双曲线历年高考真题40题 原卷版

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

双曲线题型一双曲线的定义和几何性质1．设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是A．B．C．D．2．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．变式：4．已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．，则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是A．B．C．D．题型二双曲线的离心率问题8．已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．9．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（为坐标原点）且则的值为（）A．B．2C．D．310．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．C．D．11．设F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．＋1C．D．＋1变式：12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．13．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（）A．B．C．D．今日作业14．若双曲线的渐近线与圆相切，则的渐近线方程为__________．15．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为_____________.10．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【详解】△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，可得|P1F1|•|P1F2|=6，此时|P1F1|+|P1F2|=2，当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，易知y=3，此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．2．B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．【详解】双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得：，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.3．B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.4．A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知：，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可求出，由双曲线定义可得：，由离心率公式可得：.故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.5．D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.7．C【解析】由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；又方程的渐近线方程为，而方程的渐近线方程为，故选C.8．D【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.9．B【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．D【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由的关系即可求得的值，然后求得焦距详解：双曲线的离心率为双曲线的渐近线方程为不妨设，即，则焦点到渐近线的距离为，，解得则焦距为故选点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2021年考题1、〔2021高考〕双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆〔b ＞0〕的焦点，则b=( )A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、〔2021高考〕“0m n >>〞是“方程221mxny +=〞表示焦点在y 轴上的椭圆〞的( )〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny +=转化为22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足110,0,m n>>且11n m >，应选 C.3、〔2021高考〕抛物线28y x =-的焦点坐标是( )A ．〔2，0〕B ．〔- 2，0〕C ．〔4，0〕D ．〔- 4，0〕 【解析】选B.由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，应选B. 4、〔2021全国Ⅰ〕椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 假设3FA FB =,则||AF =( )(A)2 (B) 23 (D) 3【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与*轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF =⋅=||2AF ∴=5、〔2021高考〕设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 假设12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】选B.由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,应选B. 6、〔2021高考〕过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12 D ．13【解析】选B.因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，应选B.7、〔2021高考〕过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．假设12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．8、(2021高考)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=*2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b xx a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,应选D.9、(2021高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,假设△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4ay x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,应选B.10、〔20216( )〔A 〕22124x y -= 〔B 〕22142x y -= 〔C 〕22146x y -= 〔D 〕221410x y -=【解析】选B.由6e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B. 11、〔2021**高考〕设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为〔 〕Ax y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 21±= 【解析】选 C.由得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在*轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 12、〔2021、高考〕双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 3 〔D 〕1【解析】选A.双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为34023d ⨯-==选A.13、〔2021、高考〕设抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。

新课标解析几何(双曲线)历年高考题精选新课标双曲线历年高考题精选 1.若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0), 则双曲线的方程为———— 2. y23.以双曲线4xa225yb22?1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4.设双曲线x2?2?1(a?0，b?0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4x 的准线重合，则此双曲线的方程为Ａ．12?y224x2?1 y2 Ｂ．x248?y296?1Ｃ．x23?2y32?1 32x2Ｄ．x2323?y26?1 94495.(04北京春理3)双曲线4?9?1的渐近线方程是 A. y??62x B. y???y2x C. y??x D. y??x 6.下列曲线中离心率为7.双曲线8.设双曲线xa22的是Ａ.x22?y24?1Ｂ. 422222xyxyＤ.?1Ｃ.??1??146410x24?x2-y22212=1的焦点到渐近线的距离为( ) ?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为yb?29.已知双曲线x2y222?1的准线经过椭圆x24?yb22?1的焦点，则b=( ) 10. (2008重庆文)若双曲线3?16yp2?1的左焦点在抛物线y=2px的准线上，则p的值为(C )(A)2 2 (B)3 (C)4 (D)42 1 11．(2008江西文)已知双曲线为x2xa22?yb22?1(a?0,b?0)的两条渐近线方程为y??33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程4?3y42?1．112.(2008山东文)已知圆C:x2?y2?6x?4y?8?0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为13.已知双曲线x2x24?2?yy2122?1?1的离心率是3。

则n＝4nx12?ny214、(2008海南、宁夏文)双曲线15. (2008重庆理)已知双曲线xa2210?yyb22?222?1的焦距为A. 32 B.42 C. 33 D. 43 xa22?1的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为(C ) ?1 (C)x22－y224a=1 (B)xa22?5a4b?yb22?1 (D)x225b?yb22?1 16.以知F是双曲线222的左焦点，是双曲线右支上的动点，则15的最小值为17.(2008辽宁文) 已知双曲线9y?mx?1(m?0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为18.(04湖南文4)如果双曲线x2，则m?( D )A．1B．2C．3 D．4 13?y212?1上一点22P到右焦点的距离为13, 那么点P到右准线的距离是??1的左右焦点分别为F1,F2，P 为C的右支上一点，且PF2?F1F2，则?PF1F2的面积916等于( C )24 36 48 96 17．(2008四川文) 已知双曲线C:xy19.设P是双曲线xa22?y29?1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点， 2 若|PF1|?3，则|PF2|? A. 1或5 20.已知双曲线x2B. 6 y2 C. 7 D. 9 262?y2232?1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为21已知双曲线x????????????1的焦点为F1、F2，点M 在双曲线上且MF1?MF2?0，则点M到x 轴的距离为yb2222.已知双曲线面积为a2xa－＝1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的2，则两渐近线的夹角为A、30o B、45o C、60o D、90o x223. A．x?y?10x?9?0 B．x2?y2?10x?16?0C．x2?y2?10x?16?0 D．x2?y2?10x?9?0 30.设P为双曲线x?A．63 B．12 x22y212?1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|?3:2，则△PF1F2的面积为C．123 ?1上一点D．24 24.(07四川理5）如果双曲线4?y2P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是225已知双曲线C：A.ab B. 22ac22?2yb22?1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是a?b22222?26.过双曲线x?y?4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P，Q两点，则FP?FQ 的值为______．27.(2009山东卷理)设双曲线xa?yb?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().x22 28.已知双曲线双曲线上.则PF1·PF2＝( ) 2?yb22?1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点P(3,y0)在 3 22xy29.已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若abAF?4FB,则C的离心率为() 30.设F1和F2为双曲线的离心率为xa22?yb22?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线222 x?231.(2009湖北卷理)已知双曲线?11?2?y22?1的准线过椭圆1?22x4?yb?1的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多有一个交点的充要条件是22??2??2?()A. K??,B. K????,?,??,?,??? ,??? C. K???? D. K???????22?????22?2?2?????2????2?32.设双曲线x2?1??xa22?yyb2?1的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于( ) 2 33.双曲线6xa22?3y322?1的渐近线与圆(x?3)?y22?r(r?0)相切，则r= () 234.若双曲线?2?1?a?o?的离心率为2，则a等于( ) yb2235.设双曲线xa－2＝1?a＞0，b＞0?的渐近线与抛物线y＝x ＋1相切，则该双曲线的离心率等于236.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．37.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线， 4 切点分别为A，B，若，则双曲线线C的离心率为2 . 38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 39．(2008湖南文) 双曲线xa22，则双曲线C 的离心率为?yb22?1(a?0,b?0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A．(1,2]B．[2,??) C．(1,2?1]D．[2?1,??) 40.若双曲线41. (2008湖南理)若双曲线xa22xa22?yb22?1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是3a2?yb22?1上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的D. (5,+?) 、(2008海南、宁夏理)过双曲线x2取值范围是( B. )A.(1,2) B.(2,+?) C.(1,5) 点为A，右焦点为F。

双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。

答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。

3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。

答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。

将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。

联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。

4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。

答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。

整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。

1. 双曲线221102x y -=的焦距为( ) 2. 双曲线22291y m x -=(0)m >的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m 等于( ) 3. 设ABC 是等腰三角形，120ABC ? ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( ) 4. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=则双曲线的离心率为( )5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在Y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为( )6. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) 7. 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的两个焦点。

若12||:||3:2PF PF =，则12PF F 的面积为( )8. 曲线221106x y m m+=--(6)m <与曲线 22159x y n n+=--(59)n <<的( )A. 焦距相同B. 离心率相同C. 焦点相同D. 准线相同9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) 10. 已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )11. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x = ，则该双曲线的离心率为( )12. 设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程是320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左右焦点，若1||3PF =，则2||PF 等于( )13. 若双曲线22221x y a b -=(0a b >>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )14. 已知双曲线22221x y a b-=(0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ^，12||||4PF PF ab = ，则双曲线的离心率是( )15. 若双曲线221x y m-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m 的值为( )16. 已知圆C ：226480x y x y +--+=。

历年高考题——双曲线1.[2013·全国Ⅰ] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 .2.[2013·广东] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F ，离心率为23，则C 的方程是 .3.[2014·全国] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为21,F F ，点A 在C 上.若A F A F 212=，则=∠12cos F AF .4.[2014·天津] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线102:+=x y l ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程是 .5.[2014·北京] 设双曲线C 经过点)2,2(，且与1422=-x y 具有相同的渐近线，则C 的方程为 .6.[2014·全国Ⅰ] 已知F 为双曲线)0(3:22>=-m m my x C 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 .7.[2014·广东] 若实数k 满足90<<k ，则曲线192522=--k y x 与曲线192522=--y k x 的 相等.（A.焦距 B.实半轴长 C.虚半轴长 D.离心率）8.[2014·山东] 已知0>>b a ，椭圆1:22221=+b y a x C ，双曲线1:22222=-by a x C ，21C C 与的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 .9.[2014·重庆] 21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为 .10.[2014·浙江] 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,.若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率为 .11.[2015·广东] 已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率45=e ，且其右焦点为)0,5(2F ，则双曲线的方程为 .12.[2015·全国Ⅱ] 已知B A ,为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为︒120，则E 的离心率为 .13.[2015·福建] 若双曲线1169:22=-y x E 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线E 上，且31=PF ，则=2PF .14.[2015·北京] 已知双曲线)0(12222>=-a b y a x 的一条渐近线为03=+y x ，则=a .15.[2015·湖南] 设F 是双曲线1:2222=-by a x C 的一个焦点.若C 上存在一点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .16.[2016·全国Ⅱ] 已知21,F F 是双曲线1:2222=-by a x E 的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 .17.[2016·浙江] 已知椭圆)1(1:2221>=+m y m x C 与双曲线)0(1:2222>=-n y nx C 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则1__,__21e e n m .（填“>”或“<”）18.[2016·山东] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E .若矩形ABCD 的四个顶点在E上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC AB 32=，则E 的离心率为 .19.20.[2016·北京] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线为正方形OABC 的边OCOA ,所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的变成为2，则=a .20.[2016·天津] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为 .。

历年高考题——双曲线1.[2013·全国Ⅰ] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为 .2.[2013·广东] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F ，离心率为23，则C 的方程是 . 3.[2014·全国] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为21,F F ，点A 在C 上.若A F A F 212=，则=∠12cos F AF .4.[2014·天津] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线102:+=x y l ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程是 .5.[2014·北京] 设双曲线C 经过点)2,2(，且与1422=-x y 具有相同的渐近线，则C 的方程为 .6.[2014·全国Ⅰ] 已知F 为双曲线)0(3:22>=-m m my x C 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 . 7.[2014·广东] 若实数k 满足90<<k ，则曲线192522=--k y x 与曲线192522=--y k x 的 相等.（A.焦距 B.实半轴长 C.虚半轴长 D.离心率）8.[2014·山东] 已知0>>b a ，椭圆1:22221=+b y a x C ，双曲线1:22222=-by a x C ，21C C 与的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 .9.[2014·重庆] 21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为 . 10.[2014·浙江] 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,.若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率为 .11.[2015·广东] 已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率45=e ，且其右焦点为)0,5(2F ，则双曲线的方程为 .12.[2015·全国Ⅱ] 已知B A ,为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为︒120，则E 的离心率为 .13.[2015·福建] 若双曲线1169:22=-y x E 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在双曲线E 上，且31=PF ，则=2PF .14.[2015·北京] 已知双曲线)0(12222>=-a by a x 的一条渐近线为03=+y x ，则=a . 15.[2015·湖南] 设F 是双曲线1:2222=-by a x C 的一个焦点.若C 上存在一点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .16.[2016·全国Ⅱ] 已知21,F F 是双曲线1:2222=-by a x E 的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 . 17.[2016·浙江] 已知椭圆)1(1:2221>=+m y m x C 与双曲线)0(1:2222>=-n y nx C 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则1__,__21e e n m .（填“>”或“<”）18.[2016·山东] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E .若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC AB 32=，则E 的离心率为 .19.[2016·北京] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线为正方形OABC 的边OC OA ,所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的变成为2，则=a .20.[2016·天津] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为 .。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（学生版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．3．（2019•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过C 的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为( )A 1B ．2C D4．（2019•新课标Ⅲ）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为( ) A ．32B ．52C ．72D ．925．（2019•新课标Ⅲ）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )A ．4B ．2C ．D ．6．（2019•新课标Ⅱ）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2 D7．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=9．（2018•新课标Ⅲ）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>．0)b >的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1|||PF OP =，则C 的离心率为( )A B ．2 C D10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN ∆为直角三角形，则||(MN = )A ．32B ．3C ．D ．411．（2017•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，则( )A ．||b k a<B ．||b k a>C ．||c k a<D ．||c k a>12．（2017•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=13．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．3214．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( )A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=15．（2017•新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是( )A ．，)+∞B ．，2)C ．D ．(1,2)16．（2016•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为( )A B ．32C D ．217．（2016•浙江）已知椭圆2212:1(1)x C y m m+=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <18．（2016•天津）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A ．223144x y -=B ．224143x y -=C ．22144x y -=D ．221412x y -=19．（2015•重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．12±B ．2C ．1±D ．20．（2015•新课标Ⅰ）已知0(M x ，0)y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，1F ，2F 是C 的左、右两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是( )A ．(B ．(C ．(D ．( 21．（2015•新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )A B ．2 C D22．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为( )A B C ．4 D 23．（2014•湖北）设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．324．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3二．填空题（共6小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．26．（2013•天津）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ．28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为 ．29．（2016•浙江）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且△12F PF 为锐角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是 ．30．（2016•北京）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题37 双曲线（教师版）一．选择题（共24小题）1．（2019•新课标Ⅰ）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C的离心率为( ) A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130︒，得tan130tan50ba-=︒=-︒， 则sin50tan50cos50b a ︒=︒=︒，∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -︒==-==-︒︒， 得22150e cos =︒，1cos50e ∴=︒． 2．（2016•新课标Ⅰ）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．【答案】A【解析】双曲线两焦点间的距离为4，2c ∴=，当焦点在x 轴上时，可得：224()(3)m n m n =++-，解得：21m =，方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，22()(3)0m n m n ∴+->，可得：(1)(3)0n n +->， 解得：13n -<<，即n 的取值范围是：(1,3)-．当焦点在y 轴上时，可得：224()(3)m n m n -=++-，解得：21m =-，无解．3．（2019•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过C 的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为( )A 1B ．2C D【答案】A【解析】设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，112||||F M F F ∴=，∴22b c a=， 222c a ac ∴-=， 2210e e ∴--=，1e ∴=，1e >，1e ∴=4．（2019•新课标Ⅲ）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为( ) A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】如图，不妨设F为双曲线22:145x yC-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a=，25b=，则223c a b=+，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y+=．联立22229145x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得214(P5)3．∴1553232OPFS∆=⨯⨯=．5．（2019•新课标Ⅲ）双曲线22:142x yC-=的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若||||PO PF=，则PFO∆的面积为()A32B32C．22D．32【答案】A【解析】双曲线22:142x yC-=的右焦点为(6F0)，渐近线方程为：2y x=，不妨P 在第一象限，可得2tan POF∠=，6(P3，所以PFO∆的面积为：133262=．6．（2019•新课标Ⅱ）设F为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222x y a+=交于P，Q两点．若||||PQ OF=，则C的离心率为()A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A 【解析】如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=，又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=． 把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c=，再由||||PQ OF =，得2ab c c=，即22244()a c a c -=， 22e ∴=，解得2e =7．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线by x a=，即0bx ay -=，(,0)F c ， AC CD ⊥，BD CD ⊥，FE CD ⊥，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，1232d d EF +==， 22EF b a b==+，所以3b =，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，可得2ca =，可得：2224a b a +=，解得3a =．则双曲线的方程为：22139x y -=．故选：A ．8．（2018•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线by x a=，即0bx ay -=，(,0)F c ， AC CD ⊥，BD CD ⊥，FE CD ⊥，ACDB 是梯形，F 是AB 的中点，1232d d EF +==， 22EF b a b==+，所以3b =，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，可得2ca =，可得：2224a b a +=，解得3a =．则双曲线的方程为：22139x y -=．9．（2018•新课标Ⅲ）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0x y C a a b-=>．0)b >的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1||6|PF OP =，则C 的离心率为( )A 5B ．2C 3D 2【答案】C【解析】双曲线2222:1(0x y C a a b -=>．0)b >的一条渐近线方程为by x a=，∴点2F到渐近线的距离d b ==，即2||PF b =，||OP a ∴==，2cos bPF O c ∠=，1|||PF OP=，1||PF ∴=，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PF PF F F PF F F COS PF O =+-∠， 2222222264224343()ba b c b c c b c c a c∴=+-⨯⨯⨯=-=--，即223a c =，c=，ce a∴=． 10．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN ∆为直角三角形，则||(MN = ) A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60︒，不妨设过(2,0)F 的直线为：2)y x =-，则2)y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得3(2M ，，2)y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：N，则||3MN =． 11．（2017•全国）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，则( ) A ．||bk a<B ．||b k a> C ．||c k a< D ．||c k a>【答案】B【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由直线()y k x c =-与C 的右支有两个交点，且直线经过右焦点F ，可得||bk a>12．（2017•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】设双曲线的左焦点(,0)F c -，离心率ce a==，c =， 则双曲线为等轴双曲线，即a b =，双曲线的渐近线方程为by x x a=±=±，则经过F 和(0,4)P 两点的直线的斜率4040k c c-==+，则41c=，4c =，则a b ==∴双曲线的标准方程：22188x y -=13．（2017•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由双曲线22:13y C x -=的右焦点(2,0)F ，PF 与x 轴垂直，设(2,)y ，0y >，则3y =， 则(2,3)P ，AP PF ∴⊥，则||1AP =，||3PF =，APF ∴∆的面积13||||22S AP PF =⨯⨯=，同理当0y <时，则APF ∆的面积32S =14．（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线方程为5y=，且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为()A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B【解析】椭圆221123x y+=的焦点坐标(3,0)±，则双曲线的焦点坐标为(3,0)±，可得3c=，双曲线2222:1x yCa b-=(0,0)a b>>的一条渐近线方程为5y，可得5ba=22254c aa-=，可得32ca=，解得2a=，5b=所求的双曲线方程为：221 45x y-=．15．（2017•新课标Ⅱ）若1a>，则双曲线2221xya-=的离心率的取值范围是()A．(2，)+∞B．(2，2)C．2)D．(1,2)【答案】C【解析】1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率为：c a ==． 16．（2016•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为( )AB ．32CD ．2【答案】A【解析】由题意，M 为双曲线左支上的点，则21||b MF a=，2||MF =，211sin 3MF F ∴∠=，∴213b =，可得：4222b a c =2ac =，又222c a b =+，20e -=，1e >，解得e =17．（2016•浙江）已知椭圆2212:1(1)x C y m m+=>与双曲线2222:1(0)x C y n n -=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A【解析】由题意可得2211m n -=+，即222m n =+， 又1m >，0n >，则m n >，由22222212222211112m n n n e e m n n n -+++==+4242212n n n n ++=+421112n n =+>+，则121e e >．18．（2016•天津）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A ．223144x y -=B ．224143x y -=C ．22144x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线的两条渐近线方程为2by x =±，设(,)2bA x x ，则四边形ABCD 的面积为2b ，22x bx b ∴=，1x ∴=±将(1,)2b A 代入224x y +=，可得2144b +=，212b ∴=，∴双曲线的方程为221412x y -=19．（2015•重庆）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．12±B． C ．1± D．【答案】C【解析】由题意，1(,0)A a -，2(,0)A a ，2(,)b B c a ，2(,)b C c a-，12A B A C ⊥，∴221b b a a c a c a-=-+-，a b ∴=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±． 20．（2015•新课标Ⅰ）已知0(M x ，0)y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，1F ，2F 是C 的左、右两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是()A．(B．(C．(33- D．( 【答案】A【解析】由题意，120(MF MF x =-，00)(3y x --，2220000)3310y x y y -=-+=-<，所以0y <<． 21．（2015•新课标Ⅱ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )A B ．2 C D【答案】D【解析】设M 在双曲线22221x y a b -=的左支上，且2MA AB a ==，120MAB ∠=︒，则M 的坐标为(2)a -，代入双曲线方程可得，2222431a a a b-=，可得a b =，c =，即有ce a==． 22．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为( )A B C ．4 D 【答案】D【解析】2212(||||)3PF PF b ab -=-，∴由双曲线的定义可得22(2)3a b ab =-，22430a ab b ∴+-=，4b a ∴=，c ∴，ce a∴=．23．（2014•湖北）设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，sin cos a b θθ∴+=-，0ab =，过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线为222()b a y a x a b a --=--，即()y b a x ab =+-，即sin cos y x θθ=-，双曲线22221x y cos sin θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-， ∴过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221x y cos sin θθ-=的公共点的个数为0．24．（2014•重庆）设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94D ．3【答案】B【解析】不妨设右支上P 点的横坐标为x 由焦半径公式有1||PF ex a =+，2||PF ex a =-， 12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab =，23ex b ∴=，229()4ex a ab -=∴229944b a ab -=，即229490b a ab --=，(34)(3)0b a b a ∴-+= 34a b ∴=，54c b ∴=，53c e a ∴==．二．填空题（共8小题）25．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．【答案】y =【解析】双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是2y x =±．26．（2013•天津）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．【答案】2213y x -=【解析】由抛物线28y x =，可得22p=，故其准线方程为2x =-． 由题意可得双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)-，2c ∴=．又双曲线的离心率为2，∴2ca=，得到1a =，2223b c a ∴=-=． ∴双曲线的方程为2213y x -=．27．（2019•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ． 【答案】2 【解析】如图，1F A AB =，且120F B F B =，1OA F B ∴⊥，则1:()a F B y x c b =+，联立()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a c B b a -，22)abc b a -， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--，整理得：223b a =，2223c a a ∴-=，即224a c =， ∴224c a =，2ce a==． 28．（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为 ．【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，可得A 到渐近线0bx ay +=的距离为：cos30b ︒，=，即a c =，可得离心率为：e =． 29．（2016•浙江）设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且△12F PF 为锐角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是 ．【答案】【解析】如图，由双曲线2213y x -=，得21a =，23b =，∴2c =．不妨以P 在双曲线右支为例，当2PF x ⊥轴时，把2x =代入2213y x -=，得3y =±，即2||3PF =，此时12||||25PF PF =+=，则12||||8PF PF +=；由12PF PF ⊥，得22221212||||||416PF PF F F c +===， 又12||||2PF PF -=，①两边平方得：221212||||2||||4PF PF PF PF +-=，12||||6PF PF ∴=，②联立①②解得：12||17,||17PF PF =+=-+， 此时12||||27PF PF +=．∴使△12F PF 为锐角三角形的12||||PF PF +的取值范围是(27,8)． 故答案为：(27,8)．30．（2016•北京）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ．【答案】2【解析】双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y x =±， 即a b =，正方形OABC 的边长为2，22OB ∴=22c =则2228a b c +==，即228a =，则24a =，2a =31．（2016•山东）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 2 ．【答案】2【解析】令x c =，代入双曲线的方程可得2221c b y a a=±-=±， 由题意可设2(,)b A c a -，2(,)b B c a --，2(,)b C c a -，2(,)b D c a ， 由2||3||AB BC =，可得22232b c a=，即为223b ac =， 由222b c a =-，c e a=，可得22320e e --=， 解得2e =（负的舍去）．故答案为：2．32．（2015•新课标Ⅰ）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(0A ，66)．当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】126【解析】由题意，设F '是左焦点，则APF ∆周长||||||||||||2AF AP PF AF AP PF =++=++'+||||2(AF AF A +'+，P ，F '三点共线时，取等号）， 直线AF '的方程为1366x =-与2218y x -=联立可得26960y +-=， P ∴的纵坐标为6APF ∴∆周长最小时，该三角形的面积为1166662612622⨯⨯⨯⨯=．。

1.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2332.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 3.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=4.【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3-（B ）()1,3-（C ）()0,3（D ）()0,35.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（） （A ）2（B ）32（C ）3（D ）2A ．5B ．2C ．3D ．27.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（） (A)433(B)23 (C)6 （D ）43 8.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 9.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223）（D ）（233-，233）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞11.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -=（B ）2214x y -=（C ）2214y x -=（D ）2214x y -= 12.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >13.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．315.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为.16.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_________.17.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．19.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

专题24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1第二问求曲线方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷1.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及方程的求解，通常大题第一问考查方程求解2.掌握轨迹方程的求解，近年该考点多次考查3.熟练掌握直线方程的求解，会求斜率值或范围4.会弦长等距离的求解，会定值定点定直线的求解及证明，该内容也是高考命题热点考点2求轨迹方程（10年5考）2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷2017·全国卷、2015·湖北卷考点3求直线方程（10年8考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2017·天津卷2015·江苏卷考点4求斜率值或范围（10年6考）2021·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山东卷2016·山东卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全国卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考点5离心率求值或范围综合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重庆卷、2015·重庆卷考点6弦长类求值或范围综合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全国卷、2015·四川卷、2015·山东卷考点7其他综合类求值或范围综合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全国卷、2016·四川卷、2015·四川卷考点8定值定点定直线问题2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·北京卷（10年7考）2017·全国卷、2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陕西卷、2015·全国卷考点9其他证明综合（10年9考）2024·全国甲卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷2018·北京卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全国卷、2015·福建卷考点10圆锥曲线与其他知识点杂糅问题（10年3考）2024·全国新Ⅱ卷、2018·全国卷、2016·四川卷考点01第二问求曲线方程1．（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足BF AB =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 2．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.3．（2019·全国·高考真题）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.5．（2018·全国·高考真题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．6．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程.8．（2015·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为（Ⅰ）求直线BF 的斜率;（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ,||=||PM MQ l .（ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若||sin PM BQP ∠=求椭圆的方程.9．（2015·安徽·高考真题）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.考点02求轨迹方程1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.3．（2019·全国·高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.4．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .5．（2015·湖北·高考真题）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内做往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点03求直线方程1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A PF 面积的二倍，求直线2A P 的方程．3．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B 255，且5BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．5．（2020·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．6．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程．7．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.8．（2017·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2，求直线AP 的方程.9．（2015·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.考点04求斜率值或范围1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.2．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交3y =-交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.5．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ =∠(O 为原点)，求k 的值.6．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，32FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程.8．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：12y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9．（2016·山东·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .（ⅰ）设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ，证明21k k 为定值；（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值.10．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.11．（2016·天津·高考真题）设椭圆2221(3x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.12．（2016·全国·高考真题）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k >0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.13．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点．（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =，若l 的斜率存在，且AB 4=，求l 的斜率．14．（2016·天津·高考真题）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.15．（2015·天津·高考真题）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，433（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 2OP （O 为原点）的斜率的取值范围.16．（2015·北京·高考真题）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．考点05离心率求值或范围综合1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,2t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A PF 面积的二倍，求直线2A P 的方程．3．（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN4．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.5．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．（2019·全国·高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.7．（2016·四川·高考真题）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n ∈N .（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.8．（2016·浙江·高考真题）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.9．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.(1)若122PF =+，222PF =-，求椭圆的标准方程.(2)若1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率的取值范围.10．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222,22PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 考点06弦长类求值或范围综合1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．3．（2019·全国·高考真题）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．4．（2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.（I ）求直线AP 斜率的取值范围；（II ）求·PA PQ 的最大值5．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）32(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.6．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.7．（2015·四川·高考真题）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.考点07其他综合类求值或范围综合1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．3．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．4．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．5．（2019·全国·高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.6．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．7．（2015·四川·高考真题）椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率是2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由考点08定值定点定直线问题1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A -在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．5．（2020·全国·高考真题）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.7．（2019·北京·高考真题）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．8．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.9．（2017·北京·高考真题）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．10．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .11．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.12．（2016·北京·高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．13．（2015·陕西·高考真题）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．14．（2015·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.考点09其他证明综合1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．（2019·全国·高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.7．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．8．（2018·全国·高考真题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．9．（2018·全国·高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．10．（2018·全国·高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.11．（2017·北京·高考真题）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．12．（2017·全国·高考真题）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .13．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．14．（2016·四川·高考真题）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n ∈N .（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；。