2016_2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法学业分层测评

1. 5.1 比较法拍象问題情境代，新知无师自通［对应学生用书P16］［读教材•填要点］1.定义要证a>b,只需要证a —b>0；要证a<b,只需证a —b<0，这种证明不等式的方法，称为比较法.2•用比较法证明不等式的步骤(1) 求差.(2) 变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式.(3) 作出判断.［小问题•大思维］作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证比较法证明不等式明. 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系•爲協芒点拒主立一字，此--点吐満［对应学生用书P16］_ 4 3 2［例1］求证：(1)当x€ R 时，1 + 2x》2x + x；⑵当a, b€ (0,+^)时，a a b b>( ab) |~ .［思路点拨］(1)利用作差比较法，注意变形分解；(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小.［精解详析］(1)法一：(1 + 2x4) —(2 x3+ x2)32 2=(x —1) (2x + 2x + 1)=2x (x—1) —(x + 1)( x—1)3=(x —1)(2 x —x —1)=(x —1)(2 x3—2x+ x—1)2=(x —1)［2 x(x —1) + (x —1)］=(x - 1)2.中 + 2j + 2 l>0,4^32••• 1 + 2x >2 x + x .法二：(1 + 2x 4) — (2 x 3 + x 2)4^ 3 2 4^2“=x — 2x + x + x — 2x + 12 2 2 2=(x — 1) • x + (x — 1) >0,4^32• 1 + 2x >2 x + x .综上可知，当a , b € (0 ,+^)时，a a b b >( ab ) U 成立•么规建口- (1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的 符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有 效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为 一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式 法判断符号•有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论./么型公.之作__x1.已知x >— 1,求证:,1 + x < 1 +勺证明：T x >— 1 , • 1 + x >0, 1 + x >0.a a 一 b当 a >b >0 时，^>1, 丁>0,则aa — b当 b >a >0 时，0<a <1, 丁<0, ⑵当a = b 时,------ x ---------------------- x + 1 + 1 •- ,1 + x - (1 + 2)= 1 + x — 2— ------ x + 1 1=x + 1— ~T~ — 2=-亦(x + 1) — 2 x + 1 + 1]------ x• •• 1 + x W 1+ 2.1 比较法的实际应用［例2］甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走•如果 住n , 问甲、乙二人谁先到达指定地点?［思路点拨］ 本题考查比较法在实际问题中的应用， 解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程S ,甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t 1、t 2，然后利用作差法比较 t 1 ,t 2的大小即可.［精解详析］设从出发地点至指定地点的路程为 S ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1> t 2,依题意有：t 1 t 1ym + 尹=s , s s2m + 2n =2s [4 mnr n + n ]2mn n + n2s m- n 2mn n + n其中s , m n 都是正数，且m^ n ,• t 1 一 t 2 V 0,即卩 t 1V t 2.从而知甲比乙先到达指定地点.2s m +ns m + n t 2=-imn2s n + ns m + n2mn应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解 决，也就是建立数学模型是解应用题的关键， 最后利用不等式的知识来解.解答不等式问题， 一般可分为如下步骤：①阅读理解材料； ②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论..变上.之」肚2•某人乘出租车从 A 地到B 地，有两种方案•第一种方案：乘起步价为 10元，超过规定里程后每千米 1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的， 则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？解：设A 地到B 地的距离为 m 千米.起步价内行驶的路程为 a 千米.显然当me a 时，选起步价为8元的出租车比较合适.当m>a 时，设m= a + x (x >0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为 P (x )元.乘坐起步价 为8元的出租车费用为 Qx)元，贝U P (x ) = 10 + 1.2 x , Qx ) = 8+ 1.4 x .•/ Rx ) — Qx ) = 2-0.2 x = 0.2(10 — x )•••当x >10时，Rx )<Q x )，此时选择起步价为 10元的出租车较为合适. 当x <10时，P (x )>Qx )，此时选择起步价为 8元的出租车较为合适.当x = 10时，Rx ) = Qx)，两种出租车任选，费用相同.、选择题 1.下列关系中对任意av b v 0的实数都成立的是()2 2课下训嗾经典化，贵在袖类旁通P18][对应学生用书a >—b >0.B. Ig b 2<lg a 2A. a v bbC a>1解析：••• a v b v0, (—a)2>( —b)2>0. 即a2>b2>0.序是（n = , a + .b ,得a = b >0时m = n ,可否定 B C.比较A D 项，不必论证与 p 的关系.取特值 a = 4, b = 1,贝U m = 4+1 = 9, n = 2+ 1 = 3,m > n .可排除D.答案：A4.若a , b 为不等的正数，则(ab k 十a k b ) - (a*1+ 1)( k € N+)的符号( )A.恒正B.恒负C.与k 的奇偶性有关D.与a , b 大小无关解析：(ab k + a k b ) - a k +1-b k 十1=b k (a -b )十a k (b -a ) = (a -b )( b k — a k ). ■/ a >0, b >0,若 a >b ,则 a k >b k , •- (a — b )( b — a )<0 ；2又 lg b - Ig a 2= 4< lg 1=0.2 ■ 2/• lg b v lg a . 答案：B1 22.已知P =r , Q= a -a + 1,那么P 、Q 的大小关系是(A. P >QB. P <QC. P > QD. P < Q解析:P - Q=匕a 2 - a +la 2 + a +l2 "a + a + 14 ,2—a + a =a 2+ a + 1，a 十a +1 > 0恒成立且a 十a 》0,二 P 一 Q ^ 0.即 P. 答案：D3.―a b已知 a > 0, b > 0, mn=—十—0=寸a+Q b , p = Q a + b ，贝U m , n , p 的大小顺A.n >p B . m >n 》pC. n >m >pD. n 》m >p解析：由已知，知 m=jh +若a<b,贝U a k<b k,「.(a—b)( b k—a k)<0.答案：B二、填空题5. ________________________________________________________________________ 若x v y v 0, M= (x2+ y2)( x —y) , N= (x2—y2)( x + y),则M N的大小关系为______________ .2 2 2 2解析：M- N= (x + y )( x —y) —(x —y )( x+ y)2 2 2=(x —y)[( x + y ) —(x+ y) ] = —2xy(x—y).••• x<y<0,「. xy>0, x —y<0.一2xy(x —y)>0，—M- N>0.即M>N.答案：M>N—16. 设0<x<1，贝U a=j2x, b= 1 + x, c = 中最大的一个是______________ .解析：由a2= 2x, b2= 1 + x2+ 2x>a2, a>0, b>0,得b>a.2 21 1 — 1 —x x又c―b= 口—(1 + x)= = 1—7°，得c>b,知c最大.答案：c7. 如果a>°, b>°,则下列两式的大小关系为lg(1 + >/ab) ________ *[lg(1 + a) + lg(1+ b)].(填不等关系符号)解析：T (1 + a)( b+ 1) = 1 + a+ b+ ab,1 •••2【lg(1 + a) + lg(1 + b)]=lg 1 + a + b+ ab.■/ (1 + . ab)2—( , 1 + a+ b+ ab)2= 2 , ab —(a+ b),又a + b》2 ：：.；：ab,.°. ab—(a+ b) w 0.•- lg(1 + .ab) W 2[lg(1 + a) + lg(1 + b)].答案：w3 500&一个个体户有一种商品，其成本低于—元.如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为 2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%勺保管费，这种商品应________ 出售(填“月初”或“月末”).解析：设这种商品的成本费为a 元.月初售出的利润为 L i = 100+ (a +100) x 2.5%, 月末售出的利润为 L 2= 120-2%a ,则 L i - L 2= 100 + 0.025 a + 2.5 — 120 + 0.02 a (3 500 > =0.045 a -丁，3 500T a <—9 ，二L 1<L 2，月末出售好. 答案：月末 三、解答题 9.已知 a 》1,求证屯j a + 1 — Ej'a Sf a — a — 1,证明：••• ( a + 1 — a ) — C a — a — 1) _ 1 1；;：：;a+ 1 + ...；a -.』a + ;；a — 1=—:』a - 1- a + 1v 0,\.''a + 1 + \.'a、-...；a + a — 1\.j a + 1 — a<Ja — pa — 1.10. 设a , b 是非负实数，求证：a 3 + b 3> ab ( a 2 + b 2). 证明：由a , b 是非负实数，作差得a 3 +b 3- ab ( a 2+ b 2)=a “(曲-W )+ b 2托(血-曲 =(.a — ,b)[(.a)5— ( ,b)5].当 a >b 时，a > b ,从而(a )5>( b )5, 得( .a — ,b )[(.a )5— ( b )5] >0;当 a <b 时，,a < b ，从而(，a )5<( b )5, 得(a — ,b )[(.a )5— ( b )5]>0.所以 a 3 + b 3> ab ( a 2 + b 2).11 .设 m€ R , a >b >1, f (x )=mx，比较f (a )与f (b )的大小. x — 1-a >b >1,• • b — a <0, a —1>0, b —1>0,解: maf (a ) — f (b )=肓 mb b — 1 mlb — aa —b — 1,, m b — a当 m=0 时， a _b _ ] = 0， f (a )= f (b ).当m >0时， m b — a a — b — <0，f(a)<f(b)； 当m <0时，m b — a a -1* b —>0，f(a )>f(b )；<0.a —b —]b — a。

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第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1。

1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4—5(建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜x2－2x－3≤0｝，则∁U M＝（)A。

{x｜－1≤x≤3} B.｛x｜－3≤x≤1｝C.{x|x＜－3或x＞1}D.｛x｜x＜－1或x＞3｝【解析】法一：因为M＝{x｜－1≤x≤3｝，全集U＝R，所以∁U M＝｛x｜x＜－1或x＞3}.法二：因为M＝｛x｜x2－2x－3≤0｝，所以∁U M＝｛x｜x2－2x－3＞0｝＝{x｜x＜－1或x＞3}.【答案】D2.设a＞1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a（a－1），p＝log a(2a）,则m，n,p的大小关系为( ）A.n＞m＞pB.m＞p＞nC。

m＞n＞p D。

p＞m＞n【解析】当a＞1时，∵a2＋1－2a＝（a－1)2＞0，∴a2＋1＞2a。