2012年浙江省高中数学竞赛试题及答案(word版本)

2013年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3． 已知等比数列{an }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。

A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）A. 20B. 22C. 24D. 25,7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。

A.4B. 6C. 7 D 88. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。

A.9. 设函数2()(1)(f x x x x =--(y f =） A.0x = B. 1x = C. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩A.1()2h x x =- B.C.1()2h x x =-+ D.()2h x x =+正视图：正方形 2二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）11. 若1tan tan 2,sin sin 3x y x y ==，则x y -=________________。

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+〔0x >〕的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．假设正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．假设对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．〔用最简分数表示〕二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.〔本小题总分值16分〕已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ 〔1〕假设对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； 〔2〕假设2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.〔本小题总分值20分〕已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++〔1〕当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;〔2〕是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-假设存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由．11.〔本小题总分值20分〕如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．〔1〕求证：||||OA OC ⋅为定值；〔2〕当点A 在半圆22(2)4x y -+=〔24x ≤≤〕上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、〔此题总分值40分〕如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

1赵熠波杭州高级中学高三杭州二等奖2吴 瀚杭四中高三杭州二等奖3朱鑫洋杭四中高三杭州二等奖4陆晨飞杭十四中高三杭州二等奖5张 弛杭四中高三杭州二等奖6库筱含杭四中高三杭州二等奖7吴文琦杭四中高三杭州二等奖8何诗羽杭四中高三杭州二等奖9蒋霄霖杭十四中高三杭州二等奖10杨珊琦浙江大学附属中学高三杭州二等奖11程雨晴浙江大学附属中学高三杭州二等奖12汪雅敏汾口中学高三杭州二等奖13黄晓鸣浙江大学附属中学高三杭州二等奖14朱安迪长河高中高三杭州二等奖15陈建宝杭四中高三杭州二等奖16谢富炎杭四中高三杭州二等奖17朱川琦杭四中高三杭州二等奖18章夏瑶杭十四中高三杭州二等奖19王逸辉杭十四中高三杭州二等奖20陈德强杭十四中高三杭州二等奖21陆玮杭十四中高三杭州二等奖22王昕杭十四中高三杭州二等奖23钱川远长兴中学高三湖州二等奖24陈 栋德清一中高三湖州二等奖25张 帆长兴中学高三湖州二等奖26吴 天长兴中学高三湖州二等奖27杨喆毅长兴中学高三湖州二等奖28郑 涛长兴中学高三湖州二等奖29王熠辰长兴中学高三湖州二等奖30李 岢德清一中高三湖州二等奖31范月丹长兴中学高三湖州二等奖32石天鹏长兴中学高三湖州二等奖33叶璋湖州二中高三湖州二等奖34沈珺莲长兴中学高三湖州二等奖35周志超长兴中学高三湖州二等奖36王坤湖州二中高三湖州二等奖37朱咖喱菱湖中学高三湖州二等奖38徐少阳长兴三中高三湖州二等奖39王晓超浦江三中高三金华二等奖40蒋明明浦江二中高三金华二等奖41吴易成浦江三中高三金华二等奖42何樊利浦江三中高三金华二等奖43刘俊恺义乌中学高三金华二等奖44马文捷义乌中学高三金华二等奖45潘浩腾金华外国语高三金华二等奖46王健果东阳外国语高三金华二等奖47邵胜东阳南马高中高三金华二等奖48翁雪婷东阳南马高中高三金华二等奖50张凯达浙师大附中高三金华二等奖51吴江雪义乌中学高三金华二等奖52龚焌飞义乌二中高三金华二等奖53骆春廷义乌二中高三金华二等奖54盛高鸿兰溪五中高三金华二等奖55陈俊辉东阳外国语高三金华二等奖56金国斌东阳外国语高三金华二等奖57马力凡东阳外国语高三金华二等奖58方江宇东阳外国语高三金华二等奖59厉雪媛东阳南马高中高三金华二等奖60舒鑫宁东阳南马高中高三金华二等奖61陈波东阳南马高中高三金华二等奖62董威立东阳南马高中高三金华二等奖63王江阳东阳六石高中高三金华二等奖64贾旭瑞浙师大附中高三金华二等奖65吴宇璜武义一中高三金华二等奖66姚以超兰溪五中高三金华二等奖67赵梦舟金华外国语高三金华二等奖68卢金丽东阳外国语高三金华二等奖69钟俊轩东阳外国语高三金华二等奖70何东航东阳南马高中高三金华二等奖71邢凯翔浙师大附中高三金华二等奖72陈佳斌义乌二中高三金华二等奖73王尔泰金华外国语高三金华二等奖74郑睿金华汤溪中学高三金华二等奖75张世有金华汤溪中学高三金华二等奖76金浩亮浙师大附中高三金华二等奖77何文俊浙师大附中高三金华二等奖78张早义乌二中高三金华二等奖79卢至寅兰溪兰荫中学高三金华二等奖80杜成波金华外国语高三金华二等奖81马俊海东阳南马高中高三金华二等奖82朱之昂义乌中学高三金华二等奖83陈哲豪浙师大附中高三金华二等奖84徐泽帆浙师大附中高三金华二等奖85唐晓浪浙师大附中高三金华二等奖86楼彤永康明珠学校高三金华二等奖87胡燕妃永康古丽中学高三金华二等奖88熊华清义乌中学高三金华二等奖89李弘南义乌中学高三金华二等奖90丁上男义乌中学高三金华二等奖91周志威义乌三中高三金华二等奖92陈挺义乌大成中学高三金华二等奖93陈春燕磐安中学高三金华二等奖94黎玄亭兰溪五中高三金华二等奖95钟俊祥兰溪兰荫中学高三金华二等奖96吴凯达兰溪兰荫中学高三金华二等奖97王棋俊金华六中高三金华二等奖98俞天成东阳外国语高三金华二等奖100邵刚强东阳南马高中高三金华二等奖101马曹位东阳南马高中高三金华二等奖102郭明东阳横店高中高三金华二等奖103郁佳明慈溪市浒山中学高三宁波二等奖104李羽瑕余姚中学高三宁波二等奖105俞敏杰镇海区龙赛中学高三宁波二等奖106周上楠余姚中学高三宁波二等奖107邬丹余姚中学高三宁波二等奖108徐军权余姚中学高三宁波二等奖109刘何聪余姚中学高三宁波二等奖110邹淇炀余姚中学高三宁波二等奖111黄淑文余姚中学高三宁波二等奖112徐燊余姚中学高三宁波二等奖113诸凯丽余姚中学高三宁波二等奖114王戎余姚中学高三宁波二等奖115熊均达余姚中学高三宁波二等奖116裘焱枫余姚中学高三宁波二等奖117方舟滔余姚中学高三宁波二等奖118卢未未余姚中学高三宁波二等奖119徐可添余姚中学高三宁波二等奖120徐飞行余姚中学高三宁波二等奖121黄蕾余姚中学高三宁波二等奖122方钰明余姚中学高三宁波二等奖123高丕基余姚中学高三宁波二等奖124张天桢余姚中学高三宁波二等奖125郑益昂宁波三中高三宁波二等奖126张柯挺余姚中学高三宁波二等奖127邵琳惠余姚中学高三宁波二等奖128蔡洋余姚中学高三宁波二等奖129吴奕天余姚中学高三宁波二等奖130徐曹狄余姚中学高三宁波二等奖131郑浩捷余姚中学高三宁波二等奖132杨贝余姚中学高三宁波二等奖133陈海鹏余姚中学高三宁波二等奖134桂旭宇余姚中学高三宁波二等奖135郑思远余姚中学高三宁波二等奖136柏啸天余姚中学高三宁波二等奖137梁超余姚中学高三宁波二等奖138赵栋升余姚中学高三宁波二等奖139陈晨余姚中学高三宁波二等奖140姚文婕宁波中学高三宁波二等奖141李孟寅余姚高风中学高三宁波二等奖142卢沛锋慈溪市育才中学高三宁波二等奖143戎泽慈溪市慈中书院高三宁波二等奖144阮涛余姚二中高三宁波二等奖145陈佳云余姚四中高三宁波二等奖146王炜荣慈溪市育才中学高三宁波二等奖147岑开宇慈溪市育才中学高三宁波二等奖148章柯成余姚高风中学高三宁波二等奖150陈伊娜慈溪市育才中学高三宁波二等奖151胡夏天慈溪市育才中学高三宁波二等奖152邹钰佳慈溪市育才中学高三宁波二等奖153孙田慈溪市育才中学高三宁波二等奖154李童济嵊州中学高三绍兴二等奖155沈乐乐嵊州中学高三绍兴二等奖156王秉诚新昌中学高三绍兴二等奖157章晓聪新昌中学高三绍兴二等奖158赵虎彪绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖159吕天行新昌中学高三绍兴二等奖160刘启东绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖161杨昕宇绍兴市稽山中学高三绍兴二等奖162钱佳佳绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖163梁楷彬新昌中学高三绍兴二等奖164童炜豪嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖165张国林绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖166赵雨绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖167张 聪嵊州中学高三绍兴二等奖168俞祎康新昌中学高三绍兴二等奖169袁卓妮嵊州中学高三绍兴二等奖170王少鹏嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖171汤嘉卿绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖172翁银娣绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖173陈威新昌中学高三绍兴二等奖174相 烨嵊州中学高三绍兴二等奖175韩懂嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖176赵亦峰绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖177王安新昌中学高三绍兴二等奖178屠聪为嵊州中学高三绍兴二等奖179王益峰新昌中学高三绍兴二等奖180沈威豪新昌中学高三绍兴二等奖181梁夏风新昌中学高三绍兴二等奖182商晓波嵊州中学高三绍兴二等奖183姜源聪嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖184丁潇绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖185梁丰研新昌中学高三绍兴二等奖186何嘉辉新昌中学高三绍兴二等奖187赵彬超新昌中学高三绍兴二等奖188缪凯燕绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖189王超超嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖190马沈添嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖191冯莎莎绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖192许增栋绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖193王之晗新昌中学高三绍兴二等奖194章令杰嵊州中学高三绍兴二等奖195蒋宏炜绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖196陈郁森新昌中学高三绍兴二等奖197梁泂航新昌中学高三绍兴二等奖198赵 依嵊州中学高三绍兴二等奖200严灿路绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖201王佳莹绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖202盛校燚新昌中学高三绍兴二等奖203陈炜嵊州市马寅初中学高三绍兴二等奖204俞祎波绍兴县柯桥中学高三绍兴二等奖205郭璐炜私立诸暨高级中学高三绍兴二等奖206夏瑞鹏私立诸暨高级中学高三绍兴二等奖207马世泷绍兴市高级中学高三绍兴二等奖208潘芦超新昌县澄潭中学高三绍兴二等奖209骆鼎诸暨市天马学校高三绍兴二等奖210陈威焕诸暨市荣怀学校高三绍兴二等奖211楼汝森诸暨市荣怀学校高三绍兴二等奖212茹智阳绍兴市高级中学高三绍兴二等奖213俞炜绍兴市高级中学高三绍兴二等奖214严程林私立诸暨高级中学高三绍兴二等奖215周雨晨绍兴市稽山中学高三绍兴二等奖216竹泽石嵊州市爱德外国语学校高三绍兴二等奖217朱权喜绍兴县鉴湖中学高三绍兴二等奖218何建莹绍兴市高级中学高三绍兴二等奖219徐浩绍兴市高级中学高三绍兴二等奖220金飞峰诸暨市牌头中学高三绍兴二等奖221周竟成诸暨二中高三绍兴二等奖222傅程奇私立诸暨高级中学高三绍兴二等奖223袁伟鹏嵊州市爱德外国语学校高三绍兴二等奖224陈璐霞仙居中学高三台州二等奖225朱锦栋仙居中学高三台州二等奖226张丁元仙居中学高三台州二等奖227吴晓波仙居中学高三台州二等奖228潘敏建仙居中学高三台州二等奖229尹智斌仙居中学高三台州二等奖230齐一锭仙居中学高三台州二等奖231陈钢峰仙居中学高三台州二等奖232张武杰仙居中学高三台州二等奖233应凯翔仙居中学高三台州二等奖234王燚焱仙居中学高三台州二等奖235娄燊锴仙居中学高三台州二等奖236郭 正仙居中学高三台州二等奖237陈 磊仙居中学高三台州二等奖238曹韵涛仙居中学高三台州二等奖239吴智涛仙居中学高三台州二等奖240潘力丞仙居中学高三台州二等奖241泮启明仙居中学高三台州二等奖242林立志仙居中学高三台州二等奖243张绮睿仙居中学高三台州二等奖244杨志超仙居中学高三台州二等奖245王诗惠仙居中学高三台州二等奖246李一飞仙居中学高三台州二等奖247郭 诤仙居中学高三台州二等奖248方 展仙居中学二等奖250王渊文仙居中学高三台州二等奖251朱碧秀仙居中学高三台州二等奖252郑怡沁仙居中学高三台州二等奖253张雄健仙居中学高三台州二等奖254张 杰仙居中学高三台州二等奖255王懿强仙居中学高三台州二等奖256泮剑涛仙居中学高三台州二等奖257陈丽红仙居中学高三台州二等奖258周楚丁仙居中学高三台州二等奖259顾咏哲仙居中学高三台州二等奖260戴杨杨仙居中学高三台州二等奖261张钰莹仙居中学高三台州二等奖262杨泽群仙居中学高三台州二等奖263泮佳敏仙居中学高三台州二等奖264李 平仙居中学高三台州二等奖265陈桂林仙居中学高三台州二等奖266吴立帅仙居中学高三台州二等奖267王俊华仙居中学高三台州二等奖268陈丹萍仙居中学高三台州二等奖269王宇腾仙居中学高三台州二等奖270王炜涛天台平桥中学高三台州二等奖271王 智台州市书生中学高三台州二等奖272张 凌台州市第一中学高三台州二等奖273许挺挺台州市第一中学高三台州二等奖274陈广祥台州市第一中学高三台州二等奖275徐静娴台州市第一中学高三台州二等奖276喻湄霁台州市第一中学高三台州二等奖277吴 旻台州市第一中学高三台州二等奖278包泮情三门中学高三台州二等奖279张林娅蓬街私立中学高三台州二等奖280胡宇炜玉环县玉城中学高三台州二等奖281李 琳玉环县玉城中学高三台州二等奖282洪世杰玉环县玉城中学高三台州二等奖283苏光旭玉环县楚门中学高三台州二等奖284张晓烨天台平桥中学高三台州二等奖285应宇凡台州市第一中学高三台州二等奖286何广耀台州市第一中学高三台州二等奖287王 贲台州市第一中学高三台州二等奖288施华峰台州市第一中学高三台州二等奖289刘贝贝三门中学高三台州二等奖290阮育鹏黄岩二高高三台州二等奖291卢丹霞三门中学高三台州二等奖292陈智杰三门中学高三台州二等奖293林 秦三门中学高三台州二等奖294王 磊仙居县宏大中学高三台州二等奖295麻惠芬仙居县城峰中学高三台州二等奖296周冰洁三门中学高三台州二等奖297陈璘涵玉环县玉城中学高三台州二等奖298葛林馨台州市书生中学高三台州二等奖300乔 乾台州市第一中学高三台州二等奖301戴晓枭台州市第一中学高三台州二等奖302戴君义三门中学高三台州二等奖303楼可列三门中学高三台州二等奖304钱俊江临海市大田中学高三台州二等奖305王仁超玉环县玉城中学高三台州二等奖306管秀清玉环县玉城中学高三台州二等奖307陈腾超玉环县玉城中学高三台州二等奖308叶晗姗玉环县玉城中学高三台州二等奖309洪克华玉环县玉城中学高三台州二等奖310张 鑫玉环县楚门中学高三台州二等奖311陈德平仙居县宏大中学高三台州二等奖312杨芳芳天台育青中学高三台州二等奖313章筱霞天台育青中学高三台州二等奖314庞柳杰天台育青中学高三台州二等奖315杨 涛天台育青中学高三台州二等奖316江俊辉天台育青中学高三台州二等奖317余 凯天台平桥中学高三台州二等奖318张汉强天台平桥中学高三台州二等奖319蔡富裕天台平桥中学高三台州二等奖320曹英芝台州市第一中学高三台州二等奖321林欣洁台州市第一中学高三台州二等奖322王希芝台州市第一中学高三台州二等奖323陈绍奇台州市第一中学高三台州二等奖324黄宇琛台州市第一中学高三台州二等奖325杨 凯台州市第一中学高三台州二等奖326黄 丰台州市第一中学高三台州二等奖327戴玲肖台州市第一中学高三台州二等奖328管沛宁台州市第一中学高三台州二等奖329赖钊钊三门中学高三台州二等奖330刘 静三门中学高三台州二等奖331章文文三门中学高三台州二等奖332王 舜三门中学高三台州二等奖333江蓬宇蓬街私立中学高三台州二等奖334彭海鹏黄岩二高高三台州二等奖335卢光汇泰顺中学高三温州二等奖336林赞甜泰顺中学高三温州二等奖337陶珊珊泰顺县育才高级中学高三温州二等奖338吴剑驰泰顺中学高三温州二等奖339包松乐泰顺中学高三温州二等奖。

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（每题5分，共50分）1．已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面QPS 无关的常数3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx=（ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+34．已知=(cos32π, sin 32π), -=, +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．21C ．2D ．23 5．过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程log bx=log b (4x-4)的根，则△ABC （ ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） A. 3x >或2x < B. 2x >或1x < C. 3x >或1x < D. 13x <<二、填空题（每题7分.共49分）11．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.12．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.13．设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________.15．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为__________.16．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式球体的面积公式 S=4πR 2球的体积公式 V=43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式V=121()3h S S +其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 如果事件A,B 互斥 ，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则 P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2} 【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。

【解析】Q{3，4，5}，∴C U Q={1，2，6}，∴ P ∩（C U Q ）={1，2}. 2. 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。

【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+.3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 3【答案】C【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150分，考试时间120分钟.选择题部分(共50分)参考公式： 球的表面积公式 s = 4 n 2球的体积公式 4 3V = T R 33其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 1 V = Sh3其中S 表示锥体的底面积, 柱体的体积公式 V = Sh其中S 表示柱体的底面积, 台体的体积公式 V = 1h(S 1 + .S3 + S 2)3其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积. h 表示台体的高如果事件A , B 互斥，那么P(A + B) = P(A)+ P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率 P n (k) = c n p k (1 - P)旷k (k = 0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 U = {123,4,5,6}，集合 P = {1,2,3,4} , Q = {3,4,5}，贝U P n u Q)=( )A . {1,2,3,4,6}B . {1,2,3,4,5}C . {1,2,5}D . {1,2}3 i2. 已知i 是虚数单位，则 ( )1 iA . 1-2iB . 2-iC . 2+ iD . 1 + 2i3.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )h 表示锥体的咼h 表示柱体的高A ．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm34. 设a € R，则“ a = 1” 是“直线li: ax+ 2y—1 = 0 与直线I2： x + (a+ 1)y+ 4= 0 平行”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分也不必要条件5. 设I是直线，a， B是两个不同的平面，()A .若I // a, I // 贝U all 3B .若I // a, I 丄3,贝V a丄3C .若a丄3, I丄a, 贝V I丄3D .若a丄3, I / a ,贝V I丄36. 把函数y= cos2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 然后向左平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位长度得到的图象是( )7. 设a b 是两个非零向量( )A .若|a+ b|= |a|—|b| ,贝U a丄bB .若a丄b,则|a+ b|= |a|—|b|C. 若|a+ b|=|a|—|b| ,则存在实数入使得b =七D. 若存在实数入使得b= ,则|a + b|= |a|—|b|8. 如图中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点M N 是双曲线的两顶点.若2M , O , N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A. 3 B . 2 C . ■ 3D . 29. 若正数x , y 满足x + 3y = 5xy ,则3x + 4y 的最小值是（24 28A.B .C . 5D . 65510 .设a >0, b >0, e 是自然对数的底数( )A .若 e a + 2a = e b + 3b ，贝U a >b B. 若 e a + 2a = e b + 3b ,贝V a v b C. 若 e a — 2a = e b — 3b ,则 a >b D. 若 e a — 2a = e b — 3b ，贝U av b非选择题部分（共100分）、填空题：本大题共 7小题，每小题4分，共28分.11.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取 一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ______________________________________________ .12 .从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机 距离为迈的概率是13 .若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（等可能）取两点，则该两点间的x y 10,x y 20,14 .设z= x+ 2y，其中实数x，y满足则z的取值范围x0,y0,uuu umr15. 在厶ABC 中，M 是BC 的中点，AM = 3, BC = 10,贝U AB AC ____________ .16. 设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x€[ 0,1 ]时，f(x)= x+ 1,则f(3)217. ____________ 定义：曲线C上的点到直线I的距离的最小值称为曲线C到直线I的距离.已知曲线C1：y= x2+ a到直线I: y= x的距离等于曲线C2 : x2+ (y+ 4)2= 2到直线I: y= x的距离，贝y实数a= ___________ .三、解答题：本大题共5小题，共72分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA = ■■. 3 acosB.(1) 求角B的大小；(2) 若b = 3，sinC= 2sinA，求a，c 的值.19. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且3= 2n2+n，n € N*，数列｛b n｝满足a n = 4log2b n + 3，n € N*.(1)求a n，b n；⑵求数列｛a n b n｝的前n项和T n.20. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，AD // BC ,AD丄AB, AB . 2，AD =2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明：① EF // A1D1；②BA1丄平面B1C1EF ;⑵求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.21. 已知a € R，函数f(x)= 4x3—2ax+ a.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 证明：当0W x w 1 时，f(x)+ |2 —a|>0.122. 如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，-)到抛物线C：y2=2px(p> 0)的准线的距离25为三.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.4⑴求p, t的值；(2)求厶ABP面积的最大值.【自选模块】3. “数学史与不等式选讲”模块(10分)已知a€ R，设关于x的不等式|2x—a|+ |x+ 3|> 2x+ 4的解集为A.(1) 若a = 1，求A;(2) 若A = R，求a的取值范围.4. “矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)x= 2 + tcos ,在直角坐标系xOy中，设倾斜角为a的直线I: _ (t为参数)与曲线C:y=V3+ tsinx=2cos ,(B为参数)相交于不同两点A, B .y= sinn(1) 若一，求线段AB中点M的坐标；3(2) 若|PA| |PB|= |0P|2，其中P(2,. 3),求直线I 的斜率.1. D 由已知得，-U Q = {1,2,6},所以P n C-U Q)= {1,2}.3 i (3 i)(1 i) 3+3i+i+i 2 2 4i2. D •/ 1 2i ,1 i (1 i)(1 i)2 2•••选 D .13. A 由三视图得，该三棱锥底面面积S= x 2 x 1= 1(cm2)，高为3 cm,由体积公1 1 3式，得v= _ Sh= - x 1x 3 = 1(cm3).3 34. A l1与l2平行的充要条件为a(a+ 1)= 2 x 1且a x 4丰1 x (—1)，可解得a = 1或a =—2,故a= 1是11 // l2的充分不必要条件.5. B A项中由I // a l // B不能确定a与B的位置关系，C项中由a丄B, I丄a可推出l // B或I B, D项由a丄B, l // a不能确定I与B的位置关系.6. A y= cos2x+ 1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y i= cosx+ 1,再向左平移1个单位长度得y2 = cos(x+ 1)+ 1,再向下平移1个单位长度得y3= cos(x+ 1)，故相应的图象为A项.7. C 由|a+ b|=|a|—|b|两边平方可得，|a|2+ 2a b + |b|2= |a|2-2|a||b|+ |b|2,即卩 a b=-ai|b|，所以cos < a, b>=- 1,即卩a与b反向，根据向量共线定理，知存在实数入使得b =?a.8. B 由题意可知椭圆的长轴长2a1是双曲线实轴长2a2的2倍，即a1= 2a2,而椭圆与双曲线有相同的焦点.c故离心率之比为a虫2.c a2a1.1 3 .9. C - x+ 3y = 5xy, - - 1 .5y 5x1 3••• 3x+ 4y= (3x+ 4y)x 1 = (3x+ 4y)5y 5x=空9 4 12y 13 2(3x 12y 55y 5 5 5x 5 ■. 5y5x3x 12v 1当且仅当，即x= 1, y —时等号成立.5y 5x 210. A 函数y= e x+ 2x为单调增函数，若e a+ 2a = e b+ 2b，则a= b;若e a+ 2a= e b+3b, • a> b.故选A .11. 答案：160解析：根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为560280560 420212. 答案：-52解析：五点中任取两点的不同取法共有C5=10种，而两点之间距离为4 2故概率为一10 5113. 答案： -120解析:当i = 1 时，T = 1= 1,1当i = 2时，T1，当!1i = 3 时，T 231 r6，当i= 4160 .-的情况有42种,1丄时，T61当i = 5时，T1，当i = 6时,结束循环，输出T —.4245120120 14答案：［0, j :解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分，结合图象知，0点，C 点分别使目标函数取得最小值、最大值，代入得最小值为 0,最大值为7.215. 答案：—16uur ULUT uuuu uuir UUUU uuun UUUU ULUU UULU UUUU LULT解析：AB -AC = (AM + MB )(・AM + MC )= AM + AM -MC + AM MB + LULT UUUT UUUU UULT UUUU UUUU UULT UULUMB MC = |AM |2 + ( MB + MC )AM + | MB ||MC |cos n — 25=— 16.…316. 答案：一2 3 311 f (¥) f(3 2) f( -)f(-)2 22 2…917.答案：一4物线y = x 2 + a 开口向上，所以 y = x 2 + a 与y = x + 2相切，可求得 a18.解：(1)由bsinA = ------- 3 acosB 及正弦定理si nA 得 sinB =、、3 cosB ,所以tanB = --3，所以B —.3 a c⑵由 sinC = 2sinA 及，得 c = 2a .si nA si nC由 b = 3 及余弦定理 b 2= a 2 + c 2— 2accosB ,解析: 4解析：x 2+ (y + 4)2= 2到直线y = x 的距离为 一-距离为、、2，而与y = x 平行且距离为.2的直线有两条，分别是、2 、、2，所以 y = x 2+ a 到 y = x 的y = x + 2 与 y = x — 2,而抛b si nB得9 = a2+ c2—ac.所以a , c 2、3 .19. 解：(1)由S n = 2n2+ n,得当n = 1 时，a1 = S1 = 3;当n >2 时，a n= S n—S n-1= 4n—1. 所以a n= 4n—1, n € N*.由4n— 1 = a n= 4log2b n+ 3,得b n= 2n—1, n € N*.(2)由(1)知a n b n= (4n—1) 2n—1, n€ N*.所以T n= 3+ 7 X 2 + 11X 22+…+ (4n—1) 2n —1,2T n= 3X 2+ 7 X 22+…- (4n —1) 2n,所以2T n —T n= (4n —1)2n—[ 3+ 4(2 + 22+…+ 2n —1)：= (4n —5)2n+ 5. 故T n= (4n —5)2n+ 5, n€ N*.20. (1)证明：①因为C1B1//A1D1, C1B1 平面ADD 1A1,所以C1B1 //平面A1D1DA .又因为平面B1C1EF门平面A1D1DA=EF ,所以C1B1 //EF，所以A1D1 //EF .②因为BB1丄平面A1B1C1D1，所以BB1丄B1C1.又因为B1C1丄B1A1，所以B1C1丄平面ABB1A1, 所以B1C1丄BA1.在矩形ABB1A1 中，F 是AA1 的中点，tan/ A1B1F = tan/ AA1B =2 / AA1B，故BA1 丄B1F .所以BA1丄平面B1C1EF.⑵解：设BA1与B1F交点为H，连结C1H. (4n —5) 2n —1+，即 / A1B1F =由（1）知BA1丄平面B1C1EF ,所以/BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B 中，AB 、2 , AA1=2，得BH 4 .6 .在直角△ BHC1 中，BG 2 5 , BH4 "6，得 sin BGHBH 30BC 175由题意得 f'x) = 12x 2— 2a . f'x) > 0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(一 °° ,).此时函数f(x)的单调递增区间为(—m, J 6［和［^6, +m )单调递减区间为］t 6， 〕— ］•(2)证明：由于 0w x w 1,故当 a w 2 时，f(x) + |a — 2|= 4x 3— 2ax + 2> 4x 3— 4x + 2.当 a >2 时，f(x) + |a — 2|= 4x 3 + 2a(1 — x) — 2 > 4x 3 + 4(1 — x)— 2= 4疋一 4x + 2. 设 g(x) = 2x 3— 2x + 1,0W x w 1,273恵则 g 'x)= 6x — 2= 6(x — )(x +),33于是血4g(x)min= g (〒=1一可 >0所以当 0w x < 1 时，2x 3— 2x + 1>0. 故 f(x) + |a — 2|>4x 3— 4x + 2>0.2 pt 1,1p — 22.解：⑴由题意知 卫 §得 212 4' t 1.所以设线段AB 的中点为Q(m , m).所以BC i 与平面B i C i EF 所成角的正弦值是30 15当a > 0时, f'x) = 12(x- \ ；)(x +［；)， 21. ⑴解:当a < 0时, 所以,⑵设 A (X 1, y 1), B(X 2, y 2)，因为 OM 过AB 的中点，而且直线OM 的方程为x — y=0 ,由题意，设直线 AB 的斜率为k(k z 0).2y 1X \, ,由 2得(y i — y 2)(y i + y 2)=x i -x 2，故 k 2m = 1.y 2X 2,i所以直线AB 方程为y — m = (x - m),2m即 x — 2my + 2m 2— m = 0.2x 2my 2m m 0,由2y x,消去 x ,整理得 y 2— 2my + 2m 2— m = 0,所以 =4m — 4m 2>0, y i + y 2= 2m , y i y 2 = 2m 2— m . 从而 |AB=,.C ；2 ly i -y 2= 41 ~4m 2 V 4m~4m 2 . 设点P 到直线AB 的距离为d ,|i 2m 2m 21i 4m 2设厶ABP 的面积为S ,S = |AB | d = |i — 2(m — m 2)| -m m 2 . 2=4m — 4m 2 > 0,得 0v m v i .u =、m m 2, 0v u < *，贝U S = u(i — 2u 2).2i则 S'u)= i -6u 2.46i 由 S，u)= 0，得 u(0,;),62设 S(u)= u(i — 2u 2), 0v u <2故厶ABP 面积的最大值为3.解：⑴当x w — 3时，1当—3v x w时，原不等式化为 4 — x 》2x + 4，得—3v x w 0.21x 一时，原不等式化为 3x + 2>2x + 4,得x >2.2综上，A = {x|x w 0 或 x >2}⑵当 x w — 2 时，|2x — a| + |x + 3》0》2x + 4 成立. 当x >— 2时，|2x — a|+ x + 3= |2x — a| + |x + 3|》2x + 4,a 1得x 》a + 1或x3所以a + 1w — 2或a 1电」，得a w — 2.3综上，a 的取值范围为a w — 2.4.解：设直线I 上的点A , B 对应参数分别为t 1, t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方2程—+ y 2= 1.4n(1)当 一时，设点M 对应参数为t o .3t t 28 12—2 ，所以，点M 的坐标为(一21313 x=2+tcos ,x 2l代入曲线C 的普通方程 一 + y 2= 1,得y = +3 tsi n4x 直线I 方程为21…■- (t 为参数),22x+ y 2= 1,得 13t 2+ 56t + 48= 0,4.3 代入曲线C 的普通方程则t o⑵将(cos2a+ 4sin2 a)t2+ (8,3 sin a+ 4coso)t+ 12= 0,… 12 2因为|FA| |P B|= |t1t2|= —2— , |OP|2= 7,cos 4sin所以一2cos 124s in2o7，得tan516由于=32cos a 2：/3 sin a—cos”> 0,故tan所以直线l的斜率为。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：i •答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2 •每小题选岀答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上参考公式：如果事件A，B互斥，那么柱体的体积公式如果事件A，B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高P A B =P A P B 锥体的体积公式1如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V =丄Sh3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高P n（k ）=C：p k（1 —p厂，（k =0,1,2,川，n ）球的表面积公式台体的体积公式S =4 T R21 ________V =—h（s +J SS T +S2）球的体积公式3其中S,S2分别表示台体的上底、下底面积，V =- T R33h表示台体的高其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A={x|1 v x v 4}，B={x|x2—2x—3< 0}，贝U A n （C R B）=A. （1，4）B. （3，4）C. （1，3）D. （1，2）【解析】A= （1，4），B= （—3，1），则A n （C R B） = （1，4）.【答案】A2. 已知i是虚数单位，则3+i=1 -iA. 1-2iB . 2-iC . 2+ iD . 1 + 2i【解析】3+i = 3+i 1+i=匕=1 + 2i .1 _i2 2【答案】D3. 设a，R,贝厂'a= 1”是“直线1仁ax + 2y- 1 = 0与直线12：x + (a+1)y + 4= 0 平行”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a= 1时，直线11：x+ 2y- 1 = 0与直线12：x + 2y + 4 =0显然平行；若直线11与直线12平行，则有：？二丄，解之得：a1 a +1=1or a=- 2 .所以为充分不必要条件.【答案】A4. 把函数y= cos2x+ 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y= cos2x+ 1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：屮=cos x+ 1,向左平移1个单位长度得：y2= cos( x —1) + 1,再向下平移1个单位长度得：y3= cos( x —1).令x= 0,得：y3>0; x = - 1，得：y3 = 0;观察即得答案.【答案】B5. 设a, b是两个非零向量.A. 若| a+ b| = |a| - | b|，则a丄bB. 若a丄b,则| a+ b| = | a| - | b|C. 若| a+ b| = | a| —| b|，则存在实数入，使得a=入bD. 若存在实数入，使得a= X b,则| a+ b| = | a| —| b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，v |a+ b| = |a| —| b| , 则a, b共线，即存在实数X ,使得a= X b.如选项A：| a+ b| = | a| —| b|时，a, b可为异向的共线向量；选项B：若a丄b,由正方形得| a+ b| = | a| —| b|不成立；选项D：若存在实数X，使得a= X b, a, b可为同向的共线向量，此时显然| a + b| = | a| —| b|不成立.【答案】C6. 若从1, 2, 2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种【解析】1, 2, 2,…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：C2C：=6O种；4个都是奇数：C； = 5种.•••不同的取法共有66种.【答案】D7. 设S是公差为d(d z0)的无穷等差数列｛a n｝的前n项和，则下列命题错误的是• •A.若d v 0,则数列｛S｝有最大项B. 若数列｛S｝有最大项，则d v 0C. 若数列｛S｝是递增数列，则对任意的n N*，均有S>0D. 若对任意的n N*，均有S>0,则数列｛S｝是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2, 3,….满足数列｛S｝是递增数列，但是S n>0不成立.【答案】C是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P, Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF| _ L.F1FK则C的离心率是A. 」3 2C. 2D. ,3_ b；(x+c)，得：，竿).二直线MN为：y—bc b c +a c +ay_ _ _xL a_- -(x—旦),c c a3令y_ 0 得：X M= # 2.又T | MF| _ I F1F2I _2c,—3c_xc -a解之得：e2=Z」，即e_^ .a a 2， 28.如图，F i, F2分别是双曲线C:2 2:一爲=1( a, b>0)的左右焦点，B a b【解析】如图：| OB = b, | 0F| = c. 直线PQ为：y = b(x+ c)，两条渐近线为: c 二k pQ_ b, k MN_—-.c ci b y_ (x+ c)c，得:I b 'y__ xi ay=ax. 由3cM_ --- 2 ,c a(第8题图)【答案】B9.设a>0, b>0.A. 若2a 2a =2b 3b，贝y a> bB. 若2a 2a =2b 3b，贝y av bC. 若2a _2a =2b _3b，贝y a> bD. 若2a _2a =2b _3b，则a v b【解析】若2a 2a =2b 3b ,必有2a 2a . 2b - 2b .构造函数:f x ]=2- 2x , 则「x i=2x l n22.0恒成立，故有函数f x[=2x2x在X > 0上单调递增，即a>b成立.其余选项用同样方法排除.【答案】A10.已知矩形ABCD AB= 1, BC=© .将A ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A. 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三直线“ AC与BD, “AB与CD, “AD与BC均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的.【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1•用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2 •在答题纸上作图，可先使用28分.11.已知某三棱锥的三视图 示，则该三棱锥的体积等于 ____________ cm i .【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于* 3 1 2 3“. 【答案】1值是 4 513.设公比为q (q >0)的等比数列｛ a n ｝的前n 戈—退H 为｛S ｝.若5 =3& +2 , S4=3a 4 +2，贝卩 q = ________________ .【解析】将S2-3a 2 2 , S 4 =3a 4 2两个式子全部转化成用a , q表示的二、填空题：本大题共 12 .若程T 1i23 4 5 67小题，每小题4分，2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑幵始【解析】T , i 关系如下图: 【答案】i 120式子.即印:印:鬥2 3 3 3 ,两式作差得：a1q^Fa1q^3a1q(q^1),即：Q +ai^ba1q +a1q =3ag +2 72q -q - 3= 0,解之得：q=2or q--1(舍去).【答案】2214 .若将函数f x =X5表示为其中a。

2012年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 工科类 一：计算题（每小题14分，共70分）1：计算：()+lim log +a ba n x x →∞2设函数f ：R R →可导，且,x y R ∀∈，满足：()()+++f x y f x y xy ≥，求()f x 的表达式。

3计算： 0sin ,n x xdx n Z π*∈⎰4计算：{}-min ,2Dx y x y dxdy ⎰⎰，其中D 是2=y x 和2=x y 所围成的封闭区域。

5求曲线{33=cos =sin x a y a θθ()0,>0a θπ≤≤的形心。

二：（本题满分20分）证明：=111+ln <<1+ln ,ni n n n Z n i *∈∑三：（本题满分20分）设2:u RR →，且u 具有二阶连续偏导，求证当u 可以表示成：()()(),=u x y f x f y 的充分必要条件是：2=u u uu x y y y∂∂∂∂∂∂∂ 。

四：（本题满分20分）在空旷的草地上有一个地面半径为3的圆柱体，在墙角栓有一头山羊，其绳长为π，求山羊能吃到草地的面积。

五：（本题满分20分）求证：()-1=1=111-1C =,k nn k nk k n Z k k*∈∑∑参考答案一、计算题1、若a b ≥ l i m l o g(a bx x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab ax xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b <时，lim log ()a b x x x x →+∞+b =， 所以lim log ()a bx x x x →+∞+max(,)a b =2、解：由假设，0y ∀>，有()()1f x y f x x y+-≥+ f 可导()1f x x +'⇒≥+同理()1()1f x x f x x -''≤+⇒=+ 2()/2f x x x c =++ 3、解：sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解：(){}(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤(){}(){}2234,,1/21,,/2,01/2D x y xy x x D x y xy x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤原积分12()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =-+-⎰⎰⎰⎰34()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-⎰⎰⎰⎰211102d )d d ()d xxxx y x x y x x y x y =-+-⎰⎰⎰21112221002d ()d d ()2d xx xx x y x x y x x y y y +-+-⎰⎰⎰⎰11341456142210021211111()678851232x x x x x x x =-++-++146720112()24621x x x +-+111124724532245=++⨯⨯⨯⨯112533216642117920++=⨯⨯ 5、解：/0c LLx xds ds ==⎰⎰，d /d c LLy y s s =⎰⎰而d 3sin cos d s a θθθθ== 2d 3sin cos d sin cos 3Ls a ba d a ππθθθθθθ/===⎰⎰⎰/2324206d sin 3sin cos d 6sin cos d 5Ly s a x a a a ππθθθθθθθ===⎰⎰⎰0c x ∴= 25c y a =二、证明：显然11111d d j j jj x x x jx +-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、证明：()()u f x g y =时，显然有xy x y uu u u = 反之，若xy x y uu u u =成立，即有2()/()0xxy x y y u uu u u u u-== 1/()x u u f x ⇒= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+⎰ ()()u f x g y ∴=四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x 轴上3x =点，则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线 即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S3/30213/2/32d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--⎰⎰⎰/32029sin d t t π-⎰/32223(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ⎡⎤=-+-⎣⎦⎰/32029sin d t t π-⎰/322013(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦⎰()/3/3/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰33/319sin 2349t t ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭所以山羊能吃到草的草地面积333119218S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和 绳子绕向房子时转过θ∆ 其扫过的面积可近似为扇形22r θ∆()2/33103/9S d ππθθπ=-=⎰所以311/18S π=五、证明：111110011111(1)(1)d (1)d nn n k k k k k k k knn n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑⎰⎰ 1100(1)11(1)d d n n t t t t t t ----==⎰⎰101d 1nx x x -=-⎰ 而11100111d d 1nnn k k k t t t t k t -==1-==-∑∑⎰⎰ ∴等式成立。