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常考问题13 直线、圆及其交汇[真题感悟]1．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0， 但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1， ∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件． 答案 A2．(2013·安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )．A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝1，∴截得的弦长为2r 2－d 2＝25－1＝4. 答案 C3．(2013·天津卷)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．A ．－12B ．1C ．2D.12解析 圆心为T (1，0)，由于P (2，2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，TP 与P 点处的切线垂直． ∴k TP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k TP ＝2，选C. 答案 C4．(2013·江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析 ∵圆C 经过原点O (0，0)和点P (4，0)， ∴线段OP 的垂直平分线x ＝2过圆C 的圆心， 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y －b )2＝r 2， 又圆C 与直线y ＝1相切， ∴b 2＋22＝r 2，且|1－b |＝r ，解之得b ＝－32，r ＝52，∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2545．(2013·陕西卷改编)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析 由点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，则a 2＋b 2>1，则圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交．答案 相交 [考题分析]题型 选择题、填空题难度 中档 对直线方程、圆的方程的求解． 高档 与圆有关的最值及求参数值(或范围)问题.。
考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P是圆22-++=上的动点，(3)(1)4x yx=-上的动点，则PQ的最小值为( )Q是直线3A. 6 B。
4 C. 3 D. 2【解题指南】PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径。
【解析】选B。
PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x的距离为6,半径为2，所以PQ的最小值为6=-。
242.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2，2)的直线与圆（x—1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直,则a= ( ）A. 1- B. 1 C。
2 D。
122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2）为圆（x-1）2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知,圆心（1,0)与点P（2,2)的连线与过点P（2，2)的切线垂直.因为圆心（1,0)与点P（2,2）的连线的斜率k=2，故过点P,所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此（2，2)的切线斜率为—12a=2。
A.1 B 。
2 C 。
4 D 。
【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。
【解析】选C.由22(1)(2)5x y 得圆心（1，2），半径5r,圆心到直线x+2y-5+的距离|1455|15d，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长222244lr d 。
4。
（2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C :22(2)(3)1x y -+-=,圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为 ( ) A 。
425- B.117-C.226-D.17【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PCPN PM ,然后利用对称性求解.【解析】选A.由题意知，圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C :22(3)(4)9x y -+-=的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ，且421-+=+PC PCPN PM ，点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC ，即425421-≥-+=+PC PCPN PM .5.(2013·广东高考文科·Ｔ7)垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y +=【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距离等于半径1，即1=，c =所求方程为0x y +=。
解析几何内容主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块，复习该部分内容要抓住“两个基本一个结合”：一个基本方法——坐标法，一个基本思想——方程的思想，一个完美结合——数与形的结合．这三个方面是平面解析几何核心内容的体现，也贯穿了该部分知识复习的主线．
坐标法贯穿了该部分复习的第一条主线——方程
(1)直线的点斜式方程是直线方程各种形式推导的源泉，注意直线各种形式方程之间的关系，这几种形式的方程都有各自的约束条件，如截距式方程不能表示与两坐标轴平行的直线、过坐标原点的直线等；
(2)圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，经常结合圆的性质直接确定圆心和半径；
(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础，要熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义，灵活利用定义求解有关动点的轨迹问题．椭圆和双曲线都有两种形式的标准方程，注意这两种曲线中a，b，c的几何意义以及三者之间关系的区别与联系，准确把握抛物线的标准方程的焦点坐标、准线方程等．。
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）直线2x 3y10 的一个方向向量是（）A．(2，3)B．(2，3)C．( 3，2)D．(3，2)【答案】 D2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））已知点A( 1,0), B(1,0),C (0,1) ,直线 y ax b(a0) 将△ABC切割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是（）A．(0,1)B．(12,1)( C)(12,1] D．[1,1)222332【答案】 B3．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆(x 1)2y21的两条切线 ,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为（）A． 2x y 3 0B． 2x y 3 0C． 4 x y 3 0D． 4x y 3 0【答案】 A4．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点O 0,0 , A 0,b , B a,a3 .若ABC 为直角三角形 , 则必有（）A．b a3B．b a31aC．b a3 b a310D．b a3 b a310a a【答案】 C5．（ 2013 年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,l1, l2之间 l//l1,l 与半圆订交于F,G 两点 , 与三角形ABC两边订交于E,D 两点 , 设弧FG的长为 x(0x) ,y EB BC CD, 若l从l1平行挪动到l2,则函数y f ( x)的图像大概是【答案】 D6 ．（ 2013 年高考湖南卷（理））ABC中 ,AB=AC4， P AB在等腰三角形点是边上异于A, B 的一点,光芒从点P出发,经 BC ,CA 发射后又回到原点P (如图1).若光芒QR经过 ABC的中心,则 AP 等（）A．2B．1C．8D．4【答案】 D33二、解答题7 ．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））本小题满分14 分 . 如图 , 在平面直角坐标系xOy中 , 点A(0,3) , 直线l : y 2x4,设圆C 的半径为 1,圆心在 l 上.(1)若圆心 C 也在直线y x 1上 , 过点A作圆C的切线 , 求切线的方程 ;(2)若圆 C上存在点 M ,使 MA2MO ,求圆心 C 的横坐标a的取值范围.ylAO x【答案】解 :(1)y2x4∵圆 C 的半径为1由y得圆心 C 为(3,2),x 1∴圆 C 的方程为:(x3)2( y2)21明显切线的斜率必定存在, 设所求圆 C 的切线方程为y kx3, 即kx y30∴ 3k 2 31∴3 1k 21 ∴2k( 4k3)0∴k0或许k3k21k4∴所求圆 C 的切线方程为 : y 3 或许y 3 x 3 即y 3 或许 3x4y1204(2) 解: ∵圆C的圆心在在直线l : y2x 4 上,因此,设圆心C为(a,2a-4)则圆C 的方程为 :(x a) 2y( 24) 21a又∵MA2MO∴设M为 (x,y)则x 2( y3) 22x2y 2整理得 : x2( y1) 24设为圆D∴点 M应当既在圆C上又在圆 D上即 : 圆 C和圆 D有交点∴ 2 1 a 2(2a4) ( 1)2 2 1由 5a 由 5a 228a8 0 得x R12a0 得012x512终上所述 , a的取值范围为 :0,。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）直线2310x y -+=的一个方向向量是 （ ）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D ．(3 2)，【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(1)2 ( C) 1(1]23- D ．11[,)32 【答案】B 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a =+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C 5 ．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线,12,l l 之间l //1l ,l与半圆相交于F,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点,设弧FG 的长为(0)x x π<<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是【答案】D6 ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等（ ） A ．2B ．1C ．83D ．43【答案】D二、解答题 7 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【答案】解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x (2)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a 由08852≥+-a a 得R x ∈由01252≤-a a 得5120≤≤x 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,。
专题五：解析几何【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。
2．两直线平行与垂直的充要条件。
3．点到直线的距离、两平行线间的距离。
4．圆的方程（标准方程和一般方程）。
5．直线与圆的位置关系。
6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。
7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。
第一讲直线与圆【最新考纲透析】1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。
（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
3．空间直角在系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
（2）会推导空间两点间的距离公式。
【核心要点突破】要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。
2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。
3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。
已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是，而不是2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。
