为①. 连接，由题意可知，，，所以四边形的外接圆是以为直径的圆，设，则四边形的外接圆方程为，即②.①－②，得直线的方程为，令，则；令，则. 所以，因为点在椭圆上，所以，所以.19. 设函数.（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①求与的值；②对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）① .②【解析】试题分析：...(1)由奇函数的定义得到关于实数a的方程，解方程可得a=0；(2)由导函数研究函数的切线可得切点为，切线的方程为，则.(3)由题意分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是．试题解析：解：（1）因为函数是奇函数，所以恒成立，即，得恒成立，. （2）① ，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，由点斜式得切线的方程为，即，故.② 当时，对任意的，都有;当时，对任意的，都有;故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，，当时,,,恒成立,所以在上递增,,故在上恒成立，符合题意.当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.20. 已知数列都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.（1）设数列分别为等差、等比数列，若，，，求；（2）设的首项为1，各项为正整数，，若数列是等差数列，求数列的前项和；（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）或. （3）首项，公差的等差数列符合题意.【解析】试题分析：...(1)由题意可得；(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 数列的前项和或.(3) 存在等差数列，只需首项，公差.利用题中的结论可证得此命题成立.试题解析：解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，，解得或，因数列单调递增，所以，所以，，所以，. 因为，，，，所以. （2）设等差数列的公差为，又，且，所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.当时，解得，不满足各项为正整数；当时，，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；当时，，此时，只需取，由，得，是奇数，是正偶数，有正整数解，所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 综上所述，数列的前项和或.（3）存在等差数列，只需首项，公差.下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，即成立.由，.所以首项，公差的等差数列符合题意.点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题. （在四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）21. A．（选修4-1：几何证明选讲）已知是圆两条相互垂直的直径，弦交的延长线于点，若，，求的长.【答案】【解析】试题分析：利用题意由割线定理和勾股定理列方程可求得.试题解析：...解：设半径为r，由切割线定理，得即，在三角形DOF中，由勾股定理，得，即.由上两式解得.22. B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线：，求曲线的方程. 【答案】【解析】试题分析：利用变换矩阵求得变换为，据此可得的方程为.试题解析：设曲线C上任一点为（x,y），经过变换T变成，则，即 .又，得 .23. C.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求的值. 【答案】1【解析】试题分析：化简为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得半径.试题解析：解：由题意得，直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.则直线和曲线相切，得.24. D．（选修4-5：不等式选讲）已知为正实数，且，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：利用题中不等式的特点写出三个不等式，将不等式相加即可得到结论. 试题解析：证：因为，所以由基本不等式，得. 三式相加，得.又，所以. （第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）25. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且平面....（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.【解析】试题分析：利用题意建立空间直角坐标系，据此可得：(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.试题解析：解：因为，作AD边上的高PO，则由，由面面垂直的性质定理，得，又是矩形，同理，知,，故.以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线y轴，建立如图所示的坐标系，则，连结AC交BD于点N，由，所以，又N是AC的中点，所以M是PC的中点，则，设面BDM的法向量为，，，得，令，解得，所以取.（1）设PC与面BDM所成的角为，则，所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）面PAD的法向量为向量，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为，则，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.26. 一只带中装有编号为1,2,3，…，的个小球，，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为，如，或4，或4或5，记的数学期望为.（1）求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得，(2)利用题意归纳推理并进行证明可得...试题解析：解：（1）的概率分布为：则.的概率分布如下：则.(2) 方法一：，………………6分方法二：得猜想. 下面用数学归纳法证明.证明：①时猜想显然成立；...②假设时猜想成立，即，则，当时即时命题也成立.综上①②，对一切猜想都成立.。

江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________．6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx的取值范围为▲________．7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S(第4题图)(第3题图)①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________． 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________．13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b a ＋2c的最小值为▲________．14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．17．(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(第15题图)(第16题图)AC BMDEP (第17题图)（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数． （1）若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +22]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．20．(本小题满分16分)若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”．（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； （2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n}的通项公式．(第18题图)南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中， AC ＝12AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，求证：CM 是∠ACB 的平分线．(第21A 题图)B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2． （1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．(第22题图)23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A nn ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2．5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， (2)分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． (4)分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ………………………………6分又因为β为锐角，所以cos β＝1314． (8)分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， (10)分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． ……………………………12分因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． (14)分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．因为P A ＝6，所以PE 2＋AE 2＝P A 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，所以PD ∥OM ， (9)分所以PM PC ＝DODC． (11)分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ， 所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23． (14)分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，(图1)OB PACMDE (图2)PAM DEC B N所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC ． ………………………………11分因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． ………………………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． (2)分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． (4)分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD ，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， (6)分且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， (8)分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． (12)分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分18．(本小题满分16分)解（1）离心率e ＝c a ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， …………………………………2分所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1， 所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， (6)分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． (8)分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， (10)分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 (12)分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． …………………………………16分解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， …………………………………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ……………………………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 ＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ……………………………………12分 若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →⋅NB →＝12． ……………………………………14分 当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分 当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………………………4分（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． (8)分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． (9)分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． (10)分h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]，因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0，所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h (a2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． (12)分设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6， 当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减； 当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， (14)分因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)， 所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． (16)分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分（2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |． 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |． (6)分①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分 （3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分所以AB AC ＝BNMN ． ………………………………6分又因为AC ＝12AB ，所以BNMN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分 设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，………………………………6分 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2.所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． (4)分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， (6)分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……………………………10分解法二 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分 所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2，即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9(a ＋b ＋c )． ……………………………4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2≤9， ……………………………6分所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立．所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p2＋1＝2，所以p ＝2. (3)分（2）解法一 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． (4)分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎨⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． (6)分 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， (8)分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m )|＝16． ……………………………10分解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分 又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分） 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1An －inx (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1An －i n×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !， 所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 下面用数学归纳法证明： 当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kAk ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －ik x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1) ＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A kk ]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }． ……………………………10分。

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差：2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ．条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ． 8．函数()ln(1f x =的定义域为 ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ．10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈， 则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为 ． 13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值 为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A BCD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出rAO BCPα第17题图若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()x g x ae x pa =--，,a p R ∈． （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()x h x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<．（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．A BCDO·第21（A ）图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．31011．12n - 12．1327 13．答案：3(,]4-∞-14．答案：二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11AC ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中， 因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ， 所以11A ACC 为平行四边形，所以11//AC AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点， 所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分 又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱， 所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111AC B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====， 所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+ABCDDABCM N221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分 则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+400sin sin()4OP απα=+．……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为()sin()4l αα=+3(0,)8πα∈． ……6分 （2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-+=+， ……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=．……12分 列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值． 答：当12πα=时，()l α最小． ……14分 18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a =±，所以2243b a a a-==， ……2分 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分（2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分 因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以303021m --⋅=-，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k =……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =- 所以0y……14分所以(G -，H，所以PG k ==，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且r =……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10x x ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-，…6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分 ②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=，00220xe x --=， 设()22x n x e x =--，……………… 10分则()21x n x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-， 故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e --=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e+=， 此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． (16)分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=．……2分 （2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k ka a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k ka a d +-=-， ……6分 所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-，所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列．……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分 当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分 由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--，……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n nn n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分 方法二：由题意知，2311231222222n n nn n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分 当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=． 同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈．…12分 ①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=， 所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==， 由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==．…10分 （B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2．……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =， 所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分 （C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=， 得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==l 被曲线C截得的弦长为=……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27．……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，A BCDO·311(3)()28P X ===．故X…………8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……10分 23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b ab =时等号成立．…2分推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++．……………………………4分 证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时， 有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立．……6分 （注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nnn C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n n n C C C n C +++++≥+++++ ①，…8分 记01235(21)nn n n n nS C C C n C =+++++， 则10(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++， 两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n nS n C n C n C n C =++++++++， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③， 将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2nnn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕．……10分。

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ． 4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ． 5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既 不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物 线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲． 8．函数()ln(13)f x x =-的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 884AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ． 14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值 为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．ABCD D 1A 1B 1C 1MN 第15题图17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得G 出r 的值；若不存在，请说明理由．AO BCPα第17题图19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）A BCD O ·第21（A ）图某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 1011．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ，所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分 16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理， 得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以6c =……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，A BCDDABCM N即400sin sin sin()44APOP ππαα==+，从而sin()4AP πα=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分 （2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-+=+， ……10分 由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分 列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b+=，得2b y a =±，所以2243b a a a -==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ，……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分 所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M相切，得r =，即k =12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-0y = (14)分所以(G -，H，所以2223PG k ==-+，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分 19．解：（1）()1xg x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-， 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， (6)分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =， 由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22x n x e x =--， (10)分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-， 故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e+=，此时由0()0h x =，得0000022(1)(1)22x x x x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-， 又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． (2)分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k ka a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k ka a d +-=-， ……6分 所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分 当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--，由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--， 依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， ……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--，由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， (10)分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠，所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==． (10)分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分 （C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==，所以直线l 被曲线C截得的弦长为=． (10)A BCDO·分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===， 即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分 （2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为： (8)分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++． ……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立； 当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++，故2222112121kk k k b bb b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分 （注：推广命题中未包含1n =的不扣分） （2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nnn C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n n n C C C n C +++++≥+++++ ①， …8分 记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++，则1(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++，012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2nnnn nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ． 7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛 物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则(8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值 为▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点． （1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长； （2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A B CD D 1A 1B 1C 1M N第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7817．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值； ②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．AO BCPα第17题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈． A BCDO· 第21（A ）图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 1011．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分 又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分 又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分 而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分 故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = ……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分 则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠， 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP πα=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分 所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA απαα++=+=+++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记3()(0,)8sin()4f πααα==∈+，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+， ……10分 由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：所以，当12πα=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b+=，得2b y a =±，所以2243b a a a -==， ……2分 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，ABCDDABCM N所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分 因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以303021m --⋅=-，解得98m =-，……8分 所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k =12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006xy =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-0y ……14分所以(G -，H，所以332PG k -==， 所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分 19．解：（1）()1xg x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-， 得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =. 因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==，故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分 ②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e--=，00220x e x --=，设()22x n x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-， 故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分 2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220x e x --=，故0022xx e +=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22x xx x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k ka a d +-=-， ……6分 所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分 由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k ka a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k ka d d λ+-=--， ……14分 当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ， 所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分 ①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=， 所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分 此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分 （C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==，所以直线l 被曲线C截得的弦长为=． ……10分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分A BCDO·（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：…………8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+． 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a ba a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分 推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++． ……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立， 即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立， 则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n nnn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n n n n C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +++++≥+++++ ①， …8分 记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++，则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++，012(22)()(22)2n n n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22nn nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++， 所以，301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。