专题2.2 分式方程及应用(课件)-2021年中考数学一轮复习课件与练习(安徽专用)

高频考向探究
探究一 解分式方程
例 1 [2017·宁夏] 解方程:������+3- 4 =1.
������-3 ������+3
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误: (1)漏乘没有分母的项; (2)没有验根; (3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9, 移项、合并同类项,得 2x=-30, 系数化为 1,得 x=-15, 经检验:x=-15 是原方程的解.
解:设原计划平均每天施工 x 平方米,
则33000
������
-313.020������0
=11,
解得 x=500,
经检验,x=500 是原分式方程的解且符
合题意,
∴实际平均每天施工为
500×(1+20%)=600(平方米).
答:实际平均每天施工为 600 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 列分式方程解应用题时应注意: (1)设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接 设、设多元等; (2)求分式方程的解,验根应从两个方面出发:方程本身和实际意义.
A.a=-5
B.a=5
C.a=-9
D.a=9
3.解分式方程������2-1+���1���+-���2��� =3 时,去分母后变形正确的为( D )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
课前双基巩固
4.若分式方程 ������2 = 1 有增根,则增根为(

得分要领►解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方 程”．注意解分式方程一定要验根．
命题点2
分式方程的实际应用
3．[2013·安徽，20,10分]某校为了进一步开展“阳光体 育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛 球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒 乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍． (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表 示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用； (2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，则购买羽毛球拍花 费为(2000＋25x)元，则购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总 费用为2000＋2000＋25x＝(4000＋25x)元． (2)由(1)，得羽毛球拍数为
(2)设甲、乙两个工程队修路天数分别为a天，b天．依题意， 得
由①，得b＝15－1.5a， 代入②，得0.5a＋0.4(15－1.5a)≤5.2， 解得a≥8. 答：甲工程队至少要修路8天．
第一部分 系统复习 成绩基石
第二章
第 6讲
方程(组)与不等式(组)
分式方程及其应用
沪科版：七年级下册第9章分式9.3 人教版：八年级上册第15章分式15.3 北师版：八年级下册第5章分式5.4
考点梳理过关
考点1 分式方程的概念
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程． 提示►“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区 别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
解得x1＝40，x2＝－40. 经检验，x1＝40，x2＝－40都是原方程的解，但x>0， ∴x＝40. ∴x为40.
猜押预测►1.[2017·乌鲁木齐中考]2017年，在创建文明城 市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结 果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是 ( )

a的值之和是（
）
y 2 a
A．-5
B．-4
C．-3
D．-2
【分析】由关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1
有解得到a的取值范围，再由关
于x的分式方程
ax 3 1 3x 1
x2
2x
y 2 a
的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式
组成不等式组，确定a的整数解，结论可求．
典型例题
典型例题
Байду номын сангаас
【例6】（3分）（2021•西藏16/27）若关于x的分式方程
2x 1 m x 1 x 1
无解，
则m=
．
【考点】分式方程的解． 【分析】解方程得x= m-1，由方程无解，可知x=1，即可求m=2．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【解答】解： 2x 1 m ，
x 1 x 1
方程两边同时乘以x-1，得2x-(x-1)=m， 去括号，得2x-x+1=m， 移项、合并同类项，得x= m-1， ∵方程无解，∴x=1， ∴m-1=1， ∴m=2， 故答案为2． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法，理解无解的意义是解题的关键．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
解关于y的一元一次不等式组
3y 2 2 y2
y a
1
得：
y y
0 a
．
2
∵关于y的一元一次不等式组
3y 2
2
y 1 有解，
∴a-2＜0．
y 2 a
∴a＜2．
综上，-4＜a＜2且a≠-1．
∵a为整数，∴a=-3或-2或0或1．
∴满足条件的整数a的值之和是：-3-2+0+1=-5．故选：A．

根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，
600 600 由题意得： x − 15x =140，
解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是 每秒60兆．
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望 小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获 利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？ 【分析】 （1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝ 总价÷单价结合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
3
求购买 A 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花弃每盆 1 元，B 种花卉每盆 1.5 元；（2）购买 A 种花卉 1500 盆时 购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元
【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方 程并检验；
4.（2020•广东）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面 积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类 摊位每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊
3

考点3 分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：列分式方程解决应用问题。
5．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生 产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若 乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务， 问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为（ B ）
B
【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方 程来解即可．
【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式 方程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不
可少解的重：要方步程骤两之边一都，因乘为以在x－方程1，两得边2都x乘＝以x－最1简＋公1分，母时， 容易产生增移根项（是、整合式并方，程得的x根＝，0但，不是分式方程的根，也可 以说是使最经简检公分验母，为x＝0的0根是）原．方程的解．
5．列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； ③找：找出_等__量__关__系___； ④列：列出_分__式__方__程___； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要验证根是否为_原__分_式__方__程__的_根__，又要检 验根_是__否__符_合__题__意___； ⑦答：写出答案.
（2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出 甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.
【思维模式】1.在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的 量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间接 设，设多元等； 三是求分式方程的解． 2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.

（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前 赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.

1
，去分母，得y-a+3y-4=y-2,解这个整式方程，得y=
a+2 3
.因为a≤7，
所以当a=1,4,7时 a+2 为正整数.当a=4时， y=2是分式方程的增根，分式方程无解. 3
综上，可得a=1或7，它们的积为1×7=7.
二、填空题（本大题共 10 道小题） 11. 【答案】a≤4 且 a≠3 [解析]方程两边同时乘以(x-1)，去分母得(2x-a)+1=3(x-1)，
8. 【答案】去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到 x﹣2＝0，即 x＝2， 把 x＝2 代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D．
9. 【答案】 A【解析】本题考查了分式方程的解法，用含字母的式子表示方程的
解，解：方程
4
两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
3 的解相同，因此 x＝－2 也是方程a－ax1－x－2 1＝1 的解．这时a－－21a－－22－1＝1. 解得 a＝17.当 a＝17时，a－1≠0，故 a＝17满足条件．
故 x＝－1 是原方程的解．
3. 【答案】A 【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费 恰好等于一株椽的价钱列分式方程 A，因此本题选 A．
4. 【答案】C 【解析】本题考查了分式方程的实际应用.解答过程如下：
设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间直播教室的建设费用是
4. （2020·昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 8000 元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 20%，并比 原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了 4000 元.根据题意，求出原计划每 间直播教室的建设费用是（ ） A.1600 元 B.1800 元 C.2000 元 D.2400 元

课前预测 你很棒
5. (2014·浙江嘉兴)解方程：
1 3 － 2 ＝0. x－1 x －1
解： x＝2
6. (2012·湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作 8800 件投 入市场， 服装厂有 A， B 两个制衣车间， A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍， A， B 两车间共同完成一半后， A 车间出现故障停产， 剩下全部由 B 车间单独完成， 结果前后共用 20 天完成，求 A，B 两车间每天分别能加工多少件？
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夯实基本
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知已知彼
知识结构梳理
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夯实基本
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基础知识回顾 1. 分式方程：分母中含有________的方程叫分式方程． 2. 解分式方程 (1)解分式方程的一般步骤： ①去分母，在方程的两边都乘________，约去分母，化成整式方程． ②解这个整式方程． ③验根，把整式方程的根代入 ________ ，看结果是不是零，使最简公分母为 零的根是原方程的增根，必须舍去． (2)用换元法解分式方程的一般步骤： ①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式． ②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值． ③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值． ④检验作答． 温馨提示 ①去分母时，不要漏乘没有分母的项． ②解分式方程的重要步骤是检验，必须书面检验．检验的方法可以代入最简 公分母检验，也可直接代入原方程验根．
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热点看台
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快速提升
热点一 列分式方程 热点搜索 列分式方程解应用题的6个步骤中关键是“列”，难点是“审”， 所以如何做好审题，列方程是解决问题重中之重．列分式方程解应用题的一般思 路是：(1)弄清题中涉及哪些量，已知量是什么，求什么．(2)抓住题目中的重要 语句，根据这些重要语句列出代数式．(3)找出等量关系，将等量关系由文字语 言转化为数学符号语言，列出方程．根据题目的需要一般直接设未知数，但有时 可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这 种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数， 有时可使解答变得简捷．习讲义◆ 数学

路程 ③行程问题：时间＝程度.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
求出的整式方程的根，但使分式方程分母为 0，也可能是去分母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．

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三、解答题 9．(2018·无锡)解方程：x－1 2 ＝12－－xx －3.
解：两边都乘以 x－2，得 1＝x－1－3(x－2). 解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0. 所以 x＝2 是分式方程的增根，则原分式方程无解．
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10．(2020·陕西)解分式方程：x－x 2 －x－3 2 ＝1.
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12．(2018·贺州)解分式方程：x2－4 1 ＋1＝xx－＋11 .
解：去分母，得 4＋x2－1＝x2－2x＋1. 解得 x＝－1. 经检验，x＝－1 是增根，分式方程无解．
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13．(2019·湘西)列方程解应用题：某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300 km，提速后比提速前多行驶 200 km，求该列车提 速前的平均速度．
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解：(1)设甲公司有 x 人，则乙公司有(x＋30)人．
依题意，得100x000 ×76 ＝1x4＋0 03000 ， 解得 x＝150. 经检验，x＝150 是原分式方程的解，且符合题意． ∴x＋30＝180. 答：甲公司有 150 人，乙公司有 180 人．
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(2)设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱． 依题意，得 15 000m＋12 000n＝100 000＋140 000，
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解：设该列车提速前的平均速度为 x km/h，则提速 后的平均速度为(x＋80)km/h. 依题意，得3x00 ＝30x0＋＋82000 ，解得 x＝120. 经检验，x＝120 是原分式方程的解，且符合题意． 答：该列车提速前的平均速度为 120 km/h.

答:商店共获毛利润 138900 元.
计划的1.5倍,结果比原计划少用2天,设原计划每天加工零件x个,可列方程


= .+2 .

5.[浙教版教材七下 P139 第 11 题改编]方程
+1
2 -2+1
+
2
=0 的解为
-1
x=
.
1
[答案]
3
[解析]去分母,得 x+1+2(x-1)=0,
1
合并同类项,得 3x-1=0,解得 x=3.
150-
.
2
化简,得 b=
(2)4月份,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店
按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b
件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值.
按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b
件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.
①用含a的代数式表示b;
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值.
例2[2020·温州]某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫,售完后,4月份用39000
∴x=2是原方程的解,
故原分式方程的解是x=2.
例
2
1(2)[2019·上海]解方程:
-2
−
8
=1.
2 -2
(2)去分母,得2x2-8=x2-2x,
即x2+2x-8=0,

第一部分 教材知识梳理
第二单元 方程（组）与不等 式（组）
第8课时 分式方程及其应用
中考考点清单
考点1 分式方程的概念及其解法
1. 定义:分母中含有①_未__知__数____的方程.
2. 分式方程的解法 （1）解分式方程的步骤
（2）增根：使分式方程分母为②_零___的根. 【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一概 念，增根是分式方程去分母后化为整式方程的解， 也是使分式方程的分母为0的根，而分式方程无 解指所得解是原分式方程的增根，或化为整式方 程后，整式方程无解.
系数化为1x=-3……………….第五步
把x=-3代入x-2中得x-2=-5≠0.
∴x=-3是原方程的解………...第六步
上述解法从第__一___步开始出现错误，应改为，
____2_-_2_(_x_-2_)_=_-_(此1-x题) 最终的结果是_____.
7 3
【名师提醒】在解分式方程时，应注意以下两
确的是（ ） D
A.
210 x
+1.8=
210 1.5 x
C.
210 x
+1.5=
210 1.5 x
B. 210 -1.8= 210
x
1.8 x
D. 210 -1.5= 210
x
1.8 x
【解析】本题考查了列分式方程来解决实际问
题.由题意可得，本来需要的时间为 210 ,加速
后需要
210 1.8 x
原题信息
整理后的信息
Байду номын сангаас
每行驶1千米，本来的燃
燃油汽车每行驶1
油汽车所需的油费比新购
一
千米所需的油费
买的纯电动汽车所需的电