高二数学上学期开学考试(9月)习题文

HY 中学2021-2021学年高二数学上学期9月月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设a ，b ，c R ∈，且a b >，那么以下不等式一定成立的是〔 〕A. 2c 0a b >-B. ()2a b c0- C. a c b c +>-D.22 ac bc >【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质或者者举反例逐一分析得解.【详解】对于选项A,20,0,a b c ->≥所以2c 0a b≥-，所以该选项错误；对于选项B, 20,0,a b c ->≥所以()2a b c0-，所以该选项正确；对于选项C,()2a c b c a b c +--=-+不一定大于零，所以该选项错误； 对于选项D,222()0ac bc a b c -=-≥，所以22 ac bc ≥，所以该选项错误. 应选：B【点睛】此题主要考察不等式的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设010,15,A 30a b ===，那么此三角形〔 〕 A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求sin B ，与sin A 比拟的大小，判断B 能否取相应的锐角或者钝角. 【详解】由010,15,A 30a b ===及正弦定理，得1015sin 30sin B =，3sin sin 4B A =>，B可取锐角；当B 为钝角时，sin sin()B A π>-，由正弦函数在(,)2ππ递减，B A π<-，可取.应选C.【点睛】此题考察正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.3.不等式23121x x x +-≥-的解集为〔 〕A. (][),12,-∞-⋃+∞B. (]1,1,22⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. (]1,1,22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ D. [)11,2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.【详解】由题得2310,21x x x +--≥-所以220,21x x x --≥-所以2)(1)0,21x x x -+≥-（所以210(21)(2)(1)0x x x x -≠⎧⎨--+≥⎩，所以1122x x -≤<≥或. 应选：D【点睛】此题主要考察分式不等式和高次不等式的解法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3+a 11+a 13＝9，那么S 17＝〔 〕 A. 51 B. 57C. 42D. 39【答案】A 【解析】 【分析】根据求出9a 的值，再利用等差数列的性质求17S .【详解】由题得11119210123(8)39a d a d a d a d a +++++=+==， 所以93a =，所以1791717351S a ==⨯=. 应选：A【点睛】此题主要考察等差数列的性质和前n 项和的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，那么2020a 的值是〔 〕 A. 2 B. -3C. 12-D.13【答案】D 【解析】 【分析】先通过列举找到数列的周期，再利用数列的周期求值.【详解】由题得23451111121311323,,,2111213231123a a a a +-+-==-==-====-++-， 所以数列的周期为4， 所以202041=3a a =. 应选：D【点睛】此题主要考察递推数列和数列的周期，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.6.假设不等式ax 2+ax ﹣1≤0的解集为实数集R ，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. 0≤a≤4 B. ﹣4＜a ＜0C. ﹣4≤a＜0D. ﹣4≤a≤0 【答案】D 【解析】 【分析】讨论0a =和0a ≠时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【详解】0a =时，不等式210ax ax +-化为10-，解集为实数集R ；0a ≠时，应满足0a <⎧⎨⎩，所以240a a a <⎧⎨+⎩， 解得40a -<；综上，实数a 的取值范围是40a -． 应选：D ．【点睛】此题考察了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是根底题．7.某船只在海面上向正向行驶了xkm 迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了km ，此时发现离出发点恰好3km ，那么x 的值是〔 〕 A. 3 B. 6 C. 3或者6 D. 4或者6【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出x 的值． 【详解】设出发点为A ，向东航行到B 处后改变航向到达C ，那么AB x =，3AC =，BC =30ABC ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即3sin30=︒，sin BAC ∴∠． 60BAC ∴∠=︒或者120︒，〔1〕假设60BAC ∠=︒，那么90ACB ∠=︒，ABC ∆为直角三角形， 26AB AC ∴==，〔2〕假设120BAC ∠=︒，那么30ACB ∠=︒，ABC ∆为等腰三角形，3AB AC ∴==．应选：C ．【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.8.假设关于x 的不等式〔m+1〕x 2﹣mx ﹣1＞0的解集为〔1，2〕，那么m ＝〔 〕 A.32B. 32-C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到方程组，再解方程组即得m 的值.【详解】由题得101211121m m m m ⎧⎪+<⎪⎪+=⎨+⎪⎪⨯=-⎪+⎩，所以32m =-.应选：B【点睛】此题主要考察一元二次不等式解集的性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和分析推理才能.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2S 4＝a 4S 2，那么20191S S =〔 〕A. 1B. ﹣1C. 2021D. ﹣2021【答案】A 【解析】 【分析】先由得到公比q=-1,再求20191S S 的值得解. 【详解】由题得23311111111()()a q a a q a q a q a q a a q +++=+， 即233q(1)(1)q q q q q +++=+， 所以232(1)(1)q q q q q +++=+， 所以1q =-.所以20191201911(1(1))S 11=1S a a --+=.应选：A【点睛】此题主要考察等比数列的通项和前n 项和公式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.10.在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB =，sinC 6=，那么BC BD =〔 〕 A. 2 B. 3【答案】A 【解析】 【分析】ABD ∆中，由余弦定理222cos 2AB AD BD A AB AD+-=可求cos A ，然后结合同角平方关系可求sin A ，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AB BCC A=，可求BC 即得解. 【详解】由题意可设AB AD x ==，BD =， ABD ∆中由余弦定理可得，2222222413cos 223x x xAB AD BD A AB ADx +-+-===，(0,)A π∈，sin A ∴=sin C =ABC ∆中，由正弦定理可得，sin sinAB BCC A=，=BC ∴=那么2xBC BD ==， 应选：A ．【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是纯熟应用根本公式.11.在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，假设90S >，100S <，那么在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是〔 〕A. 11S aB. 88S aC. 55S aD. 99S a【答案】C 【解析】【分析】由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 【详解】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞ ，所以在在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ． 应选C ．【点睛】此题考察等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.12.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，假设ABC ∆的外接圆半径为3，那么ABC∆的周长的取值范围为〔 〕 A. (]2,4 B. (]4,6C. ()4,6D. (]2,6【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理与余弦定理化简条件得C ，再根据正弦定理得c ，最后根据余弦定理求+a b最大值，由三角形三边关系确定+a b 范围，即得ABC ∆的周长的取值范围. 【详解】因为()()222cos cos ab c a B b A abc+-⋅+=，所以()2cos cos abcosC sinA B sinB A absinC ⋅+=，()2sin cosC A B sinC ⋅+=，21cosC =，3C π=, c 223sin π== 因此()()()()22222222223344a b a b c a b abcosC a b ab a b ab a b ++=+-=+-=+-≥+-⨯=.即()22244a b a b +≤+≤，,因为2a b c +>=,所以(]4,6a b c ++∈,选B.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，假设a ＝3，c ＝7，C=60°，那么边长b ＝_________. 【答案】8 【解析】 【分析】由余弦定理得到b 的方程，解方程即得解. 【详解】由余弦定理得2149=9+232b b -⨯⨯， 即23400b b --=， 所以b=8或者-5〔舍〕. 故答案为：8【点睛】此题主要考察余弦定理解三角形，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.14.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n+1＝2S n 〔n ∈N *〕，那么a n ＝____________.【答案】211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【解析】 【分析】利用项和公式求解即可.【详解】由题得1122(2)n nnn a S a S n +-=⎧⎨=≥⎩，两式相减得+1=32)n n a a n ≥（，即+1=32)n na n a ≥（， n=1时，2212,23a a a =∴=≠， 所以数列{a n }从第2项起是等比数列，所以n-2=232)n a n ⋅≥（， 所以数列的通项为211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，. 故答案为：211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，， 【点睛】此题主要考察项和公式求数列的通项，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.15.数列{}n a 满足()1223,2,4n n a a a a n N *+==-=∈ ，那么数列{}na 的通项公式为__________．【答案】2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【解析】 【分析】由题得到该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，再求数列的通项得解.【详解】因为()1223,2,4n n a a a a n N*+==-=∈，所以该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都是4，当n 为奇数时，1=3+1)42n 12n n a +-⨯=+（， 当n 为偶数时，=2+1)42n 22n na -⨯=-（.故数列的通项为2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数.故答案为：2122n n n a n n +⎧=⎨-⎩，为奇数，为偶数【点睛】此题主要考察数列通项的求法，意在考察学生对该知识的理解掌握程度.ABC ∆中，120C =︒，tan 5tan A B =，那么sin sin AB的值是______.1 【解析】 【分析】根据C 的值利用余弦定理得到a b c 、、的一个关系式；再将tan 5tan A B =化切为弦得到第二个a b c 、、的关系式，两式联立消去c ，从而得到a b 、的关系式，化简可得ab的值，即为sin sin AB的值. 【详解】由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，那么222c a b ab =++；又因为tan 5tan A B =，所以sin cos 5sin cos A B B A =，化简得222323a c b -=； 两式联立消2c 得22250a ab b --=，那么2()250a a bb --=，解得ab=；由正弦定理可知：sin =sin A aB b. 【点睛】解三角形的问题中，出现了有关正切的条件，要注意将其转化为正、余弦的形式去处理，因为这对后面去使用正、余弦定理睬更加的便捷.三、解答题：一共70分。

2021年高二数学上学期9月月考试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 1612．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2，2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个正三角形的边长为（）A． B． C． 8 D． 16考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2 ），根据正三角形的性质 =tan30°=求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后求得这个正三角形的边长．解答：解：设其中一个顶点是（x，2 ）因为是正三角形所以 =tan30°=即解得x=12所以另外两个顶点是（12，4 ）与（12，﹣4 ）则这个正三角形的边长为故选B．点评：本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题的关键．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 ．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题结果即可．解答：解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意否定的形式．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．已知p：x2﹣7x+10≤0，q：m≤x≤m+1，若q是p的充分条件，求m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：求出p的等价条件，利用q是p的充分条件，确定m的取值范围．解答：解：由x2﹣7x+10≤0，解得2≤x≤5，即p：2≤x≤5．，设A={x|2≤x≤5}∵命题q可知：m≤x≤m+1，设B={x|m≤x≤m+1}，∵q是p的充分条件，∴B⊆A，，解得：2≤m≤4．∴m的取值范围是2≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．21．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C 为动点，且满足，求点C 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．考点：椭圆的标准方程；正弦定理．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，根据椭圆的定义可知：点C的轨迹是椭圆（去掉左右顶点）．解答：解：由，可知，即|AC|+|BC|=10＞|AB|=8，满足椭圆的定义．设椭圆方程为，则a′=5，c′=4，∴=3，则轨迹方程为（x≠±5），图形为椭圆（不含左，右顶点）．点评：本题考查了椭圆的定义，属于基础题．22．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．27172 6A24 樤t36464 8E70 蹰UeX- ]g33954 84A2 蒢29404 72DC 狜6。

HY中学2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期开学考试试题文〔含解析〕一、选择题：位于〔〕A. 轴上B. 轴上C. 平面内D. 平面内【答案】C【解析】【分析】由所给的坐标的特点可知，它的纵坐标为0，所以点必在平面内，即可得到答案．【详解】因为点的纵坐标为，故点在平面内，应选C．【点睛】此题主要考察了空间直角坐标系的应用，其中正确理解空间直角坐标系等根底知识是解答的关键，着重考察了数形结合意识的应用，属于根底题．2.2.以下三种表达，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的局部是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】根据棱台的构造特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．应选A.，直线(zhíxiàn)，那么与必定〔〕A. 平行B. 异面C. 相交D. 无公一共点【答案】D【解析】【分析】直接利用线面平行的行贿，得到线面的关系及直线间的位置关系，即可得到答案．【详解】直线，所以直线与平面无公一共点，又由，所以直线与平面无公一共点，应选D．【点睛】此题主要考察了直线与平面的位置关系的应用，正确理解直线与平面平行的概念是解答此题的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．4.4.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图，那么截面的可能图形是〔〕A. ①②B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】C【解析】【分析】根据组合体的性质(xìngzhì)，当截面的角度和方向不同时，球的截面不一样，应分情况考虑即可得到答案．【详解】当截面平行与正方体的一个侧面时，得到的截面如①所示；当截面过正方体的对角线时，得到的截面如②所示；当寂寞不平行与任何侧面也不过对角线时，得到的截面如③所示，但无论如何都不能是④，应选C．【点睛】此题主要考察了有关球的组合体的构造特征的应用，注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．5.5.某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的外表积是( )A. B. 32 C. 48 D.【答案】A【解析】【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高作出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，即可得到四棱锥的外表积．【详解】由题意可知，原几何体是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过定点项底面作垂线，垂线段的长为2，过底面的中心项长度是4的边作垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高为，所以(suǒyǐ)侧面积是，底面积是，所以四棱锥的外表积为，应选A．【点睛】此题考察了几何体的三视图及组合体的外表积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．6.6.下面条件中，能断定直线的是〔〕A. 与平面内的两条直线垂直B. 与平面内的无数条直线垂直C. 与平面内的某一条直线垂直D. 与平面内的任意一条直线垂直【答案】D【解析】【分析】令直线与平面的位置关系进展判断，注意直线与平面垂直的断定定理的应用．【详解】由题意，A中，直线与平面内的两条直线垂直，假如平面中的两条直线是平行线，那么无法断定直线，所以不正确；B中，直线与平面内的无数条直线垂直，假如平面中的无数条平行线，那么无法断定直线，所以不正确；C中，直线与平面内的某一条直线垂直，那么直线和平面相交、平行或者直线在平面内，所以不正确；D中，直线与平面内的任意一条直线垂直，那么直线和平面垂直的定义，即可得到，所以是正确的，应选D．【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察了直线与平面垂直的断定及应用，其中熟记直线与平面垂直的断定定理和直线与平面垂直的定义是解答的关键，着重考察了推理与论证才能．7.7.是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是〔〕A. B.C. 一共面D. 一共点一共面【答案】B【解析】试题分析：根据空间两条直线所成角的概念“空间中假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补〞可知B选项正确.考点：空间线面平行、垂直关系的证明．外有两点，它们到平面的间隔相等，那么直线和平面的位置关系一定是〔〕A. 平行 B. 平行或者异面 C. 平行或者相交 D.【答案】C【解析】【分析】直线与平面分成平行和相交两种情形分别研究，画出图象进展断定，即可得到答案．【详解】由题意，平面外有两点，它们到平面的间隔相等，如下图，结合图形可知，直线与平面平行或者相交，应选C．【点睛】此题主要考察了空间中直线与平面之间的位置关系的断定，其中熟记直线与平面的位置关系的情况，以及正确作出图象是解答的关键，着重考察了分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于根底题．①梯形(tīxíng)一定是平面图形；②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行或者异面或者相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面相交或者重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)此题主要考察空间直线平面的位置关系，意在考察学生对这些根底知识的掌握程度和空间想象才能.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵敏选择方法判断.的直线的斜率是〔〕A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】由题意，直接利用直线的倾斜角与斜率的关系，即可得到结论．【详解】因为直线的斜率与倾斜角满足关系式，又由直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，应选B．【点睛】此题主要考察了直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系的应用，属于根底题目，其中熟记直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系是解答的关键，着重考察了计算才能．11.11.矩形所在的平面，那么侧面和底面中互相垂直的平面有〔〕A. 1对B. 2对C. 3对D. 5对【答案】D【解析】【分析】由题意，利用面面垂直的断定定理，即可找出题目中的垂直关系，得到答案．【详解】由题意，因为平面，且平面和平面，所以平面平面，平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，又由底面为矩形，所以，所以平面，所以平面平面，所以在侧面与底面中互相垂直的平面一共有5对，应选D．【点睛】此题主要考察了平面与平面垂直的断定，属于中档试题(shìtí)，有一定的难度，其中解答中熟记线面垂直的断定定理和面面垂直的断定定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能．12.12.中国古代第一部数学名著?九章算术?中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种根本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥为鳖臑，平面，，，，那么三棱锥外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】将三棱锥补全为长方体，如图，那么外接球的直径为,所以，故外接球的外表积为.二、填空题：和两点的直线的斜率为_______.【答案】3【解析】【分析】由题意，直接利用过两点的直线的斜率公式，即可得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】由题意，直线过点和，所以直线的斜率为．【点睛】此题主要考察了过两点的直线的斜率公式的应用，其中熟记过两点的直线的斜率的公式是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，试题属于根底题．的三条侧棱两两互相垂直，且，那么此三棱锥的外接球的体积为____________【答案】【解析】分析：先将三棱锥补成长方体，再根据长方体外接球直径等于长方体对角线长，计算球体积.详解：因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，长宽高分别为，因为三棱锥的外接球与长方体外接球一样，所以外接球直径等于，因此三棱锥的外接球的体积等于点睛：假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．中，底面，底面是边长为的正三角形，三棱锥的体积为________．【答案】【解析】依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PA＝×××2×3＝.视频为彼此不重合(chónghé)的三个平面，为直线，给出以下结论：①假设，那么②假设，且那么③假设直线与平面内的无数条直线垂直，那么④假设内存在不一共线的三点到的间隔相等，那么上面结论中，正确的序号为_______.【答案】①②【解析】【分析】根据题意，逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有关定理和推理，及举反例等手段，排除错误，即可得到答案．【详解】由题意，对于①中，因为两个平行平面中的一个和第三个平面垂直，那么另一个也和第三个平面垂直，所以①是正确的；对于②中，由两个平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直，所以②是正确的；对于③中，直线和平面内的无数条直线垂直，假设是无数条平行线，此时直线和平面不一定垂直，所以③不正确；对于④中，内存在不一共线的三点到平面的间隔相等，这三个点可能有两个相交平面的两侧，所以④不正确，所以正确命题的序号为①②．【点睛】此题主要考察了空间中点、线、面的位置关系的断定及应用，其中熟记空间中点、线、面的位置关系的断定定理和推理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于中档试题．三、简答题：，侧棱与底面所成的角为，求正四棱锥(léngzhuī)的侧棱长和斜高.【答案】,.【解析】【分析】在正四棱锥中，，那么为底面的中心，，从而得到，作于，连接，那么，由此能得到答案．【详解】如下图，在正四棱锥中，，那么为底面的中心，那么即为和所成的角，故，所以，作于，连接，那么，所以即为正四棱锥的斜高，在中，，所以正四棱锥侧棱长为，斜高为．【点睛】此题主要考察了正四棱锥的构造特征的应用，其中熟记空间几何体的构造特征和准确作出运算是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题．18.18.如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面与平面平行？【答案(dá àn)】是的中点【解析】试题分析：首先确定当为的中点时，平面平面；证明，进而证明面，再利用三角形的中位线的性质证明，进而证明面.，再利用两个平面平行的断定定理证得平面平面.试题解析：当为的中点时，平面平面，∵为的中点，为的中点，∴.连接，∵分别为，的中点，∴，又平面，平面，∴面.再由面，且，∴平面平面.点睛：此题考察平面与平面平行的一般方法，即在一个平面内找到2条相交直线和另一个平面平行，属于中档题；两个平面平行的断定：〔1〕两个平面平行的断定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；〔2〕垂直于同一直线的两个平面平行．即，且，那么；〔3〕平行于同一个平面的两个平面平行，即，那么．19.19.如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，且分别为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕求证(qiúzhèng)：平面平面；【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔I〕因为分别为的中点，所以，由线面平行的断定定理，即可得到平面；〔II〕因为为的中点，得到，进而证得平面，由面面垂直的断定定理，即可得到平面平面．【详解】〔1〕因为O,M分别为AB,VA的中点，所以OM//VB又因为VB平面MOC，所以VB//平面MOC，〔2〕因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC AB，又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB．∴平面MOC平面VAB.【点睛】此题考察线面位置关系的断定与证明，纯熟掌握空间中线面位置关系的断定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．所在平面外一点，且为斜边的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕假设，求证：平面．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕如图，取中点，连结，在中，得到，再由为等腰三角形，得到，进而得到平面，得，再由，得到，由线面垂直的断定定理，即可得到结论．〔2〕由为斜边中点，得，由〔1〕可知，面，得，再利用线面垂直的断定定理，即可证得平面．【详解】〔1〕如图，取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC，∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，∴SD⊥平面ABC．〔2〕∵AB=BC，D为斜边AC中点，∴BD⊥AC，由〔1〕可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，∴BD⊥面SAC．【点睛】此题考察线面位置关系的断定与证明，纯熟掌握空间中线面位置关系的断定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行(píngxíng)关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．21.21.如图，在四棱锥中，，且.〔Ⅰ〕证明：平面平面；〔Ⅱ〕假设，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】试题分析：〔1〕推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；〔2〕设，那么四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.〔1〕∵在四棱锥中，，∴，，又，∴，∵，∴平面(píngmiàn)，∵平面，∴平面平面．〔2〕在平面内作，垂足为．由〔1〕知，平面，故，可得平面．设，那么由可得，．故四棱锥的体积．由题设得，故．从而，，．可得四棱锥的侧面积为．中，四边形是边长为的菱形，，平面，，，为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕假设几何体的体积为，求线段的长度．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.【解析】【分析】(1)证明(zhèngmíng)：取的中点，连接，，得，，进而得到，利用线面平行的断定定理，即可证得平面．〔2〕连接，得到，证得平面平面，得到平面，再利用几何体的体积公式，即可得到结果．【详解】(1)证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面．〔2〕连接，因为是边长为4的菱形，所以，因为平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，因为，所以，所以几何体的体积为，所以.【点睛】此题主要考察了线面平行的断定，以及几何体的体积公式的应用问题，其中正确认识空间几何体的构造特征，以及熟记线面位置关系的断定定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于中档试题．内容总结（1）②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行。

北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,a m = ，(),2b m m =- ，若//a b，则m =（）A ．1或2-B ．1-或2C ．1或12-D ．1-或122．复数21i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭（其中i 为虚数单位）的虚部等于（）A ．i-B ．1-C ．1D ．03．经过点()1,1M 且斜率为1-的直线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．20x y +-=4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（）A ．56B ．2243C D ．35．已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x （*n ∈N ）的方差为1.2，则151x -，251x -，⋯，51n x -的方差为（）．A ．5B ．6C ．25D ．306．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（）．A ．15B ．25C ．12D ．237．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积为（）A ．23B ．3C ．83D ．38．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（）A ．甲和乙相互独立B ．甲和丙相互独立C ．甲和丁相互独立D ．丁和丙相互独立9．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的是（）A ．若a b ，b α⊂，则a αP B ．若a b ⊥r r，b c ⊥，则a cP C ．a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，则αβ∥D ．a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b10．在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A ．CD AB ⊥B ．CD BD ⊥C ．平面ADC ⊥平面ABD D ．平面ABC ⊥平面BDC 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知3512a b a b ==⋅=- ，，，则a 在b上的投影向量为12．过点()1,2-和点()1,2-的直线的斜率为.13．数据：35，54，80，86，72，85，58，53，46，66的第25百分位数为．14．已知三棱锥,,P ABC PA AB PA BC -⊥⊥，30,2,BAC BC PA ∠=== ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知平面向量a ，b ，c ，其中()3,4a =.(1)若c 为单位向量，且//a c，求c 的坐标；(2)若5b = 且2a b - 与2a b - 垂直，求向量a ，b夹角的余弦值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是2222222sin sin ,,,sin A C a b c a b c C a c b-+-=+-.(1)若2,c D =是BC 的中点，且19AD =ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求222a cb +的取值范围.18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.(1)求直方图中a ，b 的值；(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,D AD BC CD A ⊥∥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面,D,ABCD PA P PA PD ⊥=．(1)求证：CD PA ⊥；(2)求平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得DM ⊥平面PAB ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由．20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．北京市2024年高二数学秋季开学考试数学试题答案1．【分析】运用向量平行的坐标表示求解即可.【详解】由//a b，有22m m =-，解得1m =或2-．故选：A.2．【分析】由复数的运算法则先化简复数，根据复数虚部的概念可得答案.【详解】()2222==i 1i 2i 1i ⎛⎫--=- ⎪ ⎪---⎝⎭，所以其虚部为1-故选：B3．【分析】利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】因为直线经过点()1,1M 且斜率为1-，所以直线方程为()111y x -=-⨯-，即20x y +-=.故选：D.4．【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解.【详解】由()1424242h '+⋅=⎡⎤⎣⎦⇒2h '=为四棱台的斜高.设四棱台的高为h ，则h =所以四棱台的体积为：(14163V =+=故选：C5．【分析】利用方差的性质求解．【详解】 数据12,,...,n x x x 的方差为1.2，151x ∴-，251x -，……51n x -的方差为：25 1.230⨯=．故选：D.6．【分析】利用古典概型公式，结合列举法，即可求解.【详解】设1个红球为1a ，2个白球分别为12,b b ，2个黑球分别为12,c c ，则从袋子中任取2个球包含：()()()()()()()()()()11121112121112212212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a c a c b b b c b c b c b c c c ，共10个基本事件，其中取到红球，包含()()()()11121112,,,,,,,a b a b a c a c ，共4个基本事件，则取出的2个球都是红球的概率42105P ==.故选：B7．【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出sin A ，再利用余弦定理求出bc 即可求出三角形面积.【详解】在ABC 中，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=及正弦定理，得2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，而sin sin 0B C >，则1sin 2A =，由2228b c a +-=及余弦定理得2cos 8bc A =，cos 0A >，因此cosA ==bc =，则11sin 243ABC S bc A ==⨯ ，所以ABC 的面积为3.故选：B8．【分析】根据相互独立事件的定义可得答案.【详解】123,134,145,2+3=52+4=63+4=7，，+=+=+=，213,314,415,3+2=54+2=64+3=7，，+=+=+=，()12甲=P ，()12乙=P ，()16丙=P ，()13丁=P ，()0甲乙=P ，()16甲丙=P ，()16甲丁=P ，()0P =丙丁，对于A ，()()()1110224甲乙甲乙=⨯=≠=P P P ，故A 错误；对于B ，因为()()()111126126甲丙甲丙=⨯=≠=P P P ，故B 错误；对于C ，()()()11112366甲丁甲丁=⨯===P P P ，故C 正确；对于D ，()()()11106318丙丁丙丁=⨯=≠=P P P ，故D 错误.故选：C.9．【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据空间直线的位置关系判断B ，根据面面平行的判定定理判断C ，根据线面平行的性质定理判断D.【详解】当a b ，b α⊂，a α⊂时，不能推出a αP ，故A 错误；当a b ⊥r r，b c ⊥时，,a c 可能相交，也可能异面，不能推出a c P ，故B 错误；当a β∥，b β∥，a α⊂，b α⊂，若,a b 不相交，则推不出αβ∥，故C 错误；当a α ，a β⊂，b αβ= ，由线面平行的性质定理知a b ，故D 正确.故选：D10．【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可.【详解】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.11．【分析】根据投影向量的公式即可得解.【详解】因为3,5a b == ，且12a b ⋅=-，所以a 在b 上的投影向量为21225||a b b b b ⋅⋅=-.故答案为：1225b -.12．【分析】利用两点斜率公式即可得解.【详解】因为直线过点()1,2-和点()1,2-，所以直线的斜率为()22211k --==---.故答案为：2-.13．【分析】根据百分位数的定义直接计算.【详解】将数据从小到大依次排列为35，46，53，54，58，66，72，80，85，86，又1025% 2.5⨯=，所以第25百分位数为第三个数，即为53，故答案为：53.14．【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解.【详解】,PA AB PA BC ⊥⊥ ，AB BC B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA ∴⊥平面ABC ，如图，设圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长（即圆柱的高）为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，即O 为圆柱12O O 的外接球球心，且有外接球半径R =故可以将三棱锥-P ABC 置于以ABC 外接圆为底面，PA 为高的圆柱内（如图），其中上底面外接圆圆心为1O ，下底面ABC 外接圆的圆心为2O ，因为30,2BAC BC ∠== ，所以ABC 外接圆的直径2241sin 2BC r BAC ===∠，则2r =，又圆柱的高23h PA ==所以三棱锥-P ABC 外接球的半径()22222372PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，球的表面积24π28πS R ==.故答案为：28π.15．【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,E F ，由题知2EF =，易知,BE BF BE BF ⊥=，可得2BE BF ==所以正方体的棱长为221111ABCD A B C D -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为4，因此该多面体的外接球的半径为2，所以其表面积为24π216πS =⋅=.故答案为：16π.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过适当补形，求出外接球的半径，由此即可顺利得解.16．【分析】（1）设(,)c x y =,根据//a c 和||1c = 列出关于,x y 的方程求解即可.（2）根据垂直数量积为0,代入,a b 的模长,求解得12a b ⋅=.再根据夹角公式求解即可.【详解】（1）设(,)c x y =,由//a c 和||1c = 可得：223401y x x y -=⎧⎨+=⎩∴3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴34,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 或34,55c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）∵(2)(2)0a b a b -⋅-=，即222|52|0a a b b -⋅+=，又||5a =,||b = ∴12a b ⋅=，∴向量a ,b夹角的余弦值cos ,a b a b a b⋅==17．【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得π3B =，在ABD △中利用余弦定理求出BD ，从而可求出BC ，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；（2）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简222a cb +，得2π4sin 2363A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后求出角A 的范围，再利用正弦函数的性质可求得答案.【详解】（1）由余弦定理得2222222cos ,2cos a b c ab C a c b ac B +-=+-=，所以2sin sin cos ,sin cos A C b CC c B-=由正弦定理得2sin sin cos sin cos sin cos sin cos A C b C B CC c B C B-==，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A ，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD BA BD BA BD ABD ∠=+-⋅，所以21942BD BD =+-，解得5BD =，所以10BC =.所以ABC的面积1sin 2S ac B ==（2）由正弦定理得()2222222222sin sin 442πsin sin sin sin sin 333a c A C A C A A b B ⎡⎤++⎛⎫==+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222241453sin sin sin cos cos 32344A A A A A A A ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦412π4cos21sin 2344363A A A ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，所以π022ππ0,32A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得ππ62A <<，所以ππ5π2666A <-<，所以1π52π4sin 21,sin 22263363A A ⎛⎫⎛⎫<-≤<-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222a cb +的取值范围是5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.18．【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【详解】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =.（2）该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）.（3）因[0,5)的频率为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，[0,6)的频率为0.730.150.880.85+=>，故x 的估计值为()0.850.73565 5.80.15-+⨯-=（吨）．所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．19．【分析】（1）设k A ，k B (1,2,3)k =分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A B A B A =++，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（2）设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；（3）设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，按甲和乙谁先投篮分2中情况讨论，进而由互斥事件概率的加法公式计算可得答案.【详解】（1）根据题意，设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则1()3k P A =，1()2k P B =，(1,2,3)k =设甲获胜为事件E ，则111211223E A A B A A B A B =++，而1A ，112A B A ，11223A B A B A 互斥，故11121122312112121113()()()()33233232327P E P A P A B P A B A B =++=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件F ，则1121122F A B A A B A B =+，而112A B ，1122A B A B 互斥，所以112112*********()()()32332329P F P A B P A B A =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G ，分两种情况讨论：若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112A B A ，若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件112B A B ，故11211211121111215()()()222323223236P G P A B P B A B =⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=20．【分析】（1）根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，即可得结果；（2）建系标点，分别求平面APB 与平面PBC 法向量，利用空间向量求面面夹角；（3）设PM PB λ= ，分析可知DM ∥n，列式求解即可判断.【详解】（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，可得CD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.（2）取AD 中点O ，连接,OP OB ，因为PA PD =，则PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，可得PO ⊥平面ABCD ，由,OA OB ⊂平面ABCD ，可得,PO OA PO OB ⊥⊥，因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=，则//,BC OD BC OD =，可知四边形OBCD 是平行四边形，则OB AD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --可得()()()1,0,1,0,2,1,1,0,0AP PB CB =-=-= ，设平面APB 的法向量为(),,n x y z = ，则020n AP x z n PB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则2x z ==，可得()2,1,2n =；设平面PBC 的法向量为(),,m a b c = ，则020m CB a m PB b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，则0,2a c ==，可得()0,1,2m =；则cos ,3n mn m n m ⋅=⋅，所以平面APB 与平面PBC（3）设()[]0,2,,0,1PM PB λλλλ==-∈，且()1,0,1DP = ，则()1,2,1DM DP PM λλ=+=-，若DM ⊥平面PAB ，则DM ∥n ，可得121212λλ-==，方程无解，所以不存在点M ，使得DM ⊥平面PAB .20．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;(3)【详解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.。

高新部高二开学(kāi xué)考试数学试题一、选择题(一共12小题，每一小题5分,一共60分)1. 函数在，)上的大致图象依次是以下图中的( )A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③【答案】C【解析】对应的图象为①，对应的图象为②，对应的图象为④，对应的图象为③.应选C.2. 在同一坐标系中，曲线与的图象的交点是( )A. B.C. D. (kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线与的图象，观察图形可知选项B正确，应选B.3. 关于函数，以下说法正确的选项是( )A. 是周期函数(zhōu qī hán shù)，周期为πB. 关于直线对称C. 在上的最大值为D. 在上是单调递增的【答案】D【解析】.4. 函数x的最小值、最大值分别是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故函数的最小值为，最大值为 .应选A.5. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】2. ∴当时，，当时，，应选C.6. 的值是( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】 .应选B.7. 使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，所以＝，所以，排除A和D；因为在区间]上为减函数，又，所以为奇数，应选C.【点睛】此题的关键步骤有：利用辅助角公式化简表达式；根据奇函数的特征求得＝.8. 假设α是锐角，且)＝，那么的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】是锐角，∴，又)，∴sin(x＋)，∴sinα＝sin[(α＋)－])).应选A.9. 的大小关系是( )A. cos 1＞cos 2＞cos 3B. cos 1＞cos 3＞cos 2C. cos 3＞cos 2＞cos 1D. cos 2＞cos 1＞cos 3【答案(dá àn)】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，应选A.10. 角的终边上一点)，那么等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】角的终边上一点)，那么，那么.应选A.11. 化简式子＋＋的结果为( )A. 2(1＋cos 1－sin 1)B. 2(1＋sin 1－cos 1)C. 2D. 2(sin 1＋cos 1－1)【答案】C【解析】＋＋＝＋＋.【点睛】解决此类问题的要拥有：被开方式化简成完全平方；纯熟运用公式；结合三角函数值断定的符号，再去绝对值.12. 如图是函数)的图象，那么( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案(dá àn)】C【解析】由点在图象上，，，此时.又点在的图象上，且该点是“五点〞中的第五个点，，∴2π，∴，综上，有，应选C.【点睛】解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法〔即按顺序求解〕.2、排除法〔抓住局部特征进展排除〕.分卷II二、填空题(一共4小题,每一小题5.0分,一共20分)13. ________.【答案】－【解析】∵，∴原式.故答案为14. ________.【答案】1－【解析】原式··.故答案为1－15. ________.【答案(dá àn)】【解析】∵,∴，∴原式.故答案为16. 化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】此题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.三、解答题(一共6小题,17.10分。

9月开学检测考试 高二数学（文科）试卷一、 选择题（每题5分，共50分）1．一个球的表面积是π16，那么这个球的体积为（ ） A ．π316 B. π332C. π16D. π24 2．已知向量(3,2),(,4)a b x ==，且a b ⊥,则x =( ) A.. 6 B.－6 C..38- D.38 3．sin600°的值是（ ）A ．12B ．32C ．－32D ．－22 4．等比数列{a n }中，若a 5＝5，则a 3⋅a 7＝ ．A. 5B. 10C. 25D. 5± 5．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A. sin(2)3y x π=+，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈C. sin(2)3y x π=-，x R ∈D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台7．已知圆柱的体积是20πcm 3，侧面积是40πcm 2，那么圆柱的高是( ) A. 24 cm B . 20cm C.16cm D.8cm8．某空间几何体的三视图均为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（ ） A . 1 B . 2 C. 3 D. 49．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥>-+>-+0,0072052y x y x y x ，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1910．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点M 是 对角线1A B 上的动点，则1AM MD +的最小值为 （ ）2二、填空题（每题4分，共28分）11. 已知(2,0),(2,1)a b =-=，则|3|a b += ； 12设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则32S a = 13. 函数14(0)y x x x=+>的最小值是 14．设13(,),(4,0),2a b ==- 则a 与b 的夹角θ= 15．已知函数()2sin(),(0)f x x ωφω=+>的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭16．若△ABC 的三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则△ABC 的最大角的余弦值等于 17． 如图，在体积为15的三棱柱111ABC A B C -中，S 是侧棱1CC 上的一点，三棱锥S ABC -的体积为3，俯视图侧视图 正视图3 2 第15题图第10题图则三棱锥111S A B C -的体积为 _三.解答题（5大题，共72分）18．如图所示，一个简单的空间几何体的正视图和 侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为 正方形，(1) 试描述该几何体的特征并画出直观图; (2) 求该几何体的体积和表面积.19.已知数列{}n a 是等差数列，其中4103,15a a ==. （1）求{}n a 的通项公式;（2）当n 为何值时，数列{}n a 前n 项的和n S 最小； （3）求和354()n a a a a q q q q q R +++∈。

2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题文（含解析）第I卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】三角函数值的求法，通过加减周期化简为，再利用奇偶性化简到，再求值。

【详解】【点睛】三角函数值的求法，通过加减周期化简为，再利用奇偶性化简到，再求值。

2.在中，，则这个三角形的最大内角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角满足考点：余弦定理解三角形3.已知数列{}的前n项和满足：，且＝1，那么＝( )A. 1B. 9C. 10D. 55【答案】A【解析】a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.4.设向量，则的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴的夹角等于，故选A考点：本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题5.在等比数列中，，，则公比q是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，等比数列中，，，则，则；故选：A．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式．6.张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】C【解析】【分析】利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n项和公式求出结果．【详解】由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．所以织布的数据构成等差数列，设公差为d，第一天织的数据为，第30天织的数据为，则：，解得：，则：，解得：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数是奇函数，且函数过点，从而得出结论．【详解】由于函数是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；又函数过点，可以排除A，所以只有C符合．故选：C．【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．8.集合则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=.∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.9.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是A. 10B. 10C. 10D. 10【答案】B【解析】分析：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求，从而可求得x的值即塔高.详解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可得，可以求得，所以塔AB的高为米，故选B.点睛：该题考查的是有关利用正余弦定理解决空中高度测量的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有直角三角形中边角的关系，方位角，正弦定理，注意特殊角的三角函数值的大小.10.如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为（）A. 16B. 8+4C. 8+4D. 12+4【答案】C【解析】【分析】由三视图先还原几何体，然后计算出几何体的表面积【详解】由三视图还原几何体如图：可得三棱锥计算可得,,,为等腰三角形，高为，,则几何体表面积为故选C【点睛】本题考查了由三视图还原几何体并求出几何体的表面积，解题关键是还原几何体，属于中档题11.已知函数的最小值为则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可．【详解】函数的最小值为．可知：时，由，解得，因为是增函数，所以只需，恒成立即可．，所以，可得．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．12.三棱锥，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将三棱锥补成一个长方体，长宽高为2,2，，则该三棱锥外接球的直径为长方体对角线长，即，选C.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】根据对数不等式的解法和对数函数的定义域得到关于的不等式组，解不等式组可得所求的解集．【详解】原不等式等价于，所以，解得，所以原不等式的解集为．故答案为．【点睛】解答本题时根据对数函数的单调性得到关于的不等式组即可，解题中容易出现的错误是忽视函数定义域，考查对数函数单调性的应用及对数的定义，属于基础题．14.已知，则________．【答案】【解析】【详解】由于，所以，,故答案为.考点：二倍角的正弦公式15.已知数列为等差数列且，则______．【答案】【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质求得，代入正弦函数即可．【详解】在等差数列中，由，得，．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的性质，求特殊三角函数值，属于基础题，题目意在考查对等差数列性质和特殊三角函数的掌握情况．16.若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】结合二次函数的性质,判定单调区间和对称轴的关系,。

名校协作体2021-2021学年高二上学期9月联考创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景数学试题一、选择题〔本大题一一共10小题，一共分〕，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．应选：A．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，应选D。

考点：此题主要考察对数函数的性质。

点评：简单题，涉及比拟函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1〞等作为“媒介〞。

的图象向左平移个单位得到的图象，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，应选：C．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于根底题．为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵〔e为自然对数的底数〕是偶函数，∴函数〔e为自然对数的底数〕的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．应选：C．【点睛】此题考察函数的图象的判断，考察函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是根底题．x，y满足约束条件，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。

【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由得点由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是应选：D．【点睛】此题主要考察了利用线性规划知识求最值，属于根底题。

高二数学上册9月月考检测试题（有答案）
5 双语中学2018学年上学期学期高二考试（卷）
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
答题卷
解(1)
，
∴ ；
(2) ，＝10235．
所以环数落在9765与10235之间的有
99，98，101，10，98，共5次，
因此，8次射击中环数落在－s与＋s之间的次数是5次，所占的百分比为625％
18 （12分）
解本158页c组第2题。

19（13分）
解1）数据对应的散点图如图所示
2）从散点图可以看出，样本点呈条状分布，房屋销售面积与销售价格有比较好的线性相关关系，
20 （13分）
解（1）分数在内的频率为
．……… 3分
（2）．由题意，分数段的人数为人；………4分
分数段的人数为人；………………5分
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个。

泸县第一(dìyī)中学2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题文一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．直线y x+2，那么其倾斜角为A．60°B．120°C．60°或者120° D．150°2．的值是A．B．C．D．a＝2，那么a等于3．log3A．6 B．7 C．8 D．94．，那么A．B．C．D．5．函数，那么A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．，那么A．B．C．D．7．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图g x的图像关于轴对称，那么的最小值为象，假设函数()A．B．C．D．8．以下说法中，正确的选项是A．假设(jiǎshè)，，那么B．假设，那么>，那么C．假设，那么a b>，c d>D．a b9．数列满足，，那么等于A．B．C．D．10．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为A．240 B．220C．200 D．26011．函数，假设在区间内没有零点，那么的取值范围是A．B．C．D．f x满足且时，，那12．假设定义在上的函数()么方程的根的个数是A．B．C．D．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

13．设实数(shìshù)满足，那么的最小值为_____14．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，那么该三棱锥的外接球的外表积_____．15．为所在平面内一点，且，那么_____ 16．函数，假设方程恰有3个不同的实数解，记为，，，那么的取值范围是_____.三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

17．〔10分〕函数，且.〔1〕求的值；〔2〕求的值.18．〔12分〕△ABC中，A〔1，﹣4〕，B〔6，6〕，C〔﹣2，0〕．求〔1〕过点A且平行于BC边的直线的方程；〔2〕BC边的中线所在直线的方程．19．〔12分〕记公差不为(bù wéi)零的等差数列{a n}的前n项和为S n，=2，是与的等比中项．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求数列{}的前n项和T n．20．〔12分〕如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，〔1〕证明：AB⊥PC；〔2〕求PD与平面ABCD所成角的正弦值〔3〕在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？假设存在，请找出N点的位置；假设不存在，请说明理由21．〔12分〕在ABC∆中，内角的对边分别为，假设，.〔1〕求；〔2〕假设(jiǎshè)为边的中线，且，求ABC∆的面积．22．〔12分〕数列{}n a是首项为1，公比为的等比数列，. 〔1〕假设，，成等差数列，求的值；〔2〕求数列前n项和.2021年秋泸县第一中学高二开学考试文科数学参考答案1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A13．0．14．. 15．16．17．〔1〕∵1 ()3fα=，∴〔2〕18．〔1〕△ABC中，∵A〔1，﹣4〕，B〔6，6〕，C〔﹣2，0〕，故BC的斜率(xiélǜ)为，故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4〔x﹣1〕，即3x﹣4y﹣19＝0．〔2〕BC的中点为D〔2，3〕，由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，即7x﹣y﹣11＝0．19．解：〔Ⅰ〕由，，即〔2+3d〕2=〔2+d〕〔2+7d〕，解得：d=2〔d≠0〕，∴a n=2+2〔n-1〕=2n；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，，∴，∴=．20．〔1〕证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；〔2〕∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PDM为PD与平面(píngmiàn)ABCD所成角．PM，MD，PDsin∠PMD，即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．〔3〕设DB∩MC＝E，连接NE，那么有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．21．〔Ⅰ〕由正弦定理得，，又，∴，即，又，∴.∵，∴.∴.由正弦定理得.〔Ⅱ〕设.在中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得即解得.∴. ∴ABC ∆的面积.22．〔1〕由题意得,,,n S ，98，1n a -成等差数列,即,∴.〔2〕设，∴由〔1〕,,，内容总结（1）泸县第一中学2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题文一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分（2）〔2〕求PD与平面ABCD所成角的正弦值〔3〕在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC。