高中数学12从位移、速度、力到向量;从位移的合成到向量的加法练习北师大版4讲解

从位移的合成到向量的加法课时作业 北师大版必修4一、选择题1．在△ABC 中，AB →＝a ，CB →＝b ，则CA →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －a D ．－a －b[答案] C[解析] CA →＝CB →＋BA →＝b －AB →＝b －a ，故选C ． 2．化简(AB →－CD →)＋(BE →－DE →)的结果是( ) A ．0 B ．AE → C ．CA → D ．AC → [答案] D[解析] 原式＝AB →－CD →＋BE →－DE →＝(AB →＋BE →)－(CD →＋DE →)＝AE →－CE →＝AE →＋EC →＝AC →. 3．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD → D ．AC →＋AD →＝DC → [答案] C[解析] AB →＋BC →＝AC →≠CA →，故A 项错.AB →＋AC →≠BC →，故B 项错.AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →＝AD →，故C 项正确.AC →＋AD →≠DC →，故D 项错．4．下列命题中，真命题的个数为( )①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量； ④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 要选出正确答案，需对每个命题进行判断．若a 与b 不共线，则由向量加法和减法的几何意义知a ＋b 与a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因此a ＋b 与a －b 不共线，与已知条件矛盾，从而a 与b 必为共线向量，故命题①正确；由不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件可知命题②与③都正确；由||a |－|b ||＝|a |＋|b |可得|a |－|b |＝|a |＋|b |或|a |－|b |＝－|a |－|b |，所以|b |＝0或|a |＝0，从而b ＝0或a ＝0，即说明b 不一定为零向量，故命题④不正确，故选C ．5．如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD → D ．CF →[答案] D[解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →，∴BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D ．6．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB →－BC →|的值是( ) A ．0 B ．1 C ． 3 D ．2[答案] C[解析] 由|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，得△ABC 为正三角形，则AB →－BC →＝AB →＋CB →，如图所示，过点B 作BD →＝CB →，则AB →－BC →＝AD →，所以|AB →－BC →|＝|AD →|＝ 3.二、填空题7．梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC 与BD 交于O 点，则AD →－BD →＋BC →－AO →＋CO →＝________. [答案] 0[解析] 原式＝AD →＋DB →＋BC →＋OA →＋CO →＝0.8．已知|a |＝|b |＝|a －b |，作OA →＝a ，OB →＝a ＋b ，则∠AOB ＝________. [答案] 30°[解析] 如图所示，由|a |＝|b |＝|a －b |，易知△ABC 为正三角形，故∠AOB ＝30°.三、解答题9．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝B ．(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |； (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ [解析] (1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －B ．(2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →，a ＋b 与a －b 所在直线垂直，即AC ⊥BD ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a ，b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. ∵矩形的对角线相等，∴当a 与b 垂直时，满足|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为▱ABCD 的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．10.如右图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求其合力的大小及方向．[解析] 如题图，设OA →、OB →分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →就是合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形且∠COA ＝30°.过A 作AD ⊥OC 于D ，则在Rt △OAD 中，|OD →|＝|OA →|cos30°＝6032＝303，故|OC →|＝2|OD →|＝603，即合力的大小为603N ，方向与水平方向成30°角向上．。

从位移的合成到向量的加法一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】一、提出课题：向量是否能进行运算？1．某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：−→−AB+−→−BC=−→−ACA B C2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 提出课题：向量的加法【探究新知】1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-1，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论中正确的是( )图2-2-1A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD=AC+CDD.AB+BC+CD=DA解析：因为AO+OD=AD,AC+CD=AD，所以AO+OD=AC+CD.答案：C2.如图2-2-2，作向量a、b的和______________.图2-2-2解：在平面中任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC就是向量a和b的和，即a+b，则a+b=AB+BC=AC.3.如图2-2-3，已知向量a、b、c、d，作出向量a+b+c+d.图2-2-3解：在空间中任取一点O，作OA=a，AB=b，BC=c，CD=d，则OD=a+b+c+d.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-2-4，正方形ABCD的边长为1，则|AB+BC+DC+AD|为( )图2-2-42A.1B.2C.3D.22.解析：|AB+BC+DC+AD|=|2AC|=2|AC|=2答案：D2.如图2-2-5，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )图2-2-5A.AB+BC=CAB.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC解析：利用三角形法则和平行四边形法则.答案：C3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向( )A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析：由平行向量与题意可知A正确答案：A4.如图2-2-6，试作出向量a与b的和a+b.图2-2-6解：如下图，首先作OA=a，再作AB=b，则OB=a+b.5.已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|.当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列等式错误的是( )A.a+0=0+a=aB.（a+b）+c=a+（c+b）C.AB+BA=0D.AB+CB=AC解析：由向量加法的运算法则，可知D不正确.答案：D2.已知P为△ABC所在平面内的一点，当+=成立时，点P位于( )A.△ABC的AB边上B.△ABC的BC边上C.△ABC的内部D.△ABC的外部解析：由向量加法的平行四边形法则易知，点P在△ABC的外部.答案：D3.设（AB+CD）+（BC+DA）=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a∥b②a+b=a③a+b=b④|a+b|＜|a|+|b|A.①③B.②③C.②④D.①②解析：（+）+（+)=(+)+(+)=+=0=a,所以①③正确.答案：A4.向量a、b都是非零向量，下列说法中不正确的是( )A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同解析：由共线向量的定义可解.答案：C5.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则( )A.a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=-bD.a、b无论什么关系均可解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.答案：A6.在平行四边形ABCD中，下列式子：①=+；②=AC+CD；③+=AC；④+BC=AC；⑤AD=AB+BC+CD；⑥AD=DC+CA.其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.4 D.6解析：由向量加法的平行四边形法则和三角形法则可知，只有⑥AD =DC +CA 不正确. 答案：A7.正六边形ABCDEF 中，AB +FE +CD =______________.解析：作出图形，利用向量加法的平行四边形法则和向量相等的定义易知AB +FE +CD =AD .答案：AD8.设a 表示“向东走了2s 千米”，b 表示“向南走了2s 千米”，c 表示“向西走了2s 千米”，d 表示“向北走了2s 千米”，则(1)a+d 表示向____________走了____________千米；(2)b+c 表示向____________走了____________千米；(3)a+c+d 表示向____________走了____________千米；(4)b+c+d 表示向____________走了____________千米；(5)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a +b |=__________km ，a +b 的方向是________；(6)一架飞机向北飞行300 km 后改变航向向____________飞行____________km ，两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1°，大小为500 km ，飞行路程为____________km.解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.答案：（1）东北 22s （2）西南 22s （3）北 2s （4）西 2s （5）28 东偏北45° （6）西 400 7009.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小.解：如下图，设水流速度为v 1=AB ，船的实际速度为v 2=AD ，水流速度与船的实际速度的合速度为v=AC ，则|AC |=5.由题意，知=+，∴四边形ABCD 为平行四边形，且AC ⊥AB ，∠CDA=30°.∴|AD |=2||=2×5=10，||=|AB |=|AD |cos30°=35.∴水流速度的大小为35km/h ，船的实际速度的大小为10 km/h.。

[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向； ②单位向量的方向任意；③长度为1 cm 的向量是一个单位向量； ④与一个非零向量共线的单位向量有两个． A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故②不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm 不一定等于1个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，有下列4个结论：①AD →＝FE →，AF →＝DE →；②DF →∥CB →； ③|CF →|＝|DE →|；④FD →＝BE →. 其中正确的为( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①④解析：选B.因为D ，E ，F 分别为△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，所以EF 綊12AB ＝AD ，AF 綊DE ，DF ∥CB ，DE 綊CF ，故①②③正确．3．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )A ．C AB ．A ∩B ＝{a}C ．CBD ．A ∩B{a}解析：选B .因为A ∩B 中还含有与a 方向相反的向量，故B 错． 4．给出下列说法：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C .由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的．5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A ．4πB ．πC ．2πD ．3π解析：选D .图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12)＝3π. 6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0.答案：07．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析：在四边形ABCD 中，BA →＝CD →，则ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|，所以四边形是菱形．答案：菱形 8.如图所示，在梯形ABCD 中，若E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，则|EF →|＝________．解析：过D 作DH ∥AB ，分别交EF ，BC 于点G ，H ，因为|AD →|＝2，所以|EG →|＝|BH →|＝2， 又|BC →|＝5，所以|HC →|＝3，又E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点， 所以G 为DH 的三等分点，所以GF →∥HC →， 且|GF →|＝13|HC →|，所以|GF →|＝1，所以|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3. 答案：39．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？解：如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400(km)． BC →表示飞机从B 地按东偏南15°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400(km) . 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400(km)，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以AC ＝1 400(km)．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1 400 km 处． 10.已知ABCD 是任意四边形，边AD ，BC 的中点分别为E ，F ，延长AF 到G ，使F 恰为AG 的中点，连接BG ，CG ，DG ，AC .(1)试找出与AB →相等的向量； (2)试找出与AC →相等的向量； (3)试找出与EF →共线的向量． 解：(1)F 是AG 和BC 的中点，所以四边形ABGC 是平行四边形． 故AB →＝CG →.(2)由(1)知四边形ABGC 是平行四边形， 所以AC →＝BG →.(3)因为E 为AD 的中点，F 是AG 的中点， 所以EF 为△ADG 的中位线，EF ∥DG ， 所以与EF →共线的向量有DG →，GD →和FE →.[B 能力提升]1.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →模的3倍 D.CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．2．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°， 故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km 3.如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN →＝MA →. 证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →， 所以四边形ABCD 为平行四边形， 所以AD →＝BC →.因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点， 所以|AN →|＝12|AD →|，|MC →|＝12|BC →|，所以|AN →|＝|MC →|. 又因为AN →∥MC →，所以四边形AMCN 是平行四边形， 所以CN →∥MA →，|CN →|＝|MA →|， 且CN →，MA →方向相同， 所以CN →＝MA →. 4．(选做题)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移． 解：(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →. 所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”．。

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.1从位移、速度、力到向量课后训练 北师大版必修4 "1．给出以下命题：①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；③坐标平面上的x 轴与y 轴都是向量．其中真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列说法中正确的是( )．A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B ．方向相同的向量叫相等向量C ．零向量的长度为零D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．下列说法正确的是( )．A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 是四边形ABCD 是平行四边形的等价条件 C ．若非零向量AB u u u r ∥CD uuu r ，那么AB ∥CD D ．AB u u u r ＝CD uuu r 的等价条件是A 与C 重合，B 与D 重合 4．如下图，在等腰梯形ABCD 中，①AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量；②AB CD =u u u r u u u r ；③AB CD >u u u r u u u r ．以上结论中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，在菱形A BCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )．A ．与AB u u u r 相等的向量只有一个 B ．与AB u u u r 的模相等的向量有9个C ．BD u u u r 的模恰为DA u u u r 模的3倍 D ．CB u u u r 与DA u u u r 不共线 6．如图所示，C ，D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( )．A ．3B ．6C ．8D ．127．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中与AB u u u r 共线的向量有__________； (2)图中与AB u u u r 相等的向量有__________； (3)图中与AB u u u r 模相等的向量有__________； (4)图中EC uuu r 与BD u u u r 是__________向量；(填“相等”或“不相等”) (5) AB u u u r 与BA u u u r 相等吗？__________． 8．如下图所示，在四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为________．9．下面是为判断向量AB u u u r 、CD uuu r 是否为平行向量设计的算法框图，你能发现其中的错误并加以改正吗？10．一艘海上巡逻艇从港口A向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助．试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移的大小及方向(sin 53°≈0.8)．参考答案1答案：C2答案：C3答案：B4答案：A5答案：D6答案：B 7答案：(1) BE u u u r ，CD uuu r (2) BE u u u r (3) BC uuu r ，CD uuu r ，DA u u u r ，BE u u u r (4)相等 (5)不相等 8答案：菱形9答案：略10答案：(1)70 (n mile)(2)位移的大小为50 n mile ，方向约为北偏东53°。

高中数学第二章平面向量2-2从位移的合成到向量的加法自主训练北师大版必修4自主广场我夯基我达标1.正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（）A.1B.C.3D.222思路解析：|+++|=2||=.22答案：D2.如图2-2-10，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（）图2-2-10A.+=B.+=C.+=D.+=思路解析：由三角形法则和平行四边形法则知，+=，A错；+=，B错；+=，D错.C中+=+==，故C是正确的.答案：C3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向（）A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反思路解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同，如果它们的方向相反，因为a的模大于b 的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.答案：A4.设a表示“向东走了2千米”，b表示“向南走了2千米”，c表示“向西走了2千米”，d表示“向北走了2千米”，则（1）a+d表示向____________走了____________千米；（2）b+c表示向____________走了____________千米；(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；(5)若a表示向东走8 km，b表示向北走8 km，则|a+b|=____________km，a+b的方向是____________.思路分析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.答案：（1）东北22（2）西南22(3)北 2(4)西 2(5) 东偏北45°28我综合我发展5.化简下列各式:(1)++；AB CA BC（2）.DO+-OD-OE-OF思路分析：结合图形，并运用向量加减法的运算律来化简.。

2.2 从位移的合成到向量的加法课后导练基础达标1.下列等式正确的个数是( )①0-a =-a ②-(-a )=a ③a +(-a )=0 ④a +0=a ⑤a -b =a +(-b ) ⑥a +(-a )=0A.3B.4C.5D.6解析:只有第⑥个错误.答案：C2.化简（AB -CD ）+（BE -DE ）的结果是( ) A.0 B.AE C.CA D.AC 解析：（AB -CD ）+（BE -DE ）=AB +DC +BE +ED =AB +BE +ED +DC =AC . 答案：D3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（ ）①AB +BC +CA②（AB +MB ）+BO +OM③CO BO OC OA +++④AB +CA +BD +DCA.1B.2C.3D.4解析：①④两式结果为0.答案：B4.如右图，正方形ABCD 的边长为1，则|AB +BC +DC +AD |等于…（ ）A.1B.2C.3D.22解析：|AB +BC +DC +AD |=|2AC |=2|AC |=22.答案：D5.如右图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是（ ）A.AB +BC =CAB.AB +AC =BCC.AC +BA =ADD.AC +AD =DC答案：C6.若|AB |=7，|AC |=3，则|BC |的取值范围_________.解析：|BC |=|AC -AB |，当AB 与AC 同向时，|BC |min =4；当AB 与AC 反向时，|BC |max =10.答案：4≤|BC |≤107.设向量a 表示“向东走6 m”，b 表示“向北走6 m ”，则|a +b |________=,a +b 的方向是______.解析:由向量加法的三角形法则知|a +b |=26，而a +b 的方向是东北方向.答案：26 m 东北方向8.求证：对任意向量a 、b ，都有|a +b |≤|a |+|b |.证明：(1)当a 、b 不共线时，如右图，a +b =OB ，∵△OAB 中|OB |＜|OA |+|AB |,∴|a +b |≤|a |+|b |.(2)当a ,b 共线时，a ,b 同向则|a +b |=|a |+|b |；a ,b 反向则|a +b |＜|a |+|b |.∴对任意向量a ,b ，都有|a +b |≤|a |+|b |.9.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，若船从A 处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？解析：v 实=320400160022=-=-水船v v ，tan∠ABC=320320=,∴∠ABC=60°,20 m/s，与水流的夹角是60°.答：船的速度是3综合运用10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向( )A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.答案：A11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则( )A.a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=-bD.a、b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a 与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|. 答案：A12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD=_______.解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b答案：a+c-b13.在平行四边形ABCD中，若|AB+AD|=|AB-AD|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.解析：由|+|=|-|，即|AC|=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.答案：矩形14.已知=a，=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.（1）求|a+b|,|a-b|.（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.解析：如右图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， ∵|a |=|b |=4,∠AOB=60°, ∴OACB 为菱形.(1)a +b =OA +OB =OC ,a -b =OA -OB =BA , ∴|a +b |=|OC |=2|OD |=2×23×4=34, |a -b |=|BA |=4.（2）∵∠COA=21∠AOB=30°， a+b 与a 所成的角即∠COA=30°，a -b 与a 所成的角即BA 与OA 所成的角∠CBA=60°.拓展探究15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10 n mile 处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9 n mile/h 的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18 n mile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.解：如右图，渔船在A 处遇险，货船在B 处，货船在C 处与渔船相遇，设所用时间为t ，由已知△ABC 为直角三角形.|BA |=10,|AC |=9t,|BC |=18t,由勾股定理得：|BC |2=||2+|AC |2. ∴182t 2=100+92t 2.∴t 2=243100. ∴t≈0.64.21 ， ∴∠ABC=30°.∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.。

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：课时作业13 从位移、速度、力到向量时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．在下列六个物理量：质量、力、速度、加速度、功、位移中，不能称为向量的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：质量没有方向，功也没有方向，其余的量均是既有大小又有方向的量，故质量、功不能称为向量．2．下列说法中正确的个数是( B ) ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的长度为0；③任意两个单位向量的方向相同； ④同向的两个向量可以比较大小． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：零向量的长度为0，方向是任意的，故①错误，②正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故③错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故④错误．3.如图，在圆O 中，向量OB →，OC →，AO →是( C )A ．有公共起点的向量B ．单位向量C ．模相等的向量D ．上述说法均不正确解析：向量OB →，OC →有公共起点O ，不与AO →有公共起点，故A 错；只有视半径为单位长度时，圆O 才是单位圆，向量OB →，OC →，AO →是单位向量，故B 错；向量OB →，OC →，AO →虽然方向不相同，但模相等，故C 正确．4．两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶了相同的路程，设两列火车的位移分别为a 和b ，则下列说法中错误的个数是( B )①a 与b 为平行向量；②a 与b 为模相等的向量；③a 与b 为相等向量． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶，即a 与b 为反向的共线向量，故①正确；③错误；两列火车行驶了相同的路程，即a 与b 的模相等，②正确．5．如图四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是( D )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →解析：∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，∴AO ＝OC 且方向相同，∴AO →＝OC →.6．下列命题中，正确的是( C ) A ．|a |＝|b |⇒a ＝b B ．|a |>|b |⇒a >b C ．a ＝b ⇒a ∥b D ．|a |＝0⇒a ＝0解析：解法一：(直接法)因为如果两向量相等，则这两个向量必定平行，所以应选C. 解法二：(排除法)由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A 、B ；零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的，可排除D ，所以应选C.7.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，①AB →与CD →是共线向量；②AB →＝CD →；③AB →>CD →.以上结论中正确的个数是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②③均不正确．8．如图所示，C ，D 是线段AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( B )A ．3B ．6C ．8D ．12解析：1个单位长度的向量有AC →，CA →，CD →，DC →，DB →，BD →6个． 2个单位长度的向量有AD →，DA →，CB →，BC →4个． 3个单位长度的向量有AB →，BA →2个．因此，共6＋4＋2＝12个，但其中AC →＝CD →＝DB →，BD →＝DC →＝CA →，AD →＝CB →，BC →＝DA →，因此互不相等的向量有6个．二、填空题(每小题5分，共15分)9．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为AB →，DC →； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于6.解析：(1)利用平行四边形的性质，确定与|ED →|相等的向量，再确定与ED →的方向相同．在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.∴应填：AB →、DC →.(2)要求|EC →|需建立|EC →|与|AB →|的联系．因为ED →＝DC →，所以E 、D 、C 三点共线，从而问题解决．由(1)知，ED →＝DC →，所以E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.∴应填：6.10.如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的正三角形．设正△ABC的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH →相等的向量是HC →，LB ′→；(2)与向量GH →共线的向量有GB →，LE →，EC ′→，LB ′→(答案不唯一)；(3)与向量EA →平行的向量是EF →，FB →，HK →，HA ′→(答案不唯一)．((2)、(3)至少填出四个) 11．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是①③④.解析：当|a |＝|b |时，a 与b 的方向不确定，不一定能推出a ∥b .其余选项均可以． 三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中．(1)写出与DA →平行的向量； (2)写出与DA →的模相等的向量．解：(1)与DA →平行的向量：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →的模相等的向量：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →. 13．(13分)在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长均为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并指出向量c 的终点的轨迹是什么图形．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且方向相同、长度相等(如图)．(2)答案不唯一．如图，AC →为一个满足题意的向量c ，由平面几何知识，可知向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，5为半径的圆．——能力提升类——14．(5分)已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝0.解析：平行向量又叫作共线向量，而与不共线向量AB →，BC →都共线的向量只能是零向量． 15．(15分)2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，救灾物品以各种渠道送到灾区．邱德甫机组在紧急实施救灾物品空投任务中，创造了大型运输机下半夜空投的历史先例．他们在没有风向风速数据以及恶劣的天气状况下是怎样做到空投方位最准的呢？如图，假定飞机所在的位置在地面上的对应点为A ，需投放物资的地点为B ，现在仪器表屏幕上显示4×5的方格中有一个向量，以图中的格点为起点和终点作向量，其中与向量AB →相等的向量有多少个？与AB →长度相等的共线向量有多少个？→相等的向量有7个，与AB→长度相等的共线向量有15个．解：与向量AB结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。