专题训练 概率与代数、几何等知识的综合
一、概率与代数式的综合
1．如图5－ZT －1，有4张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母A ，B ，C ，D 和一个算式，背面完全一致．将这4张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取1张，不放回，接着再随机抽取1张．
(1)请用画树状图或列表法表示出所有的可能结果(卡片可用A ，B ，C ，D 表示)；
(2)将“第一张卡片上的算式正确，同时第二张卡片上的算式错误”记为事件M ，求事件M 的概率．
2．有三张正面分别写有数－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面上的数作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面上的数作为y 的值，两次结果记作(x ，y )． (1)用画树状图或列表法表示(x ，y )所有可能出现的结果；
(2)求使分式x 2－3xy x 2－y 2＋y
x －y
有意义的(x ，y )出现的概率；
(3)化简分式x 2－3xy x 2－y 2＋y
x －y
，并求使分式的值为整数的(x ，y )出现的概率．
二、概率与几何的综合
3.如图5－ZT －2，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为________．
图5－ZT －2
4．在3×3的方格纸中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 分别位于如图5－ZT －3所示的小正方形的顶点上．
(1)从A ，D ，E ，F 四点中任意取一点，以所取的这一点及点B ，C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是________；
(2)从A ，D ，E ，F 四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B ，C 为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．
图5－ZT －3
三、概率与方程(或不等式)的综合
5．已知不等式组???3x ＋4＞x ，
43x ≤x ＋23.
(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
四、概率与坐标系的综合
6．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数不同外其余完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数分别为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数分别为－2，1，6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上标的数，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出的卡片上标的数，把x ，y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标． (1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况； (2)求点A 落在第三象限的概率．
五、概率与一次函数的综合
7．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数1和－2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数－1，0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数为x ；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数为y ，设点P 的坐标为(x ，y )．
(1)请用列表法或画树状图法列出点P 所有可能的坐标； (2)求点P 落在一次函数y ＝x ＋1的图象上的概率．
六、概率与反比例函数结合
8．在一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x ，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y .
(1)用列表法或画树状图法表示出(x ，y )的所有可能出现的结果； (2)求小兰、小田各取一次小球所确定的点(x ，y )落在反比例函数y ＝6
x
的图象上的概率；
(3)求小兰、小田各取一次小球所确定的数x ，y 满足y ＜6
x
的概率．
七、概率与二次函数的综合
9．同时抛掷A ，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别记为x ，y ，并以此确定点P (x ，y )，那么点P 落在抛物线y ＝－x 2＋3x 上的概率为( ) A.118 B.112 C.19 D.16
教师详解详析1．解：(1)根据题意，可以列出如下的表格：
由列表法可知，所有的可能结果为AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC.
(2)由表可知，随机抽取1张，不放回，接着再随机抽取1张的所有可能的结果有12种，它们出现的可能性相等．
∵事件M包含的结果有3种，
∴P(M)＝
1
4
.
2．解：(1)画树状图如下：
或列表如下：
∴所有可能出现的结果为(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)．
(2)要使分式
x2－3xy
x2－y2＋
y
x－y有意义，则有(x＋y)(x－y)≠0，
∴只有(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)符合条件，∴使分式
x2－3xy
x2－y2＋
y
x－y有意义的(x，y)出现的概率为
4
9
.
(3)x 2－3xy x 2－y 2＋y x －y
＝x 2－3xy （x ＋y ）（x －y ）＋y （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ） ＝x 2－3xy （x ＋y ）（x －y ）＋xy ＋y 2
（x ＋y ）（x －y ） ＝x 2－3xy ＋xy ＋y 2（x ＋y ）（x －y ） ＝x 2－2xy ＋y 2
（x ＋y ）（x －y ）
＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y
. 将符合条件的(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)分别代入上式计算可得结果分别为13，3，－1
3
，－3， ∴使分式的值为整数的(x ，y )出现的概率为29.
3．[答案] 1
3
[解析] ∵S 正方形＝12×(3×2)2
＝18，S 阴影＝4×12×3×1＝6，∴这个点取在阴影部分的概率为
618＝1
3. 4．解：(1)1
4
(2)用树状图列出所有可能的结果：
或列表如下：
∵以点A ， ∴所画四边形是平行四边形的概率P ＝412＝1
3
.
5．解：(1)???3x ＋4>x ，①
43x ≤x ＋2
3，②
由①得x ＞－2，由②得x ≤2， ∴不等式组的解集为－2＜x ≤2， ∴它的所有整数解为－1，0，1，2. (2)画树状图如下：
∵共有12∴积为正数的概率为212＝1
6.
6．解：(1)如图．
点A (x ，y )的所有情况：(－7，－2)，(－7，1)，(－7，6)，(－1，－2)，(－1，1)，(－1，6)，(3，－2)，(3，1)，(3，6)．
(2)由树状图可知，所有等可能的情况共有9种， 点A 落在第三象限的情况有2种， ∴P (点A 落在第三象限)＝2
9
.
7．解：(1)画树状图如图所示．
∴点P 所有可能的坐标为(1，－1)，(1，0)，(1，2)，(－2，－1)，(－2，0)，(－2，2)． (2)∵只有(1，2)，(－2，－1)这两点在一次函数y ＝x ＋1的图象上， ∴P (点P 落在一次函数y ＝x ＋1的图象上)＝26＝1
3.
8．解：(1)列表如下：
，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．
(2)其中点(x ，y )落在反比例函数y ＝6
x
的图象上的情况有(2，3)，(3，2)，共2种，则
P ? ????
点（x ，y ）落在反比例函数y ＝6x 的图象上＝
216＝1
8
. (3)所确定的数x ，y 满足y ＜6
x
的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，
(4，1)，共8种，则P ? ?
???所确定的数x ，y 满足y ＜6x ＝816＝12.
9．A