《等腰三角形的轴对称性》习题及答案

等腰三角形的轴对称性（１）知识与基础1、一个等腰三角形的一个内角为90，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、90°B、45°C、50°D、°2、若等腰三角形的一个内角等于88°，则另外两个角的度数分别为（）A、88°、4°B、46°、46°或88°、4°C、46°、46°D、88°、24°3、若等腰三角形的一个内角等于92°，则另两个角的度数分别是（）A、92°、16°B、44°、44°C、92°、16°或44°、44°D、46°、46°4、等腰三角形的一边长是10，另一连长是7，则它的周长是（）A、27B、24C、17D、27或245、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长是（）A、12B、12或15C、15D、15或186、在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是60°的三角形是等边三角形。

上述结论中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个7、有下列说法：①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合；③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等；④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍。

其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A、正方形B、有一个角为45°的直角三角形；C、两个内角分别为33°、114°的三角形；D、有一个内角为60°的三角形；9、如图，∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）B C A 、∠1＝2∠2 B 、3∠1－∠2＝180° C 、∠1＋3∠2＝180° D 、2∠1＋∠2＝180°应用与拓展10、有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm ，那么这个三角形的周长为___________cm .11、若等腰三角形的腰长为8，那么底边长的范围是__________________；若等腰三角形的底边长为8，那么腰长的范围是____________________。

苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》同步练习题-带答案一、单选题1．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB=36°，以C 为原点，C 所在直线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．如图，等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ．点P 是BA 延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：△AC 平分△PAD ；△△APO=△DCO ；△△OPC 是等边三角形；△AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在四边形ABCD 中，△BAD ＝△BCD ＝90°，△ADC =45°，BD =2a ，E 为BD 中点，给出下列结论：△AE =a ， △△CAE =45°，△AC = 2a ，△取AC 的中点F ， 则EF △AC ， 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在ABC 中，AB=AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（ ）A．40︒B．50︒C．20︒D．30︒∠的度数为（）5．如图，ABC中，已知AB AC=，DE垂直平分AC，40∠=︒则BCDAA．15︒B．30︒C．50︒D．65︒6．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于() A．95°B．15°C．95°或15°D．170°或30°7．等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A．65°B．80°C．50°或65°D．50°或80°8．已知等腰三角形的一个内角是50︒，则这个三角形顶角的度数是（）A．130︒B．50︒C．80︒D．50︒或80︒⊥于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若ABC的面积为9．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC18，则图中阴影部分面积为（）A．6B．8C．9D．10∠，若AB=m，10．如图，ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，E是BA延长线上一点，AC平分DAEBC=p，BD=q，则下列等式一定成立的是（）A ．m q p +=B ．2m q p +=C ．2m q p +=D ．12q m p +=二、填空题11．在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ，若三角形ABC 的边长为1，AE =2，则CD 的长为 ．12．若等腰三角形的周长为30cm ，一边长为6cm ，则腰长为 ．13．如图，CA 1是等腰Rt △ABC 斜边AB 上的高，以CA 1为直角边构造等腰Rt △CA 1B 1（点C ，A 1，B 1按顺时针方向排列），△A 1CB 1＝90°，称为第一次构造；CA 2是Rt △CA 1B 1斜边上的高，再以CA 2为直角边构造等腰Rt △CA 2B 2（点C ，A 2，B 2按顺时针方向排列），△A 2CB 2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n 次构造的Rt △CAnBn 的边CBn 与△ABC 的边CB 第二次重合时，构造停止，若S △ABC ＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为 ．14．等腰三角形的一个角的度数是36︒，则它的底角的度数是 ．15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，EF AB ⊥于点F ，若5EF =，则ED 的长度为 ．三、解答题16．已知等腰三角形的周长为15cm ，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm 的两个三角形，求等腰三角形的腰长．17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒,OA OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动、C 点固定OC CD DE ==点D E 、可在槽中滑动．若75BDE ∠=︒，请求出CDE ∠的度数．18．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC ，G 为CD 上一点，连接AG ，BG ．△若AG 平分DAB ∠，BG 平分ABC ∠，求AGB ∠的度数；△若90ABC ∠=︒，AD+BC=AB ，G 为CD 中点，求证：ABG 为等腰直角三角形；（2）某工程队需要在A ，B 两棵树的前方建立一座八角亭．按如下方法选址：如图2，甲工人从C 点直走到树A 处，然后向右转90后再直走一段路等于AC 的长度到点D 处；乙工人从C 点直走到树B 处，然后向左转90后再直走一段路等于BC 的长度到点E 处．工程队队长打算把八角亭建在DE 的中点G 处．过几天，工程队带着建筑材料来施工，却发现忘记标记起始点C ，正当大家懊恼时，队长说：别急，只要找到A ，B 两棵树连线的中点F ，由点F 引AB 的垂线，再往A ，B 两棵树前方量出AB 的长度的一半，就能找到之前的G 点（如图3所示）．你觉得队长的方法对吗？为什么？19．如图，一条船上午6时从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B 处，分别从A ，B 处望灯塔C ，测得30NAC ∠=︒ 60NBC ∠=︒．(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议：(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，，DO=BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理延长BO至点D，使CO AO由；(2)由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得∠EOC=65°，∠C=80°，∠OEF=145°，CF=127m，EF=78m，请求出该建筑物两端A，B之间的距离．参考答案1．C2．B3．D4．D5．B6．C7．A8．D9．C10．B11．1或3/3或112．12cm13．1612 14．36︒或72°15．516．4cm 或6cm17．80︒18．（1）△90︒△略；（2）队长说法正确，略 19．(1)海岛B 到灯塔C 的距离为30海里(2)上午9时小船与灯塔C 的距离最短 20．(1)甲同学的方案可行；略(2)该建筑物两端A ，B 之间的距离为205m ．。

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．7C．3或7D．3或52．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个3．已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为（）A．16或20B．16C．20D．12或244．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，下列结论中不一定成立的是（）A．AE＝CE B．BD＝BC C．BC＝2DE D．CD＝AD5．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（）A．6B．7C．8D．96．如图，线段AE⊥BD于C，AB＝DE，∠A＝30°，∠E＝50°，F是DE的中点，则∠DBF的度数为（）A．10°B．30°C．20°D．40°7．已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足|2x﹣y+1|+（x+y﹣13）2＝0，则该等腰三角形的周长为（）A．22或26B．17C．17或22D．228.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A.55°，55°B.70°，40°或70°，55°C.70°，40°D.55°，55°或70°，40°9．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里10.以下说法中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长为4 cm，一边长为9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形．A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（4）（5） D．（4）（5）二、填空题。

章节测试题1.【答题】若等腰三角形的底角为54°，则顶角为（）A. 108°B. 72°C. 54°D. 36°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵等腰三角形的底角为54°，∴顶角=180°-2×54°=72°，选B.2.【答题】如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=50°，则∠CAD的大小为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 60°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵在△ABC中，AB=AC，∠1=50°，∴∠C=∠B=，又∵AD∥BC，∴∠CAD=∠C=65°.选B.3.【答题】下列三角形不一定全等的是（）A. 面积相等的两个三角形B. 周长相等的两个等边三角形C. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形D. 有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定解答即可.【解答】A、如果△ABC和△DEF中，BC=1，BC上的高AD=2，△DEF的边EF=2，EF 上的高是1，两三角形的面积相等，但△ABC和△DEF不一定全等，故本选项正确；B、△ABC和△DEF，AB=BC=AC，DE=EF=DF，根据周长相等，则AB=BC=AC=DE=DF=EF，根据SSS即可推出两三角形全等，故本选项错误；C、根据直角三角形全等的判定定理HL，推出两三角形全等，故本选项错误；D、△ABC和△DEF中，AC=AB=DE=DF，只能是顶角是100°，在△ABC和△DEF中,，可得△ABC≌△DEF（SAS），故本选项错误；选A.方法总结：此题主要考查了三角形的有关知识，根据三角形的面积公式即可判断A；根据周长求出两三角形的三边相等，根据SSS即可判定两三角形全等；根据HL 即可判断两直角三角形全等；根据SAS即可判断两三角形全等．4.【答题】如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D 作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．选D.5.【答题】若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 40°B. 100°C. 40°或100°D. 40°或70°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．选C.6.【答题】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（）A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B=30°.因为AB的垂直平分线交BC于点D，所以DB=DA，所以∠B=∠DAB=30°.所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°.选C.7.【答题】已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于（）A. 95°B. 15°C. 95°或15°D. 170°或30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE.因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°.①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°.选C.8.【答题】如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为（）A. 50°B. 30°C. 75°D. 45°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝30°，所以∠ABC=(180°-30°)÷2=75°，因为AB的垂直平分线交AC于D，所以DA=DB，所以∠A=∠DBA=30°.所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°.选D.9.【答题】如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为DE垂直平分AC，所以EA=EC，∠A=∠ACE.因为∠A＝30°，所以∠ACE=30°.所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.选D.10.【答题】如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3.则CE长为（）A. 6B. 9C. 3D. 8【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】因为ED垂直平分BC，所以∠EDB=90°，EB=EC.因为∠B=30°，∠EDB=90°，所以BE=2DE=6.所以CE=BE=6.选A.11.【答题】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.选B.12.【答题】如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE恰好平分△ABC，有以下结论：（1）ED=EC；（2）△BEC的周长等与2AE+EC；(3)图中共有3个等腰三角形；（4）∠A=36°，其中正确的共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】（1）由题意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，∴当EC⊥BC时，有ED=EC，∵AB=AC，∴∠ACB不可能等于90°，∴ED=EC不正确；（2）∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∵∠ABE=∠ABC，∠BEC=∠A+∠ABE，∴∠BEC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠C=∠BEC，∴BE=BC，∴EC+EB+BC=EC+EA+EA=2EA+EC，∴（2）正确；（3）∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC，∵EA=EB，∴△EAB为等腰三角形，∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠C=2∠CBE，又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，∴∠BEC=∠C，∴BE=BC，∴△BEC为等腰三角形，∴图中共有3个等腰三角形，∴（3）正确；（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，∴∠EBC=36°，∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，∴（4）正确；∴正确的有（2）（3）（4）共三个，选B.13.【答题】等腰三角形的一个外角比与它相邻的内角大30°，则这个等腰三角形的底角为（）A. 75°B. 37.5°C. 52.5°或75°D. 30°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】设这个外角的度数为，根据题意可得：，解得：，即这个外角为105°，则与其相邻的内角为75°.（1）当这个内角为顶角时，则底角为：；（2）当这个内角为底角时，底角就为75°；综合（1）、（2）可得这个等腰三角形的底角为52.5°或75°.选C.14.【答题】如图，D是ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（）A. ∠1=2∠2B. ∠1+∠2=90°C. 180°-∠1=3∠2D. 180°+∠2=3∠1【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】AB=AC=BD由三角形角的性质知∠2+∠C=∠1，2∠C+∠2+∠1=180°，消去∠C,可得180°+∠2=3∠1.所以选D.15.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC 的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=MD/2，其中一定正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线，故MB⊥BD，①成立；而AB=AC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，FD=EC，②成立；∠C与∠BGC的大小不确定，∴DE不一定等于DG，∵EC=DF=EF+DE，∴EC不一定等于EF+DG；故错误；而CE=BF，④成立.选C.16.【答题】如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A. 1+B. 1+C. 2-D. -1【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.17.【答题】如图所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A. ∠1=∠2B. ∠1=∠3C. ∠B=∠CD. ∠3=∠B【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，∴DA=DC=DE.∴∠2=∠3，AE⊥BC，DE∥AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C.故答案为D.18.【答题】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（）A. 30B. 36C. 39D. 42【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1=∠5，∠3=∠6，又∵MN∥BC，∴∠2=∠5，∠6=∠4，∴BM=MO，NO=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC，又∵AB=12，AC=18，∴△AMN 的周长=12+18=30选A.19.【答题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是（）．A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于点D，∴BD=CD. ∵AB=6，CD=4，∴△ABC的周长=6+4+4+6=20选B.20.【答题】一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为（）A. 20°B. 30°C. 80°D. 120°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，选D.。

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1， 即A 2的横坐标为12+1=2212-， 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2， 即A 3的横坐标为12+1+2=3212-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误； 由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）； （2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

海豚教育个性化教案--------2.5等腰三角形的轴对称性(2)【基础训练】1．等边三角形是_______图形，并且有_______条对称轴；等边三角形的每个角等于_______．2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是_______．3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝_______．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且BD＝AD，CE＝AE．判断△ADE的形状，并说明理由．5．如图，在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，AB＝10 cm．(1)求BE的长；(2)BD＝ED吗？为什么？6．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F．求证：△OEF是等边三角形．7．如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求证：∠P＝30°．8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．海豚教育个性化作业【提优拔尖】9．以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE．连接AE、BE．(1)画出图形；(2)求∠AEB的度数．10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE、ACD，BD与CE相交于点O．(1)EC＝BD吗？为什么？(2)如果要使△ABE和△ACD全等，那么还需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时∠BOC是多少度？11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B．求证：AB＝AC＋CD．12．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC．若△ABC的边长为4，AE＝2，则BD的长为( )．A．2 B．3 C D 113．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6BA7的边长为( )．A．6 B．12 C．32 D．64参考答案1．轴对称 3 60°2．等边三角形3．15°4．△ADE是等边三角形．5．(1)15 cm (2)BD=ED6．略7．略8．略9．(1)如图(2)150°．10．(1)EC＝BD．(2)添加条件：AB＝AC，整个图形是轴对称图形，此时∠BOC＝120°．11．略12．A 13．C。

2.5　等腰三角形的轴对称性（1）分层练习考查题型一等腰三角形的性质1“等边对等角”1．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSSC．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL【答案】C【解析】解：A、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和对应全等判定依据正确；B、∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和对应全等判定依据正确；C、作辅助线时，不能直接说BC的垂直平分线经过了点A，即添加方法和对应全等判定依据错误；D、∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和对应全等判定依据正确；故选：C．2．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）在解答“若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是（）A．函数思想B．整体思想C．公理化思想D．分类讨论思想【答案】D【解析】解：70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°，所以涉及的数学思想是分类思想，故选：D．3. (2023·福建省三明市·期末考试)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。

第2章《轴对称图形》2.5 等腰三角形的轴对称性（3）填空题1．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是度．2．等腰三角形的两边长为6和3，则它周长是．3．若一个等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则它的周长是．4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，BD=BE，则∠AED是度．（第4题）（第15题）（第16题）5．等腰三角形一边长为8cm，另一边长为4cm，则它的周长为 cm．6．已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别是度，度．7．一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为．8．等腰三角形的两边分别为4cm和5cm，则它的周长为．9．一个等腰三角形有两边分别为4和8，则周长是．10．等腰三角形有一个角是60°，其中一边的长为a，其周长为．11．如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度．12．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于．13．等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是．14．若一个等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则其周长是 cm．15．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，则CD= ．16．如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4= 度．17．已知等腰三角形的两边长分别是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为 cm．18．等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则这个三角形的周长为 cm．19．一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是．20．如图，AB=AC，∠1=∠2，BD=3cm，那么BC的长为 cm．（第20题）（第21题）（第22题）21．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AB=AC=DC，AD=BD，则∠BAC=度．22．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于．23．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有个．（第23题）（第25题）（第26题）24．△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC= ．25．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形有个．26．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．27．已知等边三角形ABC的边长为3+ 3 ，则△ABC的周长是．28．如图所示，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个△AMN，则△AMN的周长为．（第28题）（第29题）29．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是．答案：1．故填40．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：分类讨论．解答：解：与80°角相邻的内角度数为100°；当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；当100°角是顶角时，底角的度数=80°÷2=40°；故此等腰三角形的底角为40°．故填40．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．2．故填15．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：根据三角形三边关系可得出：等腰三角形的腰长为6，底长为3，因此其周长=6+6+3=15．当底边为6时，不符合三角形三边关系，此情况不成立．故填15．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．故填11cm或13cm．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：分两种情况：当三边是3，3，5时，能构成三角形，则周长是11；当三边是3，5，5时，能构成三角形，则周长是13．所以等腰三角形的周长为11cm或13cm．故填11cm或13cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．故填105． 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：由已知条件易得∠B=30°，△BED 中根据等腰三角形的性质可得∠BED 的度数，求其补角可得答案．解答：解：∵△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°∴∠B=∠C=12 （180°-∠BAC）=12（180°-120°）=30° ∵BD=BE∴∠BED=∠BDE=12 （180°-∠B）=12（180°-30°）=75° ∴∠AED=180°-75°=105°．故填105．点评：本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．5．故填：20．考点：等腰三角形的性质．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为4cm 和8cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：∵4+4=8，0＜4＜8+8=16，∴腰长不能为4，只能为8，∴等腰三角形的周长=4+8+8=20cm ．故填：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．故填40．考点：等腰三角形的性质．分析：已知给出了一个内角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．解答：解：已知等腰三角形的一个内角是100°，根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，当100°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180-100）×12=40； 当100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成了．故填40．点评：本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180度．分类讨论是正确解答本题的关键．7．故应填1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：此题我们可以采用列举法．即分别用整数代入题目中从而确定答案．解答：解：若底边为1，则腰为2，符合三角形的构成条件；若底边为2，则腰为1.5，不符合条件则舍去；若底边为3，则腰为1，不能构成三角形，舍去．故应填1．点评：此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形性质的运用；列举法在做选择题和填空题时有时非常好用，注意掌握．8．故填14cm或13cm．考点：等腰三角形的性质．分析：因为等腰三角形的两边分别为4cm和5cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论解答：解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13，故填14cm或13cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．9．故填：20．考点：等腰三角形的性质．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：∵4+4=8∴腰的长不能为4，只能为8∴等腰三角形的周长=2×8+4=20．故填：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．故填3a．考点：等边三角形的判定与性质．分析：根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．再根据等边三角形的性质，即可求得此等腰三角形的周长．解答：解：∵等腰三角形有一个角为60°，∴这个等腰三角形是等边三角形；因此其周长=3×a=3a．故填3a．点评：本题主要考查了等边三角形的判定和性质．由已知判定三角形为等边三角形是解答本题的关键．11．故填20．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：由已知等腰三角形的一个底角是80°，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是80°，结合三角形内角和定理可求顶角的度数解答：解：∵三角形是等腰三角形，∴两个底角相等，∵等腰三角形的一个底角是80°，∴另一个底角也是80°，∴顶角的度数为180°-80°-80°=20°．故填20．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；借助三角形的内角定理求解有关角的度数问题是一种很重要的方法，要熟练掌握．12．故填5．考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：由已知条件，根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可得到答案．解答：解：如图：等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，CD⊥AB∵∠A=30°，CD⊥AB，AB=AC=10∴CD=12 AC=12×10=5．故填5． 点评：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；题目思路比较直接，属于基础题． 13．故填20．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论解答：解：当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为4+4=8，所以不能构成三角形，故舍去． 所以答案只有20．故填20．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 14．故填22．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：等腰三角形两边的长为4cm 和9cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解答：解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm ，腰长是9cm 时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm ．故填22．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15．故填5．考点：等腰三角形的性质．分析：由已知条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CD=BD=5．解答：解：∵AB=AC∴∠ABD=∠ACD∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∴△ADB≌△ADC∴CD=BD=5．故填5． 点评：此题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质．题目思路比较直接，属于基础题．16．故填10．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：由∠B=20°根据三角形内角和公式可求得∠BA 1A 的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA 1A 与∠A 4的关系即可解答．解答：解：∵AB=A1B，∠B=20°，∴∠A=∠BA1A=12（180°-∠B）=12（180°-20°）=80°∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4、∴∠A1CD=∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8A4∴∠A4=10°．故填10．点评：本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角找着∠BA1A与∠A4的关系是正确解答本题的关键．17．故填5．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．解答：解：当腰长为1cm时，1+1=2cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当腰长为2cm时，符合三边关系，其周长为2+2+1=5cm．故该三角形的周长为5cm．故填5．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．18．故填10．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．解答：解：（1）当三边是2cm，2cm，4cm时，2+2=4cm，不符合三角形的三边关系，应舍去；（2）当三边是2cm，4cm，4cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是10cm；所以这个三角形的周长是10cm．故填10．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19．故填50°或80°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．解答：解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；（2）当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．故填50°或80°．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．20．故答案为：6．考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，∠1=∠2知，AD为等腰三角形的顶角的平分线，应用等腰三角形的性质知AD也是底边上的中线，故有BC=2BD．解答：解：∵AB=AC，∠1=∠2，∴△ABC是等腰三角形，且AD是顶角的平分线，∴AD是三角形底边上的中线，∴BC=2BD=6cm．故答案为：6．点评：本题考查了等腰三角形的性质；题目思路比较直接，过程不很复杂，属于基础题．21．故填108．考点：等腰三角形的性质．分析：由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，根据三角形的内角和是180°，列方程求解．解答：解：设∠B=x，∵AB=AC=DC，AD=BD，∴∠C=∠B=∠BAD=x，∠CAD=∠ADC=2x，所以5x=180°，解得x=36°，∠BAC=3×36°=108°．故填108．点评：本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出方程式正确解答本题的关键．22．故答案为：2．考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PD，从而求得PD 的长．解答：解：过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM=12PC=2，∵PD=PM，∴PD=2．故答案为：2．点评：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．23．故填3．考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．解答：解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，∴∠ABD=180°-72°-36°-36°=36°=∠A，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°-72°-36°=72°=∠C，∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，∵∠C=∠ABC=72°，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．故图中共3个等腰三角形．故填3．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．24．故填3．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：根据已知先证明△ABD≌△ACD，从而求得AC的长．解答：解：∵AD⊥BC于D，且BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC=3．故填3．点评：本题考查了等腰三角形的判定及三角形全等的判定及性质；注意图形中条件的应用，做题时，要观察图形，公共边，公共角对顶角等条件时要选取应用．25．故填5．考点：等腰三角形的判定．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=180°−36°2=72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∵ED∥BC，∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，故图中共有5个等腰三角形．故填5．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．26．故答案为5cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：压轴题．分析：分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．解答：解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．答：△PDE的周长是5cm．点评：此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．27．故答案为9+3 3 ．考点：等边三角形的性质．专题：计算题．分析：在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和．解答：解：在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和，即：3×（3+ 3 ）=9+3 3 ．故答案为9+3 3 ．点评：此题主要考查了等边三角形的性质及周长的求法，属于基础题．28．故填4．考点：等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长=AB+AC=4．解答：解：令CP=BM，交AC延长线于P，连接DP．∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°又∵△ABC等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°同理可得∠NCD=90°∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°又∵CP=BM，∴△BDM≌△CDP∴MD=PD∠MDB=∠PDC∵∠MDN=60°∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即∠MDN=∠PDN=60°∴△NMD≌△NPD（SAS）∴MN=PN=NC+CP=NC+BM∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4故△AMN的周长为4．故填4．点评：本题解题的关键是证明△AMN的周长=AB+AC．29．故答案为：30a．考点：等边三角形的性质．专题：应用题．分析：设第二小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x，x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．解答：解：设第二小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x，x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，根据题意得：2x=x+3a，解得：x=3a，故围成的六边形的周长为：3a+3a+（3a+a）+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+2a）+（3a+3a）=30a．点评：本题主要考查对等边三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键，难度适中．。

2.如图，60OA=cm，动点P从点A出发沿AB以∠=︒，点A是BO延长线上的一点，10BOC2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发，用()∆是等腰三角形.t s表示移动的时间，当t=时，POQ2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．3.如图，已知点,A C分别在,BG BE上，且AB AC=，//∠的平分线与AD交AD BE，GBE 于点D，与AC交于点F.连接CD.(1)求证:①AB AD=;②CD平分ACE∠.(2)猜想BDC∠与BAC∠之间有何数量关系?并对你的猜想加以证明.4.如图，在ABC ∆中，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ，CF 是ACD ∆的中线，CE 是ACB ∠的平分线.求证: CE CF ⊥.5.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，,D E 分别在边,BC AC 上，AD DE ⊥，且AD DE =.点F 是AE 的中点，FD 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，连接CM .(1)求证: FMC FCM ∠=∠; (2)AD 与MC 垂直吗?请说明理由.等边三角形1.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，CE平分ACD=.∠，且CE BD 求证:ADE∆是等边三角形.2.已知点C为线段AB上一点，ACM∆与CBN∆都是等边三角形.(1)如图1，连接,AN BM，则AN与BM是否相等?请说明理由;(2)如图2,AN与MC交于点,E BM与CN交于点F，试择究CEF∆的形状.专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1、如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE=（）A、40°B、50°C、60°D、70°2、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A、20B、12C、14D、133、如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．NMED CBANMDCBA 4、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE5、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知：如图，经过线段AB一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使ABC为等腰三角形，这样的点C有（）个．A．2 B．3 C．4 D．54．下列判断正确的是（）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4）D．（2）（3）5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝2，则BC的长是（）A．4B．5C．6D．76．△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，则一个底角等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（）A．36°B．60°C．72°D．80°8．如图，在等边△ABC中，延长AB到点D，使得BD＝AB，延长BC到点E，使得CE＝2BC，连接DE、AE，若S△ADE＝18，则S△ABC为（）A．1.8B．2C．3D．4.59．如图的网格中，点A、B在格点上，在网格上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个10.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD ＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题。

八年级数学角平分线的性质及等腰三角形(轴对称)基础练习试卷简介:全卷满分120分，测试时间60分钟，共四个大题：第一题选择，2个小题，每小题5分；第二题证明题，9个小题，每小题10分；第三题计算题，1个小题，10分；第四题探究题，一个小题，10分。

学习建议:本讲主要内容是角平分线的性质及等腰三角形，在中考中经常出现，大家需要熟练掌握这些知识，学会灵活运用。

本讲题目灵活多变，但万变不离其宗，只要掌握最基本的概念及相关性质，再多加练习，就能掌握。

一、单选题(共2道，每道5分)1.直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处答案：D解题思路：到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．易错点：易漏掉外角平分线试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A.30°B.36°C.45°D.54°答案：C解题思路：∵AD=DE ∴∠A=∠AED ∵DE=EB ∴∠EBD=∠EDB ∵∠AED=∠EBD+∠EDB=2∠EBD ∴∠A=2∠EBD ∵BD=BC ∵∠BDC=∠A+∠EBD=3∠EBD ∴∠C=3∠EBD ∵AB=AC ∴∠C=∠ABC ∵∠A+∠C+∠ABC=180°∴∠A+2∠C=180°2∠EBD+2×3∠EBD=8∠EBD=4∠A=180°∴∠A=45°．易错点：对等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、三角形外角的性质掌握不牢试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质二、计算题(共1道，每道10分)1.如图，AO=OC，且DO垂直AC并交AB于点D，若AB=7cm，BC=5cm，则△BDC的周长是多少？答案：12cm解题思路：∵AO=OC，且DO垂直AC并交AB于点D ∴直线OD是线段AC的垂直平分线∴AD=CD ∴△BDC的周长=BD+CD+BC= BD+AD+BC=AB+BC=12cm易错点：对垂直平分线的性质掌握不牢试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质三、证明题(共9道，每道10分)1.已知，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证点P到三边AB、AC、BC的距离相等.答案：作PD、PE、PF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，∵BM为△ABC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．同理可证：PF=PE．∴PD=PE=PF．即点P 到三边AB、BC、CA的距离相等．解题思路：作PD、PE、PF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得PD=PE，PF=PE，所以PD=PE=PF．易错点：对角平分线的性质掌握不牢试题难度：二颗星知识点：角平分线的性质2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上另一点，连接DF、EF，求证DF=EF.答案：∵点P在∠AOB的角平分线OC上′，PE⊥OB，∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△DPO≌△EPO，∴∠DPO=∠EPO，∴∠DPF=∠EPF，在△DPF 和△EPF中，PD=PE，∠DPF=∠EPF，PF=PF ∴△DPF≌△EPF ∴DF=EF．解题思路：根据角平分线的性质，得PD=PE，根据三角形的外角的性质，得∠DPF=∠EPF，再根据SAS证明△DPF≌△EPF，则DF=EF．易错点：对角平分线的性质掌握不牢试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD与△ACD的高，求证AD垂直EF.答案：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴D在线段EF的垂直平分线上．在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF ∴Rt△ADE≌Rt△ADF．∴AE=AF．∴A点在EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段EF的垂直平分线．解题思路：找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．易错点：对三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理掌握不牢试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质4.已知点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证BD=CE.答案：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．解题思路：根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD=∠CAE，从而可利用SAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可证得结论．易错点：对全等三角形的判定条件掌握不牢试题难度：二颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD与△ACD的高，求证AD垂直平分EF.答案：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴D在线段EF的垂直平分线上．在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF ∴Rt△ADE≌Rt△ADF．∴AE=AF．∴A点在EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段EF的垂直平分线．解题思路：找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．易错点：对直角三角形全等的判定条件掌握不牢试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质6.如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．答案：∵BD是正三角形ABC的AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=30°．∵CD=CE，∴∠CDE=∠E．∵∠ACE=120°，∴∠CDE+∠E=60°．∴∠CDE=∠E=30°．∴BD=DE．解题思路：欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．易错点：对等腰三角形性质掌握不牢试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质7.如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点．求证：BD⊥AC．答案：∵D是AC的中点∴AD=CD 在△BAD和△BCD中，BA=BC，AD=CD，BD=BD ∴△BAD≌△BCD ∴∠BDA=∠BDC 又∵A、D、C在同一条直线上∴∠BDA=∠BDC=90°∴BD⊥AC解题思路：通过BA=BC，AD=CD，BD=BD可以证明△BAD和△BCD，进而得到∠BDA=∠BDC=90°，从而得到结论。

文新学堂数学学科导学案（第次课）数学符号表示：1.如图在4ABC中，如果AB=AC,那么N=Z2.在4ABC中，如果AB=AC,点D在BC上。

如果NBAD二NCAD,那么AD±BC,BD=CD如果 BD=CD,那么/=Z, ±如果ADLBC,那么, 。

活动三、按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高AD=h.• a ・h ,例1:已知，如图4ABC中，AB=AC, D点在BC上，且BD=AD。

求证：N ADB=N BAC变式训练：1、下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。

正确的说法有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、等腰三角形的对称轴是（）A.顶角的平分线B.底边上的高C底边上的中线D.底边上的高所在的直线3、等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 30°4、等腰4ABC的底角是60°,则顶角是________ 度.5、等腰三角形的两个内角的比是1：2,则这个等腰三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.锐角三角形或直角三角形D.以上结论都不对6、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm,则该三角形的周长是（）8、如图，等腰4ABC中，AB=AC,N A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,求N CBE的度数。

例 2：在4ABC 中.AB=AC,(1)如果N A=70°,则N C=, Z B=.(2)如果N A=90°,则N B=, Z C=.(3)如果有一个角等于120°,则其余两个角分别是 _____ 度.(4)如果有一个角等于55°,则其余两个角分别是______ 度.变式训练：1、若等腰三角形的一个内角等于92°,则另外两个角的度数分别是( )A.92°、16°B.44°、44°C.92°、16° 或44°、44°D.46°、46°2、等腰三角形的一个角是94°,则腰与底边上的高的夹角为( )A. 43°B. 53°C, 47°D, 90° 3、如图，D是4ABC中BC边上一点，AB=AC=BD,则N1和N2的数量关系是例3：如图，4ABC中，AB=AC, D、E为BC上两点，且AD=AE.则U BD和CE相等吗？为什么？变式训练：1、已知：如图，人8=人仁点D是BC的中点，AE L BE,垂足为E. AB平分N DAE,. AD=AE吗，说明理由2、如图，在4ABC中，AB=AC, D为AC上任意一点，延长BA到点E,求证：DE L BC.活动三：探究等腰三角形的判定定理请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：1.在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC2.以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A.3.用刻度尺找出BC的中点D,连接AD,然后沿AD对折.问题1： AB与AC是否重合？你得到什么结论？问题2：证明上述得到的结论问题3：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述?例4：在4ABC中，N A=40°,当N B=时，4ABC是等腰三角形。